Stochastik Laplace-Würfel - Leuphana Universität Lüneburg

08.11.2015
Stochastik
Vorlesung in vier Teilen im Rahmen von Mathematik für alle, Leuphanasemester
Folie 1
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Laplacian dices?
Laplace‐Würfel ?
Bei welchen Zufallsgeräten sind alle
Elementar‐Ereignisse gleichwahrscheinlich? In what cases are elementary results equiprobable?
Folie 2
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1
08.11.2015
Laplacian dices
Laplace‐Würfel
Die Elementar‐Ereignisse sind
gleichwahrscheinlich. For Laplacian dices elementary
resuts are equiprobable.
Ereignis = eine Menge von Elementar-Ereignissen
Elementar Ereignissen
An event is a set of elementary results.
A={5,6}
B=„ich würfele ein Primzahl“
I roll a prime number
Folie 3
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Laplcian law
Laplace‐Gesetz
Sind alle Elementar‐Ereignisse gleich‐wahrscheinlich,
dann ist die Wahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses E :
P( E ) 
Zahl der für E günstigen Fälle for E good cases

possible cases
Zahl der möglichen Fälle
P=Wahrscheinlichkeit, probabitity
beim Kubus-Würfel:P ( A)
with a cube dice
 P({1,2}) 
2 1
  0.33...  33%
6 3
Folie 4
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2
08.11.2015
Geometric probability as affiliation of the Laplacian law
Geometrische Wahrscheinlichkeit als Zurückführung auf das Laplace‐Gesetz
Wenn jjede Zeigerstellung
g
g die g
gleiche
Wahrscheinlichkeit hat, dann gilt:
90 1
  0.25...  25%
360

4
each needle position
has the same
120 1
P ( ggrün ) 
  0.33...  33%
probability
p
y
360 3
P ( rot ) 
P(blau ) 
360  90  120 150 5


 0.4166...  42%
360
360 12
Folie 5
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Und hier ??????
Suhle,Seite, Haxe,Schnauze
What can we do here?
Astragali, römische Würfel
dices of the romans
What shall be
the concept
p of p
probability?
y
Wahrscheinlichkeitsbegriff ???
Die relative Häufigkeit bei einer langen Wurfserie
ist wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit!?!?!?!?!?!?
Folie 7
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3
08.11.2015
Und hier ??????
What can we do here?
Zirkuläre
Begriffsbildung
Wahrscheinlichkeitsbegriff ???
Circular concepts does‘nt work!
Die relative Häufigkeit bei einer langen Wurfserie
ist wahrscheinlich die Wahrscheinlichkeit!?!?!?!?!?!?
The relative frequency probably goes to the probability?
Folie 8
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Wir sehen uns an, wie sich die relative
Häufigkeit bei langen Wurfserien verhält.
h(n ) 

Zahl der Einsen
unter n Würfen
number of case 1
among n rolls
Zufallswege, random walks
1
6
theoretischer Wert
 16,6...%
n
grün=+/- 0.5%-Streifen
rot=1-sigma-Streifen
stripes
Folie 9
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4
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Zufallswege, random walks
Empirisches Gesetz der großen Zahl:
Die relative Häufigkeit stabilisiert sich.
relative frequency become stable
Empirisches Gesetz der großen Zahl
law of large numbers
Weitere Fälle interaktiv oder auf
dieser pdf-Seite
Abb. 10.6
Abb. 20(-)
Es wird für immer größere n immer unwahrscheinlicher,
das ein vorgegebener Streifen wieder verlassen wird.
For growing up n it become less probable that the observed
Folie
relative frequency leave a given stripe.
10
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Plan Stochastik Kapitel 10
Stochastik 1
• Zufallswege,
• Fundierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes,
• Zufallsgröße,
Zufallsgröße deren
• Verteilung und Erwartungswert,
• Binomialverteilung und ihre Kenngrößen.
Stochastik 2
• Hypothesentest bei Bernoulliversuchen auf
der Grundlage der Binomialverteilung,
• Signifikanz,
• n-sigma-Grenzen und ihre Bedeutung
• Schätzen,, Konfidenzintervalle.
Stochastik 3
• Normalverteilung,
• Standardabweichung, Messwerte,
• Wurzel(n)-Gesetz
• Hypothesentest bei Messwerten,
• Irrtumswahrscheinlichkeit, P-Wert.
Stochastik 4
• Überblick über Vorgehensweisen der Stochastik:
• Elemente der beschreibenden Statistik,
• Regression, Korrelation
• Weitere Verteilungen,
• Empirisches Forschen
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Axiome
zur Grundlegung einer Theorie foundation
Forderungen an ein Axiomensystem:
Forderungen
an ein Axiomensystem:
so wenige Axiome wie möglich
1. effizient
2. widerspruchsfrei consistant
passend zu dem Gebiet, 3. valide
für das es entworfen wird
für das es entworfen wird
Euklid: Axiome der Geometrie vor 2300 Jahren
Newtonsche Axiome der Mechanik, um 1680 Axiome der Algebra, 19. Jh.
Folie 12
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Wahrscheinlichkeitstheorie
Axiome von Kolmogorow 1933
1 P( A)  0
1.
22.
P ()  1
theory of probability
33. A  B   
P( A  B )  P ( A)  P ( B )
Ereignisraum
sample space
Elementarereignisse
elementary events
Folie 13
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Mehrstufige Zufallsversuche
multi-level random experiments
3 rote und 2 grüne Socken in der Schublade
zweimal hineingreifen ohne zurückzulegen
urn model, pulling
without putting back
Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbige
Socken an? P(different colors)?
Folie 14
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Mehrstufige Zufallsversuche
multi-level random experiments
3 rote und 5 grüne Socken in der Schublade
zweimal hineingreifen ohne zurückzulegen
Baumdiagramm
als Sparbaum
als Sparbaum
eco-tree
kurze Strecken=Äste branches
vom Start bis unten=Pfade
pathes
Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe ich verschiedenfarbige
Socken an? P(different colors)?
Folie 15
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Mehrstufige Zufallsversuche
multi-level random experiments
Die Äste werden mit Wahrscheinlichkeiten beschriftet.
Von einen Knoten abgehende Äste haben
immer zusammen Wahrscheinlichkeit 1.
1
Oft braucht man nur Teile des Baumes,
man nimmt einen Sparbaum (eco-tree)
Pfadregeln:
path-laws
Die W. eines Pfades ist das Produkt der Ast‐Wahrscheinlichkeiten.
Tragen mehrere Pfade zu einem Ereignis bei, sind die Pfad‐Wahrscheinlichkeiten zu addieren.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit habe Folie 16
ich verschiedenfarbige Socken an?
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Wahrscheinlichkeits‐
Verteilung probabitity distribution
Abb.10.9
Es wird angegeben,
wie die Gesamtwahrscheinlichkeit 1
bei dem Zufallsexperiment
bei dem Zufallsexperiment auf die Ausgänge outcomes
verteilt ist.
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8
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Gleichverteilung rectangular (equal) distribution
n  150
1
p
6
Erwartungswert n p  150 
expectation value
1
 25
6
Folie 18
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Baumdiagramm und Verteilung
tree diagramm
and distibution
Folie 19
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Baumdiagramm und Verteilung
Folie 20
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Zufallsgröße, Erwartungswert und Verteilung
random variable, expectation value and distibution
Eine Zufallsgröße ist eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängt.
„Größe“ im Sinne der Physik: reelle Zahl, ggf. mit einer „Einheit“
like „dimension“ in physics: real number, if need so with an unit
Jedem Ereignis wird
ein Wert der Zufalls‐
größe zugeordnet.
Die für das Ereignis Die
für das Ereignis
gültige Wahrscheinlichkeit
wird als W. für diesen Wert
genommen.
The event E is a set of elementary outcomes. k is the value which is related to E.
The the probability of k ist defined as the probability of the event E.
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Krüge für den Handwerkermarkt
crocks for the craftsmen market
Verteilung | X mal P
Entstehung von Formfehlern und Glasurfehlern failours in form and glaze
as a 2-level random
als zweistufiger Zufallsversuch.
experiment
1. and 2. selection
Merkmale: 1. und 2.Wahl, Ausschuss
and waste
Zufallsgröße: X= Einnahme in €
g
Liste P ( X  X i )
Erwartungswert E(X)=
i 1 X i  P( X  X i )
n
Multipliziere die Liste der Werte von X mit der Liste der Wahrscheinlichkeiten
und bilde die Summe der neuen Spalte.
Multiply the X-values with the probabilities in a new column and add all.
Folie 22
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Jakob I. Bernoulli, etwa 1700
Folie 23
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Bernoulli‐Versuch, Bernoulli‐Kette
process
trial, experiment
Jakob I. Bernoulli, 1655-1705 Basel
Bernoulliversuch: 1. klare Ja/Nein Entscheidung yes/no
2. Wahrscheinlichkeit für Ja ist p
2. Wahrscheinlichkeit für Ja ist p
Bernoulli‐Kette: n Bernoulliversuche mit konstantem p
Zufallsgröße : X = Zahl der „ja“ in der Kette random variable
counts the number of
successes under n
Folie 24
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Bernoulli‐Kette führt zur Binomialverteilung
Galton Brett
britischer Naturforscher
Sir Francis Galton (1822-1911)
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Binomial‐Verteilung, Binomial distibution
Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist binomialverteilt, binomially distributed
n
P( X  k )     p k (1  p )n  k
k 
Taschenrechner Binom Pdf (n , p),k) Pdf(binomial distribution (10,0.3),2)
Folie 26
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Binomial‐Verteilung
Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist binomialverteilt
n
P( X  k )     p k (1  p )n  k
k 
The binomial distribution is used to model the number of
successes in a sample of size n drawn with replacement
from a population of size N. It must be n<<N
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Binomial‐Koeffizienten
binomial coefficient
( a  b)2  a 2  2ab  b2
( a  b)3  a 3  3a 2b  3ab2  b3
( a  b)4  a 4  4a 3b  6a 2b2  4ab3  b4

Höh
Höhere Binomische Formeln
Bi
i h F
l
 n  n( n  1)...( n  k  1)
 k   1  2  3  ( k  1)  k
 
Schreibe unten das Produkt bis k
und oben genauso viele Faktoren
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Binomial‐Koeffizienten
binomial coefficient
Taschenrechner nCr(n,k) www.wolframalpha.com
binomial coefficient
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Binomial‐Koeffizienten
binomial coefficient
Taschenrechner nCr(n,k) www.wolframalpha.com
binomial coefficient
Folie 32
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Binomial‐Verteilung
n
P( X  k )     p k (1  p )n  k
k 
Taschenrechner Binom Pdf (n , p),k) Pdf(binomial distribution (10,0.3),2)
Folie 33
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Binomial‐Verteilung
Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist binomialverteilt
n
P( X  k )     p k (1  p )n  k
k 
Taschenrechner Binom Pdf (n , p),k) Pdf(binomial distribution (10,0.3),2)
Folie 34
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Parameter der Binomial‐Verteilung
Die Zufallsgröße X einer Bernoullikette der Länge n ist n
P( X  k )     p k (1  p )n  k
binomialverteilt
k 
The random variable X is binomial distibuted.
Parameter n und p
The binomial distribution is used to model the number X of successes in a
sample of size n drawn with replacement from a population of size N.
The probabiltiy of one single success is p. The parameters are n and p.
Folie 35
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Kenngrößen measures der Binomial‐Verteilung
Fläche für den Balken k.
n
P( X  k )     p k (1  p )n  k Area of the bar with number k.
k 
Erwartungswert
expectation
t ti value
l
  n p
dort steht der höchste Balken
it is the position of the highest bar

sigma
2  n pq
Varianz
  n pq
Standardabweichung
variance
standard
deviation
Folie 36
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Binomial‐ und Normalverteilung
W.-Rechner
1-sigma-Abstand
liegt bei den Wendepunkten
sehr ungewöhnlich
Ergebnisse
g
außerhalb
dennoch
des 2-sigma-Bereichs
mit 0.3% W
heißen „ungewöhnlich“,
sie treten mit 5% W. auf.
Folie 37
Beim Testen: signifikant auf dem 5% Niveau // hochsignifikant
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Fixe Überlegungen quick thinking
Folie 39
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Fixe Überlegungen quick thinking
Folie 41
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18
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Kenngrößen der Binomialverteilung
Erwartungswert
der Zufallsgröße X = Anz. der „ja“
in der Kette n, p
Oh je!
E( X )  n  p
Klein Fritzchen‐
Wert
Folie 42
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Kenngrößen der Binomialverteilung
Varianz = Erwartungswert die Abweichungsquadrate
 k   2 vom Mittelwert
Var  P( X  k )  ( k   )2

noch schlimmer!
Var ( X )   2  np (1  p )

  n  p  (1  p )
Standard‐
abweichung
Folie 43
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19
08.11.2015
Seminarplan Stochastik 1
W.-Rechner
W.
Rechner
Das war Stochastik 1
• Zufallswege,
• Fundierung des Wahrscheinlichkeitsbegriffes,
• Zufallsgröße, deren
• Verteilung und Erwartungswert,
• Binomialverteilung und ihre Kenngrößen.
ß
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Folie 44
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Statistik
Beurteilende Statistik schließende
inferentielle Statistik
Aufgabe ist:
inferential statistics Die
The issue is:
Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit
statistical
t ti ti l inference
i f
from
f
the
th sample
l to
t the
th population
l ti
zwei Handlungs-Typen there are two types to handle it
Testen:
Schätzen:
Hypothesentest
Konfidenzintervall
hypothesis testing estimation
confidence interval
Wir wollen die Hypothese H1 durch
eine Stichprobe statistisch stützen
Bisher galt (unsere Geger meinen)
Folie 45
H0
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20
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Statistik
Beurteilende Statistik schließende
inferentielle Statistik
Aufgabe ist:
inferential statistics Die
The issue is:
Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit
statistical
t ti ti l inference
i f
from
f
the
th sample
l to
t the
th population
l ti
zwei Handlungs-Typen there are two types to handle it
Testen:
Schätzen:
Hypothesentest
Konfidenzintervall
hypothesis testing estimation
confidence interval
Wir haben noch kein Wissen.
Ziel: Forschungshypothese H1
Die Stichprobe soll Auskunft geben.
durch Stichprobe stützen.
Intention: the sample shall support H1 We are nescient, the sample shall inform usFolie
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Forderungen an die Stichprobe
demands on the sample
Generelle Voraussetzung: General condition
Die Stichprobe muss „repräsentativ“ sein. Am besten man
verwirklicht :
Jedes Element der Grundgesamtheit muss dieselbe Chance
haben, in die Stichprobe zu kommen, wie jedes andere.
The sample has to be representativ. The best way to do this is:
Any element of the population must have the same chance to
come into the sample.
Es gibt verschiedene Wege, zu repräsentativen Stichproben zu kommen und
die werden in speziellen Büchern oder dickem Statistik-Büchern vorgestellt.
Andreas Quatember ISBN 978-3-642-39605-2 ISBN 978-3-642-39606-9 (eBook) (verständlich)
Folie 47
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08.11.2015
Hypothesentest hypothesis testing
The scientists observed that newly hatched chicks soon start picking only round grains rather than angular ones. They assume this behavior is hereditary, research hypothesis H1.
Experiment: Biolix put a lot of cardboard pices on the ground :30% round and 70% triangels
deutsch in meinem Buch 10.7.1
H1 :
p  0.3
03
Man hat eine Vermutung,
die wird zur
„Forschungshypothese“ H1.
H0 :
p  0.3
Das logische
g
Gegenteil
g
wird zur „Nullhypothese“H0.
Die Nullhypothese kann man niemals beweisen oder unterstützen oder (nach
dem Test) für wahr halten. Sie bildet die stets die Rechengrundlage.
The null hypothesis H0 must be the logical contrary of H1. Ist is never possible
to proof or support H0. All computation will based on H0.
Folie 48
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Hypothesentest hypothesis testing
H0 :
p  0.3
Bernoulli trial
rund/ eckig round or triangle
mehr Attrappen als im Bild, more dummies then the picture shows
p  0.3 konstant
Biolix watched one just sliped chick. It picked 5 times, among that 3 round forms.
He prepared the demonstration
for the scientists.
Nein, keine Aussage möglich!!!
No conclusion ist possible!!!
not significant
citical region
Signifikanztest: Das Versuchsergebnis legt das „kritische Gebiet“ fest.
  5% ?
Dieser Versuch zeigt kein signifikantes Egebnis.
Folie 49
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22
08.11.2015
Hypothesentest als Signifikanztest
Biolix zuerst
3
5
k 6 3


n 10 5
significant
k 12 3


n 20 5
W.-Rechner
high significant
Die Aussagekraft steigt –bei gleichen Verhältnissenmit dem Stichprobenumfang n. the same ratio but more power
Hier ist es ein einseitiger Test, weil man vorher wusste, dass eher mehr
runde Körner gepickt werden. The knowlege at the begin give the permission
for the one-sided test.
Folie 50
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Sprechweisen beim Hypothesentest
How to speak in hypothesis testing
W.-Rechner
W.
Rechner
1. Bei n=10 haben die Küken signifikant (   5% ) mehr
runde Körner gepickt als zu erwarten war.
1. By n=10 the chicks picked significantly more round grains than we expected.
2. Bei n=20 haben die Küken hochsignifikant(  1%) mehr
runde Körner gepickt als zu erwarten war
war.
2. By n=20 the chicks picked high significantly (alpha < 1%) more ….
3. Wir nehmen daher unsere Forschungshypothese an: „Küken haben eine
angeborene Vorliebe für runde Körner“ (Signifikanzniveau unter 5%)
3. We accept our research hypothesis: „Chicks have a hereditary preferenz for
Folie 51
round grains.“ (level of significance less than 5%)
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23
08.11.2015
Hypothesentest
W.-Rechner
Weitere Redeweisen:
4. Mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von weniger als   5% behaupten wir,
dass Küken eine genetische Prägung auf runde Körner haben.
5. Wir konnten die Hypothese, Küken lernten erst allmählich, dass nur runde
Körner essbar sind, auf einem Signifikanzniveau von unter 5% ablehnen.
More modes of speaking:
4. With an error probability of less than 5% we suggest that
Chicks have a genetic imprinting for round grains.
grains
5. We could disclaim the hypothesis that chicks are learning day by day that only
round grains are eatable with a 5%-level of significance.
Hypothesen gelten ganz oder gar nicht,
sie haben keinerlei Wahrscheinlichkeit.
english sentence
follows next Folie
52
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Hypothesentest
W.-Rechner
Falsche Redeweisen:
6. Die Hypothese, dass das Picken auf runde Körner angeboren ist, gilt mit 95%
Wahrscheinlichkeit.
7. Nur 5% der Küken müssen das Picken auf runde Körner erst lernen.
8. 95% des Pickverhaltens kann man mit der Genetik erklären.
Wrong modes of speaking:
6. The hypothesis that picking round grains is hereditary is valid with a
probability of 95%.
95%
7. Only 5% of the chicks have to lern to pink better round grains.
8. 95% of the picking-behavior can be explained with genetics.
Correct is: No hypothesis has any probability.
A hypothesis is total correct or total incorrect.
Folie 53
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08.11.2015
Hypothesentest durchführen ‐1‐
• Entscheide, welche Verteilung zu deinem Experiment passt.
• Entscheide, ob es ein einseitiger oder zweiseitiger Test sein soll. Für
„einseitig“ muss man vor der Durchführung Gründe für eine Richtung nennen
• Nimm als Forschungshypothese Hypothese H1 die Behauptung, die
du mit dem Versuch absichern möchtest.
• Die Nullhypothese H0 ist das logische Gegenteil.
• Alle Rechnungen erfolgen mit den Parametern von H0. Diese sind die
Basis für deine potentiellen Gegner.
• Nun gibt es zwei Wege weiterzumachen:
Erstens: Das Signifikanzniveau Zweitens: : Das Signifikanzniveau ergibt sich aus dem Test. wird vorgegeben. Du nimmst den Du kennst das Gesetz alpha<=5%
Du kennst das Gesetz alpha<=5%.
Der erste Weg reagiert darauf,
dass es heute einfach ist, die
Werte von P ( X  k ) zu
berechnen. Z.B. ist beim linkseinseitigen Test:   P ( X  k )
Verlust wichtiger Information in Kauf
Verlust wichtiger Information in Kauf.
Der zweite Weg ist der ältere. Man wählt
das Niveau aus einer Liste aus.
Z.B. gehört zu den 2-sigma-Grenzen
das Niveau   5%
zweiseitig.
Folie 54
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Hypothesentest durchführen ‐2‐
Erstens: „Signifikanztest“:
• Führe die Schritte der vorigen Seite durch..
• Führe den statistischen Versuch durch, das Ergebnis sei k.
• k (inklusive) bildet die Grenze des kritischen Gebietes. Das ist der Teil der
x-Achse mit den Ergebnissen, die für die Hypothese H1
noch besser sind als k.
• Berechne auf der Basis von H0   P ( X  kritischem Gebiet )
• Für   5% ist nichts entschieden. Das Ergebnis k ist verträglich mit H0,
du weißt nicht, ob H0 gilt oder nicht, du weißt nicht, ob H1 gilt oder nicht, .
• Für   5% kannst du H1 annehmen und H0 verwerfen. Das Ergebnis
k ist signifikant auf dem Niveau . Darüberhinaus ist  die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1.
1 Art,
Art also H1 anzunehmen
anzunehmen, obwohl H0 gilt
gilt.
Die Befürworter des zweiten Weges befürchten, man könnte das berechnete 
nehmen, auch wenn es größer als 5% ist. Aber das tut man nicht!!
Zweitens: Das kritische Gebiet folgt bei diesem Weg aus der Vorgabe von
Aber in einem zweiten Schritt wird bei diesem Weg der (genauere) Wert aus dem
ersten Weg berechnet und man nennt ihn den P-Wert oder p-Wert.
(Aus didaktischem Grund ist dieses ungeschickt, da p oft eine ganz andere Bedeutung hat.)
Folie 55
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08.11.2015
How to do Hypothesis testing ‐1‐
• Decide which type of distribution suits your experiment.
• Decide, whether you take a one or a two sided test? For choosing „one
sided“ you would need reasons before you do the test.
• Take as reseach hypothesis H1 the assumption you wish to proove.
• The null hypothesis H0 is the logical contrary.
• Any computation works on the values of H0. That is the basis for your
potential opponents.
• There are two ways to proceed now:
First: level of significance
is result of testing. You accept the law alpha<=5%
alpha< 5%
Second: level of significance
alpha is predefined. You accept
that important information is lost.
lost
The first way is a modern
approach, where the values of
P( X  k ) are easy to compute.
I.e. for a left sided test is   P ( X  k )
The second way is the former type.
You choose the level out of a list.
I.e. with the 2-sigma-bounds you
have level   5% two sided.
Folie 56
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How to do Hypothesis testing ‐2‐
First way: „significance testing“:
• Do the steps on the previous page.
• Do the experiment. The result shall be k.
• k (incusive) is the bound of the critical region. This is the part of the
x-axis, where the results are which are better than k for the
hypothesis H1.
• Compute with the values of H0   P ( X  critical region )
• If   5% nothing is decided. The result k is compatible with H0,
you don‘t know if H0 is valid or not, you don‘t know if H1 is valid ar not.
• If   5% you can accept H1 and reject H0. The result k is
significant on level  . Furthermore is  the probability for the error of
the 1.
1 kind,
kind that is the error to accept H1 while H0 is correct.
correct
The promotors of the second way are afraid, that one could take the computed
without respecting the less 5%-law. But this fear for good scientists is unrealistic.
Second way: The citical region comes here from the chosen  . But in a
second step the value from the first way will be computed und is called P-value
or p-value. (For didactical reasons it is no so good, because has an other meaning).
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08.11.2015
Konfidenzintervalle intervals of confidence
Konfidenz
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Konfidenzintervalle intervals of confidence
n=40 k=12
Die Grenzen des
Konfidenzintervalles sind die
Erwartungswerte
der Verteilungen,
g , mit denen
die Zählung gerade noch
verträglich auf dem
Niveau 1   ist.
english follows
Folie 60
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08.11.2015
Konfidenzintervalle intervals of confidence
The bounds of the confidence interval are the expectation
values of the distibutions which are just compatible with the
data on the level 1   .
approx minimum
exact minium
data
….
  2  1
Wir nehmen
Wi
h
z=2
2 fü
für
Niveau 95%.
Genauer wäre z=1.96.
Der Unterschied ist
unerheblich.
Folie 61
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Fixe Überlegungen quick thinking
Beobachtung:
observation:
k=23 von 184 Feldern mit Kohl haben den Schädling
k=23 of 184 fields with cabbage have the pest
Punktschätzung
point estimation
23
h  184
 81  0.125  12.5%
relative Häufigkeit, relative frequency
Es passt die Binomialverteilung n=184, p=h
The binomial distibution suits. yes/no pest/not pest
Konfindezintervall näherungsweise auf dem 95%-Niveau=
Verträglichkeitsbereich für die Punktschätzung
Wir erwarten zwischen 7,6% und 17,4% Felder
mit Schädlingen.We expect …… fields with pest.
Confidence interaval approximative
at the 95%-level =
compatibility region of the point estimation
Folie 62
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08.11.2015
Fixe Überlegungen quick thinking
Eine Startwochengruppe kann man Zufallsauswahl der Erstis betrachten.
25 von 30 Erstis fahren Weihnachten zu den Eltern.
Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall an, für den Anteil der Erstis insgeamt,
die Weihnachten zu den Eltern fahren.
fahren
One group of the starting week can be considered as random selction.
25 of 30 Erstis travel at christmas to the parents.
Give the 95%-confidence interval an, for the ratio of all Erstis which travel at
christmas to the parents.
Folie
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Fixe Überlegungen quick thinking
Eine Startwochengruppe kann man Zufallsauswahl der Erstis betrachten.
25 von 30 Erstis fahren Weihnachten zu den Eltern.
Geben Sie ein 95%-Konfidenzintervall an, für den Anteil der Erstis insgeamt,
die Weihnachten zu den Eltern fahren.
fahren
Unsere kleine Umfrage hat ergeben,
dass zwischen 73% und 97% unsere
Erstis Weihnachten zu den Eltern fahren.
Die Wahrscheinlich für die Richtigkeit dieser
Aussage ist etwa 95%.
One group of the starting week can be considered as random selction.
25 of 30 Erstis travel at christmas to the parents.
Give the 95%-confidence interval for the ratio of all Erstis which
travel at christmas to the parents.
Our result says: between 73% and 97% travel at christmas to the Parents.
Folie
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08.11.2015
Seminarplan Stochastik 2
Das war Stochastik 2
• n-sigma-Grenzen und ihre Bedeutung
• Hypothesentest
H
th
t t bei
b iB
Bernoulliversuchen
lli
h auff
der Grundlage derBinomialverteilung,
• Signifikanz,
• Schätzen, Konfidenzintervalle.
Folien sind kein Lesebuch!
Sides don‘t be a book for reading it!
Ohne Lesen kein Studium!
No studies without reading!
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