¨Ubungen – Folge 5

Dr. Amir Džambić
Einführung in die Algebraische
Zahlentheorie
Wintersemester 2008/09
Übungen – Folge 5
√
3
3
Aufgabe 1. Vervollständigen Sie den Nachweis, dass OQ( √
2) = Z[ 2],
indem Sie zunächst folgende Aussagen verifizieren:
√ √ 2
• d(1, 3 2, 3 2 ) = −33 22 ,
√
• das Minimalpolynom von 3 2 ist ein Eisenstein-Polynom bezüglich
der Primzahl 2,
√
√
• Z[ 3 2] = Z[ 3 2 − 2],
√
• das Minimalpolynom von 3 2 − 2 ist ein Eisenstein-Polynom
bezüglich der Primzahl 3.
Aufgabe 2. Sei ζ = e2πi/5 und K = Q(ζ). Zeigen Sie: OK = Z[ζ]. Gehen
Sie dabei folgendermaßen vor:
• Berechnen Sie die Diskriminante d(1, ζ, ζ 2 , ζ 3 ),
• zeigen Sie, dass Z[ζ] = Z[ζ − 1],
• zeigen Sie, dass das Minimalpolynom von ζ − 1 ein
Eisenstein-Polynom in Bezug auf die Primzahl 5 ist.
Können Sie den Ring der ganzen Zahlen in Q(e2πi/p ) für eine beliebige
Primzahl p bestimmen?