¨Ubungen zur Algebra I

G. Hein
Wintersemester 2012/13
Übungen zur Algebra I
Aufgabe 3.1. Hilfssatz 1. Sei p eine Primzahl mit p ≡ 1 mod 4. Auf F∗p betrachten
wir die Gruppenwirkung der Kleinschen Vierergruppe K4 = {e, g1 , g2, g3 } die durch
e · x = x, g1 · x = −x, g2 · x = x−1 und g3 · x = −x−1 gegeben ist.
Zeigen Sie, dass {±1} eine Bahn ist.
Zeigen Sie, dass alle Bahnen 2 oder 4 Elemente haben.
Folgern Sie aus der Bahnenformel die Existenz einer weiteren Bahn {a, b} =
6 {1, −1}.
Zeigen sie, dass a2 = b2 = −1 in Fp gilt.
Aufgabe 3.2. Hilfssatz 2. Sei p ≡ 1 mod 4 eine Primzahl und a eine ganze Zahl mit
a2 ≡ −1 mod p √
wie in der vorherigen Aufgabe. Zeigen Sie:
√
(i) Sei b := ⌊ p⌋ die größte ganze Zahl kleiner gleich p. Dann gibt es mehr als p
Paare (x, y) ∈ Z2 mit 0 ≤ x ≤ b und 0 ≤ y ≤ b.
(ii) Schließen Sie, dass es zwei solche Paare (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) mit x1 −ay1 ≡ x2 −ay2
mod p geben muss.
(iii) Zeigen Sie, dass (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 ≡ 0 mod p gilt!
(iv) Folgern Sie nun aus der Ungleichung 0 < (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 < 2p, dass die
Gleichung p = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 gilt.
Aufgabe 3.3. Der Ring Z[i] der Gaußschen Zahlen
Wir definieren den Ring Z[i] durch: Z[i] := {a + bi ∈ C | a, b ∈ Z}.
(i) Die Norm von a + bi ∈ C wird durch N(a + bi) = a2 + b2 definiert. Beweisen
Sie, dass für alle komplexen Zahlen r und s die Gleichung N(r · s) = N(r)N(s)
gilt.
(ii) Zeigen Sie, dass die Norm einer Gaußschen Zahl eine natürliche Zahl ist. Zeigen
Sie die Äquivalenz: N(e) = 1 ⇐⇒ e ∈ Z[i] ist Einheit. Geben Sie die
Einheitengruppe Z[i]∗ an!
(iii) Zeigen Sie, dass die Gaußschen Zahlen 2,4,5 keine irreduziblen Elemente sind,
indem Sie sie als Produkt von Nichteinheiten darstellen.
Aufgabe 3.4. Der euklidische Algorithmus für Z[i]
(i) Zeigen Sie, dass es einen euklidischen Algorithmus für den Ring Z[i] mit der
Höhenfunktion N : Z[i] \ {0} → N gibt.
Tipp: Seien a, b ∈ Z[i] gegeben mit b 6= 0, dann schreiben wir die komplexe
Zahl z = ab als Summe z = q+s, wobei q ∈ Z[i] ist und Real- sowie Imaginärteil
von s im Intervall (− 21 , 12 ] liegen. Zeigen Sie nun N(s) ≤ 21 . Zeigen Sie, dass die
Zerlegung a = q · b + r mit r = s · b einen euklidischen Algorithmus definiert.
(ii) Finden Sie Gaußsche Zahlen q und r, so dass 12 + 5i = (3 − 6i)q + r mit
N(r) < N(3 − 6i) = 45.
(iii) Entscheiden Sie, ob die Zerlegung in Primelemente in Z[i] eindeutig ist.
Aufgabe 3.5. Primelemente in Z[i]
Sei x 6= 0 ein Primelement in Z[i].
(i) Zeigen Sie, dass das Ideal (x) ∩ Z ⊂ Z von einer Primzahl p erzeugt wird.
(ii) Folgern Sie: Um alle Primelemente in Z[i] zu finden, reicht es alle Primzahlen
p ∈ Z in Primelemente zu zerlegen.
(ii) Ist p ≡ 1 mod 4 prim in Z, so gilt p = p1 · p2 in Z[i].
(iii) Ist p ≡ 3 mod 4 prim in Z, so ist p auch prim in Z[i].
Abgabe: Bis Montag, 5. November 10 Uhr, in das Fach 2 im Foyer