Musterlösung zum 15. Blatt 141. Aufgabe: Seien x beiden

Musterlösung zum 15. Blatt
141. Aufgabe: Seien x < y die beiden größten Ziffern von M . Bestimmen Sie die
Menge aller natürlichen Zahlen p mit 2 ≤ p ≤ 1000, so dass xp−1 ≡ 1 (p) und y p−1 ≡ 1 (p)
gilt, so dass ausserdem p keine Primzahl ist.
Lösung:
Mit der folgenden MuPAD-Routine kann man die gesuchte Menge berechnen:
test:=proc(x,y)
local Menge;
begin
Menge:= {} ;
for p from 2 to 1000 do
if ( (x^(p-1) mod p) = 1 ) and ( (y^(p-1) mod p) = 1 ) and
( not isprime(p) ) then
Menge := Menge union {p} ;
end_if ;
end_for ;
print(Menge);
end_proc:
Einige Beispiele:
>> test(9,8); test(7,8); test(7,6);
{511, 949}
{561}
{}
142. Aufgabe: Berechnen Sie ϕ(n) für
a) n = m1 m2 m3
b) n = m1 m2 m3 m4
c) n = m1 m2 m3 m4 m5
(die Zahl, die als Ziffern die ersten drei, vier bzw. fünf Ziffern der Matrikelnummer hat).
Lösung: Für M = 6223118. a) Es ist n = 622 = 2 · 311, und 311 ist eine Primzahl,
denn 311 hat keinen Teiler d mit 2 ≤ d ≤ 18. (Warum genügt dies als Argument?) Also
ist ϕ(n) = 1 · 310 = 310.
b) n = 6223. Man findet, dass 6223 = 7 · 889 = 72 · 127 ist, und erhält
ϕ(n) = (72 − 7) · 126 = 42 · 126 = 5292.
c) n = 62231. Man erhält als Primfaktorzerlegung (z. B. mit MuPAD) 62231 = 13 · 4787,
also ϕ(n) = 12 · 4786 = 57432.
143. Aufgabe: Sei Q die Quersumme von M und
( 2Q
/2, Q 2er Potenz
Q
n=
2Q
/4, Q keine 2er Potenz
Q
Gibt es ein [x] ∈ Zn mit [x] 6= [0] und [x]2 = [0]? Falls ja, so berechnen Sie ein solches.
Falls nicht, so bestimmen Sie den größten Primteiler von n.
Lösung: Vorüberlegung: Es gebe eine Primzahl p mit p2 | n. Es gibt also eine natürliche
Zahl m mit n = p2 m. Definiere dann x = pm. Dann gilt
x 6≡ 0 (n) und x2 = p2 m2 = nm ≡ 0 (n).
Es gelte umgekehrt x2 ≡ 0 (n) für eine natürliche Zahl x mit 1 ≤ x ≤ n − 1. Es gibt eine
natürliche Zahl m mit x2 = nm. Wäre nun n = p1 p2 . . . pr mit paarweise verschiedenen
Primzahlen p1 , . . . , pr , so folgte offenbar, dass n nicht nur ein Teiler von x2 , sondern auch
von x wäre; das ist aber wegen 1 ≤ x ≤ n − 1 unmöglich. Also gibt es eine Primzahl p
mit p2 | n.
M = 6220600. Dann ist Q = 16, und n = 32
/2 = 300540195. Diese Zahl ist durch 3
16
teilbar: n = 3 · 100180065 = 9 · 33393355. Also gibt es nach der Vorüberlegung ein x wie
verlangt, indem wir setzen x = 3 · 33393355 = 100180065.
M = 6220632. Dann ist Q = 21. Dann ist n = 42
/4 = 134564468610. Gibt es eine Prim21
zahl p mit p2 | n? Man kann z. B. mit MuPAD die Primfaktorzerlegung von n ausrechen
und sehen, dass dort jede Primzahl nur in erster Potenz vorkommt. Alternativ
man
kann (2Q)!
,
sich folgendes überlegen: Ist p ein Primteiler von n, dann gilt also p | 2Q
/4
=
8·Q!
Q
also 8pQ! | (2Q)!, also teilt p einen der Faktoren 2, 3, . . . , 2Q, insbesondere p ≤ 2Q. Für
Q = 21 brauchen wir also nur für alle Primzahlen p ≤ 42 testen, ob p2 | n gilt. Eine
solche Primzahl gibt es aber nicht. Zur Bestimmung des grössten Primteilers von n testen
wir für jede Primzahl p ≤ 42, beginnend mit der grössten, also p = 41, ob p ein Teiler
von n ist, bis wir Erfolg haben. Dies ist hier schon zu Beginn für p = 41 der Fall. Also
ist p = 41 der grösste Primteiler von n.
144. Aufgabe: Sei n = 65.
a) Bestimmen Sie einen geeigneten geheimen Schlüssel (n, d) mit d > 1.
b) Bestimmen Sie dazu einen öffentlichen Schlüssel (n, e).
c) Verschlüsseln Sie die Nachricht Q (die Quersumme von M ).
(Abgabe: d; e; verschlüsselte Nachricht.)
Lösung: a) n = 65 ist das Produkt der (verschiedenen) Primmzahlen 5 und 13. Es
folgt ϕ(n) = 4 · 12 = 48. Wir wählen eine zu 48 teilerfremde Zahl d > 1, etwa d = 5. Es
ist also (n, d) = (65, 5) ein geeigneter geheimer Schlüssel.
b) Wir bestimmen eine natürliche Zahl e mit 1 ≤ e ≤ 47 und mit ed ≡ 1 (48), mit dem
erweiterten euklidischen Algorithmus:
48
5
3
2
=
=
=
=
48
5
9·5 + 3 3
1·3 + 2 2
1·2 + 1 1
1·2 + 0
=
1 · 48
=
0 · 48
=
1 · 48
= −1 · 48
=
2 · 48
+
+
+
+
+
0·5
1·5
−9 · 5
10 · 5
-19 · 5
Es ist −19 ≡ 29 (48), also erhalten wir e = 29. Es ist also (n, e) = (65, 29) ein geeigneter
öffentlicher Schlüssel.
c) Für M = 6181770. Dann ist x = 30 die zu verschlüsselnde Nachricht. Die verschlüsselte
Nachricht ist
y = xe = 3029 = 30 · (27 )4 · (37 )4 · (57 )4
≡ 30 · 634 · 424 · 604 ≡ 30 · (−2)4 · (−23)4 · (−5)4
≡ 30 · 16 · 625 · 232 · 232 ≡ 25 · 40 · 9 · 9
≡ 25 · 16 ≡ 10 (65).
145. Aufgabe: Zeigen Sie (möglichst einfach)
13402 ≡ 68 (101).
Lösung:
damit
Da 101 eine Primzahl ist, folgt aus dem Satz von Fermat 13100 ≡ 1 (101), und
13402 = 132 · (13100 )4 ≡ 132 · 14 = 69 ≡ 1 (68).
146. Aufgabe: Seien a und b natürliche Zahlen mit
a=
r
Y
pαi i
und
b=
i=1
r
Y
pβi i
i=1
mit paarweise verschiedenen Primzahlen p1 , . . . , pr und natürlichen Zahlen αi , βi ≥ 0. Für
jedes i = 1, . . . , r sei γi = min(αi , βi ), das Minimum der beiden Zahlen αi und βi . Zeigen
Sie: Es ist
r
Y
g. g. T.(a, b) =
pγi i .
i=1
Q
Lösung: Sei d = ri=1 pγi i . Dann ist offenbar d ein gemeinsamer Teiler von a und b.
Denn z. B. ist αi − γi ≥ 0 für jedes i ∈ {1, . . . , r}, und damit
d·
r
Y
pαi i −γi = a,
i=1
also d | a. Ebenso d | b.
Sei d0 ∈ N ein weiterer gemeinsamer Teiler von a und b. Aus der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung (Hauptsatz der Zahlentheorie)
folgt, dass für d0 als einzige Primteiler
Q
p1 , . . . , pr in Frage kommen. Sei d0 = ri=1 pδi i die Primfaktorzerlegung von d0 , mit natürlichen Zahlen δi . Weil d0 ein Teiler von a ist, folgt δi ≤ αi , weil d0 ein Teiler von b ist, folgt
δi ≤ βi für i ∈ {1, . . . , r}. Insgesamt folgt δi ≤ γi für jedes i, und damit folgt d0 | d.
Es folgt d = g. g. T.(a, b).