Probeklausur

Probeklausur Höhere Mathematik 1 /Stochastik 1 Master KI/PI WS11/12
Prof. Dr. B. Grabowski
Dauer: 120 Minuten,
13.2.2012
Aufgabe 1 (3 Punkte)
Formulieren Sie folgende Aussagen in der Sprache der Logik unter Verwendung der
logischen Quantoren " und $:
a) „Zu jeder beliebigen natürlichen Zahl lässt sich immer eine größere Zahl finden, die
durch 3 teilbar ist.“
b) „Für jede natürliche Zahl gilt: Wenn m2 gerade, so ist auch m gerade!“
c) Bilden Sie die Kontraposition der Aussage b) !
d) „Zwischen je zwei reellen Zahlen liegt eine dritte!“
e) Verneinen Sie die Aussage d)
f) „ Die Menge der positiven reellen Zahlen besitzt kein Minimum.“
Aufgabe 2 (3 Punkte a)=2, b)=1 )
a) Vereinfachen Sie unter Verwendung der Gesetze der Mengenalgebra die Darstellung
folgender Menge! Geben Sie Ihre Umformungsschritte an!
________
(( A ∪ B) ∩ A ) ∪ ( B ∩ A)
b) Zeigen Sie, dass für beliebige Mengen A und B gilt: (A x B) ∩ (B x A) = (A∩B) x (A ∩ B)
( Dabei ist AxB = { (x,y} | x ∈A ∧ y∈B} die Kreuzmenge von A und B).
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Der Zugangscode zu einer Software ist eine 6 stellige Zahl. Zur Verfügung stehen jeweils alle
Ziffern von 0 bis 9. Leider ist diese Zahl vergessen worden.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, diesen Zugangscode richtig zu raten?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Code genau drei mal die Ziffer 1
und 3 mal die Ziffer 9 enthält?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, den Zugangscode richtig zu raten,
wenn man bereits weiß, dass der Zugangscode genau drei mal die Ziffer 1 und genau
3 mal die Ziffer 9 enthält ?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, den Zugangscode richtig zu raten,
wenn man bereits weiß, dass alle Ziffern verschieden sind?
Aufgabe 4 (3 Punkte)
Es wurden 6 Personen nach ihrem Alter und der Bedeutung, die ein elektronisches Produkt
(Handy) für sie hat, befragt. Bedeutung: 2 – sehr hoch, 1-hoch, 0-neutral, -1-gering, -2 sehr
gering
Person
Alter (Jahre)
Bedeutung
1
32
1
2
45
0
3
39
2
4
29
-1
5
52
1
6
59
2
Untersuchen Sie, ob mit wachsendem Alter die Bedeutung eher ab- oder zunimmt!
1
Aufgabe 5 ( 3 Punkte)
200 elektronische Warnsysteme wurden nach Ihrem Hersteller X (SAFE GmbH,
E-SYS GmbH) und ihrer Qualität Y (K1: sehr gut, K2 : mittel, K3: schwach) eingeordnet.
Untersuchen Sie mit einer geeigneten Methode, ob die Qualität vom Hersteller abhängt oder
nicht!
Aufgabe 6 ( 4 Punkte)
Die Lebensdauer von 1000 Festplatten ist in folgender Klassenhäufigkeitstabelle aufgelistet:
Hn(Ki)
i
Ki
1
bis 2 Jahre
30
2
(2-4] Jahre
270
3
(4-6] Jahre
410
4
(6-8] Jahre
240
5
(8-10] Jahre
50
Geben Sie Näherungswerte für folgende Maßzahlen an:
a) die mittlere Lebensdauer
b) den Modalwert
c) den Anteil aller Festplatten, die eine Lebensdauer von 6,5 Jahren nicht überschreiten
d) Bei einem zweiten Typ von Festplatten ergab eine Stichprobe vom Umfang n=10
folgende Lebensdauern (in Jahren):
1, 1.5 , 3, 4, 3.5, 2, 4, 4, 2.5, 1
Die Vermutung liegt nahe, dass dieser 2. Typ schlechtere Lebensdauerwerte hat.
Untersuchen Sie dieses mit einer geeigneten Methode und stellen Sie Ihre Ergebnisse
auch grafisch dar!
Tauschaufgabe: Kann gegen eine beliebige Aufgabe 1-6 getauscht werden. Bitte angeben!
Tausch-Aufgabe (4 Punkte)
Eine Softwarefirma beschäftigt 200 Entwickler. In deren Programmen treten ab und an 3
typische Fehlerarten auf: F1=“Syntaxfehler“ und F2=“Laufzeitfehler“, F3 =“ Programm
bildet nicht die Aufgabenstellung ab“. 5 % aller Programme besitzen Fehler F1, 5% Fehler
F2 und 7 % Fehler F3. Mit beiden Fehlern F1 und F2 sind 1% aller Programme behaftet, mit
F1 und F3 2 % und mit F2 und F3 3% 0,5% aller Programme enthalten alle 3 Fehler
Berechnen Sie aus diesen Angaben die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig
ausgewähltes Produkt
a) mindestens einen der 3 Fehler F1, F2, F3 aufweist
b) höchstens einen der beiden Fehler F1, F2 aufweist
c) keinen der 3 Fehler aufweist
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