Blatt 6 SS 2009, Prof. Dr. J. Klüners Abgabe

Übungen zu Elementare Zahlentheorie — Blatt 6
SS 2009, Prof. Dr. J. Klüners
Abgabe: Mi, 3.6.2009, bis 9 Uhr in der Vorlesung
21. Aufgabe: Zeigen Sie, dass eine Zahl der Form
n = (6k + 1)(12k + 1)(18k + 1)
eine Carmichael–Zahl ist, fallls alle drei Faktoren prim sind.
22. Aufgabe: Beweisen Sie, dass Carmichael-Zahlen mindestens drei Primfaktoren besitzen.
23. Aufgabe: Bestimmen Sie alle Carmichael-Zahlen der Form 3pq mit Primzahlen p und q.
(Hinweis: Es gibt nur endlich viele!)
24. Aufgabe:
(a) Zeigen Sie: Ist 2m + 1 mit m ∈ N eine Primzahl, so hat m die Form m = 2k , k ∈ N0 .
k
(Zahlen der Form Fk = 22 + 1 heißen Fermatsche Zahlen.)
(b) Beweisen Sie folgenden Primzahltest: Sei n = 2m + 1, m ∈ N, m > 1.Dann ist n genau dann eine
Primzahl, wenn
3(n−1)/2 ≡ −1 (mod n)
gilt.