Arbeitsblatt 2

14. November 2006
Arbeitsblatt 2
Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe
sowie an Sonderschulen
H. Strade, B. Werner
31.10.06
WiSe 06/07
Präsenzaufgaben:
1) Welche rationale Zahl wird durch a) x = 1, 234 bzw. durch b) x = 1, 23432 dargestellt?
Gesucht sind (möglichst gekürzte) Brüche pq .
Lösung: a) x = 1, 23 + 0, 4/100, 0, 4 = 4/9 (weiß man), also x = 1, 23 + 4/900 = 123/100 +
4/900 = 1111/900.
b) Was ist y = 0, 432? Trick: 1000y = 432 + y ergibt y = 432/999 = 48/111. Also ist x =
123/100 + 48/11100 = 13701/11100 = 4567/3700.
2) Welcher periodische Dezimalbruch wird durch x = 27/7 dargestellt?
Lösung: x = 3, 857142
3)
(a) Wie kann man die Aussage von Aufgabe 3 mit Hilfe des modulo-Operators formulieren?
Lösung:
a2 mod 8 = 1, falls a ungerade ist.
(b) Wie kann man die Aussage 3 teilt den Vorgänger einer jeden Zehnerpotenz“ mit Hilfe
”
modulo-Operators formulieren?
Lösung:
10k mod 3 = 1 für alle natürlichen Zahlen k.
Übrigens gilt sogar (und das sieht man noch einfacher ein:
10k mod 9 = 1 für alle natürlichen Zahlen k.
4) Schreiben Sie in die Kästchen zu den folgenden Aussagen ein w (wahr) bzw. ein f (falsch),
falls die Aussage wahr bzw. falsch ist:
(a) 212 − 1 ist eine Primzahl
(b)
1√
√
( 2−1)( 2+1)
ist rational
1
(c) C.F. Gauss ist der Sohn von L. Euler
(d) Es gibt eine komplexe Zahl, deren Quadrat die imaginäre Einheit i ist
Lösung: z =
√1 (1
2
+ i).
(e) Eine rationale Zahl in Gestalt eines gekürzten Bruches pq ist genau dann durch einen
endlichen Dezimalbruch darstellbar, wenn der Nenner q ein Vielfaches von 10 ist.
√
(f) Das Verhältnis der kürzeren zur längeren Seite eines DIN A4 - Blattes ist
2
2
(g) Eine nur durch ungerade Zahlen teilbare Zahl ist ungerade
(h) Eine durch drei teilbare Zahl ist ungerade
(i) Der Ellbogen teilt den Arm im Goldenen Schnitt
(j) Trennt man von einem Goldenen Rechteck ein Quadrat ab, so erhält man wieder ein
Goldenes Rechteck.
(k) π =
22
7
(l) e = (1 + 15 )5
(m) Ein Pentagon enthält ein Pentagramm
(n) ggT (27 , 37 ) = 7
Übungsaufgaben: (Abgabe 7.11.06 in den Übungen)
Aufgabe 5:
(a) (4)
Beweisen Sie: Eine natürliche Zahl n ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme (in der
Dezimaldarstellung) durch 3 teilbar ist.
Benutzen Sie hierbei explizit die folgenden zwei Aussagen (ohne diese zu beweisen):
• Ist k eine natürliche Zahl, so ist 10k − 1 stets durch 3 teilbar.
• Eine natürliche Zahl ist durch 3 teilbar, wenn sie nach Addition oder Subtraktion
eines Vielfachens von drei durch 3 teilbar ist.
2
Sie dürfen sich auf bis zu vierstellige Dezimalzahlen beschränken. Hinweis: Benennen Sie
die vier Ziffern mit a, b, c und d.
Lösung: Seien a, b, c, d die vier Ziffern in der Dezimaldarstellung von n, also z.B.
n = 1000a + 100b + 10c + d.
Nun subtrahiere die folgende durch 3 teilbare Zahl (erster Hinweis!)
m := 9c + 99b + 999a.
Dann ist n − m = a + b + c + d die Quersumme von n, die wegen des zweiten Hinweises
durch 3 teilbar ist, wenn n durch drei teilbar ist.
Hinweis: Alle Schlüsse lassen sich umkehren. D.h, dass die Quersumme durch 3 teilbar
ist, wenn die Ausgangszahl n es ist.
Die Schlüsse gelten ebenfalls für 9 an Stelle von 3.
(b) (6) Die alternierende Quersumme einer natürlichen Zahl in Dezimaldarstellung ist wie die
normale Quersumme definiert, nur, dass jede zweite Ziffer subtrahiert statt addiert wird
(z.B. ist S := 4 − 5 + 7 − 1 = 5 die alternierende Quersumme von n = 1754).
Zeigen Sie für eine vierstellige Dezimalzahl n (mit Ziffern a, b, c, d und Quersumme S :=
d − c + b − a), dass n durch 11 teilbar ist, wenn S es ist. Hinweis: S = 0 ist durch jede
Zahl teilbar.
Lösung: Sei wieder
n = 1000a + 100b + 10c + d.
Ziehe die durch 11 teilbare Zahl a · 1001 + b · 99 + c · 11 ab. Man erhält die alternierende
Quersumme S. Wegen des 2. Hinweises (gilt analog natürlich für den zweiten Teil) ist n
durch 11 teilbar, wenn S es ist.
Übrigens ist 209 die kleinste durch 11 teilbare Zhal mit nicht verschwindnender alternierender Quersumme. Die kleinste Zahl mit alternierender Quersumme 22 ist 40909. Robin
Koch verdanke ich diese Hinweise.
Aufgabe 6:
(a) (6)
Aus der Abbildung 1 kann man eine mit Zirkel und Lineal durchführbare Konstruktion
einer Goldenen-Schnitt-Teilung“ entnehmen. Präzisieren Sie dies und beweisen Sie es.
”
Lösung: Konstruktion: Zeichne erst AB und nenne die Länge a. Dann halbiere man a
und konstruiere C (Wie das geht, ist relativ elementare Schulmathematik). Schlage sodann
eine Kreis um C mit Radius a/2. Man erhält D. Schließlich schlage man einen Kreis um
3
Abbildung 1: Konstruktion eines Goldenen Schnittes
A mit Radius AD und erhält S, der, wie wir zeigen werden, AB im Goldenen Schnitt
teilt.
Bezeichne
die Länge der Strecke AS mit c. Dann ist (mit a :=Länge von AB) a/c =
√
2
= (c + a/2)2 .
( 5 + 1)/2 (große Goldene-Schnittzahl Φ) zu zeigen. Pythagoras: a2 + (a/2)
√
2
Setzt man x := a/c, so erhält man x − x − 1 = 0. Also ist x = Φ = ( 5 + 1)/2.
(b) (4)
Schauen Sie sich die Seite Das Pentagramm und Pythagoras (Uni Bayreuth)1 an und
beantworten Sie die folgenden Fragen:
Wann lebte Pythagoras? Wie nannte er die natürliche Zahl? Wer hat entdeckt, dass die
Goldene-Schnitt-Zahl irrational ist? Wie ist dieser ums Leben gekommen? Welches der 4
Tempel hat die goldenen Proportionen“?
”
Lösung: 570-500 v.Chr. Urprinzip aller Dinge. Hippasos. Er ertrank. Der untere Tempel
links.
Aufgabe 7: Sei n eine natürliche Zahl. Wir stellen die folgende Frage: Für welche natürliche
Zahlen k < n gibt es eine Potenz k m (mit natürlicher Zahl m) mit k m mod n = 1?
(a) (4)
Beantworten Sie diese Frage zunächst für den Spezialfall n = 8.
Lösung: Es kommen nur die ersten 7 natürlichen Zahlen in Frage. Die Antwort ist: k =
1, 3, 5, 7. Es ist nämlich 32 mod 8 = 1, 52 mod 8 = 1, 72 mod 8 = 1. Dies sind alle zu 8
teilerfremden Zahlen! Für gerade Zahlen k = 2, 4, 6 ist k m stets gerade, so dass sich bei
Division durch n = 8 niemals der Rest 1 ergibt.
1
http://did.mat.uni-bayreuth.de/mmlu/goldenerschnitt/lu/anfang04.html
4
(b) (3)
Von diesem Spezialfall ausgehend, versuchen Sie sich an einer Vermutung für eine Antwort
für allgemeine n (ohne Beweis) und stellen Sie eine Beziehung zur Präsenzaufgabe 3 (b)
her.
Lösung: n und k sind teilerfremd. Präsenzaufgabe 3 (b): n = 3, k = 10, m beliebig (Achtung: Man muss die Bezeichnungen umtaufen) Allerdings ist dann k > n, dieser Teil ist
weniger glücklich formuliert (bleibt bei der Korrektur unberücksichtigt).
(c) (3)
Zeigen Sie: Wenn n und k < n beide gerade Zahlen sind, gibt es keine natürliche Zahl m
mit k m mod n = 1.
Lösung: Die entscheidenden Beobachtungen sind, dass k m stets gerade ist, wenn k gerade
ist. Und dass der Rest bei Division einer geraden Zahl durch eine gerade Zahl niemals 1
sein kann. Letzteres muss nicht bewiesen werden.
Aufgabe 8:
(a) Stellen Sie die folgenden periodischen Dezimalbrüche durch (möglichst gekürzte) Brüche
dar (dabei erläutern Sie Ihren Lösungsweg):
• (2)
2, 4527
Lösung: = 2, 45+x/100 mit x = 0, 27. Es gilt 100x = 27+x, also x = 27/99 = 3/11.
Ergebnis 245/100 + 27/9900 = 49/20 + 3/1100 = 2698/1100 = 1349/550.
Wer den Dezimalbruch 2, 4523 umgerechnet hat, hat von einem früheren Lösungsblatt
abgeschrieben.
• (3)
0, 56186451
Lösung: = 0, 561 + x/1000 mit x = 0, 86451. Es gilt 100000x = 86451 + x, also x = 86451/99999 = 28817/33333. Ergebnis: 561/1000 + 28817/33333000, also
(18699831 + 28817)/33333000 = 18728630/33333000 = 1872863/3333300.
(b) Stellen Sie die folgenden Brüche durch Dezimalbrüche dar (mit Rechenweg):
• (3)
1/17
Lösung: 0, 0588235294117647
• (2) 3/13
Lösung: 0, 230769
5
• (3)
(Schwierige) Zusatz-Aufgabe: (5 Sonderpunkte)
Zeigen Sie, dass eine (fermatsche) Primzahl 2n + 1 zwingend eine Zweierpotenz n = 2k besitzen
muss.
Hinweis: Sie dürfen benutzen, dass die folgende Aussage gleichwertig ist:
Besitzt die natürliche Zahl n einen ungeraden Teiler u ≥ 3, so ist 2n + 1 keine Primzahl“.
”
Lösung: Zu zeigen ist, dass 2n + 1 keine Primzahl ist, wenn n = u · v mit ungeradem u ≥ 3.
Zwischen-Beh.: 2uv + 1 wird von 2v + 1 ≥ 3 geteilt, bzw. allgemeiner (mit x = 2v ): Ist u eine
ungerade Zahl, so ist xu + 1 durch x + 1 teilbar. Das liegt an
(xu−1 − xu−2 + xu−3 − · · · − x3 + x2 − x + 1)(x + 1) = xu + 1,
falls u ungerade.
Also besitzt 2n + 1 (=2uv + 1) den Teiler 2v + 1 ≥ 3 und ist daher keine Primzahl.
Siehe Primzahlgeheimnisse (Uni Wuppertal).
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