Skript zur Vorlesung (1)

DIGITALE SYSTEME BBGL. W.-ING. – TEIL 1
Fakultät für Elektrotechnik
Kontakt:
Prof. Franz Haunstetter
Fakultät für Elektrotechnik
E-Mail: [email protected]
Signale und Zahlen
Signale
Signale transportieren Informationen


Analoge Signale (z.B. Temperatur eines Objekts zum Thermometer)
Digitale Signale (z.B. Strom von Zahlen von einer CD an einen Computer)
Analoge Signale können jeden beliebigen Wert tragen, digitale Signale nicht.
In der Digitaltechnik meint der Begriff "Signal" immer "digitales Signal".
Digitale Signale bestehen immer aus vorzeichenlosen ganzen Zahlen. Die Anzahl der
möglichen Stellen dieser Zahlen ist aus technischen Gründen begrenzt (modulares
Zahlensystem).
Beispiele zum modularen Zahlensystem:
Addition
Subtraktion
7
2
4
7
2
4
6
1
8
6
1
8
Zahlen
Es gibt unterschiedliche Typen von Zahlensystemen, z.B.:



I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, …
1s, ….., 59s, 1min, …., 59min, 1h, …., 23h, 1d, …
1, 2, 3, …, 9, 10, 11, …., 99, 100, 101, ….
Technisch wichtig sind nur "Stellenwertzahlensysteme"
Z  ai Bi an Bn  an 1Bn 1  ....  a1B  a0
mit 0  ai  B und B  2
Von einer Zahl, die einen bestimmten Wert repräsentiert, werden nur die Koeffizienten ai
angeschrieben, in der Reihenfolge mit der größten Potenz der Basis B beginnend zur
kleinsten. Da Zahlen im Stellenwertzahlensystem nur Polynome sind, lässt sich mit ihnen
sehr gut automatisiert rechnen. Sie eignen sich hervorragend zur Beschreibung digitaler
Signale.
Terme mit ai = 0 entfallen, muss mindestens ai  {0, 1} gelten. Die kleinste Basis ist also 2.
Nach oben sind für B keine Grenzen vorhanden. B = 10 beschreibt das geläufige
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Dezimalzahlensystem, das davon abgeleitet ist, dass mit beiden Händen normal 10 Finger
zur Verfügung stehen.
Für digitale Signale ist ein Zahlensystem mit möglichst wenigen Werten für die Ziffern jedoch
besser geeignet:



Den Ziffern können dann direkt und eindeutig die logischen Werte "wahr" und "falsch"
zugeordnet werden.
Die Darstellung von nur 2 Ziffern ist durch technisch / physikalische Mittel recht
einfach: 2 deutlich unterschiedliche Spannungspegel, Licht an oder aus, etc.
Außerdem vereinfachen sich manche Rechenregeln, weil z.B. jede der Ziffern das
Inverse der anderen ist.
Binäres Zahlensystem und boolesche Algebra
Das Binär- oder Dualzahlensystem
Das binäre Zahlensystem ist der Spezialfall mit:
Z  2i  ai 2n  an  2n 1  an 1  ....  21  a1  20  a0
mit ai {0,1}
Im Stellenwertzahlensystem kann jeder Wert als Ziffernfolge zu jeder beliebigen Basis
angegeben werden. Im Dezimalen sehen wir die Ziffernfolge unmittelbar, weil wir im
Allgemeinen mit diesem Zahlensystem arbeiten. Die Ziffern in einer anderen Basis können
mit dem "Horner Schema" ermittelt werden:
Sei Z der Wert einer Zahl und B die gewünschte Basis eines Zahlensystems, dann gilt


Z mod B  an Bn  an 1Bn 1  ....  a1B  a0 mod B  0  0  ....  0  a0 mod B  a0
Man erhält die jeweils niederwertigste Ziffer einer Zahl durch Modulo-Division mit der Basis.
Um sämtliche Ziffern zu erhalten muss nur die Zahl Z anschießend ganzzahlig durch B
dividiert und auf Z' = Z / B dasselbe Verfahren erneut angewandt werden.
Beispiele:
13  dual:
a0 = 13 mod 2 = 1
a1 = 13/2 mod 2 = 6 mod 2 = 0
a2 = 6/2 mod 2 = 3 mod 2 = 1
a3 = 3/2 mod 2 = 1 mod 2 = 1
a4 = 1/2 mod 2 = 0 mod 2 = 0  ab hier kommen nur noch "führende Nullen"
Ergebnis: 13D = 1101Bin
Addition
Subtraktion
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
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Boolesche Algebra
Y1
Y2
Y3
Y4
Y5
Y6
Y7
Y8
Y9
Y10
Y11
Y12
Y13
Y14
Y15
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
Konjunktion (AND)
…
…
…
…
Antivalenz (XOR)
Einsfunktion
Y0
0
0
1
1
Äquivalenz (XNOR)
v2
0
1
0
1
Disjunktion (OR)
v1
Nullfunktion
Um die Rechenregeln zu analysieren, werden zunächst nur 1stellige Zahlen untersucht. Es
wird von 2 Variablen v1 und v2 ausgegangen und untersucht, welche Operatoren zur
Verfügung stehen. Hier alle möglichen Ergebnisse für Y = v1  v2:
Für die boolesche Algebra sind nur die Operatoren AND und OR von Interesse.
Aufgrund der Ziffernmenge besitzt das Dualzahlensystem immer ein inverses Element
(Dualität). Aus der Tabelle oben ist ersichtlich, dass gilt

 v AND v ergibt immer 0, und

 v OR v
ergibt immer 1.
Außerdem gilt
 (v1 AND/OR v2) ist identisch zu (v2 AND/OR v1)  die Operationen sind kommutativ
 ((v1 AND/OR v2) AND/OR v3) = (v1 AND/OR (v2 AND/OR v3))  assoziativ
 (v1 AND (v2 OR v3)) = ((v1 AND v2) OR (v1 AND v3))  distributiv
 v1 AND/OR v2 ergibt wieder eine Binärzahl  die Operationen sind "beschränkt"
Das heißt, dass sich sowohl mit dem AND-Operator als auch mit dem OR-Operator abstrakte
Rechenschemata erstellen lassen. Der einstellige Negationsoperator wird allerdings immer
gebraucht. Die AND und OR Operatoren hängen über die De Morgansche Regel zusammen:
(v1 AND v2 )  v1 OR v2
Versieht man 0 mit der logischen Aussage "falsch" und 1 mir "wahr", kann man die Regel
auch anschaulich interpretieren. A, B und C seien solche Aussagen, dann gilt:
"Wenn A wahr ist oder B wahr ist, dann ist auch C wahr" ist identisch zu "nur wenn A und B
falsch sind, ist auch C falsch".
Für die booleschen Operatoren und einige daraus abgeleitete Spezialfälle gibt es
Schaltsymbole, die zur Erstellung von Logikplänen (anstatt Formeln) geeignet sind.
Beispiel: die XOR (exklusiv-ODER) Verknüpfung  Behandlung im Labor!
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