Mathematik für alle - Leuphana Universität Lüneburg

Mathematik für alle
Bernhard Riemann
die acht bedeutendsten Mathematiker,
Abitur 1846 am Johanneum
gemessen an nach ihnen benannten Objekten
Lüneburg
1
Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Mathematik für alle
1 Million Dollar gibt die
Clay-Stiftung
für d
fü
den B
Beweis
i d
der
Riemannschen Vermutung
über die Primzahlverteilung
Dies ist eins von 7 offenen
Problemen des 21
21. Jh
Jh.
Open problem: Riemann‘s hypothesis
http://en wikipedia org/wiki/Riemann hypothesis
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_hypothesis
Bernhard Riemann
2
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Was sind Primzahlen? What are primes?
Sie sind nicht teilbar durch andere Zahlen, außer durch 1.
they are not divisible by other numbers, without by 1.
Primzahlen sind die Zahlen mit genau zwei Teilern.
Prime numbers n are the numbers with exact two
divisors.
3
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Primfaktorzerlegung
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de/02krypto/krypto.htm
Factor[250348]
4
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Primzahlen finden
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de/02krypto/krypto.htm
th
tik h
d
t h d /02k t /k t ht
NextPrime[2014]
5
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Was ist denn mit den Primzahlen?
Sie spielen in der
Kryptografie
yp og a e
!!!!!! die !!!!!!
zentrale Rolle.
Primzahlprüfung ist bei kleinen Zahlen leicht.
Für „kryptografische“ Zahlen hat man Primzahltests (bis ca. 500
Stellen) siehe weiter unten
unten.
Für viel größere Zahlen hat man Chancen für spezielle
Primzahltypen
Primzahltypen.
6
. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2014 http://www.leuphana.de/matheomnibus
Größte 2014 bekannte Primzahl
2
57 885 161
1
eine Zahl mit 17 425 170 (dezimalen) Stellen, die am 2.
Februar 2014 auf einem Computer der mathematischen
Fakultät an der Universität von Minnesota, gefunden wurde.
Curtis Cooper hatte das Programm des GIMPS-Projekts als
Bildschirmschoner seinem Rechner eingerichtet.
eingerichtet Die Für
Seine Entdeckung dieser Primzahl erhielt er 3000 Dollar. Als
man zum ersten Mal mehr als 10 Millionen Dezimalstellen
überschritten hatte, gab es von der Electronic Frontier
Foundation einen Preis von 100.000 US-Dollar.
p
Man sucht unter den
Mersenne-Zahlen
2 1
7
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Diese Größenordnung ist für die Kryptografie
unbrauchbar.
b
hb
Tragende
g
Begriffe
g
der Kryptografie
yp g
Z ( n )   n  {0,1,2,3,..., n  1} Rechnen modulo n.
k
a
1
k minimal
k ist Ordnung
g von a in Z(m):
( )
n
Die Potenzen von 3 modulo 20
3 hat in Z (20) die Ordnung 4,
4
denn
k ist
i t also
l di
die „Länge“
Lä
“ des
d
Polygons, das die 1
enthält.
8
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Hat jedes Element von Z(n)eine Ordnung?
Are there elements in Z(n) without an order?
St t bei
Start
b i1
Rückkehr zur 1?
Back to the 1?
Wissenschaftstheorie:
Wir schließen durch
„Induktion
Induktion“, lassen uns
„hineinführen von der
Sache selbst“:
selbst :
Vermutung
k=1
Ist
a
ungerade,
dann
gibt
es
Potenzen
a
y
Hypothese
k 1
Theorie (i.S.WT) Ist a gerade, dann gibt es keine Potenzen a =1
11
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Gegenbeispiel
5 ist ungerade,
g
,
dennoch erreichen die Potenzen
modulo 10
niemals
i
l wieder
i d di
die 1
Beweis von „niemals“: Multipliziere schriftlich eine
Zahl mit 5 am Ende mit der Zahl 5,, dann entsteht
als letzte Ziffer 5.
Die
Vermutung
Ist a ungerade, dann gibt es Potenzen a^k=1
Hypothese
Theorie (i.S.WT)
(i S WT)
ist falsch, sie ist durch ein
einziges
i i
G
Gegenbeispiel
b i i l „falsifiziert“.
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Suche nach einer neuen
Vermutung
Hypothese
Theorie (i.S.WT)
Ist a teilerfremd zu m
m, dann gibt es Potenzen mit
a^k=1 modulo m
Diese Aussage ist verträglich mit den bisherigen Beobachtungen
Beobachtungen.
Wir beobachten weiter.
Der „Falsifikationismus“ sucht nach neuen
Falsifikationen. (Popper)
Die Mathematiker suchen nach einem
Beweis, der auf schon Bewiesenem aufbaut
aufbaut.
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Beweis
Vermutung
Hypothese
Theorie (i.S.WT)
Ist a teilerfremd zu m
m, dann gibt es Potenzen mit
ak=1 modulo m
Es gibt seit 2300 Jahren den Euklidischen Algorithmus: zur
Erzeugung der größten gemeinsamen Teilers ggT(m,a) und zwei
ganze Zahlen s und t mit gg
g
ggT(m,a)=s
( , ) m + t a. ((VSD))Vielfachsummen
VielfachsummenDarstellung.
a und m sind teilerfremd heißt: ggT(m,a)=1.
weil es in Zm nur endlich viele
Elemente gibt
gibt.
es gibt ein Inverses t zu a
Satz: Ist a teilerfremd zu m, dann gibt es Potenzen mit
ak =1
1 modulo m
Ein bewiesener (mathematischer) Satz, (theorem) ist nie mehr falsch.
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Beweis
Vermutung
Hypothese
Theorie (i.S.WT)
Ist a teilerfremd zu m
m, dann gibt es Potenzen mit
ak=1 modulo m
Es gibt seit 2300 Jahren den Euklidischen Algorithmus: zur
Erzeugung der größten gemeinsamen Teilers ggT(m,a) und zwei
ganze Zahlen s und t mit gg
g
ggT(m,a)=s
( , ) m + t a. ((VSD))Vielfachsummen
VielfachsummenDarstellung.
a und m sind teilerfremd heißt: ggT(m,a)=1.
weil es in Zm nur endlich viele
Elemente gibt
gibt.
es gibt ein Inverses t zu a
Satz: Ist a teilerfremd zu m, dann gibt es Potenzen mit
ak =1
1 modulo m
Ein bewiesener (mathematischer) Satz, (theorem) ist nie mehr falsch.
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Hat jedes Element von Z(n)eine Ordnung?
Are there elements in Z(n) without an order?
St t bei
Start
b i1
Rückkehr zur 1?
Back to the 1?
Nein, Zahlen, die mit n einen
gemeinsamen Teiler haben,
müssen wir weglassen.
Übrig bleibt dann Z*(n)
Z (n)
No, but we leave all numbers with a common divisor with n. 16
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Erweiterter Euklidischer Algorithmus
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de/02krypto/krypto.htm
th
tik h
d
t h d /02k t /k t ht
E t d dG d[7 4 23]
ExtendedGcd[7,4,23]
17
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Modulare Potenzen
4
7  .......
23
www.mathematik-sehen-und-verstehen.de/02krypto/krypto.htm
th
tik h
d
t h d /02k t /k t ht
P
PowerMod[7,4,23]
M d[7 4 23]
18
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Prim und nicht prim
Z*(n)
Z
(n)
enthält nur die zu n
teilerfremden Elemente,
th t are the
that
th to
t n relatively
l ti l prime
i
elements.
l
t
Ist n keine Primzahl, hat Z* weniger
als n-1 Elemente.
li
lies:
Z n stern
t
read:
d Z n star
t
p ist prim  *p  1,2,3,..., p  1
Fachausdruck: prime Restklassengruppe
mathematical word; prime residue group
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Was nützt die 1?
Idee:
Anton weiß also:
denn
Anton rechnet
Anton gibt die Zahl 2401 an Berta
m=5 ist Bertas geheime Nachricht für Anton.
,
Berta rechnet
dies sendet sie Anton.
Anton rechnet:
Wer abhört, kann selbst die
Nachricht ausrechnen
Anton kann jjetzt Bertas Nachricht,, nämlich die 9,, lesen.
Die gute Nachricht: Produkte, die 1 ergeben, helfen beim
Entschlüsseln.
Die schlechte Nachricht: Das obige Verfahren ist total unsicher!
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Was nützt die 1 und modulo?
Idee:
Anton weiß also:
denn
Anton rechnet 9*3=1 modulo 13
Anton gibt die Zahl 9 und die modulo
modulo-Zahl
Zahl 13 an Berta
m=5 ist Bertas geheime Nachricht für Anton.
Berta rechnet
,
dies sendet sie Anton.
Anton rechnet:
Wer alles abhört, kann selbst
die Nachricht ausrechnen
Anton kann jjetzt Bertas Nachricht,, nämlich die 5,, lesen.
Die gute Nachricht: Produkte, die 1 ergeben, helfen beim
Entschlüsseln.
Die schlechte Nachricht: Das obige Verfahren ist total unsicher!
23
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Eulerscher Satz
Satz, Euler‘s
Euler s theorem
• In der letzen Zeile der Potenztafeln stehen immer
• In the last row of the power table there is only Number 1.
nur Einsen.
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Kleiner Satz von Fermat
Fermats little theorem
a ist nicht Vielfaches von p
Bei Primzahlen p kennt man das
1606-1665
Es ist um 1 kleiner als p
Hurra! Das ergibt
g einen Primzahlenprüfer.
p
We have a p
prime
tester . If the result is1, then p is candidat for prime.
PowerMod[1234,5616,5617]
[ 3 ,
,
]
PowerMod[1234,5622,5623]
NextPrime[5600]
5619 ist keine
Primzahl
5623 ist Kanditat
für Primzahl
Mathematica sagt: yes prime
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Kleiner Satz von Fermat ist nicht umkehrbar
not conversable
a ist nicht Vielfaches von p
1601-1667
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Primzahl Tests
Primzahl-Tests
• Es gibt noch etliche pfiffige Primzahltests.
More sophisticated prime tests, i.e. Miller-Rabbin test
• Sie sind auch bei g
großen Zahlen bis 10^300 effektiv.
• Sie beruhen auf mathematischer Theorie.
• Die
Di ttragenden
d Th
Themen// topics
t i heißen
h iß
• Zahlentheorie / number theory
• Algebra / algebra
• Theorie der komplexen Funktionen
Funktionen, complex functions
If „little Fermat“
Fermat gives 1 then you must take another Test.
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Wie lange dauert das Suchen eine Faktors bei
großen Zahlen mit 200 Stellen?
How long will it take to search factors
when the number has 200 digits?
„Einfach Durch-Suchen“ ist nicht effektiv möglich.
Darauf beruht die Sicherheit in der Kryptografie.
Alternative Methoden sind für große Zahlen nicht erfolgreich genug.
Mathematiker und Informatiker haben da z.Z. keine Hoffnung
To search brute force is not effective, there is no fast algorithm
g
in sight.
g
That‘s the security of cryptography.
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Wie kam es zur modernen
Kryptografie?
lesen aus
Simon Singh: Codes
Codes, Wien
Wien, 2001
S. 215 ff (Auch Titel: Geheimschriften)
1974
30
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Diffie Hellmann Verfahren
Diffie-Hellmann
Stanford
1974
University
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Diffie-Hellman Schlüsselvereinbarung,
key exchange
exchange, better: key agreement
Protokoll: Anton und Berta vereinbaren offen eine Primzahl p und ,eine Grundzahl g
Dann wählen sie sich geheim eine Zahl a
a, bzw
bzw. b
b, bilden
g a  :
p
Anton bildet
ka :   a
p
, bzw.
gb  : 
p
B t bildet
Berta
bild t
kb :  
b
p
Diffie und Hellmann nennen ihr Verfahren "Schlüsselvereinbarung" und empfehlen
nun die
di V
Verwendung
d
eines
i
symmetrischen
t i h kkryptografischen
t
fi h V
Verfahrens
f h
.
Now it is possible to take a symmetric algorithm like „one time pad“.
32
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Diffie-Hellman Schlüsselvereinbarung,
key exchange,
exchange better: key agreement
Protokoll: Anton und Berta vereinbaren offen eine Primzahl p und eine Grundzahl
Dann wählen sie sich geheim eine Zahl a
a, bzw
bzw. b
b, bilden
g a  :
p
Anton bildet
ka :  
p
a
, bzw.
gb  : 
p
Berta bildet
kb :  
b
p
Diffie und Hellmann nennen ihr Verfahren "Schlüsselvereinbarung" und empfehlen
nun die Verwendung eines symmetrischen kryptografischen Verfahrens.
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Now it is possible to take a symmetric algorithm like „one time pad“.
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g
Beweis der „Durchführbarkeit“,
proof of viability,
dass also das Verfahren stets klappt
klappt.
ka :  
p
a
 :g
p
b
kb :  
p
b
 : g
a
p
34
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Beweis der „Durchführbarkeit“,
proof of viability,
dass also das Verfahren stets klappt
klappt.
ka :  
p
a
 :g
p
b
kb :  
p
b
 : g
a
p
35
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Vierer-Übung
4 Studis bilden eine Gruppe
Primzahl p=11
p 11, Grundzahl g=4
g 4
Die, die oben sitzen, spielen Anton a=9,
The two upper sitting play Anton
die unten sitzen spielen Berta b=8
the two lower sitting play Berta
Vergleichen Sie k
compare k
Nehmen sie evt.
andere Zahlen
Zahlen.
6 Minuten
36
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Wie sieht das in der Realität aus?
Diffie-Hellmann-Verfahren,, realisiert in MuPAD
oder in Mathematica oder in TI Nspire CAS, usw.
• Das Grund Problem der „alten“ Kryptografie ist
gelöst,
gelöst
• Der Schüssel wird nicht ausgetauscht,
g
,
• sondern kryptografisch sicher vereinbart.
• Nun kann man mit dem One-Time-Pad sicher
kommunizieren.
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Warum hat Mister X keine Chance?
p  10007 g  6784
Mister X fängt ab:
  9088
  7100
Er versucht
zu lösen: 6784a  9088 oder 6784b  7100
10007
10007
Nutzlos!
Nadel im
Heuhaufen!
Bei 105 Punkten leicht.
Bei 10200 Punkten unmöglich.
unmöglich
39
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Das war nur der Anfang
RSA-Verschlüsselung
Public-Key-Kryptografie
asymmetrisches Verfahren
lesen
Singh,
231ff
40
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RSA Public Key Verfahren
RSA-Public-Key-Verfahren
1.) Schlüsselerzeugungsphase
• Anton wählt zwei Primzahlen p und q
• Er rechnet n : p q
 : ( p  1 )( q  1 )
e mit e   und e teilerfremd zu 
• Er berechnet dals Inverses von e im Modul
.
• Wählt beliebig
e  d 1

er hält
d streng geheim.
Mein öffentliches Schlüsselpaar
p
ist:
( e ,n
n)
Das liest
41
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RSA Public Key Verfahren
RSA-Public-Key-Verfahren
2.) Anwendungsungsphase: Verschlüsselung
e d=1
d 1
mod p
11,13
42
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RSA Public Key Verfahren
RSA-Public-Key-Verfahren
2.) Anwendungsungsphase: Verschlüsselung
• Berta will Anton eine Nachricht
Anton lesen kann.
c : m
• Sie rechnet
m senden, die ausschließlich
e
n
•
•und sendet
c an Anton.
11,13
43
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RSA Public Key Verfahren
RSA-Public-Key-Verfahren
2.) Anwendungsungsphase: Verschlüsselung
c : m c
e d=1
d 1
mod
e
n
und sendet
M : c
c an Anton
d
n
11,13
44
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RSA Public Key Verfahren
RSA-Public-Key-Verfahren
2.) Anwendungsungsphase: Verschlüsselung
• Berta will Anton eine Nachricht m senden, die ausschließlich
Anton lesen kann.
c : m
• Sie rechnet
• und sendet
e
n
c an Anton.
3.) Anwendungsungsphase: Entschlüsselung
• Anton erhält
c und rechnet M :  c d
n
Anton liest
M , denn es gilt M  m
Und warum klappt das?
45
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RSA-Public-Key-Verfahren
RSA
Public Key Verfahren
4.) Zum Beweis
Es sind zwei Moduln im Spiel:
Z
*
n
und
Z
*

Dabei ist   ( p  1 )  ( q  1 ) die Ordnung von
allg. das kleinste gemeinsame Vielfache aller Ordnungen .
Z n*
n kann man also
i d
in
den E
Exponenten
t modulo
d l  rechnen.
h
Eulerscher
Satz
Beim Potenzieren modulo
Man bestimmt zu e aus
Z
*
n
ein d so, dass gilt:
e  d 1
In dieser Vorlesung und der Klausur ist d gegeben.
Man muss allenfalls nachrechnen.

46
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RSA Public Key Verfahren
RSA-Public-Key-Verfahren
4.) Zum Beweis
Z
Es sind zwei Moduln im Spiel:
*
n
Dabei ist   ( p  1 )  ( q  1 ) die Ordnung von
das ist die Elementezahl
Wegen
, allg. das kleinste gemeinsame Vielfache aller
e  d 1

heißt d das Inverse von
M c  (m )  m
d
n
Z
Z n*
e
d
ed
*

Ordnungen .
e modulo  .
m m
1
n
Darum klappt
pp das also.
47
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Was ist mit der Scheckkarte?
Die PIN wird nicht zur
Bank übertragen,
sondern aus
Kontonummer und
Bankleitzahl berechnet.
48
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Was ist mit der Scheckkarte?
Auf der Karte sind gespeichert:
Kontonummer, Bankleitzahl,
Verfallsdatum,
Fehlbedienungszähler
Triple-
geheimer Schlüssel
Benutzer g
gibt
DES
die PIN ein
Die PIN wird berechnet.
PIN
Sind sie gleich?
PIN
49
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Ein weites Feld
Public-Key-Verfahren
No-Key-Verfahren
Zero-KnowledgeVerfahren
Challenge-andResponse-Verfahren
50
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Was leistet die moderne
Kryptografie?
• Geheimhaltung, sichere Kommunikation
• Echtheitsprüfungen (Authentifikation)
• der Nachrichten
• von Personen
• digitale
g
Signatur
g
• Anonymität
• Elektronisches
El kt i h G
Geld,
ld
• Elektronische Wahlen....
51
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Wodurch wird moderne Kryptografie
möglich?
Durch:
Mathematik
Zusammen mit
Informatik und
Technik
52
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