Examenskurs Algebra 2012/2013

Examenskurs Algebra 2012/2013 - Lösungen:
Probeklausur IV
Wintersemester 2012/2013
Bearbeitungszeit: 90 Minuten
Vorname, Nachname
Aufgabe 1: (H2011,III,4)
Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl und p eine ungerade Primzahl. Betrachten Sie das Polynom P (X) :=
X n + X + p ∈ Q[X].
1. Zeigen Sie: Ist α eine komplexe Nullstelle, so gilt |α| > 1.
2. Zeigen Sie: P ist irreduzibel über Q. (Stellen Sie hierzu Überlegungen zu Nullstellen von
potentiellen Faktoren an).
(6 Punkte)
Lösungsskizze:
(a) Für eine komplexe Zahl α mit |α| ≤ 1 gilt nach der Dreiecksungleichung:
|αn + α + p| ≥ p − |α|n − α ≥ p − 2 ≥ 1
Somit kann eine komplexe Zahl α mit |α| ≤ 1 keine Nullstelle sein.
(b) Angenommen P = f g mit f, g ∈ Z[X] normiert und nicht-konstant. Da der konstante Term
von P das Produkt der konstanten Terme von f und g ist und da der konstante Term p von P
eine Primzahl ist, müssen die konstanten Terme von f und g gleich ±p und ±1 sein. O.E. sei ±1
der konstante Term von f . Jede komplexe Nullstelle von f ist auch Nullstelle von P und hat somit
Betrag > 1. Da der konstante Term eines normierten Polynoms das Produkt seiner Nullstellen
ist, müsste auch der Betrag des konstanten Terms von f Betrag > 1 haben. Dies widerspricht der
Tatsache, dass der konstante Term von f gleich ±1 ist. Somit ist P irreduzibel über Z und somit
nach Gauß auch über Q.
Aufgabe 2: (H2011,I,2)
Beweisen Sie, dass es vier aufeinanderfolgende natürliche Zahlen n, n + 1, n + 2, n + 3, (n ≥ 1) gibt,
die jeweils durch eine Quadratzahl > 1 teilbar sind.
(5 Punkte)
Lösungsskizze: Seien n0 , n1 , n2 , n3 vier teilerfremde Quadratzahlen > 1. Wir setzen m := n0 n1 n2 n3 .
Nach dem chinesischen Restsatz gibt es ein n + mZ ∈ Z/mZ mit :
n≡0
mod n0
n ≡ −1
mod n1
n ≡ −2
mod n2
n ≡ −3
mod n3
1
Also gilt wegen
n≡0
mod n0
n+1≡0
mod n1
n+2≡0
mod n2
n+3≡0
mod n3
wie gewünscht dass für i = 0, 1, 2, 3 die aufeinenderfolgenden Zahlen n + i jeweils von der Quadratzahl ni geteilt werden.
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