Kettenbruchentwicklungen komplexer Zahlen mit beschränkten

Kettenbruchentwicklungen
komplexer Zahlen mit beschränkten
Teilnennern
Bachelorarbeit
Julius-Maximilians-Universität Würzburg
Fakultät für Mathematik und Informatik
Studiengang: Mathematik
Verfasser:
Tobias Kirchner
Würzburg, den 5. September 2013
Betreuer:
Prof. Dr. Jörn Steuding
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
2
2 Definitionen
4
2.1
Kettenbruchentwicklung nach Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Allgemeine Kreise
6
2.3
Kreisfolge der Kettenbruchentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Eigenschaften der Kreisfolge der Kettenbruchentwicklung
13
4 Sätze über die allgemeinen Kreise einer Kettenbruchentwicklung
17
5 Komplexe Zahlen mit beschränkten Teilnennern
24
5.1
Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5.2
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Schlusswort
31
7 Literatur
33
8 Abbildungsverzeichnis
34
9 Erklärung
35
1
1 Einleitung
Reelle Kettenbrüche haben in der Zahlentheorie eine wichtige Bedeutung. Sie werden
verwendet, um irrationale Zahlen zu approximieren. Dass diese sogar die bestmöglichsten
Approximationen sind, hat Lagrange in seinem Gesetz über die beste Näherung bewiesen.
Betrachtet man zum Beispiel das Format einer DIN A4 Seite, welches 210mm × 297mm
ist, so gilt für den Quotienten
297
99
=
=1+
210
70
2+
1
= [1, 2, 2, 2, 2],
1
2+
1
2+
1
2
dass dieser ein endlicher Kettenbruch ist. Vergleicht man dieses Ergebnis mit der Ketten√
bruchentwicklung von 2, welche gleich [1, 2] ist, so wird klar, dass das Seitenverhältnis
√
des DIN A4 Formates eine Annährung an 2 darstellt. Dabei fällt auf, dass die Kettenbruchentwicklung periodisch und somit beschränkt ist. Nach dem Satz von Euler und
Lagrange, siehe [7], Seiten 309-310, sind die quadratischen Irrationalzahlen genau diejenigen Zahlen, deren Kettenbruchentwicklung periodisch ist. Ganz andere Ergebnisse
erhält man, wenn man sich die Teilnenner von transzendenten Zahlen anschaut. Es sei
dazu die reguläre Kettenbruchentwicklung von π,
π = [3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 84, 2, 1, 1, . . . ],
gegeben. Diese tritt bereits 1770 in Lamberts „Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung“ auf (Vergleiche dazu [5], Seite 158), und hierbei fällt keine
Regelmäßigkeit bezüglich der Teilnenner auf. Es ist auch tatsächlich unbekannt, ob diese Kettenbruchentwicklung einem Muster oder einer Regelmäßigkeit folgt; damit ist es
derzeit auch unmöglich eine Aussage über eine mögliche Beschränktheit der Teilnenner
von π zu treffen. Allgemein weiß man über Kettenbruchentwicklungen von Zahlen, welche weder rational noch quadratisch über Q sind, relativ wenig. So kann man zwar die
√
√
Kettenbruchentwicklung von 2 vollständig bestimmen, aber schon bei 3 2 ist dies nicht
mehr so einfach, da man weder eine Aussage über Regelmäßigkeit noch über mögliche
Beschränktheit der Teilnenner treffen kann. Man vermutet allerdings, dass die Teilnenner
unbeschränkt sind.
Ebenso kann man sich umgekehrt die Frage stellen, welche Eigenschaften Kettenbrüche besitzen, die Muster und beschränkte Teilnenner aufweisen. Sind diese Kettenbrüche
womöglich algebraisch oder haben sie zumindest beschränkten Grad über Q? Man be-
2
trachtet dazu einen Kettenbruch, welcher ähnlich der Thue-Morse-Folge aufgebaut ist.
Man vergleiche dazu [6], Seiten 1-2. Sei nun
z = [2, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 2, .....].
Diese Entwicklung besteht nur aus zweien und dreien. Der erste Teilnenner hat den
Wert zwei. Um die restlichen Teilnenner zu bestimmen wird immer das vorrausgehende
Muster der Teilnenner von zweien und dreien umgekehrt und hinten angehängt, wobei
Umkehren die Umwandlung einer zwei zu einer drei bezeihungsweise einer drei zu einer
zwei bezeichnet. Hat man also zum Beispiel die Sequenz [2, 3, 3, 2], so wird diese mit
[3, 2, 2, 3] zu [2, 3, 3, 2, 3, 2, 2, 3] fortgesetzt. Untersucht man diesen und ähnlich aufgaubaute Kettenbrüche, so ist oft nicht klar, ob diese nun algebraisch oder transzendet sind.
Verallgemeinert man nun Kettenbrüche auf die komplexen Zahlen, wie es Hurwitz 1888
in seinem Artikel „Über die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbrüche“ (siehe [1])
getan hat, so kann man unter bestimmten Voraussetzungen Zahlen konstruieren, welche von unterschiedlichem Grad über Q sind, aber deren Kettenbruchentwicklung stets
beschränkte Teilnenner aufweist. Diese unerwartete Aussage haben Wieb Bosma und David Gruenewald in ihrem Artikel „Complex Numbers with Bounded Partial Quotients“
vorgestellt (siehe [2]).
In der nachfolgenden Arbeit wird dieser Artikel als Grundbaustein verwendet, um
dieses Thema näher zu erläutern. Anfangen werden wir damit, dass wir analog zum reellen Fall den komplexen Kettenbruch über eine Rekursion definieren. Dadurch ergibt
sich auch eine Folge von Resten. Um nun zu zeigen, dass die Teilnenner, welche aus dem
Inversen dieser Folgenglieder berechnet werden, beschränkt sind, betrachtet man die Folgenglieder hinsichtlich einer möglichen unteren Schranke, die größer als null sein sollte.
Man kann dann über die Lage von Kreisen und Geraden, auf welchen diese Folgenglieder
liegen, folgern, dass diese Schranke existiert, wenn man an den Betrag einer komplexen
Zahl eine bestimmte Forderung stellt. Daraus lässt sich dann die überraschende Folgerung ableiten, dass man Elemente in C finden kann, die beliebig hohen geraden Grad
über Q haben, und deren Teilnenner trotzdem noch beschränkt sind.
Dem interessierten Leser wird dabei nahegelegt, sich zuvor grundlegende Kenntnisse
zum Thema „Kettenbrüche“, wie sie zum Beispiel in [7] auf den Seiten 27, 28, 305311 zu finden sind, anzueignen, da in dieser Arbeit sehr schnell von den reellen auf die
komplexen Kettenbrüche verallgemeinert wird, diese jedoch als Grundvorraussetzung
benötigt werden.
3
2 Definitionen
Wie bereits angedeutet wurde, beginnen wir nun mit der Definition des komplexen Kettenbruchs nach Hurwitz, wobei zuerst einmal im Reellen begonnen wird, damit die Konsistenz der beiden Definitionen nachvollzogen werden kann.
2.1 Kettenbruchentwicklung nach Hurwitz
Definition 2.1 (reeller Kettenbruch):
Sei x eine reelle Zahl, dann hat x eine Darstellung der Form
1
x = a0 +
a1 +
,
1
a2 +
(1)
1
..
.
welche wir als ihren Kettenbruch bezeichnen. Zur Vereinfachung schreiben wir allerdings
x = [a0 , a1 , a2 , . . . ]. Die Teilnenner ak erhält man über die Vorschrift
a0 = bxe und x0 = x − a0 ,
xk+1 =
1
1
1
− ak+1 =
−b e
xk
xk
xk
für k ≥ 0
Dabei ist bxe für ein x ∈ R folgendermaßen definiert:
1
bxe := max {d ∈ Z | d ≤ x + }.
2
1
1
1
≤
< ak + ist.
xk−1
2
xk−1
2
1
1
1
Damit ergibt sich auch die Ungleichung − ≤ xk < für xk =
− ak und es ist
2
2
xk−1
somit |ak+1 | ≥ 2. Gibt es nun ein k ∈ N mit xk = 0, so soll die Rekursion an dieser
Für alle k ∈ N sei ak := b
1
(2)
e, und damit gilt, dass ak −
Stelle abbrechen und man erhält einen endlichen Kettenbruch, welcher nur bei rationalen
Zahlen auftritt. Vergleiche dazu [7], die Seiten 27-28.
In der Fachliteratur, wie zum Beispiel in [7] auf Seite 305, findet sich eine andere Definition für den reellen Kettenbruch, welche sich darin unterscheidet, dass etwas anders
gerundet wird.
Die Motivation, hier auf diese Art zu runden, und nicht einfach nur abzurunden, liegt
darin, dass so die Teilnenner xk näher am Ursprung, also im Intervall [−0, 5; 0, 5[, liegen.
4
Für die Verallgemeinerung auf die komplexen Zahlen erhält man dann eine ähnliche
Eigenschaft, vergleiche dazu (4). Um nun auf die komplexen Kettenbrüche überzugehen,
definieren wir zunächst
Z[i] := {z ∈ C|z = a + ib mit a, b ∈ Z},
die sogenannten Gaußschen Zahlen. Sei nun z = x + iy mit x, y ∈ R eine komplexe Zahl,
dann ist bze := bxe + ibye mit bxe und bye nach (2) eine Gaußsche Zahl.
Mit diesen Hilfsmitteln lässt sich nun der Begriff des Kettenbruchs auf komplexe Zahlen
verallgemeinern. Dabei wird der „Hurwitz-Kettenbruch-Oparetor“ H (vergleiche „Hurwitz continued fraction operator H“ in [2], Seite 3) eingeführt, welcher angewandt wird,
um eine Folge von Resten (zk )k∈N0 zu erhalten:
Definition 2.2 (komplexer Kettenbruch):
Sei z eine komplexe Zahl, dann sei α0 = bze und z0 = z − α0 . Damit erhält man durch
die Rekursion
zk+1 = Hzk :=
1
1
1
− αk+1 =
−b e
zk
zk
zk
für k ≥ 0
(3)
eine zum reellen Fall analoge Rekursion für die Kettenbruchentwicklung von z. Dabei
1
gilt αk+1 := b e. Die Darstellung des komplexen Kettenbruchs ist dementsprechned
zk
x = [α0 , α1 , α2 , . . . ]. Zusätzlich soll noch H0 = 0 gelten; dies bedeutet, dass die Kettenbruchentwicklung abbricht, und somit endlich ist.
Zu dieser Definition hat A. Hurwitz bereits folgenden Satz aus Quelle [1], Seite 200,
bewiesen:
Die Entwicklung einer complexen Grösse ergiebt stets einen convergenten Kettenbruch, welcher dann und nur dann abbricht, wenn die entwickelte
Grösse der Quotient zweier ganzen Zahlen m + nρ ist, und welcher periodisch
wird, wenn die entwickelte Grösse einer irreductibeln quadratischen Gleichung genügt, deren Coefticienten complexe ganze Zahlen der Form m + nρ
sind.
Der komplexe Kettenbruch ist damit wohldefiniert und analog zum reellen Kettenbruch
haben also genau die Elemente, welche aus Q[i] := {r + iq | r, q ∈ Q} sind, eine endliche
Kettenbruchentwicklung. Damit gilt auch, dass eine komplexe Zahl genau dann einen
periodischen Kettenbruch der Form [α0 , . . . , αk−1 , αk , . . . , αk+l ] mit k, l ∈ N0 hat, wenn
5
diese ein irreduzibles Polynom vom Grad 2 über Q[i] annuliert. Die Begründung, warum
hier auf diese Art und Weise gerundet wird, liegt nun in der Eigenschaft, dass so alle
Reste zk im „Einheitsquadrat“
Q = {z ∈ C| −
1
1
≤ Im z, Re z ≤ }
2
2
(4)
liegen.
Im Nachfolgenden werden ausschließlich unendliche Kettenbrüche betrachtet, da die
Teilnenner endlicher Kettenbrüche offensichtlicherweise beschränkt sind. Weniger interessant sind auch Elemente, welche quadratisch über Q[i] sind, da die Teilnenner ihrer
Kettenbruchentwicklung aufgrund der Periodizität beschränkt sein müssen; es wird hier
allerdings keine Ausnahme gebildet.
2.2 Allgemeine Kreise
Kreise in der komplexen Ebene lassen sich folgendermaßen aufstellen: Man wähle sich
einen Mittelpunkt m aus C und einen Radius r aus R+ . Mit der Gleichung
(z − m)(z − m) = zz + mz + mz + mm = r2
(5)
erhält man so über die Lösungen z einen Kreis. Wir wollen uns dabei aber nicht nur auf
Abbildung 1: Stereographische Projektion
Kreise im herkömmlichen Sinne beschränken, sondern diesen Begriff etwas erweitern.
Dazu benutzten wir die sogenannte stereographische
Projektion. Hierbei wird die 3a
dimensionale Einheitskugel E := {x = b ∈ R3 | a2 + b2 + c2 = 1} auf C ∪ {∞} bijektiv
c
6
abgebildet. Dabei identifiziert man die durch die Vektoren
1
0
0
und
0
1
0
aufgespannte
Ebene im drei-dimensionalen Raum mit der komplexen Ebene, was durch die Tatsache
ermöglicht wird, dass die beiden isomorph zueinander sind. Möchte man nun einen Punkt
P von der Kugel in die Ebene projezieren, stellt man eine Gerade g auf, welche durch
P und den Nordpol der Einheitskugel N = (0, 0, 1) verläuft. Der Schnittpunkt von g
und der komplexen Ebene ist dann die Projektion von P , wie es auch in Abbildung 1
veranschaulicht wird.
Diese Zuordnung kann man auch umkehren, indem man eine Gerade durch einen
Punkt aus der komplexen Ebene und dem Nordpol der Einheitskugel legt und deren
Schnittpunkt mit der Einheitskugel bestimmt. Um allerdings E vollständig auf die komplexe Ebene bijektiv abbilden zu können, benötigt man einen weiteren Punkt „∞“, auf
welchen der Nordpol projeziert wird.
Betrachtet man nun Kreise auf der Einheitskugel, so werden diese auf Kreise in der
komplexen Ebene abgebildet oder es resultieren Geraden, wenn der Kreis auf der Einheitskugel durch den Nordpol verläuft. Dies kann in [3], Seiten 276-279, nachgelesen
werden. Um nun also auch Geraden als projezierte Kreise zuzulassen, ergänzen wir in
der Kreisgleichung aus (5) einen Vorfaktor vor zz, welcher auch den Wert null annehmen
kann. Damit definieren wir einen allgemeinen Kreis:
Definition 2.3:
Seien die Koeffizienten A, D ∈ R und B ∈ C, dann bilden die Lösungen der Gleichung
Azz + Bz + Bz + D = 0
(6)
einen allgemeinen Kreis. Dieser hat die Matrixdarstellung
!
A B
.
B D
C :=
(7)
Dies ist konsistent mit der Kreisgleichung durch:
z 1
A B
B D
!
z
1
!
= Azz + Bz + Bz + D.
Betrachtet man nun A, B und C im Hinblick auf (5) ergibt sich für den Mittelpunkt
B
A
(8)
|B|2 − AD
|A|
(9)
M =−
und den Radius
p
R=
7
für A 6= 0. Im anderen Fall (A = 0) handelt es sich nicht um einen Kreis, sondern
um eine Gerade. Bezeichnen wir mit x den Realteil und mit y den Imaginärteil von z,
so lautet deren Geradengleichung: Re B · x − Im B · y = −D/2. Weil nun Realteil und
Imaginärteil der Punkte auf einer Geraden unbeschränkt sind, ergänzen wir für spätere
Betrachtungen den Punkt ∞ zur Geraden.
Wir halten noch fest, dass ein allgemeiner Kreis genau dann durch den Ursprung verläuft,
wenn D = 0 gilt.
Als Nächstes wird der Hurwitz-Kettenburch-Operater mit dem Ziel verallgemeinert,
dass man ihn auch auf allgemeine Kreise anwenden kann. Dazu wird vorerst die Abbildung H0 : C ∪ {∞} → C ∪ {∞} definiert:
H0 z :=


1

, für z ∈ C\{0}


 z
∞, für z = 0
.
(10)




 0 , für z = ∞
Abbildung 2: Invertierung einer Geraden
Da wir nicht nur einzelne Punkte, sondern auch Kreise und Geraden mit H0 invertieren
1
möchten, benötigen wir die formalen Definitionen für „ 01 “ und „ ∞
“. Ansonsten würde
das Invertieren einer Geraden einen unvollständigen allgemeinen Kreis zur Folge haben.
Man vergleiche
dazu die Abbildung 2. Wir definieren nun zu einem allgemeinen Kreis
C=
A B
B D
:
H0 C := {H0 z | z ∈ C}.
8
Im nachfolgenden Satz wird nun nachgewiesen, dass es sich bei H0 C auch um einen
allgemeinen Kreis handelt:
Satz 2.4:
Mit C =
A B
B D
ist auch H0 C ein allgemeiner Kreis mit
!
H0 C =
D B
.
B A
Beweis:
Wir zeigen die Gleichheit von H0 C und C ∗ :=
D B
B A
, denn damit gilt, dass H0 C ein
allgemeiner Kreis ist, und die geforderten Eigenschaften an die Koeffizienten von C ∗
erfüllt sind.
Sei also zuerst w∗ ∈ H0 C\{0, ∞}. Dann gibt es zu diesem w∗ ein z ∗ ∈ C mit w∗ = 1/z ∗ .
Da nun z ∗ die Kreisgleichung Azz + Bz + Bz + D = 0 erfüllt, gilt dies auch für 1/w∗ .
Wir erhalten also:
0=A
1
w∗ w∗
+B
1
1
1
+ B ∗ + D = ∗ 2 (Dw∗ w∗ + Bw∗ + Bw∗ + A).
∗
w
|w |
w
Alle w ∈ H0 C\{0, ∞} lösen also die Kreisgleichung K : Dww + Bw + Bw + A = 0.
Für w∗ = 0 ist ∞ ∈ C. Damit ist C eine Gerade und A = 0. Dann erfüllt w∗ auch die
Kreisgleichung K. Gilt nun w∗ = ∞, so ist 0 ∈ C und damit D = 0. Damit beschreibt
K eine Gerade, und folglich muss ∞ als Element in diesem allgemeinen Kreis enthalten
sein. Daraus ergibt sich die Inklusion H0 C ⊆ C ∗ . Die andere Inklusion ergibt sich, wenn
man fast die gleiche Argumentation auf ein w∗ ∈ C ∗ anwendet. Damit gilt also:
D B
B A
H0 C =
!
Betrachtet man nun mit α ∈ C einen Hurwitz-Kettenbruch-Operator der Form Hα :
C ∪ {∞} → C ∪ {∞},
Hα z =


1

− α, für z ∈ C\{0}


z
∞ , für z = 0





,
−α, für z = ∞
welcher H0 um eine Translation der komplexen Ebene z → z − α erweitert, ergibt sich
nach demselben Schema, dass auch Hα C := {Hα z | z ∈ C} wieder ein allgemeiner Kreis
9
1
z
ist. Man verwendet wieder w =
− α um z in der Gleichung Azz + Bz + Bz + D = 0
zu substituieren, erweitert dann mit |w + α|2 und erhält
Dww + (B + αD)w + (B + αD)w + (A + αB + αB + ααD) = 0.
Somit gilt dann, dass
D
B + αD
B + αD A + αB + αB + ααD
Hα C =
!
wieder ein allgemeiner Kreis in Matrixdarstellung ist. Man kann die Wirkung des HurwitzKettenbruch-Operators auf den allgemeinen Kreis auch als Matrizenmultiplikation auffassen. Dazu betrachtet man die Matrizendarstellung der Kreisgleichung, und substituiert z mit
1
w+α :
0= z 1
A B
B D
!
z
1
!
=
1
w+α
1
A B
B D
!
1
w+α
!
1
Da der Vorfaktor die Lösungen von Hα C = 0 nicht einschränkt, wird die Gleichung noch
mit |w + α|2 multipliziert. Nun suchen wir zwei Matrizen A1 , A2 , sodass
!
w
A B
A2
B D
1
w 1 A1
!
= 1 w+α
A B
B D
!
1
w+α
!
gilt. Dazu müssen die Matrizen A1 und A2 auf die Vektoren ( 1 w+α ) und
1
w+α
ange-
wandt, dabei die Einträge vertauscht, und eine Konstante additiv hinzugefügt werden.
Dies liefert die Matrizen
A1 =
0 1
1 α
!
!
und A2 =
0 1
.
1 α
In Matrizendarstellung sieht die Anwendung von Hα auf C also folgendermaßen aus:
Hα C =
0 1
1 α
!
A B
B D
!
0 1
1 α
!
=
D
B + αD
B + αD A + αB + αB + ααD
!
(11)
Dabei gilt aufgrund der Multiplikativität der Determinanten, dass die Determinante
AD − BB von C gleich der Determinanten von Hα C ist.
2.3 Kreisfolge der Kettenbruchentwicklung
Jetzt betrachten wir ein konkretes z ∈ C, welches nicht in Q[i] liegt, um Notationsschwierigkeiten durch eine abbrechende Kettenbruchentwicklung zu umgehen. Sei dazu
10
α0 = bze. Wir beginnen jetzt über die Kettenbruchentwicklung von z allgemeine Kreise
zu erstellen, auf denen die Folgenglieder zk , der über den Hurwitz-Operator definierten
Folge aus (3), liegen. Dazu sei z0 = z − α0 . Der erste Kreis habe den Mittelpunkt −α0
und Radius |z|. Damit erhält man folgende Kreisgleichung:
(w + α0 )(w + α0 ) = |z|2 .
(12)
Über die daraus folgende Darstellung ww + α0 w + α0 w + |α0 |2 − |z|2 = 0 definieren wir
nun einen allgemeinen Kreis C0 , vergleiche dazu die Abbildung 3:
Abbildung 3: Der erste Kreis C0 der Kreisfolge (Ck )k∈N0
!
C0 =
1
α0
.
2
α0 |α0 | − |z|2
(13)
Der Rest z0 löst also die Kreisgleichung aus (12), und liegt somit auf dem Kreis und
gleichzeitig im Einheitsquadrat Q. Darauf aufbauend definieren wir weitere allgemei1
ne Kreise Ck , auf denen jeweils die Reste zk liegen. Seien dazu αk = b zk−1
e und
zk =
1
zk−1
− αk für k ≥ 1 gegeben. Daraus resultiert die durch [α0 , α1 , . . . ] gegebene
Kettenbruchentwicklung nach Hurwitz von z. Um jetzt einen allgemeinen Kreis C1 zu
erhalten, auf dem z1 liegt, wenden wir den Hurwitz-Kettenbruchoperator wie in (11)
nicht nur auf z0 , sondern auf ganz C0 an. Wir ergänzen dabei zum Operator H den
Index α1 zu Hα1 , damit klar wird, dass α1 konstant bleibt, und nicht für jedes z ∈ C0
11
ein spezielles α1 erstellt wird. Damit ist also
C 1 = H α1 C 0
!
1
α0
2
α0 |α0 | − |z|2
!
!
=
0 1
1 α1
=
|α0 |2 − |z|2
α0 + α1 (|α0 |2 − |z|2 )
2
2
α0 + α1 (|α0 | − |z| ) 1 + α1 α0 + α1 α0 + |α1 |2 (|α0 |2 − |z|2 )
=:
A1 B 1
.
B1 D1
0 1
1 α1
!
!
Dies gilt nach der Matrizengleichung für ein Hα C nach (11). Der nächste Kreis ergibt sich
durch C2 = Hα2 C1 . Führt man dies fort, erhält man induktiv eine Kreisfolge (Ck )k∈N0 ,
welche die Reste zk enthält.
Definition 2.5:
Sei z aus C\Q[i]. Die Kreisfolge, die wir mithilfe des obigen Verfahrens erhalten, nennen
wir ab sofort die Kreisfolge (Ck )k∈N0 der (Hurwitz-)Kettenbruchentwicklung von z, oder
kurz: die Kreisfolge (Ck )k∈N0 um z.
Diese Kreisfolge hat aufgrund der Konstruktion die Eigenschaft, dass jedes zk auf
Ck ∩ Q liegt. Nach einem kurzen Beispiel werden einige Eigenschaften der Ck , und deren
Wohldefiniertheit als allgemeine Kreise in einem Lemma nachgewiesen.
Beispiel 2.6:
Betrachten wir nun einmal ein konkretes z ∈ C\Q[i] mit z = [1 + i, −(1 + i), . . . ] und
|z|2 = 3. Damit gilt für den ersten Kreis der Kreisfolge (Ck )k∈N0 um z:
C0 =
1
α0
2
α0 |α0 | − |z|2
!
!
=
1
1+i
.
1 − i −1
Sein Nachfolger C1 lässt sich also nach (11) folgendermaßen berechnen:
C1 =
0
1
1 −1 + i
!
!
1
1+i
1 − i −1
12
0
1
1 −1 − i
!
!
=
1 −2i
.
2i −1
Abbildung 4: C0 und C1 der Kreisfolge um z, dabei sind beide Radien gleich
√
3
3 Eigenschaften der Kreisfolge der Kettenbruchentwicklung
Für die nächsten
Kapitel sei stets z ∈ C\Q[i] mit |z|2 = n, n ∈ N, und seien Ck =
!
Ak B k
, H0 , Hαk , zk und αk für k ∈ N0 definiert wie im letzten Kapitel.
Bk Dk
Lemma 3.1 (Eigenschaften der Kreisfolge Ck der Kettenbruchentwicklung):
Es gilt für alle k ∈ N0 :
!
(i) Ck ist ein wohldefinierter allgemeiner Kreis mit Ck =
Ak B k
.
Bk Dk
(ii) Es sind Ak , Dk ∈ Z und Bk ∈ Z[i].
(iii) Ak Dk − Bk B k = −n.
Beweis:
Die Aussagen (i)-(iii) werden zusammen per Induktion bewiesen. Induktionsanfang ist
j = 0. Der Kreis C0 ist per Definition ein allgemeiner Kreis.
Aus α0 ∈ Z[i] folgt B0 ∈ Z[i]. Als Gaußsche Zahl gilt für α0 , dass |α0 |2 = (Im α0 )2 +
(Re α0 )2 eine ganze Zahl ist, somit gilt dies auch für D0 = |α0 |2 − |z|2 . Der Koeffizient
A0 , welcher gleich eins ist, liegt offensichtlicherweise auch in Z.
Für die Berechnung der Determinanten setzten wir die Definition von C0 ein:
A0 D0 − B0 B 0 = 1 · (|α0 |2 − |z|2 ) − α0 · α0 = −|z|2 = −n
Als Induktionsvoraussetzung nehmen wir an, dass es ein j > 0 gibt, sodass die obigen
drei Eigenschaften für den allgemeinen Kreis Cj−1 der Kreisfolge (Ck )k∈N0 um z gelten.
13
Im Induktionsschritt wird die Formel aus (11) verwendet, und es gilt daher für die
neuen Kreiskoeffizienten von Cj :
Aj = Dj−1
Bj = B j−1 + αj Dj−1
B j = Bj−1 + αj Dj−1
Dj = Aj−1 + αj B j−1 + αj Bj−1 + αj αj Dj−1
Weil Dj−1 nach Induktionsvorraussetzung
ganzzahlig ist, gilt Dj−1 = Dj−1 . Damit ist
nun Cj =
Aj B j
Bj Dj
wieder ein allgemeiner Kreis. Benutzen wir jetzt die Induktionsvor-
aussetzung bezüglich der zweiten Eigenschaft folgt direkt Aj ∈ Z. Um diese Eigenschaft
für Dj einzusehen, betrachtet man eine andere Darstellung:
Dj = Aj−1 + αj B j−1 + αj Bj−1 + |αj |2 Dj−1
= Aj−1 + |αj + Bj−1 |2 − |αj |2 − |Bj−1 |2 + |αj |2 Dj−1
Da nun der quadrierte Betrag einer Gaußschen Zahl, wie es schon am Anfang des Beweises veranschaulicht wurde, eine ganze Zahl ist, folgt somit, dass Dj ganzzahlig ist.
Da ganze Zahlen auch Gaußsche Zahlen sind, ist Bj als multiplikative und additive
Zusammensetzung von Elementen aus Z(i) wieder eine Gaußsche Zahl. Damit sind die
Eigenschaften (i) und (ii) gezeigt. Für die letzte Eigenschaft nutzen wir noch einmal die
Matrizenmultiplikation aus (11); es folgt also für die Determinante von Cj :
0 1
det Cj = det
1 αj
!
!
Aj−1 B j−1
0 1
· det
· det
Bj−1 Dj−1
1 αj
!
Aj−1 B j−1
= det
Bj−1 Dj−1
!
= −n
Dies gilt nach Induktionsvoraussetzung und wegen der Multiplikativität der Determinanten.
Als Nächstes wollen wir einmal betrachten, was passiert, wenn wir H0 anstelle des
Hurwitz-Kettenbruch-Operators auf einen Kreis in der Kreisfolge um z anwenden. Im
nachfolgenden Lemma wollen wir zeigen, dass nur der Kreis, welcher unter den beiden
Operatoren abgebildet wird, die Form seines Bildes bestimmt.
14
Lemma 3.2 (Bilder von Kreisen unter H und H0 ):
Sei Cj ein Kreis der Kreisfolge (Ck )k∈N0 . Dann gilt:
(i) Ist Dj 6= 0, so handelt es sich bei Cj+1 = Hαj+1 Cj und bei H0 Cj jeweils um einen
√
echten Kreis, und dieser hat in beiden Fällen den Radius R =
n
|Dj | .
(ii) Ist Dj = 0, so handelt es sich bei Cj+1 = Hαj+1 Cj und bei H0 Cj jeweils um eine
Gerade.
Beweis:
Nach der Formel aus (11) gilt:
Cj+1 =
Dj
B j + αj+1 Dj
Bj + αj+1 Dj
Aj + αj+1 B j + αj+1 Bj + |αj+1 |2 Dj
und
H0 Cj =
Dj
Bj
!
!
Bj
,
Aj
wobei sich die letzte Gleichheit dadurch ergibt, dass wir bei der Matrizenmultiplikation,
wie sie in (11) dargestellt wird, α gleich null setzen. Nun bestimmt Dj als Vorfaktor
von |z|2 in der dazugehörigen Kreisgleichung beider Kreise gleichermaßen die Form des
Kreises. Ist Dj = 0, so handelt es sich bei beiden um eine Gerade, andernfalls um echte
Kreise. Im letzten Fall betrachten wir den Radius. Die Determinante von H0 Cj und Cj
sind offensichtlich gleich, da nur Einträge, welche diagonal benachbart sind, vertauscht
werden. Nach Lemma 3.1 (iii) sind die Determinante von Cj und Cj+1 gleich −n. Damit
ist nach (9)
q
R=
|Bj+1 |2 − Aj+1 Dj+1
|Aj+1 |
=
√
n
|Dj |
der Radius der beiden Kreise.
Satz 3.3 (Position des Ursprungs):
Sei Ck ein echter Kreis mit Ak 6= 0. Dann gilt für den Ursprung 0:
(i) Der Ursprung liegt genau dann innerhalb von Ck , wenn Ak und Dk 6= 0 verschiedene
Vorzeichen haben.
(ii) Der Ursprung liegt genau dann außerhalb von Ck , wenn Ak und Dk 6= 0 gleiche
Vorzeichen haben.
(iii) Liegt der Ursprung innerhalb (außerhalb) von Ck so liegt er auch innerhalb (außerhalb) von H0 Ck .
15
Beweis:
Wir beginnen mit dem Beweis der dritten Eigenschaft, denn mithilfe der Matrizenmultiplikation aus (11) gilt:
Dk Bk
B k Ak
H0 Ck =
!
Es werden also Ak und Dk vertauscht. Dies ändert aber nichts an den Vorzeichen der
beiden, lässt also die Eigenschaft, ob der Ursprung außerhalb oder innerhalb liegt, gleich.
Um (i) und (ii) zu beweisen, betrachten wir einen neuen Kreis Cc , welcher den Ursprung enthält und den gleichen Mittelpunkt wie Ck besitzt. Für den Radius von Cc gilt
damit also nach (8):
Rc 2 =
|Bk |2
A2
Ist nun Rk 2 größer (kleiner) als Rc 2 , so gilt dies auch für deren Wurzel, und dies würde
bedeuten, dass der Ursprung innerhalb (außerhalb) von Ck liegt. Betrachten wir dazu
die Differenz der beiden quadrierten Radien:
Rk 2 − Rc 2 =
|Bk |2
Ak D k
|Bk |2 − Ak Dk
−
2
2 =−
Ak
Ak
Ak 2
Somit ist der Ursprung genau dann innerhalb von Ck , wenn Rk 2 − Rc 2 > 0 gilt, also
wenn Ak und Dk verschiedene Vorzeichen besitzen. Der Ursprung liegt damit genau dann
außerhalb von Ck , wenn Ak und Dk gleiche Vorzeichen besitzen.
Lemma 3.4 (Bild einer Ursprungsgerade unter H0 ):
Sei Cg eine Ursprungsgerade. Dann ist deren Bild unter H0 wieder eine Ursprungsgerade.
Beweis:
Eine Ursprungsgerade Cg ist dadurch gekennzeichnet, dass Ag = 0 und Dg = 0. Diese
werden nach (11) unter H0 vertauscht. Dadurch ist auch H0 Cg wieder eine Ursprungsgerade. Vergleiche dazu Abbildung 5, bei welcher die Gerade Im z =
Im z =
− 12
Re z unter H0 abgebildet wird.
16
1
2
Re z auf die Gerade
Abbildung 5: Abbildung einer Ursprungsgeraden unter H0
4 Sätze über die allgemeinen Kreise einer
Kettenbruchentwicklung
In diesem Abschnitt wollen wir zeigen, dass es zu jeder Kettenbruchentwicklung einer
komplexen Zahl z nur endlich viele verschiedene allgemeine Kreise gibt, aus denen die
Kreisfolge Ck der Kettenbruchentwicklung besteht. Wir beginnen mit den Geraden:
Satz 4.1:
Sei z ∈ C\Q[i] mit |z|2 = n und n ∈ N. Dann enthält die Kreisfolge (Ck )k∈N0 der
Kettenbruchentwicklung von z nur endlich viele Geraden Cj , für die also gilt, dass Aj = 0
ist.
Beweis:
Sei nun Cj also eine Gerade. Dann lautet die Geradengleichung von Cj folgendermaßen:
Re Bj · x − Im Bj · y = −Dj /2
Da nun Aj = 0 ist, gilt nach Lemma 3.1(iii), dass |Bj |2 = n ist. Es ist also (Im Bj )2 +
(Re Bj )2 = n. Da nun Real- und Imaginärteil von Bj nach Lemma 3.1(ii) ganzzahlig
sind, lässt dies nur endlich viele Möglichkeiten für Bj zu. Man überlege sich dazu, dass
√
es für den Real- und Imaginärteil jeweils maximal nur 2 · b nc + 1 Möglichkeiten gibt.
√
Damit kann es nicht mehr als 4n + 4 · b nc + 1 Möglichkeiten für Bj geben. Diese haben
√
die Eigenschaft, dass für ihren Real- und Imaginärteil gilt: Im Bj , Re Bj ≤ b nc.
17
Aufgrund der Definition der Kreisfolge Ck gibt es ein zj , welches die Geradengleichung
von Cj erfüllt, und welches gleichzeitig im Einheitsquadrat Q liegt. Damit lässt sich Dj
folgendermaßen abschätzen:
|Dj | = | − 2 · (Re Bj · Re zj − Im Bj · Im zj )|
≤ 2 · (| Re Bj · Re zj | + | Im Bj · Im zj |)
√
√
1
1
≤ 2 · (b nc · | + |b nc · |)
2
2
√
= 2 · b nc
Da nun Dj nach Lemma 3.1(ii) ganzzahlig ist, lässt dies wiederum nur endlich viele
Möglichkeiten für den Wert von Dj zu. Damit folgt die Behauptung, da es für die Kreiskoeffizienten von Cj jeweils nur endlich viele Möglichkeiten gibt.
Um dieses Resultat auch für die echten Kreise von Ck zu erhalten, müssen wir etwas
weiter ausholen. Wir fangen damit an, eine Untergrenze für die Radien der Kreise zu
bestimmen.
Satz 4.2:
Sei z ∈ C\Q[i] mit |z|2 = n und n ∈ N. Sei nun weiter Cm ein echter Kreis miit Aj 6= 0
in der Kreisfolge (Ck )N0 um z. Dann gilt für dessen Radius Rm , dass
Rm 2 > 1/8
ist. Es sind also die Radien der echten Kreise zur Kettenbruchentwicklung von z stets
nach unten beschränkt.
Beweis:
Dieser Satz wird mittels Induktion über die Rekursion (3) des Hurwitz-KettenburchAlgorithmus bewiesen. Man muss allerdings einige Fälle unterscheiden, da unter den
allgemeinen Kreisen auch Geraden auftreten können. Als Induktionsanfang verifiziert
man die Aussage für den Radius von C0 , welcher mit A0 = 1 6= 0 ein echter Kreis ist.
Für den Radius R0 gilt also nach (9):
R0 2 =
|B0 |2 − A0 D0
1
=n> .
2
|A0 |
8
Dies gilt wegen Lemma 3.1(iii) und n ≥ 1. Als Induktionsvoraussetzung halten wir fest:
18
Sei p ∈ N gegeben. Ist nun Cp ein echter Kreis mit Ap 6= 0, dann ist der allgemeine Kreis
Cp−1 entweder eine Gerade, oder es gilt für dessen Radius Rp−1 , dass Rp−1 2 > 1/8 ist.
Im Induktionsschritt betrachten wir nun verschiedene Fälle für Cp und Cp−1 :
1. Fall: Ap = 0
Da Ap = 0 ist, handelt es sich bei Cp um eine Gerade. Weil in diesem Satz nur eine
Aussage über die Radien echter Kreise getroffen wird, muss dieser Fall nicht weiter betrachtet werden.
2. Fall: Ap 6= 0 und Dp = 0
Diesen Fall teilen wir nocheinmal in drei Teile auf:
(a) Der allgemeine Kreis Cp−1 ist eine Gerade mit Ap−1 = 0.
Diese verläuft nicht durch den Ursprung, da sonst Cp auch eine Gerade wäre (siehe
Lemma 3.4). Es gibt also einen Punkt P mit 0 6= P ∈ Cp−1 ∩ Q, und damit gilt für den
√
Abstand von P zum Ursprung: |P | ≤ 1/ 2. (siehe Abbildung 6) Um nun Rückschlüsse
auf den Radius von Cp ziehen zu können, betrachten wir den allgemeinen Kreis H0 Cp−1 ,
welcher nach Lemma 3.2 ein echter Kreis ist, und den gleichen Radius wie Cp besitzt.
√
Der Punkt P wird also abgebildet auf P 0 = H0 P mit |P 0 | = 1/|P | ≥ 2. Da Dp = 0
gilt, liegt der Ursprung auf der Kreislinie von Cp , und somit ist die Verbindungslinie
des Ursprungs mit P 0 eine Sehne des Kreises H0 Cp−1 . Da der Durchmesser eines Kreises
mindestens so groß wie die Länge einer beliebigen Sehne des Kreises sein muss, gilt also
√
für den Radius R von H0 Cp−1 , dass 2R ≥ 2, sowie R2 ≥ 1/2 gilt. Demnach ist der
quadrierte Radius Rp 2 = R2 von Cp größer als 1/8.
(b)Der allgemeine Kreis Cp−1 ist ein echter Kreis mit Ursprung innerhalb des Kreises.
√
Auch hier existiert wieder ein Punkt P ∈ Cp−1 , der maximal 1/ 2 vom Ursprung entfernt ist, weil der Schnitt Cp−1 ∪ Q nicht leer sein darf, da zumindest der Rest zp−1
in diesem Schnitt liegt. Mit derselben Argumentation wie in Teil (a) erhalten wir nun
√
für P 0 = H0 P , dass |P 0 | ≥ 2 gilt. Nach Satz 3.3(i) wissen wir auch, dass bei H0 Cp−1
der Ursprung innerhalb der Kreislinie liegt. Dadurch muss dessen Durchmesser wieder
größer als der Betrag von P 0 , welcher eine Strecke innerhalb dieses Kreises misst, sein.
Somit gilt mit dem gleichen Argument aus (a), dass Rp 2 > 1/8 ist.
(c)Der allgemeine Kreis Cp−1 ist ein echter Kreis mit Ursprung außerhalb des Kreises.
Sei P der Punkt von Cp−1 , welcher den kleinsten Abstand zum Ursprung besitzt. Dann
liegt P auf einer Ursprungsgeraden U durch den Mittelpunkt mp−1 von Cp−1 . Um dies
19
√
Abbildung 6: Kreis mit Radius r = 1/ 2 um das Einheitsquadrat
einzusehen, überlegt man sich, dass P der Berührpunkt eines Kreises K um den Ursprung mit dem Kreis Cp−1 ist. Somit sind die Tangenten der beiden Kreise im Berührpunkt gleich und eine Senkrechte auf dieser Tangenten T durch den Punkt P enthält die
Mittelpunkte dieser beiden Kreise. Vergleiche dazu Abbildung 7. Sei Q nun der zweite
Schnittpunkt zwischen Cp−1 und U . Dann ist der Abstand d der beiden Punkte P und
Q der Durchmesser von Cp−1 und dieser ist nach Induktionsvoraussetzung größer als
√
1/ 2. Da nun die Menge Cp−1 ∩ Q nicht leer sein kann, weil zumindest der Rest zp−1
√
darin liegt, hat P maximal den Abstand 1/ 2 zum Ursprung. Damit definiere die Kon√
stante c := |P | < 1/ 2. Es folgt also, dass |Q| = c + d gilt. Betrachtet man nun wieder
H0 Cp−1 , so ist die Gerade durch die Bildpunkte Q0 = H0 Q und P 0 = H0 P nach Lemma
3.4 wieder eine Ursprungsgerade. Somit ist der Durchmesser d0 gegeben durch:
1
1
√
√
1
1
d
2
2
d = −
=
>
>
>
1
√
c c+d
c(c + d)
c(c + 2 )
c(c + √12 )
0
√1
2
1
+
√1
2
1
=√
2
Demnach folgt für den Radius Rp von Cp , welcher nach Lemma 3.2 gleich d0 /2 ist, dass
Rp 2 > 1/8 gilt.
20
Abbildung 7: Ursprungsgerade durch mp−1
3. Fall: Ap und Dp sind ungleich null:
Auch hier betrachten wir nochmals drei Fälle:
(a) Es ist Ap−1 = 0. Dann folgt, dass Cp−1 eine Gerade ist. Verwenden wir nun die
Argumentation aus Fall 2(a), erhalten wir den geforderten Nachweis für den Radius.
(b) Ap−1 6= 0 und Dp−1 6= 0 besitzen unterschiedliche Vorzeichen. Dies bedeutet nach
Satz 3.3(i), dass der Ursprung innerhalb von Cp−1 liegt. Analog zu Fall 2(b) erhalten
wir hier wieder Rp 2 > 1/8.
(c) Ap−1 6= 0 und Dp−1 6= 0 besitzen unterschiedliche Vorzeichen. Wegen Satz 3.3(ii)
folgt, dass dann der Ursprung außerhalb von Cp−1 liegt. Mit den Folgerungen von Fall
2(c) folgt auch hier wieder die erwünschte Eigenschaft.
Satz 4.3:
Sei z ∈ C\Q[i] mit |z|2 = n und n ∈ N. Dann gibt es in der Kreisfolge (Ck )k∈N0 der
Kettenbruchentwicklung von z nur endlich viele verschiedene echte Kreise Cp mit Ap 6= 0.
21
Beweis:
Nach Satz 4.2 gilt für den Radius eines echten Kreises Cp , dass Rp2 > 1/8. Damit folgt
Rp 2 =
Bp B p − Ap Dp
n
=
> 1/8
2
Ap
Ap 2
nach der Formel (9) für den Radius und Lemma 3.1(iii). Dies bedeutet aber wiederum,
dass Ap 2 < 8 · n ist. Somit gibt es für Ap , welches nach Lemma 3.1(ii) ganzzahlig ist, nur
endlich viele Möglichkeiten. Genauso gilt für den Mittelpunkt des Kreises, dass dieser
nicht zu weit vom Ursprung entfernt sein kann, da der Kreis teilweise im Einheitsquadrat
Q liegen muss. Damit ergibt sich eine Dreiecksungleichung für den Betrag des Mittelpunktes. Man veranschauliche sich dies durch die Abbildung 8. Daher gilt die folgende
√
Abbildung 8: Dreiecksungleichung für den Mittelpunkt, wobei r = 1/ 2
Abschätzung für den Betrag des Mittelpunkts m nach (8):
√
−B p
1
n
|m| = |
| ≤ r + Rp = √ +
Ap
2 2 |Ap |
Dabei wird verwendet, dass der maximale Abstand eines Punktes aus Q zum Ursprung
kleiner oder gleich
1
√
2 2
ist. Weil nun Ap nach oben beschränkt ist, bleiben für Bp nur
endlich viele Möglichkeiten. Nach Lemma 3.1(iii) kann Dp vollständig mit Bp , Ap und
22
n charakterisiert werden; es bleiben also auch hier nur endlich viele Möglichkeiten für
Dp . Fasst man diese Ergebnisse für die Koeffizienten eines echten Kreises Cp zusammen,
bedeutet dies, dass es nur endlich viele verschiedene Möglichkeiten für den Kreis Cp gibt.
Nachfolgend werden die letzten drei Sätze zum Hauptresultat zusammengefasst:
Hauptsatz 4.4:
Sei z ∈ C\Q[i] mit |z|2 = n und n ∈ N. Dann besitzt die Kreisfolge (Ck )k∈N0 der
Kettenbruchentwicklung von z nur endlich viele Elemente.
Beweis:
Der Beweis wird dadurch erbracht, dass nur echte Kreise und Geraden als allgemeine
Kreise auftreten können, und diese nach den Sätzen 4.1 und 4.3 in ihrer Anzahl beschränkt sind.
23
5 Komplexe Zahlen mit beschränkten Teilnennern
5.1 Theorie
In diesem Kapitel erfahren wir tatsächlich etwas über die Teilnenner der Kettenbruchentwicklung einer komplexen Zahl. Dazu benötigen wir allerdings natürliche Zahlen,
welche sich nicht als die Summe zweier Quadrate von ganzen Zahlen darstellen lassen.
Um solche Zahlen zu erhalten, benötigen wir folgendes Lemma:
Lemma 5.1:
Sei R := {n | n 6= a2 + b2 ; a, b ∈ N0 } die Menge aller natürlichen Zahlen, welche nicht
als Summe zweier ganzzahliger Quadrate dargestellt werden können. Zusätzlich sei noch
V := {n | n ≡ 3 mod 4}. Dann ist V eine Teilmenge von R.
Beweis:
Wir beweisen die Aussage V ∈ R per Widerspruchsbeweis: Sei dazu m ∈ V\R. Dann ist
m die Summe zweier Quadrate: m = a2 +b2 mit a, b ∈ N0 . Das Quadrat einer natürlichen
Zahl n ist aber entweder durch vier teilbar oder es gilt n ≡ 1 mod 4. Vergleiche dazu
„quadratische Reste“ in [4], Seite 103. Damit ist a2 + b2 ≡ 0, 1, oder 2 mod 4. Da nun
m ≡ 3 mod 4 gilt, führt dies zum gewünschten Widerspruch. Demnach gilt V ∈ R
Dieses Lemma charakterisiert nicht alle natürlichen Zahlen, welche nicht Summe zweier
ganzzahliger Quadrate sind. So ist zum Beispiel die Zahl 6 ≡ 2 mod 4, aber es ist 6 ∈ R.
Um allerdings alle Zahlen aus R zu charakterisieren, betrachtet man das Komplement
N\R. Darin sind alle Quadrate und alle Summen von zwei ganzzahligen Quadraten
enthalten. Um diese nun vollständig bestimmen zu können, kann man „Pythagoräische
Zahlentripel“ betrachten, welche in Quelle [4], Seiten 84-85, zu finden sind.
Im nachfolgenden Resultat wird nun bewiesen, dass wenn |z|2 ∈ R für eine komplexe
Zahl z gilt, die Teilnenner ihrer Kettenbruchentwicklung beschränkt sind.
Korollar 5.2 (Komplexe Zahlen mit beschränkten Teilnennern):
Es sei z eine komplexe Zahl mit |z|2 = n, n ∈ N und n ist nicht die Summe zweier
Quadraten aus N0 . Dann sind die Teilnenner der Kettenbruchentwicklung nach Hurwitz
von z beschränkt.
24
Beweis:
Nach Satz 4.4 liegen alle Teilnenner der Hurwitz-Kettenbruchentwicklung von z auf endlich vielen verschiedenen allgemeinen Kreisen. Diese können nicht durch den Ursprung
verlaufen, ansonsten ist Dj = 0, und damit gilt nach Lemma 3.1(iii) für die Gaußsche
Zahl Bj :
(Re Bj )2 + (Im Bj )2 = |Bj |2 = n
Dies widerspricht der Voraussetzung, dass n nicht die Summe von zwei Quadraten ist.
Das bedeutet nun, dass kein allgemeiner Kreis durch den Ursprung verläuft. Damit
existiert eine untere Schranke K > 0, welche näher am Ursprung als ein beliebiger
allgemeiner Kreis aus der Folge Ck zur Kettenbruchentwicklung von z liegt. Dann ist
1
1
|zj | ≥ K, somit ist auch |αj+1 | = |b e| ≤ d e für alle j ∈ N0 .
zk
K
Korollar 5.3:
Für jede natürliche Zahl m existiert eine algebraische Zahl vom Grad 2m über Q mit
der Eigenschaft, dass die Teilnenner ihrer Hurwitz-Kettenbruchentwicklung beschränkt
sind.
Beweis:
Für diesen Beweis verwenden wir einige Sätze und Begriffe aus der Körpertheorie, welche
zum Beispiel in der Quelle [4] auf den Seiten 145-148 und 153 nachgelesen werden können.
Wir benötigen speziell den Satz von Eisenstein über Irreduzibilität von Polynomen, die
Begriffe Körpererweiterung und Minimalpolynom und die Gradformel.
Sei nun n > 4 eine natürliche
Zahl mit n ≡ 3 mod 4. Wir wollen nun zeigen, dass die
q
√
√
m
komplexe Zahl w := 2+i n − m 4 den Grad 2m über Q hat, also dass [Q[w] : Q] = 2m
für die Körpererweiterung Q[w]/Q gilt. Wir verwenden die Gradformel, indem wir zeigen,
√
√
dass [Q[ m 2] : Q] = m und [Q[w] : Q[ m 2]] = 2 gilt. Dann ist [Q[w] : Q] = [Q[w] :
√
√
Q[ m 2]] · [Q[ m 2] : Q] = 2 · m.
√
Beginnen wir mit dem Minimalpolynom von w0 = m 2 über Q. Offensichtlicherweise
wird w0 von dem Polynom p1 = xm − 2 annuliert. Dieses ist nach dem Irreduzibilitätskriterium von Eisenstein mit der Primzahl p = 2 irreduzibel, da p - am , p|a0 und p2 - a0 .
Somit ist der Grad von w0 über Q gleich m. Als Nächstes betrachten wir das Polynom
√
p2 = x2 − 2 m 2x + n. Dieses Polynom hat nach der Lösungsformel für quadratische
25
Polynome, folgende Nullstellen:
x1/2
q √
√
q
√
√
2m2± 4m4−n
m
m
=
= 2±i n− 4
2
Es sind also w und w die Nullstellen von p2 . Da p2 vom Grad 2 ist und keine Nullstelle
√
im Körper Q[ m 2] besitzt, ist p2 irreduzibel und somit das Minimalpolynom von w über
√
√
Q[ m 2]. Somit ist Q[w] : Q[ m 2] = 2 und nach der Gradformel gilt [Q[w] : Q] = 2m.
Es bleibt noch nachzuweisen, dass w die Voraussetzungen für Korollar 5.1 erfüllt. Nach
Lemma 5.1 ist n ≡ 3 mod 4 nicht die Summe zweier ganzzahliger Quadrate. Weiterhin
ist:
2
|w| = ww = (
√
m
q
2+i n−
√
m
4)(
√
m
q
2−i n−
√
m
4) =
√
m
4+n−
√
m
4=n
Damit gilt Korollar 5.2, und der Beweis für die Behauptung ist erbracht.
Nachfolgend wollen wir dazu ein paar Beispiele illustrieren.
5.2 Beispiele
Beispiel 5.4: q
√
√
Sei z = 4 2 + i 11 − 4 4, dann ist |z|2 = 11, und z ist nach Korollar 5.3 vom Grad
8 über Q. Damit erfüllt z die Bedingung von Korollar 5.2, und somit verläuft kein
allgemeiner Kreis aus der Kreisfolge (Ck )k∈N0 durch den Ursprung. Dies veranschaulicht
die Abbildung 9, in welcher der Schnitt der ersten 200 Kreise dieser Folge mit dem
Einheitsquadrat dargestellt wird. Dabei kann man erkennen, dass die untere Grenze für
den Betrag der Reste zk ungefähr bei 0, 15 liegt; dementsprechend gilt für die ersten
200 Teilnenner, dass diese betragsmäßig nicht wesentlich größer als 1/0, 15 ≈ 6, 67 sein
können. Vergleiche dazu die ersten 200 Teilnenner, welche in Abbildung 10 dargestellt
sind.
26
Abbildung 9: Die ersten 200 allgemeinen Kreise zu z =
Abbildung 10: Die ersten 200 Teilnenner zu z =
27
√
4
√
4
q
2 + i 11 −
q
2 + i 11 −
√
4
4
√
4
4
Beispiel 5.5:
Als Nächstes betrachten wir z =
√
14
q
2 + i 111 −
√
14
4. Diese komplexe Zahl hat den Grad
28, wobei der Imaginärteil im Vergleich zum letzten Beispiel wesentlich erhöht wurde.
Damit sind betragsmäßig größere Teilnenner und allgemeine Kreise, welche näher am
Ursprung liegen, möglich. Vergleiche dazu die Abbildungen 11 und 12.
Abbildung 11: Die ersten 200 allgemeinen Kreise zu z =
Abbildung 12: Die ersten 200 Teilnenner zu z =
28
√
14
√
14
q
2 + i 111 −
q
2 + i 111 −
√
4
14
√
14
4
Beispiel 5.6:
Im letztes Beispiel wollen wir betrachten, was passiert, wenn der quadrierte Betrag einer
√
√
komplexen Zahl gleich der Summe zweier Quadrate ist. Sei dazu z = 3 + i 7. Dann ist
z vom Grad 4 über Q und es ist |z|2 = 10 = 12 + 32 . Damit kann es allgemeine Kreise
aus der Kreisfolge (Ck )k∈N0 geben, welche durch den Ursprung verlaufen, und diese gibt
es auch nach Abbildung 13.
Abbildung 13: Die ersten 200 allgemeinen Kreise zu z =
√
√
3+i 7
Vergleicht man dies mit der Abbildung 14, erhält man die Vermutung, dass die Teilnenner unbeschränkt sind. Dies wird anschließend zu diesem Beispiel in einer Vermutung
festgehalten.
Abbildung 14: Die ersten 200 Teilnenner zu z =
29
√
√
3+i 7
Vermutung 5.7:
Sei n ∈ N0 , sodass n die Summe zweier ganzzahliger Quadrate ist. Sei zusätzlich z
eine komplexe Zahl, für die |z|2 = n gilt. Dann sind die Teilnenner der HurwitzKettenbruchentwicklung von z unbeschränkt, außer wenn z aus Q[i] oder quadratisch
über Q[i] ist.
30
6 Schlusswort
Abschließend wollen wir uns noch einmal kritisch mit einer Passage des Artikels von Wieb
Bosma und David Gruenewald, auf dem diese Arbeit aufbaut, befassen. Wir betrachten
dazu folgenden Abschnitt aus dem Beweis des „main theorems“ aus [2], Seite 6, in dem
es heißt:
„[...] Suppose that g-circle Cj happens to pass through the origin, for some
j ≥ 1; that means that Dj = 0. This implies that g-circle Cj−1 is a line not
passing through the origin; ....“
Dies bedeutet, falls ein Kreis Cj der Kreisfolge (Ck )k∈N0 durch den Ursprung verläuft,
also Dj 6= 0 ist, dass sein Vorgänger Cj−1 eine Gerade sein muss mit Aj−1 = 0. Im
Nachfolgenden wird nun aufgezeigt, dass diese Aussage sich nicht mit der am Ende des
Artikels formulierten Vermutung, siehe [2], Seite 13, verträgt.
Sei dazu nun ein z ∈ C mit |z|2 = n ∈ N gegeben, sodass z in seiner Kettenbruchentwicklung unbeschränkte Teilnenner hat. Dann beweisen wir mit der Hilfe des Zitates,
dass D0 = 0 gilt, wobei D0 der konstante Teil des ersten Kreises C0 der Kreisfolge
(Ck )k∈N0 ist:
Da z unbeschränkte Teilnenner besitzt, muss es mindestens einen allgemeinen Kreis
Cj geben mit Dj = 0, ansonsten wäre eine Abschätzung wie im Beweis von Korollar 5.2
möglich, und die Teilnenner wären beschränkt. Dann ist entweder Cj ein echter Kreis
mit Aj 6= 0 oder eine Gerade. Im Falle der Geraden gilt, dass Aj = Dj−1 = 0 nach
der Formel aus (11). Es ist also wieder Cj−1 ein allgemeiner Kreis durch den Ursprung.
Wendet man die Argumentation erneut an, ist entweder Cj−1 ein echter Kreis oder man
geht über zu Cj−2 . Führt man dies induktiv fort, so ergibt sich, dass die Kreisfolge
(Ck )k∈N0 mindestens einen echten Kreis Cj besitzt mit Dj = 0 und Aj 6= 0, denn es gilt
A0 = 1 und dort bricht die Suche nach einem echten Kreis spätestens ab.
Zu z gibt es also ein j ∈ N0 , sodass Cj ein echter Kreis durch den Ursprung ist.
Ist j = 0 so sind wir fertig, ansonsten ist nach dem Zitat Cj−1 eine Gerade. Wegen
der Formel (11) für den Übergang von einem allgemeinen Kreis auf den nächsten, muss
einer Geraden immer ein allgemeiner Kreis durch den Ursprung vorrausgegangen sein.
Denn für eine Gerade Ck gilt: Ak = Dk−1 = 0. Daher ist Cj−2 entweder ein echter Kreis
durch den Ursprung oder eine Gerade durch den Ursprung. Nun verwenden wir obige
Argumentation, bis wir wieder einen echten Kreis Ck mit Dk = 0 erhalten. Für diesen ist
entweder k = 0 oder wir können die Argumentation des Zitates anwenden und erhalten
wieder eine Gerade.
31
Dies führen wir induktiv solange weiter, bis wir bei C0 angekommen sind. Bei C0
muss es sich also entweder um einen allgemeinen Kreis durch den Ursprung, oder um
eine Gerade, welche nicht durch den Ursprung verläuft, handeln. Da nun aber A0 = 1
nach Definition 2.5 gilt, folgt somit, dass C0 ein echter Kreis durch den Ursprung ist.
Wenn das Zitat also korrekt ist, bedeutet dies, dass bei allen z ∈ C mit |z|2 = n ∈ N,
welche unbeschränkte Teilnenner besitzen, gilt: Dj = 0. Damit lässt sich nun ein Beispiel
konstruieren, welches „Conjecture 6.2“(siehe [2], Seite 13) widerlegt. Diese Behauptung
lässt sich auch am Ende von Kapitel fünf finden.
Sei nun z =
√
√
3 + i 7. Dann erfüllt z die Bedingungen in „Conjecture 6.2“ mit |z|2 =
10 = 12 + 32 und z ist nicht in Q(i) und auch nicht quadratisch über Q(i).
Damit ist α0 = bze = 2 + 3i. Weiterhin gilt D0 = |α0 |2 − |z|2 = 13 − 10 6= 0 nach der
Definition für den ersten allgemeinen Kreis der Kreisfolge (Ck )k∈N0 um z. Trifft also die
Vermutung des Artikels zu, würde dies den obigen Ausführungen widersprechen, dass
D0 = 0 gilt.
Beruhend auf dieser Überlegung verläuft der Beweis aus Satz 4.2 etwas anders, als er
in der Quelle [2] angegeben wird. Dabei werden allerdings keine neuen Methoden verwendet, sondern lediglich die vorhande Beweistechnik etwas angepasst.
Da nun trotz dieser kleinen Unstimmigkeit das Ergebnis nicht an Gültigkeit verliert,
ist es überraschend festzustellen, dass durch die Verallgemeinerung des KettenbruchBegriffs komplexe Zahlen konstruiert werden können, welche beliebig hohen Grad besitzen und trotzdem beschränkte Teilnenner aufweisen. Man kann sich natürlich weiterführend überlegen, dass die Schranke für die Teilnenner einer komplexen Zahl z eng mit der
natürlichen Zahl n zusammenhängt, für die gilt |z|2 = n.
32
7 Literatur
Literatur
[1] Adolf Hurwitz, Über die Entwicklung complexer Grössen in Kettenbrüche, Acta Mathematica, 11 (1888), 187-197.
[2] Wieb Bosma & David Gruenewald, Complex Numbers with Bounded Partial Quotients, Journal of the Australian Mathematical Society, 93 (2012), Issue 1-2, 9-20.
[3] Alan F. Beardon, Algebra and Geometry, Cambridge University Press, 2005.
[4] Jürgen Wolfart, Einführung in die Zahlentheorie und Algebra, Vieweg+Teubner Verlag, 2011 (2. Auflage)
[5] Johann Heinrich Lambert, Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, Band 2, Verlag des Buchladens der Realschule, 1770.
[6] C. Ding, T. Helleseth, H. Niederreiter, Sequences and their Applications, Proceedings
of SETA ’98, Springer, 1999.
[7] Helmut Hasse, Vorlesungen über Zahlentheorie, Springer-Verlag, 1964 (2. Auflage)
33
8 Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1
Stereographische Projektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2
Invertierung einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3
Der erste Kreis C0 der Kreisfolge (Ck )k∈N0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
√
C0 und C1 der Kreisfolge um z, dabei sind beide Radien gleich 3 . . . . 13
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Abbildung einer Ursprungsgeraden unter H0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
√
Kreis mit Radius r = 1/ 2 um das Einheitsquadrat . . . . . . . . . . . . 20
Ursprungsgerade durch mp−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
Dreiecksungleichung für den Mittelpunkt, wobei q
r = 1/ 2 . .
√
√
Die ersten 200 allgemeinen Kreise zu z = 4 2 + i 11 − 4 4 . .
q
√
√
Die ersten 200 Teilnenner zu z = 4 2 + i 11 − 4 4 . . . . . .
q
√
√
Die ersten 200 allgemeinen Kreise zu z = 14 2 + i 111 − 14 4
q
√
√
Die ersten 200 Teilnenner zu z = 14 2 + i 111 − 14 4 . . . . .
√
√
Die ersten 200 allgemeinen Kreise zu z = 3 + i 7 . . . . . .
√
√
Die ersten 200 Teilnenner zu z = 3 + i 7 . . . . . . . . . .
. . . . . . . 21
. . . . . . . 22
. . . . . . . 27
. . . . . . . 27
. . . . . . . 28
. . . . . . . 28
. . . . . . . 29
. . . . . . . 29
Die Abbildungen wurden mit Wolfram Mathematica 9 und LaTeXdraw 2.0.8 erstellt.
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9 Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet und die Arbeit keiner anderen
Prüfungsbehörde unter Erlangung eines akademischen Grades vorgelegt habe.
Würzburg, 5. September 2013
Tobias Kirchner
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