Ubungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die Stochastik für das
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Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg WS 2009/2010 Fakultät für Mathematik apl. Prof. Dr. W. Kahle Dr. Brigitte Leneke Übungsaufgaben zur Vorlesung Einführung in die Stochastik für das Lehramt an Berufsbildenden Schulen Serie 10* 41. Die Geburtsgröße (in cm) von Neugeborenen kann als eine (näherungsweise) normalverteilte zufällige Größe betrachtet werden. Zur Schätzung der mittleren Geburtsgröße werden die Daten von n = 10 zufällig ausgewählten Neugeborenen erfasst, und es werden die Geburtsgrößen (X1 , . . . , Xn ) ermittelt. a) Man bestimme ein Intervall, das mit einer Sicherheit von 1−α = 0.90 den wahren Mittelwert der Geburtsgröße von Neugeborenen enthält, wobei die Standardabweichung unbekannt ist. b) Geben Sie das konkrete Konfidenzintervall an, wenn die konkrete Stichprobe (x1 , . . . , x10 ) die folgenden Werte ergab (Angaben in cm): 51.2; 52.4; 49.8; 55.2; 46.9; 50.5; 52.3; 50.9; 52.0; 48.7. 42. Ein Großhändler hat eine große Lieferung eines bestimmten Produktes erhalten. 300 Stück werden zufällig aus der Lieferung ausgewählt und kontrolliert. Davon waren k = 4 mangelhaft. a) Bestimmen Sie ein (approximatives) 95%-Konfidenzintervall für den wahren Anteil der mangelhaften Stücke in der Lieferung. b) Wie viele Stücke müssten mindestens kontrolliert werden, wenn gesichert werden soll, dass die Länge des Konfidenzintervalls höchstens 0.01 beträgt? c) Antworten Sie, ohne die Berechnungen noch einmal durchzuführen: Wenn ein höheres Konfidenzniveau gesichert werden soll – ist das entsprechende Konfidenzintervall kleiner oder größer als das in a) berechnete? 43. Der Kopfumfang X neugeborener Knaben sei normalverteilt mit unbekannten µ und σ 2 . Eine unabhängige, identisch verteilte Stichprobe X mit dem Umfang n = 12 ergab die Werte [in cm]: 37, 39, 40, 41, 38, 39, 40, 39, 38, 36, 40, 41. Man bestimme daraus ein Konfidenzintervall für σ 2 zu 1 − α = 0.90 . 1 44. Unter 3000 Lebendgeburten wurden 1578 Knaben gezählt. Bestimmen Sie daraus ein Konfidenzintervall für die Wahrscheinlichkeit p einer Knabengeburt zu 1 − α = 0.99 . 45. Bei einer Qualitätskontrolle wurden 21 fehlerhafte Teile in einer Stichprobe vom Umfang n = 500 festgestellt. Prüfen Sie bei einem Signifikanzniveau α = 0.05 die Angabe des Herstellers, in seiner Gesamtproduktion sei der Ausschussanteil nicht größer als 3%. Im Internet verfügbar unter http://fma2.math.uni-magdeburg.de/∼leneke/einfstoch ws09.htm 2
