Vollständige Induktion und Rekursion

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK
Kapitel 3:
Vollständige Induktion und Rekursion
MAA.01011UB
MAA.01011PH
Vorlesung mit Übung im WS 2016/17
Christoph GRUBER
Günter LETTL
Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen
an der Karl-Franzens-Universität Graz
Institut für Allgemeinbildende Fächer der Sekundarpädagogik
an der Pädagogischen Hochschule Steiermark
Denition (3.1)
Es sei
A ⊂ Z.
Ein Element
von
A),
A),
heiÿt Minimum von
wenn für alle
Ein Element
von
m∈A
M∈A
a∈A
gilt:
a∈A
gilt:
(oder kleinstes Element
m ≤ a.
heiÿt Maximum von
wenn für alle
A
A
(oder gröÿtes Element
a ≤ M.
Beispiel 3.1: Es sei A ⊂ Z, A− = {−a | a ∈ A}, und für l ∈ Z sei
l + A = {l + a | a ∈ A}.
Beweisen Sie, dass für eine ganze Zahl
a) k ist Maximum von A
b) k ist Minimum von A
⇐⇒ −k
k ∈Z
gilt:
ist Minimum von
⇐⇒ k + l
A− .
ist Minimum von
l + A.
Minimumprinzip für Teilmengen natürlicher Zahlen
Satz (3.1)
Es sei
Dann
∅=
6 A ⊂ N eine nicht leere
besitzt A ein Minimum.
Teilmenge von
N.
Denition (3.2)
Es sei
A ⊂ Z.
(
Eine ganze Zahl
für alle
a∈A
s ∈ Z heiÿt eine
(
)
a≤s
gilt:
s≤a
obere
untere
)
Schranke von
A,
.
Beispiel 3.2: Es sei ∅ =
6 A ⊂ Z.
Beweisen Sie mit Hilfe von Satz 3.1 und Beispiel 3.1:
a) Ist A nach unten beschränkt, so besitzt A ein Minimum.
b) Ist A nach oben beschränkt, so besitzt A ein Maximum.
wenn
Minimumprinzip für Teilmengen natürlicher Zahlen
Satz (3.1)
Es sei
Dann
∅=
6 A ⊂ N eine nicht leere
besitzt A ein Minimum.
Teilmenge von
N.
Denition (3.2)
Es sei
A ⊂ Z.
(
Eine ganze Zahl
für alle
a∈A
s ∈ Z heiÿt eine
(
)
a≤s
gilt:
s≤a
obere
untere
)
Schranke von
A,
.
Beispiel 3.2: Es sei ∅ =
6 A ⊂ Z.
Beweisen Sie mit Hilfe von Satz 3.1 und Beispiel 3.1:
a) Ist A nach unten beschränkt, so besitzt A ein Minimum.
b) Ist A nach oben beschränkt, so besitzt A ein Maximum.
wenn
Vollständige Induktion
Satz (3.2)
Für
n∈N
sei eine Aussageform
A(n)
gegeben. Sind
A(0) und
(I2) ∀n ∈ N : (A(n) ⇒ A(n + 1))
wahre Aussagen, so ist A(n) für alle n ∈ N
(I1)
richtig.
Beispiel 3.3: Für welche n ∈ N gilt n + 1 ≤ 2n
?
Beispiel 3.4: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für
jedes
n∈N
1
gilt:
+ 2 + 3 + · · · + n + (n + 1) =
(n + 1)(n + 2)
2
.
Varianten der vollständigen Induktion
Satz (3.3)
Es sei
n0 ∈ Z,
und für alle
n∈Z
mit
n ≥ n0
sei
A(n)
eine
Aussageform.
a) Sind
A(n0 ) und
(I2') ∀n ≥ n0 : (A(n) ⇒ A(n + 1))
wahre Aussagen, so ist A(n) richtig für
(I1')
alle
n ≥ n0 .
b) Sind
A(n0 ) und
(I2) ∀n ≥ n0 : (A(n0 ) ∧ A(n0 + 1) ∧ · · · ∧ A(n)) ⇒ A(n + 1)
wahre Aussagen, so ist A(n) richtig für alle n ≥ n0 .
(I1')
Beispiel 3.5: Für welche n ∈ N gilt n2 < 2n
?
Rekursive Denition
Satz (3.4)
Es sei
n0 ∈ Z.
Um für alle
,,Objekte/Begrie
(R1)
(R2)
E(n)
n∈Z
mit
n ≥ n0
mathematische
zu denieren, genügt es
E(n0 ) zu denieren und
∀n ≥ n0 E(n + 1) mit Hilfe
von
E(n)
zu denieren.
Statt (R2) darf auch verwendet werden:
(R2')
∀n ≥ n0 E(n + 1)
mit Hilfe von
E(n0 ), E(n0 + 1), . . . , E(n)
zu denieren.
Beispiele für rekursiv denierte mathematische Begrie:
Fakultät (= Faktorielle):
Für
n∈N
wird
n!
rekursiv deniert durch:
(R1) 0! = 1 und (R2) ∀n ∈ N : (n + 1)! = (n!) · (n + 1).
Fibonacchi-Zahlen:
n ∈ N wird die n-te Fibonacchizahl Fn rekursiv deniert durch:
(R1) F0 = 0, F1 = 1 und (R2) ∀n ≥ 1 : Fn+1 = Fn + Fn−1 .
Für
[L. Pisano, genannt ,,Fibonacchi = lius Bonacci, ca. 1170-1240]
Denition (3.3)
Es seien
x1 , x2 , x3 , x4 , . . . Zahlen. Für n ∈ N+
n
n
X
Y
xi und
xi
rekursiv durch:
i=1
denieren wir
i=1
(R1) i=1 xi = x1 und i=1 xi = x1
P 1
Pn
(R2) ∀n ≥ 1 : n+
i=1 xi = ( i=1 xi ) + xn+1 und
P1
Qn+1
i=1
Q1
Q
xi = ( ni=1 xi ) · xn+1
.
Zusatz: Für n ∈ Z mit n ≤ 0 deniert
P
Qn
n
i=1 xi = 0 und
i=1 xi = 1.
man
Beispiel 3.6: Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass für alle
n∈N
gilt:
n
X
k3 =
n(n + 1) 2
2
k=1
.
Beispiel 3.7: Für n ∈ N werden Zahlen bn ∈P
N rekursiv deniert
durch
b0 = 1,
Berechnen Sie
Formel für
bn
und für alle
n ≥ 0 : bn+1 = 2
b0 , b1 , . . . , b5
n
i=0 bi .
und versuchen Sie, eine explizite
zu erraten.
Beweisen Sie Ihre Vermutung! (Vorsicht, es gibt einen Sonderfall!)
Beispiel 3.8: Beweisen Sie, dass für alle n ∈ N gilt:
n
Y
j=1
(n + j) = 2
n
n
Y
(2j − 1) .
j=1