§ 4. Primzahlen

Chr.Nelius : Zahlentheorie (WS 2006/07)
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§ 4. Primzahlen
Jede ganze Zahl a besitzt die sog. trivialen oder unechten Teiler ±1 und ±a . Davon
verschiedene Teiler von a heißen echt oder nichttrivial . Primzahlen sind Zahlen ohne echte
Teiler, genauer
(4.1) DEF: Eine natürliche Zahl p ∈
heißt Primzahl oder prim, wenn gilt:
P1 ) p ≥ 2
P2 ) 1 und p sind die einzigen positiven Teiler von p .
IP bezeichne die Menge aller Primzahlen .
Beispiele: {2, 3, 5, 7, 11, 13} ⊆ IP
1 6∈ IP ,
4 6∈ IP ,
6 6∈ IP ,
− 2 6∈ IP ,
− 3 6∈ IP ,
− 13 6∈ IP
(4.2) BEM: a) 1 ist keine Primzahl !!!
b) Eine natürliche Zahl p ≥ 2 ist genau dann eine Primzahl, wenn gilt
mit t | p folgt t = 1 oder t = p .
für alle t ∈
c) Eine natürliche Zahl n ≥ 2 ist genau dann keine Primzahl, wenn n einen echten Teiler
besitzt, d.h. wenn es ein
t∈
mit 1 < t < n und t | n
gibt. In dem Falle ist dann auch der zu t komplementäre Teiler s ein echter Teiler von n . Also
n∈
, n ≥ 2 : n 6∈ IP
⇐⇒
es gibt s, t ∈
mit 1 < s, t < n und n = s · t .
d) Eine natürliche Zahl, die einen echten Teiler besitzt, heißt eine zusammengesetzte Zahl.
Es gilt also
= {1} ∪ IP ∪ M ,
wobei M die Menge der zusammengesetzten natürlichen Zahlen bezeichnet.
e) 2 ist die einzige gerade Primzahl, alle anderen Primzahlen sind ungerade.
f) Für n ∈
gilt :
n prim
⇐⇒
| T + (n) | = 2
(4.3) LEMMA: Für a ∈
und p ∈ IP gilt:
b) ggT(a, p) = p
p|a
a) ggT(a, p) ∈ {1, p}
c) ggT(a, p) = 1
⇐⇒
⇐⇒
(4.4) SATZ: Für p ∈
a) p ist eine Primzahl
b) Für alle a, b ∈
gilt:
⇐⇒
| T (n) | = 4 .
p 6 | a.
, p ≥ 2 sind folgende Aussagen äquivalent:
p | (a · b)
=⇒
(p | a oder p | b) .
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(4.5) SATZ: Sei n ∈
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, n ≥ 2 . Dann gilt:
a) Es gibt unter allen Teilern von n , die > 1 sind, einen kleinsten Teiler p
b) p ist eine Primzahl, also ein Primteiler von n .
Über die Verteilung der Primzahlen
(4.6) SATZ: (Euklid)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
(4.7) DEF: Ein Zahlenpaar (p, p + 2) , bei dem sowohl p als auch p + 2 Primzahlen sind,
heißt ein Primzahlzwilling .
Beispiele: für Primzahlzwillinge: (3, 5) , (5, 7) , (11, 13) , (17, 19) , (29, 31) ,
(q, q + 2) mit q = 242 206 083 · 238 880 − 1 (q hat 11 713 Dezimalziffern) .
(4.8) SATZ: Zu jeder natürlichen Zahl n gibt es n aufeinanderfolgende zusammengesetzte
natürliche Zahlen.
(4.9) DEF: Für x ∈
sei π(x) := | { p | p ∈ IP , p ≤ x } | die Anzahl aller Primzahlen ≤ x .
(4.10) BEM: a) Es ist keine Formel für π(x) bekannt. Der sog. Primzahlsatz macht eine
Aussage über das Verhalten von π(x) für sehr große x . Dafür gilt
π(x) ∼
x
,
ln(x)
wobei ln(x) den natürlichen Logarithmus von x bezeichnet.
b) Einige Werte von π(x) :
k
π(10k )
1
2
3
4
5
4
25
168
1 229
9 592
6
78 498
Wie kann man testen, ob eine Zahl prim ist?
(4.11) SATZ: Für eine natürliche Zahl n ≥ 2 sind folgende Aussagen äquivalent:
a) n ist eine Primzahl
√
b) n besitzt keinen Teiler t mit 2 ≤ t ≤ b nc
√
c) n besitzt keinen Primteiler p mit p ≤ b nc .
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(4.12) Primzahltest (I)
Für n ∈
Dann gilt:
, n ≥ 4 sei die “Testmenge” T M1 (n) definiert durch
√
T M1 (n) = { t | t ∈ , 2 ≤ t ≤ b nc } .
n ∈ IP
⇐⇒
n hat keinen Teiler in T M1 (n) .
(4.13) Primzahltest (II)
Für n ∈
Dann gilt:
, n ≥ 4 sei die “Testmenge” T M2 (n) definiert durch
√
T M2 (n) = { p | p ∈ IP , p ≤ b nc } .
n ∈ IP
⇐⇒
n hat keinen Teiler in T M2 (n) .
(4.14) Das Sieb des Eratosthenes
Sei n ≥ 4 eine natürliche Zahl. Gehe folgendermaßen vor:
Streiche in der Folge der natürlichen Zahlen von 2 bis n alle echten Vielfachen von 2 , dann alle
echten Vielfachen der nächsten ungestrichenen Zahl usw.
√
Brich das Verfahren ab, wenn die nächste ungestrichene Zahl > b nc ist.
Es bleiben alle Primzahlen ≤ n übrig.
(4.15) SATZ: Zu jeder Primzahl p ≥ 5 gibt es ein k ∈
mit
p = 6k − 1 oder p = 6k + 1 .
(4.16) FOLGERUNG: IP ⊆ {2, 3} ∪ {6k − 1 | k ∈
} ∪ {6l + 1 | l ∈
} =: IP0
(4.17) Primzahltest (III)
Für n ∈
Dann gilt:
, n ≥ 4 sei die “Testmenge” T M3 (n) definiert durch
√
T M3 (n) = { k | k ∈ IP0 , k ≤ b nc } .
n ∈ IP
⇐⇒
n hat keinen Teiler in T M3 (n) .
(4.18) BEM: a) Es gilt: T M2 (n) ⊆ T M3 (n) ⊆ T M1 (n)
b) Für die Elemente aus IP0 gibt es ein einfaches Bildungsgesetz:
Nach 5 erhält man die nächste Zahl durch abwechselndes Addieren von 2 bzw. 4 zu der
vorhergehenden Zahl.
√
√
√
c) | T M1 (n) | = b nc − 1 , | T M2 (n) | = π(b nc) , | T M3(n) | ≈ 13 b nc
√
d) Beispiel: n := 10 199 , b nc = 100
T M1 (n) = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . , 99, 100} , | T M1(n) | = 99
T M2 (n) = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, . . . 89, 97} , | T M2 (n) | = π(100) = 25
T M3 (n) = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, . . . , 89, 91, 95, 97} , | T M3 (n) | = 34 .