Stochastik I 2. ¨Ubungsserie

Prof. Dr. Uwe Küchler
Dr. Markus Riedle
Dipl. Math. Hagen Gilsing
Dipl. Math. Thomas Knispel
SS 2006
Stochastik I
2. Übungsserie
2.1 (4 Punkte) Es wird viermal mit einem Würfel gewürfelt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse:
a) A - “das Maximum der Augenzahlen ist 4”;
b) B - “das Minimum der Augenzahlen ist kleiner oder gleich 4”;
c) C - “das Maximum ist gleich 5 und das Minimum ist gleich 3”.
2.2 (4 Punkte) Es sei Z := (Zi : i ∈ I) eine Zerlegung von Ω in höchstens abzählbar
viele Mengen Zi , wobei I eine feste nichtleere Teilmenge von N1 ist.
a) Man gebe die kleinste σ-Algebra σ(Z ) von Teilmengen von Ω an, die das
Mengensystem Z umfasst.
b) Man bestimme mittels a) die Elemente von
³©
ª´
−n
−n
n
A n := σ [k2 , (k + 1)2 ) : k ∈ {0, 1, . . . , 2 − 1}
und zeige, dass A n ⊆ A n+1 für alle n ∈ N1 gilt.
c) Mit der Bezeichnung von b) zeige man, dass
[
A :=
An
n>1
eine Algebra von Teilmengen von [0, 1) bildet. Ist A auch eine σ-Algebra?
2.3 (4 Punkte) In einer Stadt mit n + 1 Einwohnern erzählt eine Person einer zweiten
ein Gerücht. Diese ihrerseits erzählt es einer dritten und so weiter. Bei jedem Schritt
wird der ”Empfänger” rein zufällig aus den n möglichen ausgewählt. Man berechne
die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse, falls das Gerücht r-mal weitererzählt
wird:
(a) das Gerücht kehrt nicht zum Urheber zurück;
(b) das Gerücht wird keiner Person zweimal erzählt;
(c) man berechne den Limes der Wahrscheinlichkeit für das Ereignis in (b) für
n → ∞, falls r = n + 1.
2.4 (4 Punkte) Zwei Personen spielen das folgende Spiel: jede der Personen hat ein
gut gemischtes Kartenspiel von 32 Karten auf der Hand. Beide Personen decken
gleichzeitig rein zufällig eine Karte auf. Stimmen die Karten überein, so hat sich ein
Rencontre ergeben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt solch ein Rencontre ein?
2.5 (4 Punkte) Es sei P die Gleichverteilung auf der Menge Ω aller Permutationen von
{1, . . . , n}.
(a) Für l ∈ {1, . . . , n} und ω ∈ Ω bezeichne Ml (ω) := ω(max{i | ω(i) 6 l}) die
Stelle, an der das Maximum der ersten l Zahlen erscheint. Berechnen Sie die
Verteilung der Zufallsvariablen Ml unter P .
(b) Es erscheinen n unbekannte Zahlen a1 < · · · < an in zufälliger Reihenfolge.
Wir warten die ersten k Zahlen ab und nehmen dann die erste Zahl, die größer
als alle bisherigen ist. Falls solch eine Zahl nicht mehr auftaucht, nehmen wir
die letzte Zahl.
Beweisen Sie, dass bei dieser Strategie
die Wahrscheinlichkeit dafür, die größte
P
1
Zahl an zu bekommen, durch nk n−1
j=k j gegeben ist.
2