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Mathematik I für Informatiker, Computervisualisten, Wirtschaftsinformatiker und
Ingenieurinformatiker WS 2010/2011
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg
Prof. Dr. Wolfgang Willems,
Dr. Michael Höding
Übung 6
Aufgabe 6.1
(a) Bestimmen Sie ggT (186, 66) mittels des euklidischen Algorithmus.
(b) Finden Sie die Bézout-Koeffizienten zu 186 und 66.
Aufgabe 6.2 Sei ϕ die Eulersche ϕ-Funktion.
(a) Was ist ϕ(p) für p Primzahl.
(b) Seien p, q verschiedene Primzahlen. Bestimmen Sie ϕ(pq).
(c) Seien n, m teilerfremd. Zeigen Sie ϕ(nm) = ϕ(n)ϕ(m).
(d) Beweisen Sie: Ist n = pa für p Primzahl, a ∈ N, so ϕ(n) = pa−1 (p−1).
Aufgabe 6.3
(a) Bestimmen Sie die Verknüpfungstafeln von Z/6Z bezüglich der Addition und Multiplikation (siehe Vorlesung (7.4)).
(b) Bestimmen Sie das Inverse von [7] in Z/101Z bezüglich der Multiplikation mittels Bézout-Koeffizienten.
Aufgabe 6.4 Bestimmen Sie x ∈ Z mit
x
x
x
x
≡
≡
≡
≡
1
2
3
4
mod
mod
mod
mod
2
3
5
7.
Aufgabe 6.5 Untersuchen Sie die folgenden Strukturen auf ihre algebraischen Eigenschaften (Ring, kommutativer Ring, Ring mit Einselement, Körper).
√
(a) (M ; +, ·) mit M = {m + n 5 | m, n ∈ Z}, wobei + und · die gewöhnliche Addition und Multiplikation reeller Zahlen ist.
(b) (C; +, ·) mit C = {(a, b) | a, b ∈ R}, wobei (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
und (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
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