Übersicht - Mathematik, Analysis, Stochastik, Oberstufe, Abitur

Lernübersicht zur Analysis 1
SS 11
Übersicht zur Nachklausurvorbereitung in Analysis 1
09. September 2011
Satz des Jahres: Eine monotone Funktion ist auf jedem kompakten Intervall Riemann-integrabel.
Vorwort zur 1. Auflage:
Im Rahmen der Vorlesung Analysis 1 habe ich diese kleine Übersicht zur Klausurvorbereitung erstellt. Diese
Übersicht orientiert sich hauptsächlich an den Konventionen der Vorlesung. Es werden hier ausschließlich
Themenbereiche wiedergegeben, welche auch in der Vorlesung behandelt wurden und deshalb auch
klausurrelevant sind. Die Einschätzung, ob einige Aspekte tatsächlich klausurrelevant sind, basieren auf
meinen eigenen Erfahrungen. Ich habe versucht, alle Themen flächendeckend in Kurzform (i.d.R. ohne Beweis)
darzustellen, sodass sie auch jeder verstehen kann. Deshalb empfinde ich diese Übersicht als eine große Hilfe
der gezielten Klausurvorbereitung.
Neben der Vorlesung habe ich in zahlreicher Literatur geforscht. Eine Liste meiner Literaturauswahl befindet
sich im Anhang. Weiterhin habe ich auch auf Kenntnisse und Erfahrungen aus anderen Analysis Vorlesungen
zurückgegriffen.
Meine Intention ist es hiermit, jedem Student noch einmal eine Übersicht der wichtigsten Bereiche der Analysis
zu vermitteln und für mich selber noch einmal den Stoff aufzufrischen. Desweiteren will ich die individuelle
Vorbereitung auf die Klausur/ Nachklausur unterstützen.
Die Struktur sieht folgendermaßen aus: Im ersten Abschnitt werden die wichtigsten Sätze/ Definitionen
zusammengefasst, welche ein Grundstein der Analysis darstellen und relevant sind. Im zweiten Abschnitt habe
ich eine Zusammenstellung von 22 schönen, teils eigenen Aufgaben erstellt. Diese Aufgaben sind äußerst
wichtig und werden deshalb auch detailliert (mit einigen Kommentaren) vorgerechnet. Weiterhin habe ich im 3.
Abschnitt kurz den Grundstein zur Beweisführung aufgegriffen. In Abschnitt 5-6 befinden sich eine
Übungsklausur im Stil unserer Klausur und eine Übungsnachklausur.
Diese Übersicht ist vom 19. Juni 2011 bis zum 9. September 2011 allein durch meine Idee entstanden. Die Zeit
hierfür betrug um die 283 Zeitstunden. Aufgrund dieser kurzen Zeitspanne kann es trotz mehrfacher Kontrolle
zu einigen Fehlern orthographischer und inhaltlicher Art gekommen sein. Sollte Ihnen etwas auffallen, bitte ich
Sie, mir dies unverzüglich zu berichten. In einer möglichen 2. Auflage werden dann einige Fehler behoben. Die
Übersicht zur Nachklausur hat sich im Gegensatz zur Übersicht zur 1. Klausur noch weiter ausgedehnt. Zudem
konnten einige Wünsche mit berücksichtigt werden. Diese Übersicht besteht insgesamt aus 37 732 Wörtern.
Darüberhinaus würde ich mich selbstverständlich über ein Feedback zu dieser weiteren Übersicht freuen, damit
ich einige Aspekte in zukünftigen Übersichten berücksichtigen kann. Bei Fragen können Sie sich ebenfalls bei
mir melden. Meine E-Mail Adresse hierfür lautet: [email protected]. (Nachrichten immer mit Betreff)
Damit ist eigentlich auch alles gesagt und ich wünsche allen ein gutes Gelingen der Nachklausur!
Struktur:
(1) Wichtige Definitionen, Sätze und Beispiele S. 3 – 40
Zahlen (Axiome, Beweisverfahren, …)
Mengen, Abbildungen (Abzählbarkeit, …)
Folgen (Definitionen, Konvergenz, …)
Reihen (Definitionen, Konvergenz, Cauchy Produkt, …)
Häufungspunkte (Mengen HP, Folgen HP)
Grenzwerte und Stetigkeit (ZWS, MWS, Nullstellensatz, …)
Anfänge der Topologie (Kompaktheit, Abgeschlossenheit, …)
Komplexe Zahlen (Definitionen, Eulersche Identität, …)
Spezielle Funktionen (Sinus-, Cosinus-, Tangens-, Exponential-, Logarithmusfunktion)
Differenzierbarkeit (Definitionen, Ableitungsregeln, …)
Das Riemann-Integral (Definitionen, Riemannsche Summe, Hauptsatz, …)
Ergänzende Themen: (Norm, Euklidischer Raum, Abschluss,
Ball, stetige Fortsetzung)
(2) Rechenaufgaben mit Lösungen
S. 41 – 59
(3) Grundstein der Beweisführung mit vielen Beispielen
S. 59 – 65
(4) Testfragen zur Analysis 1 (Ankreuzaufgaben) S. 66 – 121
(5) Sonderteil zur Stetigkeit (ausführliche Erklärungen mit Beispielen) S. 122 – 131
(6) Übungsklausur (im Stil der Probeklausur) S. 132 – 135
(7) Übungsnachklausur (mit Lösungen)
S. 136 – 140
( ) Zwei Zusatzartikel (Extreme Probleme und Physiker will Pi abschaffen) S. 141 – 147
( ) Schlusswort (Zehn Dinge, mit denen Sie in der Klausur nicht durchkommen) S. 148 – 149
( ) Anhang (Literatur- und Quellverzeichnis) S. 149 – 150
(1) Important propositions and definitions:
Zu jedem
und jedem
existiert
mit
(Archimedes Axiom)
- Das Archimedische Axiom besagt u.a., dass man zu jeder Zahl eine größere Zahl finden
kann. Daraus folgt dann ebenfalls:
Zu jedem
existiert
mit
.
Sei
,
. Ist
, so ist
.
Jede nichtleere Teilmenge von besitzt ein kleinstes Element. (Wohlordnungsprinzip)
- Es gilt nicht: Jede nichtleere Teilmenge von besitzt ein kleinstes Element. Ein
Gegenbeispiel ist die Menge aller negativen Zahlen.
- Das Wohlordnungsprinzip gilt hier i.d.R. nur für , also auch nicht für , , .
Es sei
, dann existiert eine Primzahl zwischen
[Potenzen: Def. 1.6] Sei
. Setze
so setze
. Dann ist
- Für alle
und für alle
!
!
"
#$
%
#$
schon definiert,
#
#
Es gelten dann die Rechenregeln für das Summenzeichen. Besonders die Umnummerierung
der Indizes ist in einigen Beweisen sehr wichtig.
[Binomialkoeffizienten]
-
.
und
. Ist
für ein
(rekursiv) definiert.
gilt:
(Satz 1.7)
[Summenzeichen, Produktzeichen]
-
und
& (
'
. ,- .
)
') *
'+)
, - . und ,- .
Es gilt: ,- . , /-. und ,-/
Es gilt: , .
und , .
*
+
0-$ ,- . /- - [Binomische Formel]
, . 1 („2 aus 3“)
[Teleskopsumme]
" 2-
-$
" 2-
-$
2
!
2
2
2
/
,-/
.
,
!
2
2
/
-
.
2
Hier fallen also sehr viele Terme weg. Eine Teleskopsumme ist also sehr hilfreich und schön.
[Geometrische Reihe]
Die folgende Reihe heißt geometrische Reihe.
3
" 2-
-$
[Summe der endlichen geometrischen Reihe]
" 2-
-$
2
2
2
2
2
!
Für 424
, gilt dann auch folgendes, da 2
Beispiel: 03
-$ & (
3
-
6
/7
8
7
1.
" 2-
5 :
2
-$
[Konvergenzverhalten der Geometrischen Reihe]
Die Geometrische Reihe konvergiert nur für den Fall 424
Es gelten folgende Formeln:
"'
-$
"'
-$
*
*
9
+
, ansonsten divergiert sie.
+
*
+
[Körperaxiome] Die wichtigsten Körper der Mathematik sind ,
Körperaxiome. und sind keine Körper.
und
. In ihnen gelten die
[Anordnungsaxiome] und jeder Teilkörper von sind (an) geordnete Körper. Das heißt in
und gelten die Anordnungsaxiome.
- Die komplexen Zahlen können nicht angeordnet werden, da die Eigenschaft
: durch
die imaginäre Einheit i wegen ;:
verletzt wird.
- Generell gilt: Jeder Teilkörper eines geordneten Körpers ist geordnet.
[Vollständigkeitsaxiom]
Ein Körper heißt vollständig, wenn in ihm das Vollständigkeitsaxiom gilt: Jede nichtleere, nach
oben (unten) beschränkte Menge < = > hat ein Supremum (Infimum).
- Das Vollständigkeitsaxiom drückt aus, dass die reellen Zahlen vollständig sind, die reelle
Zahlengerade also keine Löcher hat.
und sind vollständige Körper.
Übersicht:
Zahlenmenge
Körper
angeordneter
Vollständiger
Archimedischer
Körper
Körper
Körper
Nein
Nein
Nein
Nein
Nein
Nein
Nein
Nein
Ja
Ja
Nein
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Nein
Ja
Nein
[Intervalle]
Es sei
mit
. Dann ist:
?
@ A B2
4
2
C ein abgeschlossenes (kompaktes) Intervall.
*
+ A B2
4
2
C ein offenes Intervall.
*
@ A B2
4
2
C ein halboffenes Intervall.
?
+ A B2
4
2
C ein halboffenes Intervall.
- Es gibt auch noch weitere Intervalle.
[Dreiecksungleichung]
4 4 4 4 4
Für alle
gilt: 4
4 4 und
4 4 gilt
4 4 4 4, wegen
Beweis: Wegen
+ 4 4 4 4. Nach Def. des Betrages folgt: 4
4
ebenso D *
4 4 und
4 4 4 4. E
4 4 ist
F"
-$
[Allgemeine Dreiecksungleichung] 40-$ - 4 0-$ 4 - 4 gilt für alle '
Beweis mit vollständiger Induktion:
Induktionsanfang: Sie n = 2, dann folgt die in der Vorlesung bewiesene Dreiecksungleichung.
4
4 4 4 4 4
Induktionsvoraussetzung: Die Zwischenbehauptung gilt für ein beliebiges n.
Induktionsschluss: 40-$ - 4 0-$ 4 - 4 (z.z.)
-F
FG"
-$
-H
F
JKL MNO#OK-PQ RST
I
F"
-$
-F
4
4
JKL UTVT
I
"4
-$
-4
4
4
"4
-$
-4
[Obere/ untere Schranke]
Sei K ein geordneter Körper, also zum Beispiel oder . Eine nichtleere Teilmenge < = >
heißt nach oben beschränkt, wenn es ein Element W > gibt mit 2 W für alle 2 <. Ein
solches Element M heißt obere Schranke.
Eine nichtleere Teilmenge < = > heißt nach oben beschränkt, wenn es ein Element
> gibt
mit 2
für alle 2 <. Ein solches Element m heißt untere Schranke.
Eine nichtleere Teilmenge < = > heißt beschränkt, wenn sie sowohl nach oben als auch nach
unten beschränkt ist.
[Supremum/ Infimum]
Eine Zahl W > bzw.
> heißt kleinste obere bzw. größte untere Schranke einer
nichtleeren Teilmenge < = >, wenn sie
1. Eine obere bzw. eine untere Schranke ist und
2. Es keine kleinere bzw. größere Schranke von A gibt.
Die kleinste obere Schranke einer Teilmenge < = > nennen wir das Supremum von A,
geschrieben XYZ <. Die größte untere Schranke einer Teilmenge < = > nennen wir das
Infimum von A, geschrieben [\] <T
[Unbeschränktheit einer Menge]
Ist eine Menge A nicht beschränkt, so setzen wir XYZ <
[Maximum/ Minimum]
Sei < = > nichtleer.
a) M heißt Maximum von A; wir schreiben _`a <
b) m heißt Minimum von A; wir schreiben _[\ <
^ und [\] <
^.
W, wenn W XYZ < und W <.
, wenn
[\] < und
<.
Beispiele:
(i)
Die Menge M mit W A Bb
4
b
C hat ein Supremum, ein Infimum und ein
Minimum, jedoch hat die Menge M kein Maximum, denn ihr Supremum ist selbst nicht
mehr mit in der Menge drin. Also es gilt: [\] W _[\ W
mit
W. Weiterhin
gilt: XYZ W
mit c W. Die kleinste obere Schranke ist hier also 2, eine weitere
obere Schranke wäre beispielweise die 4, oder die 100. Die kleinste untere Schranke ist
1, es gibt insgesamt unendlich viele untere Schranken von M.
(ii)
Jede beschränkte Menge hat ein Supremum und ein Infimum, muss jedoch nicht
unbedingt ein Minimum oder Maximum haben.
(iii) Besitzt eine Menge ein Maximum, so ist dieses Maximum gleich dem Supremum der
Menge.
(iv)
Besitzt eine Menge ein Minimum, so ist dieses Minimum ebenfalls das Infimum der
Menge.
(v)
Besitzt einen Menge kein Infimum und kein Supremum, dann besitzt sie ebenfalls kein
Maximum oder Minimum und ist auch nicht beschränkt.
Sei die Menge nichtleer und d XYZ e Dann gilt: Für jede noch so kleine positive Zahl f gibt
es ein 2 e mit d f 2 d.
[Bild und Urbild]
Für < = W und g = h ist i*<+ Bi*2+4 2 <C das Bild von A und
i / *g+ B2 W4i*2+ gC das Urbild bzgl. f.
[Injektivität, Surjektivität, Bijektivität] (Def. 2.3)
Sei ij < 5 g eine Abbildung und
< und
g.
(Injektivität) Die Funktion f heißt injektiv, falls 4i / * +4 B C
g gilt.
(Surjektivität) Die Funktion f heißt surjektiv, wenn jedes Element
g von der Abbildung
g gilt.
einmal „getroffen“ wird, also wenn 4i / * +4
(Bijektivität) Die Funktion f heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv zugleich ist.
Beispiele:
(i)
Die Funktion ij
(ii)
Die Funktion ij
bijektiv.
5
5?
mit i*2+ X[\*2+ ist nicht surjektiv und nicht injektiv.
@ mit i*2+ X[\*2+ ist injektiv, surjektiv und deshalb auch
[Komposition]
Es seien ij W 5 k, lj k 5 m Abbildungen mit i*W+ = k. Dann heißt die Abbildung
l n ] o W 5 m *l n i*2+ l*i*2+++ die Komposition oder Verknüpfung von f und g.
- Es gilt bei der Verknüpfung nicht die Kommutativität: l n ] p ] n l.
- Voraussetzung einer Komposition ist, dass der Wertebereich von der zuerst ausgeführten
Funktion mit dem Definitionsbereich der zweiten übereinstimmen muss.
[Folge] (Def. 2.6)
Sei M eine Menge. Eine Folge in M ist eine Abbildung ij
5 W.
[Beschränktheit und Monotonie] (Def. 2.7)
*q r + eine reelle Funktion. Sie heißt beschränkt, wenn ihr Wertebereich
Sei ij q 5
beschränkt ist (d.h. nach oben und nach unten beschränkt) s tu
2 qj 4i*2+4 u
Ferner heißt f monoton wachsend, j s 2 v q o 2 v w i*2+ i*v+ und f heißt streng/
strikt monoton wachsend, j s 2 v q o 2 v w i*2+ i*v+.
Analog definiert man monoton fallend und streng monoton fallend.
- Man sagt, dass eine Funktion f genau dann monoton ist, wenn sie entweder monoton
wachsend oder monoton fallend ist.
- Es gibt keine Funktion, die in ihrem Definitionsbereich streng monoton wachsend und
streng monoton fallend ist.
[Mächtigkeit]
Sei A eine Menge. Man bezeichnet dann mit
i yyd < z
4<4 x i yyd
{ | }d }; } g;~}'•;€ •€ B
^ i yyd < { } |y;u‚ ;d•
die Mächtigkeit von A.
1!
C {i < l; • ƒ
[Abzählbarkeit] (Def. 2.9)
Eine Menge heißt abzählbar, wenn es eine Surjektion von auf M gibt und überabzählbar,
wenn sie nicht abzählbar ist.
- Abzählbare Mengen können endlich oder unendlich sein. Letzteres nennt man abzählbar
unendlich.
Beispiele:
(i)
Die Menge ist abzählbar. (genau: abzählbar unendlich)
(ii)
Die Menge aller Primzahlen ist abzählbar.
(iii) Die Menge ist abzählbar.
(iv)
Die Menge ist abzählbar.
(v)
(vi)
(vii)
(viii)
Die Menge ist nicht abzählbar.
Die Menge \ ist nicht abzählbar
Die Menge ist nicht abzählbar.
Die Menge {1, 2, 3, 4} ist abzählbar.
[Bijektion]
- Es gibt eine Bijektion von nach .
- Es gibt eine Surjektion von nach .
- Es gibt keine Surjektion von nach .
- Es gibt keine Surjektion von nach „ T
-
liegt dicht in . (Satz 2.6)
Zu beliebigen Zahlen
existiert eine rationale Zahl …
mit
† ist keine rationale Zahl.
…
mit
.
[Folgenkonvergenz/ Grenzwert]
Eine Zahl l heißt Grenzwert der Folge * +, wenn folgendes gilt:
t
o
o 4
l4
Eine Folge heißt genau dann konvergent, wenn sie einen Grenzwert besitzt.
Beispiel:
4
l4
ˆ
‡
Zu beliebigem
Falls
Š
7
‰
‡
ˆ
Der Grenzwert beträgt hier 0. Es ist also eine Nullfolge. Also gilt
‡
haben wir
, dann gilt 4
‡
l4
Zu festgelegtem kann man nun ein
„ Schlauch“ liegen.
s
‰
‡
s
‰
‡s
Š
7
‰
.
angeben, so dass danach alle Folgenglieder im
[Eindeutigkeit]
Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig.
- Konvergiert eine Folge gegen a und gegen b, dann muss a = b gelten.
[Umgebung von a] (Def. 3.2)
Sei
,
. Das Intervall *
+ heißt
Umgebung von a. Eine Teilmenge
‹ = heißt Umgebung von a, wenn sie eine
Umgebung von a für geeignetes
enthält.
- Es gilt Œ[_
os Jede Umgebung von enthält
für fast alle
.
- Es gilt Œ[_
os Zu jeder Umgebung U von a existiert
mit
‹‰ * +
-
Die mathematische Vokabel „fast alle“ bedeutet bis auf endlich viele.
[Nullfolge/ divergente Folge] (Def. 3.3)
Eine Folge *i +, die gegen 0 konvergiert, heißt Nullfolge. Eine Folge heißt divergent, wenn sie
nicht konvergent ist. Für eine divergente Folge *i + schreibt man dann:
Œ[_ *i + ^
-
-
53
Eine Folge heißt divergent, wenn gilt: t
o t
o 4
l4
.
Wenn man die Divergenz einer Folge zeigen soll, dann reicht es also, einfach ein beliebiges
l4
gilt.
anzugeben, so dass 4
Eine divergente Folge konvergiert nicht.
Jede konvergente Folge ist beschränkt
Sind und
immer
(Satz 3.2)
eine konvergente Folge mit Œ[_
, so ist auch
.
[geometrische Folge]
Sei *l + eine Folge mit l
• , wobei •
[Bernoulli Ungleichung]
Es gilt: *
2+
2
für 2
und Œ[_
53
*
2p
+. Dann gilt Œ[_
und
53
und ist fast
53 l
Œ[_
53 •
.
.
[Limes Rechenregeln]
- lim ist linear.
- lim ist multiplikativ
- sowie weitere Rechenregeln.
Hinweis: Die folgenden Rechenregeln müssen für die Klausur nicht auswendig gelernt werden.
Ich habe sie nur aufgrund der Vollständigkeit erwähnt. Das heißt dieser kurze Abschnitt kann
auch übersprungen werden, wichtig ist nur, wie man die Gesetze anwendet.
i.
Seien * +
und *
dann die Folgen *
+
Behauptung: Es gilt *
Beweis: Zu gegebenem
konvergente Folgen mit Œ[_ 5 *
+
, *
konvergent.
+
4
bzw. 4
für alle
und für diese n folgt 4
• . Für die Indizes
4
*
+4 4
5
*
4
+
‰
. Es sind
•
für alle
,• • . bestehen die beiden Ungleichungen
4
4
. E
+
Behauptung: Es gilt *
konvergiert zum Grenzwert a b.
*
+
Beweis: Wir verwenden die Identität
*
Zu
wählen wir nun N so, dass für alle
h zugleich gilt:
‰
‰
4
4 _[\ Ž
4
4
•
.
4•4
4J4
Aus der ersten Ungleichung folgt zunächst 4 4 4 4
‰
‰
4 *4 4
+
4 4
schließlich 4
4J4
4•4
iii.
und Œ[_
+
konvergiert zum Grenzwert a + b.
wählen wir die Zahlen • und • so, dass 4
‰
ii.
+
4
p , so konvergiert *u + mit u
+ (**)
4 4 4
für n > N.
J’
‘•’
i yyd
E
und aus beiden mittels (**)
p ƒ
J
zum Grenzwert .
•
i yyd
4 “ ist für
Beweis: Zu “ A 4 4
wählen wir zunächst ein h so, dass 4
h . Für diese n
gilt dann 4 4 4 4 “
”4 4
. Zu gegebenem
wählen wir ferner ein h h derart, dass
4• /•4
4
4 4 gilt. Für
ˆ 4•’ 44•4
außerdem für alle n die Ungleichung 4
h folgt damit ˆ
Behauptung: Gilt zudem
. Dies beweist zunächst
•’
5 . Zusammen mit b. folgt c. allgemein.
•
E
•’
•
’
[Monotone Konvergenz]
Jede monotone und beschränkte Folge * + konvergiert in .
- Eine ganzzahlige Folge konvergiert überhaupt nur, wenn sie schließlich konstant ist.
[Teilfolge] (Def. 3.4)
Sei *{ + eine Folge und
• eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen, dann
,{ — { 8 { 6 ! . Teilfolge der
nennt man die „unendliche Auslese aus *{ +“ ,{ – .
Folge *{ +.
Beispiel: Eine Teilfolge einer Folger aller natürlicher Zahlen ist zum Beispiel die Folge aller
ungeraden natürlichen Zahlen.
[Folgen Häufungspunkt]
Eine Zahl ‚ heißt Häufungspunkt einer Folge *d +, wenn es eine Teilfolge von *d + gibt, die
gegen ‚ konvergiert.
[Satz von Bolzano Weierstraß] (Satz 3.6)
Jede beschränkte Folge in besitzt eine konvergente Teilfolge.
- [Satz von Bolzano Weierstraß (Umformulierung)] Jede beschränkte Folge reeller Zahlen
besitzt mindestens einen Häufungspunkt.
[Konvergenz/ HP]
Eine beschränkte Folge konvergiert genau dann, wenn sie genau einen Häufungspunkt hat.
[Cauchy – Folge/ Konvergenz]
Eine Folge *˜ + heißt Cauchy-Folge, wenn gilt:
t
o 4˜
˜ 4
- Eine Folge ist in genau dann konvergent, wenn sie eine Cauchy - Folge ist.
- D.h. *• + konvergent s *• + ist Cauchy – Folge (in )
- In konvergiert nicht jede Cauchy – Folge, d.h. das Cauchy Kriterium für Konvergenz gilt
generell nicht in .
- Um das Cauchy Kriterium für die Konvergenz einer Folge anzuwenden, braucht man den
Grenzwert der Folge vorher nicht zu kennen. Beim vorherigen Konvergenzkriterium für
Folgen musste man den Grenzwert ja bereits kennen.
- Alternierende Folgen sind keine Cauchy – Folgen und divergieren.
Beispiele:
(i)
Die Folge
A ist keine Cauchy – Folge, denn sie konvergiert nicht, ist nicht
beschränkt und streng monoton steigend.
(ii)
Die Folge
A 8— ist beschränkt und eine monoton fallende Nullfolge. Sie
konvergiert daher gegen 0 und ist ebenfalls eine Cauchy – Folge.
(iii) Eine Folge der Form ~ A * + ” nennt man alternierend. Sie hat 2
Häufungspunkte. Die – 5 und die 5. Sie divergiert, obwohl sie beschränkt ist.
[lim sup/ lim inf]
Sei * + eine beschränkte Folge in , dann heißt Œ[_ 5 XYZ o Œ[_ 5 *XYZB - 4'
C+
der Limes superior und Œ[_ 5 [\] o Œ[_ 5 *[\]B - 4'
C+ Limes inferior der Folge
* +.
- Ist der Limes superior einer beschränkten Folge gleich den Limes inferior, dann konvergiert
die Folge.
Beispiel:
Die Folge ™ A * + &
[_ 53 XYZ ™
und zudem gilt
88 ( sei gegeben. Es gilt Œ
Œ[_ 53 [\] ™
Eine monoton wachsende (fallende) Folge reeller Zahlen ist genau dann konvergent, wenn sie
nach oben (nach unten) beschränkt ist.
[unendliche Reihe]
Man nennt die Reihe 03
!
#
# die unendliche Reihe und
#$
der Partialsummen d A 03
definiert sie als Grenzwert der Folge Bd C
# , falls der
#$
Grenzwert definiert ist. In diesem Fall sagt man, dass die unendliche Reihe konvergiert.
[Cauchy – Kriterium]
Sei *… + eine Folge reeller Zahlen. Die Reihe 03$ … konvergiert genau dann, wenn gilt:
-
t
o F " …- F
-$
Das Cauchy – Kriterium für Reihen hat zwei Vorteile: Es geht nur um endlich viele
Summen und den Grenzwert braucht man nicht zu kennen.
Das Cauchy Kriterium ist notwendig und hinreichend.
Beispiele zu den einzelnen Konvergenzkriterien befinden sich im 2. Teil.
[Absolute Konvergenz]
3
Eine Reihe 03
- heißt absolut konvergent, wenn 0-$ 4 - 4 konvergiert.
-$
- Eine absolut konvergente Reihe konvergiert im gewöhnlichen Sinne.
[Trivialitätskriterium]
[_-53 *š- +
Ist die Reihe 03
.
-$ š- konvergent, so gilt Œ
- Das Kriterium ist notwendig, aber nicht hinreichend.
[Majorantenkriterium/ hinreichend und notwendig]
3
Die Summe 03
- ist absolut konvergent, wenn eine konvergente Reihe 0-$
-$
existiert mit 4 - 4
'
.
-
[Minorantenkriterium/ hinreichend und notwendig]
3
Die Summe 03
- ist divergent, wenn eine divergente Reihe 0-$
-$
'
.
-
-
-
^
^ existiert mit
[Leibniz – Konvergenzkriterium/ hinreichend]
Ist *b + — eine monoton fallende Folge reeller Zahlen mit b
, und ist
Œ[_ 53 b
(das heißt, die Folge ist eine Nullfolge), so konvergiert die Reihe
03
*
+
b
.
-$
[Quotientenkriterium] (Satz. 3.17)
Sei 03
•
› eine Reihe mit › p
›$
sodass ˆ
J•ž8
J•
ˆ
œ
•
Gilt also Œ[_›53 XYZ ˆ
Gilt Œ[_›53 XYZ ˆ
-
J•ž8
J•
J•ž8
ˆ
J•
• . Falls es eine reelle Zahl œ mit
• , dann konvergiert die Reihe absolut.
ˆ
w 0^
•
w 0^
•
•
•
œ
gibt,
konvergiert absolut.
divergiert.
Das Kriterium ist hinreichend, aber nicht unbedingt notwendig.
[Wurzelkriterium]
Sei 03
- eine Reihe.
-$
–
w 03
Gilt Œ[_-53 XYZ Ÿ4 - 4
- ist absolut konvergent.
-$
–
3
Gilt Œ[_-53 XYZ Ÿ4 - 4
w 0-$ - ist divergent.
Im Gleichheitsfall liefert das Wurzelkriterium keine Aussage über Konvergenz oder Divergenz.
- Das Kriterium ist hinreichend, aber nicht unbedingt notwendig.
- Zusatz: Das Wurzelkriterium reicht weiter als das Quotientenkriterium, d.h. es gibt Reihen,
bei denen das Quotientenkriterium versagt, das Wurzelkriterium jedoch greift. Salopp
gesagt gilt also Jede Bedingung, die das Quotientenkriterium erfüllt, muss nach dem
Wurzelkriterium auch konvergent sein. Das soll nun noch bewiesen werden. (Der Beweis
kann für die Klausurvorbereitung auch überflogen werden)
Beweis: Angenommen die Reihe 0
$
ist absolut konvergent.
Es ist zu zeigen, dass die Ungleichung Œ[_
Zu jeder Zahl
J
derart, dass ˆ ’ž8 ˆ
Durch Multiplikation folgt nun ˆ
4
4J– 4
¢–
das heißt aber Œ[_ 5
Œ[_
5
4J 4
Š ¢––
’ž8
Ungleichung Œ[_
4
’
Œ[_
XYZ ˆ
5
J’ž8
J’
ˆ gilt.
gibt es nach Definition des Limes superior eine natürliche Zahl k
für alle
' gilt.
J’
also 4
XYZ Ÿ4
5
J’ž8
J’
ˆ ˆ
J’
J’¡8
ˆ ! ˆ
J–ž8
J–
XYZ
Ÿ4
’ž8
4
4J– 4
weil
XYZ Ÿ4
’
4
£
Œ[_
5
XYZ
Ÿ4
’ž8
. Hieraus ergibt sich wieder
ist. Da diese Ungleichung für jedes
5
ˆ
¢–
J’ž8
J’
/-
,
4
4J 4
Š ¢––
’ž8
unabhängig von n und deshalb
gilt, muss tatsächlich die
korrekt sein. Die absolute
Konvergenz der Reihe 0 $
folgt nun auch aus dem Wurzelkriterium.
Damit ist die Behauptung beweisen. w. z. b. w.
[Partialsummen Konvergenzkriterium]
Eine Reihe, deren Summanden alle
sind, konvergiert genau dann, wenn die Folge ihrer
Partialsummen beschränkt ist.
- Das Kriterium ist notwendig und hinreichend.
[Weitere Kriterien]
Weitere Konvergenzkriterien für Reihen sind das Verdichtungslemma von Cauchy und das
Integralvergleichskriterium, sowie das Grenzwertvergleichskriterium. Diese Kriterien werden
nicht weiter ausgeführt, denn sie sind nicht relevant für die Klausur.
Übersicht:
Konvergenzkriterium:
Cauchy – Kriterium
Trivialitätskriterium
Majorantenkriterium
Minorantenkriterium
Leibniz – Kriterium
Quotientenkriterium
Wurzelkriterium
Partialsummen
Konvergenzkriterium
Die Reihe 03
-$
Die Reihe 03
•$
-
Hinreichend ?
Ja
Nein
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Ja
Notwendig ?
Ja
Ja
Ja
Ja
Nein
Nein
Nein
Ja
ist die Harmonische Reihe. Sie divergiert.
•¤
ist genau dann konvergent, wenn “
ist.
[Umordnungssatz]
Sei 03
5 bijektiv, dann konvergiert 03
-$ u- absolut konvergent und sei ¥j
-$ u¦*-+ absolut
gegen denselben Grenzwert.
- Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe konvergiert gegen denselben
Grenzwert.
- Ist 03
eine
-$ u- konvergent, aber nicht absolut konvergent, so gibt es zu jedem 2
Umordnung der Reihe, die gegen x konvergiert.
- Jede Umordnung einer konvergenten Reihe konvergiert nicht gegen denselben Grenzwert.
[Summe konvergenter Reihen]
Die Summe zweier konvergenter Reihen ist ebenfalls konvergent.
[Cauchy – Produkt] (Def. 3.11)
3
3
Seien 03
- und 0-$
- Reihen. Das Cauchy – Produkt dieser Reihen ist die Reihe 0-$ u-$
mit u- 0-§$ § -¨
!
.
-/
-
Das Cauchy – Produkt zweier absolut konvergenter Reihen konvergiert ebenfalls absolut.
Das Cauchy – Produkt einer absolut konvergenten Reihe und einer normal konvergenten
Reihe konvergiert i.d.R. nicht absolut.
A
Beispiel: Es sei
A
*/ +’ž8
†
. Die Konvergenz der beiden Reihen 03$
für
und
03$
folgt sofort mit dem Leibnitz Kriterium. Die Reihen sind alternierend und es handelt
sich um eine Nullfolge. Diese beiden Reihen sind aber nicht absolut konvergent, da die Reihe
03$
†
nicht konvergiert.
Nun berechnen wir das Cauchy – Produkt 03$
Produkt nicht konvergiert:
3
"
$
Wegen
*
3
†
G"
$
3
+
*
+
†
"
$
*
3
+
†
G"
3
H w " G"
/
F"
-$
*
†'†
$
+
-$
'
*
F
$
+-
†'
/
"
-$
*
+
†
†'†
03$
*
H
†
+
'
und zeigen, dass das Cauchy –
3
/-
"
'
$
*
"
-$
†
3
""
H
/
3
+
$ -$
"
-$
*
*
†'†
+
†
+
'
† †
Ist diese Reihe divergent. Die Koeffizienten bilden keine Nullfolge.
[Exponentialfunktion] (Def. 3.12)
Die Reihe 03$
Funktion ªaZ o
©’
)
heißt Exponentialreihe. Die durch ªaZ*2+
5
03$
heißt Exponentialfunktion. Man setzt 03$
die Eulersche Zahl genannt.
[Exponentialreihe]
©’
)
)
mit 2
ªaZ* +
definierte
}. Dies wird
Für 2
ist die Exponentialreihe ªaZ*2+ 03$
absolut konvergent.
)
Der Beweis dazu kann ganz einfach mit dem Quotientenkriterium geführt werden.
©’
[Restglied]
Für die Exponentialreihe gilt die Restgliedabschätzung: ªaZ*2+
Hierbei ist 4«
-
-
*2+4
4©4’ž8
*
+)
.
Anmerkung: Dies gilt sogar für alle š
0-$
endliche Teil
.
©–
-)
«
^ Teil
*2+
Es existiert ein ¬
für ˆªaZ*2+ 0-$ ˆ ¬. Dieses ¬ steht hierbei für die
-)
Fehlertoleranz. Je größer das n in der endlichen Summe, desto geringer wird die
Fehlertoleranz.
©–
[Funktionalgleichung der Exponentialfunktion] (Satz 3.21)
Für alle 2 v
gilt ªaZ*2 v+ ªaZ*2+ ªaZ*v+.
Notation: Für ªaZ *2+ kann man auch } © schreiben. Beide Schreibweisen sind äquivalent.
Beweis: Dieser Beweis ist für den 3. Teil sehr interessant und wird deswegen hier vorgeführt.
©’
-’
Weil die beiden Reihen 03$
und 03$
absolut konvergieren, kann man einfach das
)
)
Cauchy Produkt anwenden und gucken, was rauskommt.
3 v
3 2
ªaZ*v+ ªaZ*2+ ®"
¯ ®"
¯
)
)
$
$
3
2
v /"
"
) *
'+)
$
-$
// nun wendet man den „
//da ,- .
"
)
3
$
-) * /-+)
Es gilt nämlich
E
)
"
*2
“ Trick an und erweitert mit
-$
2
v+
) *
)
v
"
)
)
/-
'+)
3
)
$
*2
"
0-$ ,- .2 - v
3
$
v+
)
)
)
"
ªaZ*2
0-$
/-
-$
& ( 2- v
'
v+
)
) -) * /-+)
2- v
/-
/-
0
) -)
2-v
[Exponentialfunktion]
(i)
Es gilt ªaZ* + }
° ± ± ± ±²”³ ²” 1 !
(ii)
Für
gilt: ªaZ* + ªaZ*
T T T + ªaZ* + ! ªaZ* + }
(iii) Für 2
gilt:
ªaZ* + ªaZ* 2 2+ ªaZ* 2+ ªaZ*2+ also
ªaZ* 2+
.
(iv)
(v)
(vi)
´µ¶*©+
Konvention: Man schreibt ªaZ *a+
und · } /© .
O
Für 2
ist } ©
somit folglich } ©
Für 2
v gilt
O·
O¸
.
2
} ©/-
©:
)
©‡
)
also } ©
} © für 2
!
Für 2
und } ©
-
ist D 2
} © } - für 2 v
also } ©
O ¡·
,
} - w ªaZ*+ ist streng monoton wachsend.
03
Für alle 2
gilt: } © Œ[_ 53 &
(
-$ -)
- Die Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend.
- Die Exponentialfunktion ist überall stetig.
©
©–
[Logarithmusfunktion]
Die Exponentialfunktion }j 5 ¹ bildet bijektiv auf ¹ ab. Die Umkehrfunktion
Œ\ o ¹ 5 ist streng monoton wachsend, stetig und erfüllt die Funktionalgleichung
Œ\*2 v+ Œ\*v+ Œ\*v+ 2 v
¹ .
[Grenzwerte von Funktionen] (Def. 4.1/ Satz 4.1 und 4.2)
- Sei ij q 5 eine reelle Funktion, a ein Häufungspunkt und
. Man schreibt:
4
Œ[_©5J i*2+
(*) wenn zu jedem
ein f
existiert mit 4i*2+
42
4
2 q„B C mit
f. Falls (*) gilt, sagt man, dass Œ[_©5J i*2+ existiert.
4 f w 4i*2+
4
s
tf
2 q„B Cj *42
kurz: Œ[_©5J i*2+
).
Sei ij q 5 eine Funktion und a ein Häufungspunkt von D. Dann gilt Œ[_©5J i*2+
s Für jede Folge *š + in q„B C mit Œ[_ 53 š
gilt: Œ[_ 53 i*š +
.
- Sei ij q 5 eine Funktion und a ein Häufungspunkt von D. Dann existiert der Grenzwert
Œ[_©5J i*2+ genau dann, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:
4 f { | 4v
4 f w 4i*2+ i*v+4
tf
2 v q„B Cj *42
)
Der Beweis dazu ist sehr interessant für den 3. Teil, kann aber ggf. überflogen werden. (**)
- Da der Grenzwert einer Funktion u.a. mithilfe von Folgenkonvergenz definiert wurde,
gelten natürlich auch hier wieder die Grenzwertsätze.
(**)
-
Sei ij q 5 eine Funktion und a ein Häufungspunkt von D.
Behauptung: Der Grenzwert Œ[_©5J i*2+ existiert genau dann, wenn
4 f { | 4v
4 f w 4i*2+ i*v+4
+
tf
2 v q„B C o *42
Es müssen hier beide Richtungen gezeigt werden, denn es handelt sich bei der Formulierung „genau
dann wenn“ um eine Äquivalenz.
Beweis:
„w“ (Hinrichtung) Hat f in a den Grenzwert b, so gibt es zu vorgegebenem
ein f
derart, dass
gilt:
2
v
q„B C 42
q„B C 4v
4
4
f w 4i *2 +
f w 4i *v +
4
4
‰
‰
// Wenn man die Definition 4.1 aus der Vorlesung betrachtet, wird dies sofort klar.
Wenn x und y alle genannten Bedingungen erfüllen, muss also gelten:
4i*2+ i*v+4 4i*2+
4 4i*v+
4
// Dies gilt aufgrund der Dreiecksungleichung, und wenn man die Ungleichungen
‰
‰
4i*2+
4
4
und 4i*v+
geschickt „zusammenfügt“.
„º“ (Rückrichtung) Nun sei umgekehrt die im Kriterium formulierte Bedingung erfüllt. Zu jeder Folge
*2 + mit 2
q„B C und Œ[_ 5 2
gehört eine Cauchy-Folge ,i*2 +..
// Dies gilt aufgrund von Satz 4.1 der Vorlesung (Grenzwert mit Folgendefinition)
gibt es nämlich ein f
und dazu weiter ein
derart, sodass für
gilt
42
4 f 42
4 f
und also auch
4i*2 + i*2 +4
Je zwei dieser Cauchy-Folgen müssen aber denselben Grenzwert haben, wie die
Methode der Mischung zweier Folgen zeigt. Deshalb hat f an a einen Grenzwert. E
Zu
[Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert]
Sei ij q 5 eine Funktion und
. ist a ein Häufungswert von q » * ^ + dann gilt:
4
Œ[_©¼J i*2+
s
tf
2 qo*
f 2
w 4i*2+
). Das nennt
man den linksseitigen Limes.
Ist a ein Häufungswert von q » * ^+ dann gilt: Œ[_©½J i*2+
s
4
tf
2 qo*
2
f w 4i*2+
) Das nennt man den
rechtsseitigen Limes.
- Sei ij q 5 eine Funktion und
. Existiert der rechtsseitige und linksseitige
Grenzwert an der Stelle a und sind nicht beide gleich i* +, dann heißt a Unstetigkeitsstelle
erster Art oder Sprungstelle von f. (Def. 4.7)
- Sei ij q 5 eine Funktion und
. Der Grenzwert Œ[_©5J i*2+ existiert genau dann,
wenn der linksseitige Grenzwert an der Stelle a gleich dem rechtsseitigen Grenzwert an der
Stelle a ist. Kurz: Œ[_©5J i*2+ existiert s Œ[_©½J i*2+ Œ[_©5J i*2+ Œ[_©¼J i*2+.
Beispiel: Es sei die Funktion ij q„B C 5 mit i*2+
gegeben. Die Funktion ist im
©‡
^ und Œ[_©½ i*2+ ^. Hier
Nullpunkt bekanntlich nicht definiert. Es gilt Œ[_©¼ i*2+
ist der linksseitige Grenzwert also minus unendlich und der rechtsseitige Grenzwert +
unendlich. Diese beiden Grenzwerte stimmen nicht überein, deshalb existiert auch nicht
Œ[_©5J i*2+ und die Funktion ist an der Stelle 2
unstetig, hat dort also eine Sprungstelle.
Die folgende Abbildung 1 zeigt den Graph der Funktion.
//Abb. 1
[Unbeschränktheit 1] (Def. 4.3)
Sei ij q 5 eine Funktion und ein Häufungspunkt von q. Man schreibt Œ[_©5J i*2+
4 f w i*2+ u+
s u
tf
2 q„B C o *42
^
Beispiel: Als Beispiel kann man obige Funktion in Abb. 1 nehmen, wobei a = 0 ist.
[Unbeschränktheit 2] (Def. 4.4)
Sei ij q 5 eine Funktion und D nicht (nach oben) beschränkt. Man schreibt Œ[_©53 i*2+
4
s
tu
2 q o *2 u w 4i*2+
+
[punktweise Stetigkeit]
Es sei ij q 5 eine reelle Funktion und
q. Es gilt dann:
4 f w 4i*2+ i* +4
+
f stetig in s
tf
2 q o *42
¾ Diese Definition muss man in der Klausur wissen, da führt kein Weg dran vorbei. Außerdem
muss man die Definition auch anwenden können, um zu zeigen, ob eine Funktion stetig ist.
Diese Anwendungsbeispiele werden in Kapitel 2 kurz vorgestellt.
- Die folgende anschauliche Darstellung der Stetigkeit kann überflogen werden, sie soll bloß
denjenigen einen Eindruck vom Stetigkeitsbegriff vermitteln, die ihn noch nicht verstanden
haben.
Angenommen der Student Matthias in Berlin muss um 12 Uhr am Bahnhof in Heide sein, um dort zwischen 12.30 und 13
Uhr seine Traumprinzessin Svenja zu treffen. Der Zug vom Bahnhof Berlin Südkreuz zum Heider Bahnhof braucht 4
Stunden, und ein solcher Zug startet um 8 Uhr in Berlin. Es sei vorausgesetzt, dass diese Zeiten von der Bahn eingehalten
werden. Das passt also alles gut. Leider verspätet sich Matthias etwas und kommt erst um 8.10 Uhr zum Bahnsteig in
Berlin Südkreuz. Der Zug ist abgefahren, und der nächste geht erst wieder um 10 Uhr. Matthias ist enttäuscht, er kann seine
Sonnenkönigin Svenja nicht sehen und muss weitere Jahre auf eine neue Chance, ihr Herz zu gewinnen, warten.
Wäre Matthias um 7.45 Uhr am Bahnsteig in Berlin gewesen, so hätte es geklappt, auch wenn er dies um 7.55 Uhr oder
7.59, ja selbst um 8.00Uhr geschafft hätte, aber eben nicht mehr um 8.01 Uhr.
Das ist eine typische Situation für eine Unstetigkeit. Betrachtet man die Funktion, die der Ankunftszeit x von Matthias am
Bahnsteig in Berlin Südkreuz die Ankunftszeit f(x) am Bahnsteig in Heide zuordnet, so gilt i*2+
für ° 2 ± und
i*2+
² für ± 2
. Wenn Matthias noch so wenig nach 8 Uhr einsteigen will, es bringt nichts, die Verzögerung ist
nach 8 Uhr immer 2 Stunden.
Beheben könnte man dies (theoretisch), wenn es statt des Zuges eine Art „Förderband“ von Berlin Südkreuz nach Heide
gäbe, das ständig läuft und auf das man in Berlin Südkreuz jederzeit aufspringen kann. Dann könnte Matthias auch noch
um 8.15 Uhr aufspringen, und sein Date in Heide zwischen 12.30 und 13.00 Uhr wahrnehmen. Es käme bei seiner
Abfahrtszeit nicht so genau drauf an. Bei einer Toleranz in der Zielvorgabe von einer halben Stunde könnte Herr Müller
sich anstrengen, eine entsprechende Toleranz in der Abfahrtszeit einzuhalten, um doch noch rechtzeitig am Ziel zu sein.
Stetigkeit bedeutet also, salopp formuliert: Bei Vorgabe einer Toleranz im Zielbereich kann man diese erfüllen durch
Einhaltung einer Toleranz im Ausgangsbereich.
Dieses Beispiel zeigt erneut: In obiger mathematischer Definition der Stetigkeit ist es sehr sinnvoll, die Toleranz „ “ in der
Zielmenge vorzugeben und zu fordern, dass es dazu immer eine Toleranz „f* +“ in der Definitionsmenge gibt, die sie
erfüllt. Die Zielvorgabe einer Leistung erfolgt zuerst, und danach richtet sich die Anstrengung, sie zu erreichen – nicht etwa
umgekehrt!
Dieses Beispiel stellt die Stetigkeit einmal ganz anschaulich dar. Unser Dozent hat uns ja ebenfalls in der Vorlesung eine
anschauliche Vorstellung mit einer Maschine, die Werkstücke herstellt, vermittelt.
Sei ij q 5 eine Funktion und
q ein Häufungspunkt von D. Dann gilt:
f stetig an a s Œ[_©5J i*2+ i* +. (Satz 4.3)
[Punktweise Stetigkeit, Definition mit Folgen] (Satz 4.4)
Die Funktion ij q 5 heißt punktweise stetig im Punkt •
• gilt Œ[_ 53 i*2 + i*•+
in D mit Œ[_ 53 2
q, wenn für jede Folge *2 +
[Summe/ Produkt]
Für Funktionen i l o q 5 sind i l und i l erklärt durch *i l+*2+ A i*2+ l*2+
und *il+*2+ A i*2+l*2+
2 q.
- Die Summe, Differenz das Produkt, der Quotient (mit Nenner p ) stetiger Funktionen sind
wieder stetig.
[Komposition stetiger Funktionen]
Die Komposition (Verkettung) stetiger Funktionen ist stetig.
Die Funktion ij q 5 ist in
q genau dann stetig, wenn es zu jeder Umgebung ¿ von
i* + eine Umgebung ‹ von a gibt mit i*‹ » q+ = ¿. (Satz 4.6)
- Die beiden folgenden Beweise sind sehr interessant für den 3. Teil. Vorerst kommt es aber
nur auf die Behauptungen an. Seien die reellen Funktionen ij q 5 und lj À 5 in
•
stetig.
(i)
Behauptung: Sei f in • stetig und i*• +
alle • ‹ » q.
|. Dann gibt es eine Umgebung U von • mit i*•+
| für
Widerspruchsbeweis: Wäre nämlich ein solches U nicht vorhanden, so gäbe es in jeder f Umgebung von
• ein „Ausnahme-t“, also ein t mit i*•+ |. Insbesondere gäbe es in jedem ‹ 8 *• +
’
ein • mit i*• + |. Dann strebe gewiss • 5 • und infolgedessen existierte auch
Œ[_ i*• +. Aber dieser Grenzwert wäre | und somit p i*• +, im Widerspruch zur
Stetigkeitsvoraussetzung. Also muss doch ein U von der beschriebenen Art
vorhanden sein.
w.z.b.w.
Das gerade bewiesene Verhalten ist eine „lokale Eigenschaft“, es geht dabei nur um das Verhalten in der Nähe
eines Punktes. Aber die Stetigkeit hat auch globale Konsequenzen: Der Graph einer stetigen Funktion auf einem
Intervall ist ein zusammenhänhängendes Gebilde. Beginnt er etwa unterhalb und endet er oberhalb der x-Achse, so
muss er dazwischen irgendwann einmal die Achse treffen.
(ii)
Beweis:
Behauptung: Gilt i*• + l*• +, so gibt es eine Umgebung U von • mit i*•+
• ‹ » *q » À+.
tf
tf
2
2
q„B Cj * 42
À„B Cj * 42
• 4
• 4
f w 4i*2+
f w 4l*2+
i*• +4
i*• +4
l*•+ für jedes
+ da f ja in • stetig ist.
+
Für jede Folge *“ +
Für jede Folge *“ +
q mit Œ[_
À mit Œ[_
5
5
“
“
• gilt Œ[_
• gilt Œ[_
5
5
i* “ +
l* “ +
i*• +
l*• +
// Man kann einfach analog im obigen Beweis d wie folgt festlegen: Es sei | A l*• +.
schreiben wir den Beweis nun noch einmal sauber auf.
Widerspruchsbeweis: Wäre nämlich ein solches U nicht vorhanden, so gäbe es in jeder f Umgebung von
• ein „Ausnahme-t“, also ein t mit i*• + l*• +, . Insbesondere gäbe es in jedem
‹ 8 *• + ein • mit i*• + l*• +, . Dann strebe gewiss • 5 • und infolgedessen
’
existierte auch Œ[_ i*• +. Aber dieser Grenzwert wäre l*• + und somit p i*• +,
im Widerspruch zur Stetigkeitsvoraussetzung. Also muss doch ein U von der
beschriebenen Art vorhanden sein. Mit diesem Widerspruch ist die Behauptung
wieder gezeigt. q.e.d.
[Stetigkeit] (Def 4.6)
Die Funktion ij q 5 heißt stetig, wenn f für alle
q auch stetig in a ist.
[Stetigkeit der Umkehrfunktion]
Sei q ein Intervall und ij q 5 streng monoton, dann ist die Umkehrfunktion i / mit
i / j i*q+ 5 ebenfalls stetig.
- Sei q ein Intervall und ij q 5 injektiv, dann ist die Umkehrfunktion i / mit
i / j i*q+ 5 ebenfalls stetig.
[Nachschub: weitere wichtige Sätze]
für fast alle n, so gilt nicht
- Sind * + und * + konvergente Folgen uns ist
Œ[_
Œ[_
. Anfangs hat man gesehen, dass der Satz für gilt, jedoch nicht für
ohne Gleichheit, was das Gegenbeispiel
und
belegt.
-
Es gilt Œ[_, † .
Jede positive reelle Zahl besitzt zu jedem '
genau eine positive ' te Wurzel.
*
+
Die Zahl a ist Häufungspunkt von
genau dann wenn jede Umgebung von a unendlich
viele
enthält.
Jedes Polynom ist stetig.
Die identische Abbildung ist stetig.
’
[Häufungspunkt]
Sei
q Häufungspunkt.
a ist HP von * + s t Teilfolge von * +, die gegen a konvergiert.
42
4
t2 W o
d.h. in jeder Umgebung von a gibt es ein x bzw. ‹J »
*W„B C+ p z
[Häufungspunkt von Mengen] (Def. 4.8)
Sei W = ,
. Dann heißt a Häufungspunkt von W, wenn jede Umgebung von einen
von a verschiedenen Punkt von W besitzt.
Es heißt a ein Mengen HP von M s
o *W„B C+ » ‹‰ * + p z. Man wählt dazu * +
4
mit
5 , dann existiert
o 4
Beispiele:
(i)
B* +
C hat keinen Häufungspunkt, weil nicht jede Umgebung von
einen
+
von
verschiedenen Punkt von B*
C besitzt.
B* + C
(ii)
hat die Häufungspunkte
und
.
(iii) Ž
• hat den Häufungspunkt 0, denn jede Umgebung von 0 hat einen von 0
verschiedenen Punkt von Ž
•.
(iv)
Ž •
hat den Häufungspunkt 0. Die Folge hat nur den einen Häufungspunkt, also ist
sie konvergent und eine Cauchy – Folge, welche beschränkt ist.
- Es ist wichtig, dass man den Unterschied der beiden Häufungspunkte verstanden hat.
[Zusammenhang: Folgen HP – Mengen HP]
Sei * + eine injektive (= streng monotone) Folge mit
a Mengen Häufungspunkt.
[Beschränktheit]
Sei W = , dann gilt: M beschränkt s Jede Folge *
Teilfolge.
W und
5
für
5 ^, dann ist
+ aus M enthält eine konvergente
[Abgeschlossenheit]
Die Menge W = heißt abgeschlossen, wenn sie alle ihre Häufungspunkte enthält.
- M ist abgeschlossen s M enthält alle Folgen Häufungspunkte.
- M ist abgeschlossen s der Grenzwert zu jeder konvergenten Folge * + aus M gehört zu
M.
- M ist beschränkt und abgeschlossen s Jede Folge * + aus M besitzt eine gegen ein
Element aus M konvergierende Teilfolge.
- w M enthält alle Mengen Häufungspunkte.
[offene Menge]
Die Menge W = heißt offen, wenn sie Umgebung jedes ihrer Punkte ist.
Das heißt, M ist offen s 2 W t
o ‹‰ *2+ = W.
- Ist eine Menge nicht offen, so muss sie nicht automatisch abgeschlossen sein.
- Ist eine Menge nicht abgeschlossen, so muss sie nicht unbedingt offen sein. Dies belegt das
halboffene Intervall wie beispielswiese (0, 1], welches nicht offen und nicht abgeschlossen
4
ist, denn die Menge Á A B2
2
C ist ebenfalls nicht offen, da 1 ein Element der
Menge ist und zudem ist Z nicht abgeschlossen, da 0 kein Element der Menge ist.
- Die Leere Menge z B C ist in jedem topologischem Raum zugleich abgeschlossen und
offen.
- Die leere Menge ist übrigens Teilmenge jeder anderen Menge.
- Die Menge der reellen Zahlen selbst ist abgeschlossen in .
- Die Menge der rationalen Zahlen ist abgeschlossen in , jedoch nicht abgeschlossen in
.
- Die Menge aller rationalen Zahlen mit
2 Â ist abgeschlossen in .
- Die Menge à Ž
• ist beschränkt aber nicht abgeschlossen, da für die Folge š
-
mit š A
Œ[_
53 š
gilt.
Die Menge ‹ B C Ä Ž
• ist beschränkt und abgeschlossen, weil nun 0 durch die
Vereinigung der beiden Mengen selber mit in der Menge ist.
Å
ist nicht beschränkt, denn es existiert eine Folge * + mit
und
Œ[_ 53
„ .
[Kompaktheit]
Eine Menge W = heißt kompakt, wenn jede Folge aus M eine konvergente Teilfolge besitzt.
4
- Das Intervall [a, b] wird als kompaktes Intervall bezeichnet, denn die Menge B2
2
C ist kompakt.
- Die leere Menge ist ebenfalls beschränkt, also ist auch kompakt.
[Kompaktheitskriterium von Heine – Borel (nicht von B. Weierstraß !!)]
Sei < = . A ist genau dann abgeschlossen und beschränkt, wenn A kompakt ist.
-
Das kompakte Intervall [1, 2] ist also abgeschlossen und beschränkt.
Jede endliche Teilmenge des
ist kompakt.
Eine abgeschlossene Menge < =
ist genau dann nicht kompakt, wenn sie unbeschränkt
ist. Ein Beispiel für eine abgeschlossene, aber nicht kompakte Menge ist die Menge = .
Das Bild eines Intervalls unter einer stetigen reellen Funktion ist wieder ein Intervall.
Das Bild eines kompakten Intervalls unter einer stetigen Funktion ist wieder ein kompaktes
Intervall. (Satz 4.10)
- Sei die Funktion ij q 5 nur punktweise stetig, also nicht auf ganz D, dann muss das Bild
eines Intervalls von f nicht wieder ein Intervall sein, da die Funktion f als Voraussetzung
auf ganz D stetig sein muss.
Erinnerung: Aus Stetigkeit folgt auch punkweise Stetigkeit, aber aus punktweiser Stetigkeit
folgt nicht zwingend Stetigkeit im dem ganzen Definitionsgebiet. Auf ein Beispiel wird hier
vorerst verzichtet.
[injektiv – streng monoton]
Eine stetige reelle Funktion ist auf einem Intervall genau dann injektiv, wenn sie streng
monoton ist.
Beispiele:
(i)
Die Funktion lj ? @ 5 ? @ mit l*2+ A X[\*2+ ist auf dem Intervall [0, 1] streng
monoton und deshalb auch zwangsläufig injektiv. Dass die Sinusfunktion stetig ist,
kann man ganz leicht zeigen.
(ii)
Eine streng monotone Treppenfunktion ist auf einem Intervall nicht generell injektiv,
denn Treppenfunktionen sind i.d.R. nicht stetig.
[Zwischenwertsatz] (Satz. 4.13)
Eine auf einem abgeschlossenen Intervall definierte stetige Funktion nimmt jeden Wert
zwischen 2 Funktionswerten an.
Oder: Eine stetige Funktion ij ?
@ 5 nimmt alle Werte zwischen i* + und i* + an. Das
heißt die Funktion f hat keine Löcher.
[Nullstellensatz von Bolzano] (Satz 4.12)
*
+ mit
Sei ij ?
@ 5 stetig. Falls i* +
und i* +
, dann existiert ein 2
i*2 +
.
Wichtig ist hierbei, das es einen Vorzeichenwechsel bei f geben muss, damit f tatsächlich eine
Nullstelle besitzt.
Man kann diesen Satz mit einer rekursiv definierten Intervallschachtelung beweisen. Darauf
wird hier verzichtet.
Beispiele:
(i)
Die Exponentialfunktion ij 5
ist stetig. Weil aber kein Vorzeichenwechsel
stattfindet, gibt der Nullstellensatz keine Auskunft über eine Nullstelle.
(ii)
Ob der Nullstellensatz hinreichend und notwendig ist, kann ich noch nicht sagen.
Weiterhin weiß ich nicht, wie man die Nullstelle einer Funktion, die nur im Punkt 0
4
definiert ist, wie ij q 5 Æ mit q Æ B2
2
C zeigen kann. Es findet
hier nämlich kein Vorzeichenwechsel statt.
(iii) Die Cosinusfunktion ij 5 ?
@ ist stetig und es gilt ÇÈX*Â+ ÇÈX* Â+
und
ÇÈX* Â+ ÇÈX* Â+
. Dies ist offensichtlich ein Vorzeichenwechsel. Die
Cosinusfunktion hat also mindestens eine Nullstelle.
( Â für '
und
(iv)
Um genau zu sein ist ÇÈX*2+
s 2 &'
X[\*2+
s 2 'Â für '
.
Beweis: Es ist X[\*Â+
X[\ 2
X[\* Â+
und ÇÈX 2
, also auch X[\*'Â+
. Für
É
2
 ist X[\ 2
'
X[\ ®
É
. Für
&
É
2(¯
2
É
ist
ÇÈX &
É
2(
ÇÈX &2
(
T Schließlich ist X[\ & (
. Also gibt es keine Nullstellen für
2 Â. Aus dem Additionstheorem folgt, dass X[\*Â 2+
X[\* 2+ ist. Also
gibt es auch keine Nullstelle für  2
Â. Die Nullstellen des Cosinus ergeben
sich nun aus ÇÈX*2+ X[\* ” 2+. E
É
É
[Maximum/Minimum]
Jede nichtleere kompakte Menge W = enthält ein Maximum und ein Minimum.
- Sei Ê ?
@ ein abgeschlossenes Intervall. Eine Funktion ij Ê 5 nimmt in I ihr
Maximum und ihr Minium an. Insbesondere ist sie auf I beschränkt. Anmerkung: Das
Intervall I ist bekanntlich auch kompakt. Der Beweis dieses Satzes ist ganz schön, denn hier
werden einige topologische Sätze von oben aufgegriffen.
Beweis: i*Ê+ = ist kompakt, also insbesondere beschränkt. Demnach existieren
v/ A [\] i*Ê+ und v A XYZ i*Ê+. Es gibt jeweils Folgen in i*Ê+, die gegen das
Infimum bzw. das Supremum konvergieren. Weil i*Ê+ abgeschlossen ist, liegen die
Grenzwerte, also v/ und v , ebenfalls in i*Ê+. Also gibt es Punkte 2/ und 2 in I mit
i*2/ + v/ und i*2 + v . Daraus ergibt sich unsere Behauptung.
Aufgrund des Zwischenwertsatzes gibt es zwischen dem minimalen und den maximalen Wert
einer Funktion ij ?
@ 5 keine Lücken. Also ist das stetige Bild eines abgeschlossenen
Intervalls wieder ein abgeschlossenes Intervall. Auf einem offenen Intervall braucht eine
stetige Funktion Maximum oder Minimum nicht anzunehmen.
Beispiel: ij * + 5 mit i*2+
. Hier beträgt das Minimum 0 und das Maximum 1,
©
welches beides nicht im offenen Intervall (0, 1) liegt.
[gleichmäßige Stetigkeit] (Def. 4.12)
Die Funktion ij q 5 heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt:
+
f gleichmäßig stetig s
tf
2 v q o *42 v4 f w 4i*2+ i*v+4
- Will man die gleichmäßige Stetigkeit zeigen, dann darf das f nur noch von abhängen.
- Will man die punktweise Stetigkeit zeigen, dann kann das f auch von der Stelle, die man
auf Stetigkeit untersucht (2 .oder ), abhängen.
- Es gilt übrigens folgende Implikationskette: (sehr wichtig für die Klausur )
Gleichmäßig stetig w stetig w punktweise stetig.
- Die Umkehrung der Implikationskette gilt i.d.R. nicht, also:
Punktweise Stetigkeit Ë Stetigkeit Ë gleichmäßige Stetigkeit.
- Der folgende Satz ist ebenfalls sehr relevant. (Satz 4.14) Es sei f eine stetige Funktion auf
dem kompakten Intervall [a, b]. Dann ist f gleichmäßig stetig.
- Die folgende Anwendung ist sehr anschaulich und wichtig: Die Funktion i*2+ ÇÈX*2 +
ist auf dem Intervall ?
+ = gleichmäßig stetig. Die Funktion f ist stetig, da sie aus zwei
stetigen Funktionen (g(x) = cos (x)) zusammengesetzt ist. Stetige Funktionen sind auf
kompakten Intervallen gleichmäßig stetig. Daher ist f auf jedem Intervall der Form [0, a]
und somit auf jedem kleineren Intervall, also auch auf ?
+ gleichmäßig stetig.
- Die Lipschitz – Stetigkeit, welche übrigens noch stärker ist als die gleichmäßige Stetigkeit,
und die Hölder – Stetigkeit, die eine Verallgemeinerung der Lipschitz – Stetigkeit ist,
wurden in der Vorlesung nicht thematisiert (nur in den Übungen für Mono Bsc.). Deshalb
gehe ich nicht weiter darauf ein.
[Polynom]
!
gibt, so
Eine Funktion ij 5 heißt Polynom(funktion), falls es reelle Zahlen
dass für alle 2
gilt: i*2+
2 •
2 .
- Sei f(x) ein Polynom vom Gerad n. Ist n ungerade, so besitzt f wenigstens eine Nullstelle.
-
Eine Polynomenfunktion mit
p vom Grad n hat höchstens n verschieden Nullstellen.
Besitzt eine Polynomenfunktion vom Grad n mehr als n Nullstellen, so muss
•
sein.
Es gelten folgende Gradformeln für zwei Polynomenfunktionen f und g: l… | *i l+
l… |*i+ l… |*l+ sowie l… |*i l+ _`a*l… |*i+ l… |*l++.
Jedes nicht konstante komplexe Polynom hat in wenigstens eine Nullstelle.
Sei ¥*2+ ein Polynom vom Grad n mit reellen Koeffizienten. Falls Ì
eine
komplexwertige Nullstelle von p ist, dann ist auch ÌÍ (konjungierte komplexe Zahl) eine
Nullstelle.
[Exponentialfunktion]
ªaZ*2+ o
5
Eigenschaft:
Es existiert eine Umkehrfunktion.
Die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend.
Die Exponentialfunktion ist differenzierbar und damit auch stetig.
Die Exponentialfunktion ist nicht gleichmäßig stetig auf ganz .
Die Funktion ist Riemann – integrabel.
Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der
Exponentialfunktion.
Die Exponentialfunktion hat in keine Nullstelle.
Es gilt: } © s ªaZ*2+
2
.
/©
Es gilt: }
2
.
O·
Es gilt: Œ[_©5/3 } ©
und Œ[_©53 } © ^.
©
Es gilt: }
2
.
Es gilt: ªaZ* +
.
Für die Ableitung gilt: ªaZ Î*2+ ªaZ*2+
2
.
Es gilt: Ï ªaZ*2+ |2 ªaZ*2+ Ð 2
Ð
e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757 247 093 699
// Abb. 2
Die Abbildung 2 zeigt den Verlauf der Exponentialfunktion (wichtig, dass man das weiß!)
Œ\ o
[Logarithmusfunktion]
Eigenschaft:
5
Mann nennt Œ\ o
5 die natürliche Logarithmusfunktion und
bezeichnet sie mit ªaZ/
Œ\T
Die ln – Funktion ist auf ganz
definiert.
Die ln – Funktion ist beliebig oft differenzierbar.
Die nat. Logarithmusfunktion wächst streng monoton und stetig.
Die ln – Funktion ist auf ganz ¹ nicht gleichmäßig stetig.
Die Logarithmusfunktion ist Riemann – integrabel.
©
Es gilt: Œ\*2+ Ï • / |•.
Daraus ergibt sich Œ\ o
5
, mit 2 Ñ Ï • / |•.
©
Für die Ableitung gilt: Œ\ Î*2+
©
Es gelten folgende Regeln: 2 v
š
(i)
Œ\* +
(ii)
Œ\*2+ Œ\*2 / + ŒÈÒ* +
(iii) Œ\*2 Ó + š Œ\*2+
Œ\*2 v+ Œ\*2+ Œ\*v+ Funktionalgleichung (Satz 5.2)
(iv)
(v)
Ï Œ\*2+|2 2 Œ\ 2 2
Das Bild der ln – Funktion ist die ganze reelle Gerade, und die
Steigung fällt monoton und ist 1 im Punkt 1.
©
Es gilt: Œ[_©53 Œ\*2+ ^ (klingt seltsam, ist aber wirklich so)
und Œ[_©5 Œ\*2+
^
// Abb. 3
Die 3. Abbildung zeigt den Graph der natürlichen Logarithmusfunktion.
[allg. Potenz] (Def. 5.2)
schreibt man
Für
Die Funktion ªaZÖ o
5
[Potenzregeln]
, 2 v
Für
(a)
© -
© -
©
gilt:
(b) *
A ªaZJ 2 A } µ ÔÕ J
2
.
heißt Exponentialfunktion zur Basis a.
© +-
© -
(c)
©
©
*
+©
(d) & (
J
©
/©
J·
[Wurzel] (Bem. 5.1)
Für
und
schreibt man auch
8
’
8
’
8
’
† . Verwendet man die Rechenregel von
’
eben, dann folgt: , † .
& (
.
Hierbei ist die n – te Wurzel also als Umkehrfunktion der n – ten Potenz
’
// Abb. 4
5
beschrieben.
Die 4. Abbildung zeigt den Graph der Wurzelfunktion.
[Logarithmusfunktion zur Basis a]
Die natürliche Logarithmusfunktion ln hatte als Basis bekanntlich die Eulersche Zahl. Nun wir
noch einmal die Basis a aufgegriffen.
©
ist stetig. * › +× Œ\* + › für
•
- Die Funktion i*2+
©
ist streng monoton wachsend.
- Fall 1: Falls
(Œ\
) w
- Fall 2: Falls
(Œ\
) w © ist streng monoton fallend.
- Wenn p , dann existiert eine Umkehrfunktion zur Basis a und wird mit ŒÈÒ Ö bezeichnet.
ØÝ Ü
Setzt man ŒÈÒ Ö 2 v w 2
} - ÔÕ J mit Œ\ 2 v Œ\ w ØÙÚÛ Ü
ØÝ Û
// Abb. 5
Abbildung 5 zeigt obigen Fall 2
[Wichtige Grenzwerte - Übersicht]
Œ[_ ®
¯
53
}
Œ[_
2N
…
©5 3 } ©
Œ\*2+
Œ[_
…
©5 3 2 N
Œ[_ 2 N Œ\*2+
…
Œ[_
Œ[_
©5/
Œ[_
©5
©5/3
©
Œ[_ †2
©53
Œ[_
L5
}L
Œ[_ ®
‚
53
’
Œ[_ †
53
^
Œ[_ &
(
’
2
X[\*2+
Œ[_
©5
^
’
Œ[_ † )
53
¯
^
2:
53
X[\*2+
Œ[_
©5
2
©
Œ[_
^
Œ[_
^
2
Œ[_ †
©5
©53
^
2
©5
53
Œ[_
L5
}
3
"
$
*
+
Œ\*
Œ[_ &
©53
‚
Â
²
‚+
2
(
©
}J
Œ[_ *
[imaginäre Einheit]
Wir setzen ;:
und nennen i die imaginäre Einheit.
[Realteil, Imaginärteil]
Sei š
;
. Dann heißt
Imaginärteil von š.
Þ «}*š+ A
[Komplex Konjungierte]
Sei š
;
. Dann heißt šÍ
Beispiel: Sei š
”
°; mit š
[Absolutbetrag]
Wir setzten 4š4 A †ššÍ
[Rechenregeln]
- Es gilt
;
- Es gilt *
;+
*
- Es gilt
;+
- Es gelten ;
Wir setzen Ð B*
+
- Dann gilt *
+*u |+ *
- *
Beispiele:
*
(i)
;+
*1
u
Ÿ :
*u
*u
;
+j
*u
u
;
, dann gilt: šÍ
der Realteil von š und
”
°;.
: und nennen 4š4 den Absolutbetrag von š.
*
1+
*
+;
”
;
|.
u |
u |
}J
Þ Ê *š+ A
komplex Konjungierte zu š.
|; genau dann, wenn
u und
|;+ *
u+ *
|+;
|;+ * u
|+ * |
u+;
und
;
C
|+ *
u
|+ und
| |
u+
;+
2+©
©5
der
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
*
*
*
ß#
#
* /#+7
*
+
;+
;+ *
;+ *
+ *
+;
;+*
;+ *
*
*
;+*
;+
:
:+
*
*
à ß *
ß#+* /#+
#+* /#+
á
* /#+6 * /#+
/ +#
/ #* /#+
ß
/ #/
*
â
ß
;
+;
+;
;
:
/ *#
:
/ *#
+
#/
+*#/ +
#/
/ */ +
#/
á
[Eigenschaften] (Satz. 5.4/ 5.5)
Für š š š gilt:
*š šÍ+ und Ê *Á+
- «}*š+
*š šÍ+
#
- šã š
- šäääääääää
š
šå šå
šå šå
- ääääääää
š š
- š
s š šÍ
- 4š4
, 4š4
sš
- 4š š 4 4š 44š 4
- 4š
š 4 4š 4 4š 4 (Dreiecksungleichung in )
Ó’
Wir setzen nun ªaZ*š+ 03$
}Ó
š
)
Ó æ
Ó
æ
- Dann gilt š b
:}
} }
- Weiterhin gilt š
: } ÓÍ }äääÓ
[Eulersche Identität]
Für œ
gilt: } #ç ÇÈX œ
; X[\ œ
Beweis: Der Beweis ist sehr interessant, es gilt:
3
3
3
;- œ;- œ;- œ#ç
}
"
"
"
')
')
')
-$
3
"
$
*
-$
$
+ œ
* +)
3
"
$
-$
*
*
$
+ œ
+)
3
;
; œ
"
* +)
$
ÇÈX*œ+
3
"
$
;
*
; X[\*œ+
œ
á
á
;
+)
Ich habe im Beweis hier einfach die Reihen verwendet. Jeder, der Analysis 1 besucht, sollte
zumindest in der Lage sein, diesen Beweis nachzuvollziehen und ihn ggf. in der Klausur
wiedergeben können. Und damit folgt dann auch die Behauptung. E
[Sinus/ Cosinus] (Def. 5.8)
Wir definieren den Cosinus mit dem Realteil der komplexen Exponentialfunktion, also von } #ç
und den Sinus mit dem Imaginärteil von } #ç . Es gilt also: ÇÈX*2+ A «}*} #ç + und X[\*2+ A
Ê *} #ç +.
[Additionstheoreme]
Für 2 v
gilt (i) ÇÈX*2
(ii) X[\*2
[Sinus-/ Cosinusfunktion]
v+
v+
ÇÈX 2 ÇÈX v
X[\ 2 ÇÈX v
3
X[\*2+ A "*
ÇÈX*2+
-$
3
X[\ 2 X[\ v
ÇÈX 2 X[\ v
"*
-$
+-
2 * '
+-
2 * '+)
+)
-
Beide Reihen (Sinus/ Cosinus) sind absolut konvergent. Die kann man leicht mit dem
Wurzelkriterium zeigen.
Die absolute Konvergenz der Exponentialreihe kann man übrigens leicht mit dem
Quotientenkriterium zeigen.
X[\ o
[Sinusfunktion]
Eigenschaft:
5?
@
Die Sinusfunktion ist in ganz gleichmäßig stetig.
Es ist X[\ 2
2 * @
Die Menge die Nullstellen von der Sinusfunktion lautet:
B2
4 X[\ 2
C B'Â4'
C
Die Sinusfunktion ist nach oben durch 1 und nach unten durch -1
beschränkt.
Die Sinusfunktion ist überall beliebig oft differenzierbar.
Die Sinusfunktion ist integrabel.
Es gilt: X[\Î*2+ ÇÈX*2+
2
.
Weiterhin gilt: Ï X[\*2+|2
ÇÈX*2+ Ð
Ð 2
.
Sinus ist 2Â periodisch.
Œ[_©5èé X[\*2+ è .
6
X[\ : ÇÈX :
Zudem gilt 2
:
X[\*2
Â+ X[\*2+
X[\*2 Â+
X[\*2+
X[\* 2+
X[\*2+
êÖÕ*©+
X[\*2+ A
für 424
Ÿ
êÖÕ :*©+
É
X[\*2
”Â+
ÇÈX*2+
// Abb. 6
Die Abbildung 6 zeigt den  periodischen Verlauf der Sinusfunktion. Den Verlauf, sowie
wichtige Werte der Funktion muss man wissen, wie z.B. X[\* + X[\ Â
usw.
ÇÈX o
[Cosinusfunktion]
Eigenschaft:
5?
@
Die Cosinusfunktion ist in ganz gleichmäßig stetig.
Es ist X[\
T
In [0, 2] ist die Cosinusfunktion streng monoton fallend.
Die Cosinusfunktion ist nach oben durch 1 und nach unten durch -1
beschränkt. Das bild der Cosinusfunktion ist also das kompakte
Intervall [-1, 1].
Die Menge die Nullstellen von der Cosinusfunktion lautet:
É
B2
4 ÇÈX 2
C Ž
'Â4'
•
Achtung: Hier war ein Fehler auf den Folien unseres Dozenten!!!
Die Cosinusfunktion ist überall beliebig oft differenzierbar.
Die Cosinusfunktion ist integrabel.
Es gilt: ÇÈXÎ*2+
X[\*2+
2
.
Weiterhin gilt: Ï ÇÈX*2+|2 X[\*2+ Ð
Ð 2
.
Kosinus ist 2Â periodisch.
Œ[_©5èé ÇÈX*2+
.
6
X[\ : ÇÈX :
Zudem gilt 2
:
ÇÈX*2
Â+ ÇÈX*2+
ÇÈX*2 Â+
ÇÈX*2+
ÇÈX* 2+ ÇÈX*2+
ÇÈX*2+ A
für 424
ÇÈX & (
É
Ÿ
êÖÕ :*©+
ÇÈX* +
É
ÇÈX*2
”Â+
X[\*2+
// Abb. 7
Die Abbildung 7 zeigt den  periodischen Verlauf der Cosinusfunktion
ë`\ o* Âì
[Tangensfunktion]
Eigenschaft:
Âì + 5
Man kann diese Funktion periodisch fortsetzen:
ë`\*2 Â+ A ë`\*2+.
Auf dem Intervall * Âì Âì + wächst der Tangens streng monoton.
Es gilt: ë`\* 2+
ë`\*2+.
Weiterhin gilt: ë`\*2+ ë`\ &
í
í©
ë`\*2+
ë`\ :*2+
É
2(
für 2 c Ž
-É
4'
•.
Die Tangensfunktion ist integrabel mit Ï ë`\*2+|2
Œ\4ÇÈX*2+4.
Die Umkehrfunktion ist der Arkustangens mit  A ² `îÇë`\* +T
C ist der Tangens beliebig oft
Außerhalb von Bïì
'Â4'
differenzierbar. Dabei ist ë`\Î* +
und ë`\ Î*2+ 5 ^ für
2 5 è Âì auf dem Intervall * Âì Âì +
@ und steigt
Die Steigung von ë`\ Î fällt monoton auf * Âì
monoton auf ? Âì +.
Mit Periodizität des Tangens ergibt sich der folgende Graph in Abbildung 8.
// Abb. 8
[Differenzierbarkeit, Ableitung]
Ê, falls der Grenzwert des
Eine Funktion ij Ê 5 heißt differenzierbar an 2
Differenzenquotienten, also der Differentialquotient für ‚ p und 2
‚ Ê
i*2
‚+ i*2 +
i × *2 + A Œ[_
L5
‚
íð
existiert. Die Zahl *2 + A iÎ*2 + nennt man die Ableitung von f in 2 .
í©
- Um zu zeigen, dass eine Funktion differenzierbar ist, braucht man also einfach nur zu
zeigen, dass der Limes des Differenzenquotienten existiert. Ein Beispiel wir dazu in Teil 2
vorgeführt. Übrigens ist diese Definition sicherlich ein Spitzenreiter in Anbetracht der in
der Klausur möglicherweise abgefragten Definition.
[Ableitungsregeln (ohne Beweis)]
Die folgenden Regeln beziehen sich ausschließlich auf differenzierbare Funktionen in .
(i)
Konstantenregel: Leitet man eine konstante Zahl ab, so fällt diese einfach weg (es bleibt
nur noch die 0 stehen, da eine konstante Funktion auch eine
Änderungsrate von 0 hat).
(ii)
Potenzregel: Sei i*2+ 2
w i × *2+
2 /
(iii) Faktorregel: Ein beliebiger Koeffizient wirkt sich nicht auf den Prozess der
Differentiation aus. i*2+ ñ2
w i × *2+
ñ2
ñ
(iv)
Summenregel: In einer Summe wird jeder Summand einzeln abgeleitet.
(v)
Produktregel: *i l+× i × l i lÎ (auch genannt Leibnizregel)
(3 Faktoren) *i l ‚+× i × l ‚ i l× ‚ i l ‚×
(4 Faktoren) *i l ‚ +× i × l ‚
i l× ‚
i l ‚×
i l ‚ Î
usw. (Der interessierte Leser kann ja einen Beweis für endlich viele Faktoren führen.
Das wäre auch eine gute Aufgabe für die Klausur. An dieser Stelle wird
darauf verzichtet. )
(vi)
(vii)
J ×
Quotientenregel: & (
•
•:
Kettenregel: Salopp formuliert; Innere äußere Ableitung oder formell gilt unter
einigen Voraussetzungen (hier nicht erwähnt): *l n i+× l× *i+ iÎ
Jò • DJ •ò
(viii) Umkehrfunktion: Unter einigen Voraussetzungen folgt: *i / +× ,i *2 +.
-
ð×*©— +
Es versteht sich von selbst, dass jeder erbarmungslos diese Regeln anwenden können muss.
Zahlreiche Ableitungen werden deswegen in Teil 2 vorgeführt.
[Differenzierbarkeit – Stetigkeit]
Ist eine Funktion ij q 5 in 2 differenzierbar, so ist sie auch in 2 stetig.
- Die Umkehrung des Satzes gilt nicht.
- Jede differenzierbare Funktion ist also stetig.
- Aus Nicht-Stetigkeit folgt auch Nicht-Differenzierbarkeit
- Aus Nicht-Differenzierbarkeit folgt nicht unbedingt die Nicht-Stetigkeit (siehe u.a. die
Betragsfunktion)
- Aus Stetigkeit folgt nicht unbedingt die Differenzierbarkeit (s. Betragsfunktion)
[Höhere Ableitungen]
Ist i auf I *
+-mal differenzierbar und die *
+-te Ableitung i * / + in • noch ein
weiteres Mal differenzierbar, so sagt man, i ist in • n-mal differenzierbar, und die n-te
Ableitung in • wird definiert durch
×
i * + *• + A ,i * / + . *• +
Bemerkung: Manchmal benutzt man auch die Leibniz’sche Schreibweise aus der Vorlesung
(nach Satz 6.5): Wie man
íð
í›
stattiÎ schreibt, so schreibt man auch
í’ð
í› ’
an Stelle von i * + .
[Extrempunkt, Maximum & Minimum] (Def. 6.2)
Sei ij *
+ 5 eine Funktion. Man sagt i habe in 2 *
+ ein lokales Maximum, wenn ein
existiert, sodass i*2+ i*ó+ für alle ó mit 42 ó4
.
Sei ij *
+ 5 eine Funktion. Man sagt i habe in 2 *
+ ein striktes lokales Maximum,
wenn ein
existiert, sodass i*2+ i*ó+ für alle ó mit 42 ó4
.
Sei ij *
+ 5 eine Funktion. Man sagt i habe in 2 *
+ ein lokales Minimum, wenn ein
existiert, sodass i*2+ i*ó+ für alle ó mit 42 ó4
.
Sei ij *
+ 5 eine Funktion. Man sagt i habe in 2 *
+ ein striktes lokales Minimum,
wenn ein
existiert, sodass i*2+ i*ó+ für alle ó mit 42 ó4
.
Der Begriff des Extremums ist der Oberbegriff für Maximum und Minimum. Gegebenfalls
sagen wir auch Hochpunkt bzw. Tiefpunkt.
[Notwendige Bedingung für Extrema]
Die Funktion ij *
+ 5 besitze im Punkt 2 *
+ ein lokales Extremum (also ein
Maximum oder Minimum) und sei in x differenzierbar. Dann ist i × *2+
.
- Jede kompakte Menge besitzt bekanntlich ein Minimum/ Maximum. Liegt Min/ Max am
Rand, dann muss nicht unbedingt iÎ*2+
sein.
- Achtung, die in der Schule gelernte Bedingung i × *2+
ist nur notwendig, aber nicht
hinreichend. Für die Funktion i*2+ 2‡ gilt offensichtlich iÎ*2+ 12: und iÎ* +
.
Trotzdem hat f keinen Hoch-/ Tiefpunkt in x = 0.
Das Bild der Funktion zeige ich noch einmal kurz in Abbildung 9.
// Abb. 9
[Satz von Rolle]
Die Funktion ij ?
@ 5 sei stetig und in (a, b) differenzierbar mit i* + i* +, dann
.
existiert ein ó *
+ mit i × *ó+
- Der Satz besagt, dass zwischen zwei Nullstellen einer differenzierbaren Funktion eine
Nullstelle der Ableitung liegen muss.
- Die drei Voraussetzungen waren, (i) Stetigkeit (ii) Differenzierbarkeit (iii) i* + i* +
Wenn man die dritte Voraussetzung weglässt, dann ergibt sich der folgende wichtige Satz.
[Mittelwertsatz]
Es seien
und ij ?
@ 5 stetig und in *
+ differenzierbar. Dann existiert mindestens
ð*•+/ð*J+
× *ó+
ein ó *
+ mit i
.
•/J
- Man kann den Mittelwertsatz auch geometrisch schön verdeutlichen. Er sagt einfach nur
aus, dass es eine Stelle im Intervall (a, b) gibt, an der die Tangentensteigung mit der
Steigung der Sekante durch die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) gleich ist. Der Mittelwertsatz
ist ein relativ starker Satz. Es gibt immer wieder Aufgaben, bei denen man ihn anwenden
kann. Aber natürlich gibt es kein Rezept, welches uns sagt, wann wir den Mittelwertsatz
anwenden müssen oder können. So funktionier Mathematik eben nicht. Jede Aufgabe, jedes
Problem ist anders und muss von sich aus neu betrachtet werden. Man kann diesen Satz
auch zum Nachweis der gleichmäßigen Stetigkeit spezieller Funktionen verwenden.
[erweiterter Mittelwertsatz]
Sind i und l stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). Ferner sei l× *2+ p , dann existiert
ó
-
*
+ mit
ðò *ô+
ðò *ô+
l* +
ð*•+/ð*J+
R*•+/R*J+
l* + p
sonst existiert l× *2+
Es gibt hier nach dem 2. Mittelwertsatz einen inneren Punkt von [a, b] mit
ð*•+/ð*J+
R*•+/R*J+
.
Beispiel: i × *2+
2
?
@
w i konstant.
W
.
ðò *ô+
ðò *ô+
i*2+
i*v+
[Differentialgleichung õ× öõ ÷] (Satz 6.10)
Sei ij 5 differenzierbar, u
eine Konstante und i × *2+ u i*2+
2
. Dann ist
K©
i*2+ i* + } für 2
.
Beweis: Ich zeige hier, dass die Differentialgleichung v × uv
auf immer eine Lösung
besitzt und geben die Lösung (welche bis auf einen konstanten Faktor eindeutig bestimmt ist)
explizit an.
Wäre u
, i eine reellwertige differenzierbare Funktion ohne Nullstellen und
i × *2+
u i*2+ auf , so könnte man schließen: *Œ\ n i+× *2+
ðò *©+
ð*©+
u, also
Œ\*i*2++ u2 | und i*2+ ªaZ*u2 |+. Diesen Schluss kann ich hier nicht durchführen,
deshalb wende ich einfach einen kleinen Trick an. (Auf Tricks kommt es in vielen Beweisen
an) Ist i eine Lösung, so setze ich i*2+ A i*2+ } /K© . Dann folgt:
ø × *2+ *i × *2+ u i*2++ } /K© ù
Als ist schließlich auch ø*2+ konstant. Wegen ø*2+ i* + ist dann i*2+ i* + } K© . Das
zeigt die Eindeutigkeit der Lösung, und gleichzeitig ist die Funktion i- *2+ A ' } K©
tatsächlich eine Lösung, mit i- * + '. E
[Monotonie] (Satz 6.11)
Die Funktion i o ?
@ 5 sei stetig und in (a, b) differenzierbar. Gilt für alle 2 *
+ die
×
× *2+
×
× *2+
Ungleichung i *2+
,i
, i *2+
bzw. i
, so ist die Funktion f in ?
@
monoton wachsend, streng monoton wachsend, monoton fallend bzw. streng monoton fallend.
- Ist f monoton wachsend, so folgt i × *2+
2 *
+.
- Ist f monoton fallend, so folgt i × *2+
2 *
+.
[Maximum, Minimum (hinreichende und notwendige Bedingung)]
Die Funktion i o ?
@ 5 sei stetig und im Intervall (a, b) differenzierbar und in 2
*
+
+, dann
zweimal differenzierbar mit entweder i × *2 +
und i × Î*2 +
oder * i × Î*2 +
besitzt i an der Stelle 2
*
+ ein isoliertes lokales Maximum (lokales Minimum).
+ sind hinreichende Bedingungen und
- Die Bedingungen i × Î*2 +
oder * i × Î*2 +
× *2 +
i
war nur eine notwendige Bedingung.
[Kritischer Punkt]
Ist i o q 5
differenzierbar, so nennt man einen Stelle 2 q mit i × *2+
Punkt.
- Erinnerung: Nicht jeder kritischer Punkt ist eine Extremstelle.
kritischer
[Wendepunkte]
Sei i o q 5 eine differenzierbare Funktion. Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf dem
Funktionsgraphen von f, an welchem der Graph sein Krümmungsverhalten ändert. Der Graph
wechselt hier von einer Rechts- in eine Linkskurve oder umgekehrt.
- Ein Wendepunkt an einer Wendestelle 2 liegt vor, wenn die 2. Ableitung der
differenzierbaren Funktion f an der Stelle 2 ihr Vorzeichen wechselt.
- Bildlich findet man den Wendepunkt einer Funktion (wenn man sie zeichnen kann), indem
man mit einem „Lenkrad“ quasi auf der Funktion (wie in einem Fahrsimulator) die Strecke
zurücklegt. Sobald das Lenkrad einmal die Richtung ändert, ist an dieser Stelle der
Funktion ein Wendepunkt. Probiert es doch einfach einmal auf und fahrt die folgende
Strecke in Abbildung 10, aber natürlich nur in Gedanken.
//Abb. 10
Genau hier ändert das Lenkrad seine Richtung.
[Konvexität/ Krümmung] (Def. 6.3)
Eine Funktion i o Ê 5 heißt auf I konvex, falls für alle 2 2 × Ê mit 2 2 × und alle •
?2 2 × @ gilt: ,• i*•+. liegt unterhalb der Verbindungsstrecke von ,2 i*2+. und ,2 × i*2 × +.T
Die Funktion ij Ê 5 heißt auf I strikt konkav, falls für alle 2 2Î Ê mit 2 2Î und alle
• *2 2 × + gilt: (• i*•++ liegt strikt unterhalb der Verbindungsstrecke von *2 i*2++ und
*2 × i*2 × ++. Ersetzt man „unterhalb“ durch „oberhalb“, so bekommt man die Begriffe konkav
und strikt konkav.
[Konvexität und 2. Ableitung]
Ist i o Ê 5 zweimal differenzierbar, so ist f genau dann auf I konvex, wenn dort i ×× *2+
ist. Ist sogar i ×× *2+
auf ganz I, so ist f strikt konvex.
[1. Regel von de l’Hospital (der Grenzwert 0/0)]
Die Funktionen i und l seien auf dem offenen Intervall Ê A *
l× *2+ p für alle 2 Ê. Außerdem sei
Œ[_ i*2+
Œ[_ l*2+
Wenn Œ[_©5J
ðò *©+
Rò *©+
©5J
©5J
existiert, dann existiert auch Œ[_©5J
ð*©+
R*©+
+ differenzierbar, und es sei
, und die beiden Grenzwerte sind
gleich. Eine entsprechende Aussage gilt auch für den linksseitigen Grenzwert bei b.
- Also immer wenn man beim Bestimmen des Limes eines Bruchs auf einen Grenzwert der
Form kommen würde, leitet man die differenzierbaren Nenner und Zähler gleichzeitig
und gleich oft ab und versucht jeweils erneut den Grenzwert zu ermitteln. Erhält man
irgendwann einen Grenzwert, so ist man fertig.
- Beispiele sind für die Klausur sehr wichtig und werden in Teil 2 vorgeführt.
[2. Regel von de l’Hospital (der Grenzwert*^ú^+]
Die Funktionen i und l seien auf dem offenen Intervall Ê A *
l× *2+ p für alle 2 Ê. Außerdem sei
Œ[_ l*2+
Œ[_ i*2+
^
Wenn Œ[_©5J
ðò *©+
Rò *©+
©5J
©5J
j u existiert, dann existiert auch Œ[_©5J
+ differenzierbar, und es sei
ð*©+
R*©+
, und die beiden Grenzwerte
sind gleich. Eine entsprechende Aussage gilt auch für die Annäherung an b von links.
[Zerlegung]
Es seien
. Eine Zerlegung des Intervalls [a, b] ist eine Menge*
Á B• • ! • / • C
•
! • /
•
, wobei eine beliebige natürliche Zahl sein kann.
mit
•
@+.
Die Menge aller Zerlegungen von [a, b] bezeichnen wir mit û*?
// * In einiger Literatur wird eine Zerlegung auch manchmal in Vektorschreibweise
geschrieben, da es auf die Reihenfolge der Elemente ankommt.
[Riemann-Integral]
@+ eine beliebige
Es sei ij ?
@ 5 beschränkt und Á A B• • ! • / • C û*?
Zerlegung von ?
@. Für ~
!
setzen wir
W§ *iü Á+ A XYZýi*•+j •§/
• •§ þ
\]ýi*•+j •§/
•
§ *iü Á+ A [
sowie
Í
Ó *i+
*iü Á+ A " W§ ,•§
§$
Ó *i+
•§/ .
‹*iü Á+ A "
§$
§ ,•§
•§/ .
•§ þ
und nennen *iü Á+die Obersumme und ‹*iü Á+ die Untersumme von i bzgl. Z. Schließlich
@+C ‹*i+ A XYZB‹*iü Á+ o Á û*?
@+C
setzten wir noch *i+ A [\]B *iü Á+ o Á û*?
und nennen *i+ das Oberintegral und ‹*i+ das Unterintegral von i über ?
@.
Im Falle *i+ ‹*i+ nennen wir die Funktion Riemann-integrabel über ?
@ und schreiben
@+.
hierfür i «*J •+ oder i «*?
// Das Riemann Integral wurde nach Bernhard Riemann (1826 – 1866) benannt. In obiger
Definition wurde der Name Riemann-Integral deswegen verwendet, weil man in der Analysis
noch ein weiteres Integral behandelt, welches nach Henri Lebesgue (1875 – 1941) LebesgueIntegral genannt wird und im Grunde natürlichere Eigenschaften als das Riemann-Integral
hat. Da in dieser Klausurübersicht nur das Riemann-Integral thematisiert wird, wird der
Zusatz „Riemann-“ i.d.R. weggelassen.
// Anstatt integrierbar kann man auch integrabel
schreiben (s. T. Bröcker „Analysis 1“).In der Klausurübersicht wird im Gegensatz zur
Vorlesung hauptsächlich die Bezeichnung „integrabel“ verwendet.
[Oszillation/ Differenz der Untersumme von der Obersumme]
Für jedes kompakte Intervall I bezeichne ich mit
¬*iü Ê+
XYZ Bi*2+ o 2
die Oszillation von f auf I. Weiterhin setze ich
•*iü Ê+
[\] x" ¬,iü •§/ •§ .,•§
§$
ÊC
[\] Bi*2+ o 2
•§/ . o B• • ! •
ÊC
/
• C
û*Ê+
wobei das Infimum über alle Zerlegungen des Intervalls Ê verwendet wird. Mit einer einfacheren
Schreibweise gilt also
•*iü Ê+ [\] B *iü Á+ ‹*iü Á+ o Á û*Ê+C T
Betrachtet man daher gemeinsame Verfeinerungen von Zerlegungen in Ober und
Untersummen, so kann man aus obiger Definition des Riemann-Integrals erkennen, dass f
genau dann über I integrabel ist, wenn •*iü Ê+
gilt.
[Ober/ Untersumme - Vorlesungsnotation]
Obersumme:
Í
Ó *i+
" XYZ i*2+*2-
-$
Untersumme:
Ó *i+
[Oberintegral]
Wobei Á *
" [\] i*2+*2-
-$
•
J
[Unterintegral]
2-/ +
© U–
•
J
2-/ +
© U–
i*2+|2
i*2+|2
Ó
Ó
Í
[\]
Ó *i+
XYZ
Ó *i+
*J •+
*J •+
+ die Menge aller möglichen Zerlegungen von ?
@ist.
[beschränkte Funktion] (Satz 7.1)
Für eine beschränkte Funktion ij Ê A ?
@ 5 existiert Ober- und Unterintegral und für jede
Folge von Zerlegungen *š +
mit Á*J •+ Þ *š + mit Feinheiten ‚ 5 für 5 ^ gilt:
Œ[_
53
Ó
•
i*2+|2
J
•ä
J
i*2+|2
Œ[_ ÓÍ
53
[Riemann Integral]
Sind Ober- und Unterintegral für eine beschränke Funktion ij ?
@5
gemeinsame Wert das bestimmte Riemann Integral von iüber [a, b]:
•
J
i*2+|2
•
J
i*2+|2
•ä
J
i*2+|2
und die Funktion heißt Riemann integrierbar (integrabel)
Notation:
@ 5 ü i «;}
«*J •+ Bij ?
gleich, so heißt der
Œ[_ ÓÍ
53
; •}l…
}yC
[Riemannsches Integrablitätskriterium I]
Sei ij ?
@ 5 beschränkt. Es ist i «*J •+ genau dann, wenn es zu jedem
Zerlegung š Á*
+ mit ÓÍ
gibt.
Ó
Das Kriterium ist hinreichend und notwendig zugleich.
eine
[Riemannsches Integrablitätskriterium II]
Sei ij ?
@ 5 beschränkt. Es ist i «*J •+ genau dann, wenn es zu jedem
ein f
gibt, sodass ÓÍ
für jede Zerlegung š Á*
+ mit *š+ f gilt.
Ó
Das Kriterium ist ebenfalls hinreichend und notwendig zugleich. Der Beweis hierzu befindet
sich im ergänzten Beweisteil.
[Integrabel]
- Stetige Funktionen sind Riemann integrabel.
- Differenzierbare Funktionen sind integrabel.
- Jede beschränkte und monotone Funktion ist Riemann integrabel.
- Aus Integrierbarkeit folgt nicht unbedingt Stetigkeit.
// Die Beweise zu diesen Behauptungen sind sehr schön und werden deshalb im Beweisteil
vorgeführt.
[Riemannsche Summe]
Sei ij ?
@ 5 eine Funktion, š Á*J •+ eine Zerlegung und œ- ?2-/ 2- @ dann heißt
*i+
0
« Ó
2-/ + die Riemannsche Summe von i.
-$ i*œ- +*2Zusatz:
Falls i «*J •+ und Ó *i+ und åÓ *i+ existieren folgt einerseits:
« *i+ åÓ *i+
Ó *i+
Í
Ó *i+
Ó *i+
Andererseits seien alle Riemannsummen konvergent gegen den gleichen Grenzwert.
åÓ *i+ « åÓ *i+
Also « Ó *i+
Da alle Riemannsummen für 5 gegen den gleichen Grenzwert streben und wegen
Í
beliebig: Ó *i+
für 5 .
Ó *i+ 5
[Beschränktheit – Riemann integrabel]
Für eine beschränkte Funktion ij ?
@ 5 gilt i «*J •+ genau dann, wenn für jede Folge
mit Œ[_ 53 5 alle zugehörigen Riemannsummen konvergieren und den folgenden reellen
Limes für 5 ^ haben:
«
[Schwarzsche Ungleichung]
Sei ij ?
@ 5 und lj ?
@5
vorherigen Eigenschaften gilt:
•
J
Ó’ *i+
5
•
J
i*2+|2
beschränkt und l i
i*2+l*2+|2
•
J
4i*2+4 |2
//Der Beweis hierfür wird im Beweisteil vorgeführt.
«*J •+ . Für beliebige i l mit
•
J
4l*2+4 |2
[Unbestimmte Integral]
Die Funktion ij ?
@ 5 sei Riemann integrabel und u ?
@. Dann heißt die Funktion
©
ij ?
@ 5 mit ø*2+ A ÏK i*•+|• das unbestimmte Integral von i.
[Die Stammfunktion]
Eine Funktion øj ?
@5
differenzierbar ist und ø ×
heißt Stammfunktion einer Funktion ij ?
@5
•
i gilt. Man schreibt ?ø*2+@J i* + ø* +.
, wenn ø
[Treppenfunktionen]
Alle Treppenfunktionen sind stets integrabel.
[Das Integral]
Das Integral für die demgemäß gegebene Familie integrabler Funktionen ist eine Familie von
Abbildungen
•
die also jeder Funktion i
J
ji 5
;• i
«*J •+
«*J •+ eine reelle Zahl, ihr Integral
•
J
sodass folgende Eigenschaften gelten:
(i)
Intervall-Additivität
(ii)
Monotonie
(iii) Normeirung
(iv)
Linearität
ji A
•
J
i*2+ |2
[Unbestimmte Integral – Differenzierbarkeit]
Die Funktion ij ?
@ 5 sei stetig und u ?
@. Dann ist das unbestimmte Integral ø von i
stetig differenzierbar, und es gilt: ø × i
Mittelwertsatz der Integralrechnung]
Sei f eine stetige und p eine integrable Funktion auf [a, b] und sei p ≥ 0 . Dann existiert ein
ξ ∈ [ a, b] , sodass:
b
b
f ⋅ p = f (ζ ) ⋅ p
a
b
Für p = 1 folgt insbesondere:
a
a
.
f = f (ζ ) ⋅ (b − a) .
[Korollar aus dem Mittelwertsatz]
Ist ij ?
@ 5 stetig, so existiert ein
?
@ mit ÏJ i*2+ |2
•
i* +*
+.
Der Mittelwertsatz und sein Korollar bedeuten für eine positive Funktion f, dass die Fläche
unter dem Graphen von f gleich der Fläche des Rechtecks mit den Seitenlängen f (ζ ) und b –
b
p
a bzw.
ist.
a
[Hauptsatz ø ×
Ist a
i@
x
D und f stetig auf D, so ist x
f (t ) dt eine Stammfunktion von f auf D. Ist also F
a
x
irgendeine Stammfunktion von f, so ist
f (t ) dt = F ( x ) − F ( a ) =: [ F ]ax
a
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung sagt erstens aus, dass Differenzieren das
Integrieren sozusagen wieder rückgängig macht und zweitens, wie wir ein Integral berechnen.
[Dreiecksungleichung]
@ 5 mit i
Es sei ij ?
«*J •+ . Für
•
gilt:
i*2+|2
J
•
J
4i*2+4|2
Solch ein Beweis wäre sicher auch ganz interessant als Klausuraufgabe, hier wird aber drauf
verzichtet.
[Additivitätsformel]
Es sei ij ? u@ 5 mit i
vorausgesetzt, dann gilt:
«*J •+ . Bisher haben wir
•
Für die Funktion lj ? u@ 5
K
J
J
mit u
i*2+|2 A
K
i*2+|2
•
J
•
betrachtet. Nun sei aber
u
i*2+|2
, wobei l
i*2+|2
•
J
«*J K+ , gilt die Additivitätsformel
i*2+|2
Weiterhin gilt immer die folgende Lösung für Grenzengleichheit:
J
J
•
i*2+|2
•
i*2+|2
K
K
i*2+|2
[Berechnungsformeln]
Es seien zwei auf einem Intervall zumindest stetig differenzierbare Funktionen h, g gegeben,
dann gelten folgende Regeln:
(i)
Partielle Integration: Ï ‚× l |2 ‚l Ï ‚lÎ |2
(ii)
Transformationsformel (Substitution)
(iii) Partialbruchzerlegung
// Diese Regeln muss jeder anwenden können. Dazu werden in Teil 2 für die Regeln (i) bis (ii)
noch einige Beispielaufgaben vorgeführt.
[Uneigentliche Integrale]
Wir unterscheiden dazu 3 unterschiedliche Fälle:
(i)
@ = ? ^+ Riemann
Sei i? ^+ 5 eine Funktion, die auf jedem Intervall ?
•
integrabel (also insbesondere beschränkt) ist. Falls der Grenzwert Œ[_•53 ÏJ i*2+|2
existiert, heißt das Integral ÏJ i*2+|2 konvergent und wir setzen:
3
3
J
i*2+|2 A Œ[_
•
•53 J
i*2+|2
Bei der Nichtexistenz nennen wir das Integral divergent.
Solche Integrale heißen uneigentliche Integrale. Ähnlich erklärt man das uneigentliche
Integral
•
/3
i*2+|2 A Œ[_
J5/3
•
J
i*2+|2
(ii)
Für die Funktionen ij * ^ @ 5 , die jeweils auf abgeschlossenen Intervalle
?
@ = * ^ @ Riemann integrabel sind, und bei denen der Grenzwert
•
Œ[_J5/3 ÏJ i*2+|2 existiert.
@=*
@
Nun sei ij *
@ 5 eine Funktion, die auf jedem Intervall ?
•
Riemann-integrabel ist mit
T Falls der Grenzwert Œ[_‰5 ÏJ ‰ i*2+ |2existiert, so
sagen wir das uneigentliche Integral ÏJ i*2+|2 konvergiert und setzen:
•
J
•
i*2+|2 A Œ[_
‰5
Ähnlich verfährt man für die Funktion i o ?
•
J
(iii)
i*2+|2 A Œ[_
‰5
•
J ‰
i*2+|2 T
+5
•/‰
J
, also setzen wir dort:
i*2+|2 T
Schließlich betrachten wir noch den Fall einer Funktion ij *
+ 5 mit
Ä B ^C,
Ä B^C. Sei u *
+ beliebig und i Riemann-integrabel.
K
Falls sowohl das uneigentliche Integral ÏJ i*2+|2 als auch das uneigentliche Integral
ÏK i*2+|2 konvergiert, so sagen wir, dass ÏJ i*2+|2 konvergiert und setzen:
•
•
J
i*2+|2
K
J
•
i*2+|2
J
K
i*2+ |2
[Norm/ Euklidischer Raum]
í
eine mit 2 bezeichnete reelle Zahl
Eine Funktion
o í 5 , die jedem Vektor 2
í
í
zuordnet, heißt Norm auf
, wenn beliebige 2 v
und
gilt: (i) 2
und
4 4 2
2
s2
(ii) 2
(iii) 2 v
2
v
í
Es ist übrigens die definierte Länge 424 eines Vektors 2
eine Norm aud í , welche man
die Euklidische Norm nennt.
í
Das Euklidische Skalarprodukt zweier Vektoren 2
, das mit 2 v oder auch mit 2 v
bezeichnet wird, wird definiert als
2 v
í
2 v A " 2§ v§
§$
Gelegentlich nennt man 2 v auch das innere Produkt von 2 und v.
+ bezeichnet man als den d-dimensionalen Euklidischen Raum.
Dass Paar * í
í
- Zudem gilt die Gleichung 4 2 v 4 424 4v4 für 2 v
.
[Abschluss]
Es sei = Teilmenge, dann heißt
ä Ba
4 t ȌҪ *aÕ + _[ë *aÕ +
\
Y\ Œ[_Õ53 aÕ
y in . Notation: = ä
Beispiele:
(i)
Für a < b und A *` £@ ist ä ?` £@.
• , dann ist ä
Ä B C.
(ii)
Es sei A Ž 4 \
aC der Abschluss von
Õ
[Offen, abgeschlossen]
t
sodass *a+ = . Hierbei ist
Eine Teilmenge = heißt offen, falls gilt a
*a+ A B
44a
4
C der offene
Ball von x.
Eine Teilmenge = heißt abgeschlossen, falls das Komplement „ offen ist.
Warnung: Nicht abgeschlossen ist nicht dasselbe wie offen (a, b].
[Eindeutigkeit stetiger Fortsetzung]
Es sei = und ]j 5 eine stetige Funktion. Es existiert höchstens eine stetige Fortsetzung
]Í o ä 5 , das heißt ƒ]Í o 5 es ist f also ]*Í a+ ]*a+ a
.
Beispiele:
(i)
Es sei ]j „B C 5 , dann gilt ä
und es gibt keine stetige Fortsetzung ]jÍ 5 .
(ii)
Es sei ]j 5 , a Ñ dann gilt ä
und ]jÍ 5 ist die eindeutige stetige
Fortsetzung.
µ
(iii) Es sei nun ]j * @ 5
aÑ
†a. Dann gilt ä ? @ und ]jÍ ? @ 5 a Ñ †a ist
†µ
eine eindeutige stetige Fortsetzung von f.
?Funktionenfolge@
Eine Folge von Funktionen auf D ordnet jeder ganzen Zahl \
eine Funktion ]Õ j 5 zu.
+ oder *]Õ +Õ oder einfach durch *]Õ +, manchmal
Man bezeichnet sie wieder durch *]Õ 4 \
lässt man auch noch die Klammern weg.
[Supremumsnorm]
Man erklärt für die Funktionen ] o 5 mit nichtleerem Definitionsbereich die
C. Damit ist ] A _[\ B` 4 4]4 `C nach
Supremumsnorm ] A XYZ B4]*a+4 4 a
Definition der oberen Grenze. Wenn kein Zweifel über das Definitionsgebiet besteht, schreibt
man kurz ] . Im allgemeinen ist ]
? ^@ und ]
genau dann, wenn ] beschränkt ist.
Die Supremumsnorm hat die
[Normeigenschaften]
(i)
]
und ]
s]
4 4 ] für konstante
(ii)
(positive Homogenität) ]
.
(iii) (Dreiecksungleichung) ] Ò
]
Ò mit Ò o 5 als Funktion.
Beweis zu (iii):
4] Ò4
4]4 4Ò4
] Ò
]
Ò
Die letztere Ungleichung gilt aufgrund von 4]4
] und 4Ò4
Ò . E
?punktweise Konvergenz@
Es sei ]j 5 eine Funktion mit nichtleerem Definitionsbereich. Die Folge von Funktionen
*]Õ + konvergiert punktweise gegen ]j 5 , wenn für jedes a
die reelle Folge *]Õ *a++
gegen ]*a+ konvergiert.
Umformulierung: Das heißt also, Zu jedem
und a
existiert eine natürliche Zahl ,
sodass für \
gilt: 4]Õ *a+ ]*a+4
.
?gleichmäßige Konvergenz@
Es seien ]j 5 und Òj 5 zwei Funktionen mit nichtleerem Definitionsbereich. Die
Folge von Funktionen *]Õ + auf D konvergiert gleichmäßig gegen ]j 5 , wenn gilt: Zu jedem
gibt es ein
, sodass für alle \
und alle
zugleich die Bedingung
4]Õ *a+ ]*a+4
erfüllt ist. Man schreibt kurz:
] Ò os ]*a+ Ò*a+
a
Und entsprechend für ] Ò. Weiterhin besagt die Definition: Für große n ist 4]Õ ]4
.
Hier fasst man 4]Õ ]4 als Funktion a Ñ 4]Õ *a+ ]*a+4 auf. Man kann dieselbe Tatsache
übrigens auch als Ungleichung zwischen reellen Zahlen fassen.
Wenn man nun den reellen Vektorraum aller Funktionen 5 mit der Supremumsnorm
versieht, so bedeutet gleichmäßige Konvergenz das Natürliche, nämlich *]Õ + konvergiert
gleichmäßig gegen f, wenn für jedes
schließlich ]Õ ]
ist. Daher kann es einen
Studenten nicht verwundern, dass sich gewohnte Konvergenzsätze auf gleichmäßige
Konvergenz von Funktionenfolgen übertragen.
Zusammenhänge der wichtigsten Sätze:
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@
(2) Calculation:
Hier werden einige Aufgaben komplett vorgerechnet. Bei der Aufgabenauswahl wurden nur solche
Aufgaben berücksichtigt, welche ich als äußerst klausurrelevant einschätze. Meine Intention ist es, in
diesem Unterpunkt alle möglichen „Rechenaufgaben“ ausführlich zu bearbeiten, damit jeder es
versteht und es in der Klausur auch selber anwenden kann. Hier kommt es mir nicht drauf an,
massenweise Aufgaben mir nur kurzen (oder gar keinen) Lösungen rauszuhauen, sondern die
Aufgaben werden detailliert bearbeitet. Hier halte ich mich an das Sprichwort „Weniger ist manchmal
mehr“. Ganz zum Schluss besteht dann noch ein letztes Mal die Möglichkeit, dass hier angelernte
Wissen in einer wirklich sehr gut gelungenen (vom Inhalt und vom Layout) Musterklausur zu prüfen.
Die Lösungen für diese Musterklausur sind nur kurz angedeutet oder befinden sich bereits in dieser
Vorbereitungsübersicht.
Aufgaben:
Aufgabe 1: Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an! (mehrere Antwortmöglichkeiten) (3 P.)
Eine Menge W =
Sei < =
heißt kompakt, wenn jede Folge aus M eine konvergente Teilfolge besitzt.
. A ist genau dann abgeschlossen und beschränkt, wenn A kompakt ist.
Aufgabe 2: Sei ij q 5
eine Funktion und a ein Häufungspunkt von D. Welche der folgenden Aussagen
ist wahr? Kreuzen Sie an! (5 P.) (ggf. mehrere Antwortmöglichkeiten)
Dann gilt Œ[_
5
Dann gilt Œ[_
5
i*2+
i*2+
Es gilt Œ[_©5J i*2+
Es gilt Œ[_©5• i*2+
Es gilt Œ[_©5J i*2+
s
s
sfür jede Folge *2 + in q„B C mit Œ[_
sfür jede Folge *2 + in q„B C mit Œ[_
tf
2
tf
s
2
tf
2
q o *42
4
q o *42
4
q o *42
4
5
5
2
gilt Œ[_
2
gilt Œ[_
f ! 4i*2+
4
f ! 4i*2+
4
f ! 4i*2+
5
5
4
+.
+.
i*2 +
i*2 +
+.
Aufgabe 3: Sei ij q 5 eine Funktion und a ein Häufungspunkt von D. Welche der folgenden
Aussagen ist wahr? Kreuzen Sie an! (2 P.)
Der Grenzwert Œ[_
tf
tf
5
i*2+ existiert genau dann, wenn …
2 v
2 v
q„B C o *42
q o *42
v4
4
f " 4v
f ! 4i*2+
4
f ! 4i*2+
i*v+4
+.
i*v+4
+.
Aufgabe 4: Welche Antwort ist richtig, Kreuze an! (8 P.) (es können mehrere Antworten richtig sein!)
=
'
. *+/ 0# #
A # !) # , #
A # !) # *+ *+
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B CD
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.
.
b) In der Vorlesung wurden ebenfalls zahlreiche historische Aspekte thematisiert. Der italienische
Mathematiker Gerolamo Cardano lebte von
1789 bis 1857
1501 bis 1576
c) Die Folge
= >
#
’ž8
Â
:
ist
divergent
9 s2
2
konvergent
 A ² `îÇë`\* +@
& *+
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Sei *
Œ[_ 5
† . (6 P.)
Aufgabe 5:
eine Cauchy - Folge
+
) +#
eine konvergente Folge mit
• ist beschränkt.
4
O (a) Die Menge Ž
O (b) Sei * +
die Folge mit
. Dann konvergiert die Folge .
*
+
4
O (c) Sei
die Folge mit
Ÿ 4 . Dann konvergiert die Folge .
.
O (d) Für alle
gilt
†
O (e) Es gibt ein h
, sodass für alle
h gilt: Es existiert ein
, sodass
O (f) Für alle
existiert ein h
, sodass für alle
h gilt
.
†
Aufgabe 6:
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Sei ij ? @ 5 eine Funktion, die an k
O (b) Sei
O (c) Sei *
+
k
für
. Dann konvergiert die Folge ,i*
eine Folge, sodass die Folge ,i*
+.
+.
5
an keiner
gegen i & (.
gegen i & ( konvergiert. Dann
konvergiert
gegen .
O (d) Für alle
gibt es ein f
, sodass für 2 ? @ gilt: 4i*2+
O (e) Das Bild i*? @+ ist ein kompaktes Intervall.
O (f) Die Funktion i? @ 5 ist überall differenzierbar.
i* ”+4
f w 42
Aufgabe 7:
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz (ggf. auch absolute) und Divergenz!
3
'
')
"* +
"
"
*'
+)
'
|
-$
Aufgabe 8:
Werten Sie folgende Reihen aus!
-$
3
"
$
)
.
(6 P.)
stetig ist.
O (a) Sei lj 5 ? @ eine Abbildung, für die gilt l*2+ p . Dann ist i n l o
Stelle ¥
stetig.
1 n 1
an =
4 k =0 2
†
í$
3
"® ¯
$
”4
.
Aufgabe 9:
Es sei die Summe < A
n
(−1) k
k =0
n
mit bel.
k
gegeben.
a) Berechnen Sie den Wert der Summe A!
b) Berechnen Sie geschickt den Grenzwert der Summe
$
A
O—
á Ö%&êÖÕ* + '(Õ É
$
mit }
ªaZ* +!
² ÇÈX* + Œ\* +
}/
± á
"
-$
Aufgabe 10:
Es sei die Funktion i*2+ A ‘
2 X[\ & (
©
i …2p ƒ
gegeben.
i …2
a) Zeigen oder widerlegen Sie die Stetigkeit von i im Nullpunkt!
b) In der Vorlesung wurde der Satz „Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit“ beweisen. Begründen
oder widerlegen Sie, dass i im Nullpunkt dann auch differenzierbar ist!
Aufgabe 11: Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung!
a) i*2+
} êÖÕ*
c) i*2+
}›
b) i*2+
©+
ÇÈX*2+ X[\*} © + Œ\*ÇÈX*2+ X[\*2++
d) l*2 +
6
O 6·
1
O ¡·
O · / O ¡6·
Aufgabe 12: Es sei die Funktion ij * ^+ 5
mit i*2+
/
i (einschließlich Definitionsbereich) an!
Aufgabe 13: Es sei die Funktion ij
i *2 +
)
5
Œ\* 2
}
+
gegeben mit:
á©
Œ\*2 + gegeben. Geben Sie die Umkehrfunktion
+
(
Bestimmen Sie a und b so, dass i an der stelle 2
i*… 2
i*… 2
stetig und differenzierbar ist.
Aufgabe 14:
Es sei die Funktion i*2+ A ÇÈX,Œ\,ë`\,†2
... gegeben.
1) Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich und Wertebereich an!
2) Bestimmen Sie die Ableitung i *2+!
ƒ
Aufgabe 15:
Es sei die Funktion i*2+ A ÇÈX 2
X[\* 2+ gegeben.
1) Bestimmen Sie wenn möglich den größten Wert von i auf !
2) Begründen Sie, dass i *2+ eine Nullstelle hat und bestimmen Sie diese!
Aufgabe 16: Bestimmen Sie wenn möglich den folgenden Grenzwert!
Œ[_
©5á
2‡
2‡
±2:
92
³2:
²2
9
Aufgabe 17: Bestimmen Sie die Lösung folgender unbestimmter Integrale!
ªµ X[\*a+ a
ª†µ a
2 Ÿ²
7
a
†a
7
2: |2
2‡ } /© |2
Aufgabe 18: Bestimmen Sie die Lösung folgender bestimmter Integrale!
†2 |2
+ a
a ÇÈX*a
+
O
X[\*a+ ÇÈX*a+
X[\:*a+
Œ\*2+
2 *Œ\: 2 *2 + Œ\*2 +
O
2 Ÿ
Œ\*2+
Œ\:*2+
+
|2
(*) Hinweis: y *2+ y *2+
|2
y : 2*2+
O
O
2â
” 2ß
2‡
12 á
2‡
2: ²2
2:
²2
³
|2
Aufgabe 19: Bestimmen Sie wenn möglich i × *Â+ der folgenden Funktion!
i *2 +
Œ\*
Aufgabe 20: Begründen Sie rechnerisch, ob l*2+
*2 ÇÈX*2++ +
2
} /©: an der Stelle 2æ
eine Wendestelle hat!
Aufgabe 21: Berechnen Sie das folgende Integral mittels Riemannscher Summen für beliebiges, reelles
J
!
ÇÈX*2 +|2
Aufgabe 22:
Der FC. St. Pauli ist ein interessanter Hamburger Fußballverein mit dem klassischen schwarzen Totenkopf also
Wahrzeichen. Auch der SV Werder Bremen ist ein interessanter Fußballverein mit der grüner Raute also Logo.
Beide Vereine sind Traditionsmannschaften, im krassen Gegensatz zum kleinen Fußballbruder, dem HSV.
Wenn 2 Fußballvereine miteinander befreundet sind, haben sie gewisse Gleichheiten. Der FC. St. Pauli verhält
sich zum SV Werder Bremen wie die folgende Gleichung:
*i + |2 D i ××
® ® *i +|2¯ |2¯ |2
iÎ
Hierbei ist die Funktion ij o
Riemann integrabel und differenzierbar.
Nur wenn es für obige Gleichung eine Funktion i gibt, die alle Bedingungen erfüllt, sind der SV. Werder
Bremen und der FC. St. Pauli miteinander befreundet.
Geben Sie wenn möglich eine Funktion i an, welche Ï*i + |2 D i ××
erfüllt oder begründen Sie, warum es eine solche Funktion nicht gibt!
Ï*Ï*Ï*i +|2 + |2 + |2
iÎ
Lösungen:
Aufgabe 1: Kreuzen Sie alle korrekten Aussagen an! (mehrere Antwortmöglichkeiten) (3 P.)
Eine Menge W =
Sei < =
heißt kompakt, wenn jede Folge aus M eine konvergente Teilfolge besitzt.
. A ist genau dann abgeschlossen und beschränkt, wenn A kompakt ist.
eine Funktion und a ein Häufungspunkt von D. Welche der folgenden Aussagen
Aufgabe 2: Sei ij q 5
ist wahr? Kreuzen Sie an! (5 P.) (ggf. mehrere Antwortmöglichkeiten)
Dann gilt Œ[_
5
Dann gilt Œ[_
5
i*2+
i*2+
Es gilt Œ[_©5J i*2+
s
Es gilt Œ[_©5• i*2+
s
Es gilt Œ[_©5J i*2+
sfür jede Folge *2 + in q„B C mit Œ[_
sfür jede Folge *2 + in q„B C mit Œ[_
tf
2
tf
s
2
tf
2
q o *42
4
q o *42
4
q o *42
4
5
5
2
gilt Œ[_
2
gilt Œ[_
f ! 4i*2+
4
f ! 4i*2+
4
f ! 4i*2+
5
5
4
i*2 +
+.
+.
i*2 +
.
.
+.
Aufgabe 3: Sei ij q 5 eine Funktion und a ein Häufungspunkt von D. Welche der folgenden
Aussagen ist wahr? Kreuzen Sie an! (2 P.)
Der Grenzwert Œ[_
tf
tf
5
i*2+ existiert genau dann, wenn …
2 v
2 v
q„B C o *42
q o *42
v4
4
f " 4v
f ! 4i*2+
4
f ! 4i*2+
+.
i*v+4
+.
i*v+4
Aufgabe 4: Welche Antwort ist richtig, Kreuze an! (8 P.) (es können mehrere Antworten richtig sein!)
=
'
. *+/ 0# #
A # !) # , #
A # !) # *+ *+
-
>
:
B CD
, *+#
) +#
B CD
#
) +#
& *+
-
>
:
& *+
-
D
-
>
8
.
&
. *+/
// Gegenbeispiel: š A *
.
#
*+/ 0# #
*+/
+
@E
@E
#
*+
.
#
*+
*+/ $
#
b) In der Vorlesung wurden ebenfalls zahlreiche historische Aspekte thematisiert. Der italienische
Mathematiker Gerolamo Cardano lebte von
1789 bis 1857
1501 bis 1576
c) Die Folge
= >
Aufgabe 5:
:
#
’ž8
Â
ist
9 s2
divergent
2
konvergent
 A ² `îÇë`\* +@
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Sei *
Œ[_ 5
† . (6 P.)
eine Cauchy - Folge
& *+
+
) +#
eine konvergente Folge mit
• ist beschränkt.
, (a) Die Menge Ž
4
O (b) Sei * +
die Folge mit
. Dann konvergiert die Folge .
//(falsch!!)
*
+
4
4
, (c) Sei
die Folge mit
. Dann konvergiert die Folge .
Ÿ
O (d) Für alle
gilt
.
//(falsch!!)
†
.
, (e) Es gibt ein h
, sodass für alle
h gilt: Es existiert ein
, sodass
†
, (f) Für alle
existiert ein h
, sodass für alle
h gilt
.
†
Aufgabe 6:
(6 P.)
stetig ist.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Sei ij ? @ 5 eine Funktion, die an ¥
O (a) Sei lj 5 ? @ eine Abbildung, für die gilt l*2+ p . Dann ist i n l o
Stelle ¥
stetig.
, (b) Sei
O (c) Sei *
k
1 n 1
an =
4 k =0 2
+
+.
. Dann konvergiert die Folge ,i*
für
+.
eine Folge, sodass die Folge ,i*
5
an keiner
gegen i & (.
gegen i & ( konvergiert. Dann
konvergiert
gegen .
O (d) Für alle
gibt es ein f
, sodass für 2 ? @ gilt: 4i*2+
O (e) Das Bild i*? @+ ist ein kompaktes Intervall.
O (f) Die Funktion i? @ 5 ist überall differenzierbar.
i* ”+4
f w 42
”4
.
// Hier war wirklich nur die eine Antwort richtig. Ich muss zugeben, diese Aufgabe war etwas schwer, aber wir
haben alle Grundlagen dafür gehabt und man staune und höre, die Aufgabe kam letztes Semester in der
Klausur dran.
Aufgabe 7:
Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz (ggf. auch absolute) und Divergenz!
3
'
')
"* +
"
"
*'
+)
'
|
-$
a) Die Reihe 0-$ *
+-
-$
-
-6
í$
konvergieret nach dem Leibnitz Konvergenzkriterium. Einerseits ist die
Reihe alternierend, aufgrund von * +- . Weiterhin handelt es sich bei - A 6 um eine monoton
fallende Nullfolge, also Œ[_-53 , und '
.
Damit wäre in der Klausur schon alles gezeigt, man hätte nur noch mal mit den Grenzwert
Rechenregeln belegen können, dass es sich bei 6 wirklich um eine Nullfolge handelt:
-
Œ[_
-53
'
Œ[_
'
-53
Ich zeige nun noch einmal, dass es sich bei
*
ˆ
-
-6
ˆ
+ Beweis. Ich gebe ein beliebiges
-
-6
und
-
-
-6
—/
-
-6
*- +*-/ +
-6 /
Nun muss ich nur noch zeigen, dass
jedem
' &
—/
-
'
'
'
(
Œ[_ '
'
-53
tatsächlich um eine Nullfolge handelt mit einem
vor, dann gilt '
-/
'
—/
„B C: 4
-
4
ˆ
-
-6
ˆ
. In der Definition der Folgenkonvergenz steht, dass zu
ein
existiert. Dann gebe ich doch einfach mal eins an. Ich wähle mein
‰
+
ist, also s *
s
.
‰
‰
‰
So und nun schreibe ich den beweis noch einmal sauber aus:
Nach dem Satz des Archimedes existiert ein
„B C mit
‰
so, dass
. Dann gilt für alle '
4
auch '
und somit 4
.
‰
Hier wurde also ebenfalls einmal die Konvergenz einer Folge gegen 0 beweisen.
Die Reihe konvergiert jedoch nicht absolut, denn durch Beträge erhält man eine Abänderung der
harmonischen Reihe.
b) Die Reihe 03
-$
*-
-)
+)
konvergiert offensichtlich absolut. Dazu verwende ich das Majorantenkriterium
nach einer keinen Abschätzung: ˆ*Fakultäten. Weiterhin gilt:
*-
+*-
-)
+
+)
ˆ
-:
*-
-
-)
+)
*-
ˆ 6ˆ
-
+*-
-6
+
// Dies gilt aufgrund der Rechenregeln mit
'
. Die Konvergenz der Reihe
03
-$ - 6 wurde bereits in der Vorlesung gezeigt, damit habe ich also eine konvergente Majorante
gefunden.
c) Es handelt sich hierbei um die divergente harmonische Reihe. Die Divergenz wurde ebenfalls in der
Vorlesung gezeigt.
Aufgabe 8:
Werten Sie folgende Reihen aus!
3
"
$
3
"® ¯
)
$
a) Mit Auswertung der Reihe war die Berechnung der unendlichen Summe gemeint. Dieser Reihenwert
existiert aber nur, wenn die Reihe konvergiert, denn die harmonische Reihe har keinen Wert, da sie
immer größer (in Richtung unendlich) wird.
Es handelt sich hier bei 03$
eindeutig um die Eulersche Zahl. Dies hätte jeder sofort erkennen
)
müssen. Aus } A
folgt unmittelbar für }
} 03$
Der Wert der Reihe ist also } = 2,71828182845904523… .
©
©’
03$
)
)
Œ[_
53 &
(
ªaZ* +.
b) Es handelt sich hierbei um eine geometrische Reihe. Wir verwenden nun folgende Formel: Für 424
03
(die Formel stand ganz vorne in de Übersicht, wer ein gutes Gedächtnis/ Verständnis
-$ 2
/©
für Analysis hat, hätte die Formel noch im Kopf wissen oder herleiten können.)
Es gilt 03
-$
-
/
8
6
ß
. Der Wert unserer geometrischen Reihe ist als 2. Das war doch ganz
simpel, oder?
Falls welche unter euch nun denken, dass kam doch gar nicht in der Vorlesung dran und ist doch
sowieso nicht relevant für die Klausur, dem entgegen ich, einfach mal in Definition 3.8 und Beispiel 3.9
zu schauen, denn alles was hier in der Übersicht thematisiert wird, ist nur auf die Klausur zugeschnitten!
Aufgabe 9:
Es sei die Summe < A
n
(−1) k
k =0
n
k
mit bel.
gegeben.
a) Berechnen Sie den Wert der Summe A!
b) Berechnen Sie geschickt den Grenzwert der Summe
$
A
O—
á Ö%&êÖÕ* + '(Õ É
"
-$
$
mit }
ªaZ* +!
² ÇÈX* + Œ\* +
}/
± á
a) Die Aufgabe sieht auf den ersten Blick ziemlich böse aus, das ist sie aber gar nicht, wenn man die
Klausurübersicht gut durchgearbeitet hat, dann fällt einem auf, dass man hier mit der binomischen
+
0-$ ,- . /- - . Ist nun
und
Formel argumentieren kann. Bekanntlich gilt ja: *
/+
0-$ ,- .
* +
0-$ ,- .* +
so folgt *
÷.
Der Wert der Summe ist hier also 0. Ich muss zugeben, die Aufgabe wäre ohne diesen Einfall, die
binomische Formel zu verwenden, etwas gemein gewesen, aber so ist nun mal das Leben.
b) Auf Anhieb sieht auch diese Aufgabe hammerschwer aus, doch auch hier kann man die Aufgabe mit
einem einfall schnell knacken: Betrachten wir dazu doch einmal die obere Grenze der endlichen
Summe. Da steht ein langer Ausdruck, aber eine Zahl würde man hier doch bevorzugen, also rechen wir
diesen Ausdruck } ² `îÇë`\* + X[\  doch einmal aus:
Es gilt }
und  A ² `îÇë`\* +. Was ist nun X[\ Â? Es gilt X[\ Â
. Also steht als obere Grenze
der Ausdruck
Â
und das ist 0, denn es befindet sich eine 0 im dritten Faktor. Also schreit man
sich die Summe noch einmal sauber auf:
$
A"
-$
² ÇÈX* + Œ\* +
}/
± á
÷
Naja und bekanntlich ist 1 > 0, also gibt es hier gar nicht zu summieren und die Summe beträgt
schlichtweg 0. Zusammenfassend soll euch diese Aufgabe auch mit auf den Weg geben, sich nicht von
einer Aufgabe, die super schwer aussieht, abschrecken zu lassen. Setzt euch einfach dran und versucht
euer Bestes. Wenn ihr gut gelernt habt, fallen euch bestimmt Tricks ein, mit denen ihr zum gewünschten
Resultat kommt.
Aufgabe 10:
Es sei die Funktion i*2+ A ‘
2 X[\ & (
©
i …2p ƒ
gegeben.
i …2
a) Zeigen oder widerlegen Sie die Stetigkeit von i im Nullpunkt!
b) In der Vorlesung wurde der Satz „Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit“ beweisen. Begründen
oder widerlegen Sie, dass i im Nullpunkt dann auch differenzierbar ist!
a) Behauptung: Die Funktion i ist in 2
stetig.
Beweis: Ich zeige hier die punktweise Stetigkeit einmal mit einem
f
Beweis:
// Mehrere Beweise dieser Art werde ich hier nicht vorführen, also orientiert euch bitt an diesem
Beweis.
tf
2 2
qj *42
2 4
f w 4i*2+
i*2 +4
Sei
vorgegeben, dann suchen wir ein f
mit:
42 2 4 424 424 f w 4i*2+ i*2 +4
Abschätzung: 4i*2+ i* +4 ˆ2 X[\ ˆ 424 ˆX[\ ˆ 424 f
©
©
Sei also
nun beliebig und wählen wir f A , dann gilt für
4i*2+ i* +4 ˆ2 X[\ ˆ 424 ˆX[\ ˆ 424 f.
©
©
Damit ist die punktweise Stetigkeit von i in 2
also gezeigt.
+ (z.z.)
424
f:
b) Behauptung: Die Funktion i ist in 2
nicht differenzierbar.
Beweis: Es bleibt noch zu zeigen, dass i in 2
nicht differenzierbar ist. Dazu versuchen wir nach
Umformungen ganz einfach die Definition des Differentialquotienten zu verwenden und es folgt:
8
-
L '(Õ& (
X[\ & (.
L
Der Differentialquotient, also der Limes des Differenzenquotienten existiert nicht in h = 0, also hat
Œ[_L5 X[\ & ( keinen Limes. Folglich ist i damit nicht differenzierbar.
ð*L+ / ð* +
L
L
L
Es gilt bekanntlich zwar: Aus Differenzierbarkeit folgt Stetigkeit, aber die Umkehrung des Satzes gilt
nicht, wie uns die Funktion aus Aufgabe 10 zeigt. Diese Sätze über Stetigkeit und Differenzierbarkeit
muss man drauf haben.
Aufgabe 11: Bestimmen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung!
a) i*2+
} êÖÕ*
c) i*2+
}›
b) i*2+
d) l*2 +
©+
ÇÈX*2+ X[\*} © + Œ\*ÇÈX*2+ X[\*2++
6
O 6·
1
O ¡·
O · / O ¡6·
Es werden hier nur 4 ausgewählte Ableitungen vorgeführt, zum einen aufgrund von Zeitmangel und
zum anderen um die Übersicht nicht zu vollzupacken.
a) Hier wird ganz eindeutig die Kettenregel gebraucht. Die Ableitung von Tangens wurde in der
Probeklausur vom Dozent bereits erwähnt, es gilt nämlich:
É
É
ë`\Î*2+
ë`\ :*2+ 2 &
(
Ó
Die äußere Kette lautet also
} mit š ë`\* 2+ als innere Kette.
Die äußere Ableitung lautet: Î } Ó mit š ë`\* 2+ und für die innere Ableitung ergibt sich
*
mit erneuter Anwendung der Kettenregel: šÎ
ë`\ :* 2++. Nun müssen wir nur noch
beides multiplizieren und dabei nicht vergessen, z wieder in die äußere Ableitung einzusetzen
(häufige Fehlerquelle) w iÎ*2+ ./0Ý*1Ü+ 1 ,2 /0Ý :*1Ü+.
Â
Â
(.
iÎ*2+ } êÖÕ* ©+
,
ë`\ :* 2+.
*} êÖÕ* ©+ } êÖÕ* ©+ ë`\ :* 2++
2 &
b) Für die Ableitung der Funktion i*2+ ÇÈX*2+ X[\*} © + Œ\*ÇÈX*2+ X[\*2++ braucht man die
Produktregel für 3 Faktoren und die Kettenregel für den 2. Und den 3. Faktor. Zudem braucht man noch
die Produktregel mit 2 Faktoren für den 3. Faktor.
×
ÇÈX*2+
w
X[\*2+
©
×
X[\*} +
w
} © ÇÈX*} © +
u
u
u
Œ\*{+ mit Y
ÇÈX*2+ w u ×
X[\*2+ w u Î
w i × *2+
&3':*©+/'(Õ :*©+
ÇÈX*2+ X[\*2+ w u ×
X[\*2+
ÇÈX*2+
&3'*©+ '(Õ*©+
(Kettenregel mit Produktregel für die innere Ableitung)
45Ý*Ü+ 45Ý*.Ü + ØÝ*6Ù4*Ü+45Ý*Ü++
45Ý*. +
Ü
6Ù4 *Ü+.Ü 6Ù4*.Ü + ØÝ*6Ù4*Ü+45Ý*Ü++
6Ù4 :*Ü+/45Ý :*Ü+
6Ù4*Ü+ 45Ý*Ü+
6Ù4*Ü+
Das Resultat werde ich nun nicht mehr vereinfachen ^^.
c) Die Funktion i*2+
}›
1 ist im Gegensatz zu Teilaufgabe b. wieder ein Kinderspiel:
Es werden hier die die Kettenregel, Faktorregel und die Summenregel verwendet.
Unsere äußere Kette ist hierbei …
} Ó 1 mit š •: als innere Kette.
Differenziert erhält man: … ×
} Ó und š ×
•.
›6
Insgesamt erhält man also: iÎ*2+ ²• }
6
d) Für die Funktion l*2 +
O 6·
O ¡·
O · / O ¡6·
verwende ich hauptsächlich die Quotientenregel, aber
auch die Kettenregel und die Summenregel.
} ©
}©
} /©
}/ ©
lÎ*2 +
w
w
×
*
}
}
×
}
©
}
2
©
2
} /©
}/ ©
+ *}2
}
*}2
2
+
}
*}
2
}
2
+
2
+ *}2
}
Die Klammern müssen nun aufgelöst werden. Hierbei ist zu beachten, dass für
Exponentialfunktionen gilt: } J } • } J •
×*
l 2+
}
©
}
}
}/ ©
*}2
}
}
2
©
+
}
}
}/
2
+
©
.7Ü ./7Ü 8
*.Ü . 1Ü +1
Aufgabe 12: Es sei die Funktion ij * ^+ 5
mit i*2+
/
i (einschließlich Definitionsbereich) an!
Œ\*2 + gegeben. Geben Sie die Umkehrfunktion
Die Funktion bildet aus dem
in den ab. Bei der Umkehrfunktion sind einfach Definitionsbereich und
Wertebereich vertauscht. Der Definitionsbereich der Umkehrfunktion ist also gerade der Wertebereich der
Ursprungsfunktion, also .
Die Umkehrfunktion erhält man, indem man in der Funktion x und y vertauscht und dann nach y auflöst.
2 Œ\*v + 4 } 9
s }©
Aufgabe 13: Es sei die Funktion ij
i *2 +
)
5
}
*} © +
sv
Œ\* 2
v 49
+
gegeben mit:
á©
1
i/
+
(
Bestimmen Sie a und b so, dass i an der stelle 2
i*… 2
ƒ
i*… 2
stetig und differenzierbar ist.
Stetig ist die Funktion an der Stelle x = 0, wenn der linksseitige und rechtsseitige Limes gleich sind und der
Funktionswert in x = 0 existiert: d.h: Œ[_©¼ i*2+ i* + Œ[_©½ i*2+ (z.z.)
Nachfolgend werden die beiden Grenzwerte gleichgesetzt.
+
Œ[_, Œ\* 2
.
©¼
}²2
Œ[_ :
©½
Œ\* +
i ist stetig bei x = 0 <
Œ\*
;
+
i* +
Damit haben wir schon einmal eine Gleichung mit 2 Unbekannten.
Merke: f stetig < Œ[_
©¼ !T
Œ[_
©½ !
i* +
Differenzierbar ist i zudem an der Stelle x = 0, wenn der rechtsseitige und linksseitige Limes der Ableitungen
identisch sind, d.h. Œ[_©¼ iÎ*2+ Œ[_©½ iÎ*2+ (z.z.)
iÎ*2 +
x
i*… 2
2
² } á©
i*… 2
// in der ersten Ableitung f ‘(x) befindet sich kein Vorzeichenfehler.
w
² 4
J
s²
s :
s
á
2
1
Œ[_ iÎ*2+
©¼
Œ[_ :
©½
©½
Œ[_ iÎ*2+
€|}…
*=+
©¼
Œ[_ ,²
2
}²2 .
;
²
ƒ
Nun haben wir schon einmal mit der einen Gleichung 2 Lösungen. Es wird jetzt die Gleichung
Œ\* +
untersucht. (*) Unsere vorherige Lösung
wird nicht berücksichtigt, da die
Logarithmusfunktion i*2+ Œ\*2+ nur für positive Werte ein Bild erzeugt.
Œ\ & (
s
s
Œ\ & (
w i *2 +
Œ\ & (
‘
÷ 7÷>
Œ\* 2
”} á©
”+
1 °
i*… 2
i*… 2
ƒ
Das ist schließlich unsere gesuchte Funktion, die an der Stelle x = 0 stetig und differenzierbar ist.
Aufgabe 14:
Es sei die Funktion i*2+ A ÇÈX,Œ\,ë`\,†2
... gegeben.
1) Geben Sie einen sinnvollen Definitionsbereich und Wertebereich an!
2) Bestimmen Sie die Ableitung i *2+!
a) Um diese Bereiche angeben zu können, müssen wir logisch nachdenken und die Gesamtfunktion i auf
ihre einzelnen „Bestandteile“ (tan(), ln() und cos()) untersuchen.
?
Der Definitionsbereich ist das Intervall &÷ (, denn die Tangensfunktion ist bekanntlich nur für
1
* Âì Âì + definiert (nicht die Randpunkte) und die Logarithmusfunktion kann ist nur für positive
Werte ohne die Null definiert. Der zweiten Randpunkt Âì ist nicht mit im Intervall, denn Tanges ist
hier nicht definiert. Cosinus brauchen wir hierfür nicht zu beachten, denn Cosinus ist für ganz
definiert.
Der Wertebereich ist hierbei das geschlossene Intervall [-1, 1]. Die Tangensfunktion bildet mit dem
É
( ganz
Definitionsbereich &
ohne die Null ab. Mit einem Definitionsbereich von
bildet die
natürliche Logarithmusfunktion (ln()) ganz ab. Der Wertebereich einer auf ganz definierten
Cosinusfunktion ist das besagte abgeschlossene Intervall [-1, 1].
b) Die komplette Rechnung hierfür führe ich nicht vor, denn auf Papier nimmt diese Rechnung allein
schon 2 Seiten ein. Hinweis, wenn Sie zum Richtigen Resultat kommen, dann sind Sie im Bereich
Differenzieren exzellent vorbereitet.
Man musste viermal die Kettenregel anwenden. Ich gebe noch mein Endergebnis an:
2
(((
i × *2+
X[\ &Œ\ &ë`\ &Ÿ2:
( ÇÈX : &Ÿ2:
( Ÿ2:
ë`\ &Ÿ2:
Zum Vereinfachen hatte selbst ich keine Lust mehr. ^^
Aufgabe 15:
Es sei die Funktion i*2+ A ÇÈX 2
X[\* 2+ gegeben.
1) Bestimmen Sie wenn möglich den größten Wert von i auf !
2) Begründen Sie, dass i *2+ eine Nullstelle hat und bestimmen Sie diese!
Das ist eine klassische Extremwertproblemaufgabe, denn hier ist das Minimum der Funktion gesucht.
Dazu bestimmen wir einfach mal die erste Ableitung mit Ketten- und Summenregel:
X[\ 2
ÇÈX* 2+
*ÇÈX* 2+ X[\*2++
i × *2+
× *2+
*
+
wi
X[\ 2
+*X[\ 2
Die erste Ableitung wir nun 0 gesetzt. (notwendige Bedingung)
* X[\ 2
+
+*X[\ 2
s wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
?
?
*1@ 2+? 4 @
*1@+? 4 @
• oder Ü1 Ž
•
s Ü2 Ž
1
8
Damit haben wir schon einmal Teilaufgabe b. beantwortet. Die obigen Mengen sind die Mengen aller
Nullstellen der Ableitung. Die Begründung liegt in der Rechnung. Den Nullstellensatz von Bolzano
hätte man auch verwenden können, indem man sich vorher ein Intervall generiert hätte, denn i ist
offensichtlich stetig.
Nun bilden wir noch einmal die 2. Ableitung und prüfen mit dem hinreichenden Kriterium:
i × *2+
X[\ 2
ÇÈX* 2+ w i *2+
ÇÈX*2+ ² X[\* 2+
Nun prüfen wir die Stelle 2
É
à
:i & (
É
à
É
ÇÈX & (
É
à
² X[\ ® & (¯
É
à
†1
†1
1†1
Damit haben wir einen maximalen Wert bei . Natürlich gibt es noch weitere Werte derselben Größe,
à
das liegt nämlich daran, dass wir eine ganze Menge an Lösungen für die Gleichung hatten. Wir hätten
?
*1@+? 4 @
• mit der 2. Ableitung positiv testen können.
also jeden beliebigen Wert aus Ü1 Ž
8
Ich berechne abschließend nur noch den gesuchten maximalen Funktionswert:
]*a +
†
1 ABC
Um das alles nachvollziehen zu können, zeichne ich noch einmal den Graph der Ausgangsfunktion i
in Abbildung 11
Abb. 11
Aufgabe 16: Bestimmen Sie wenn möglich den folgenden Grenzwert!
Œ[_
©5á
2‡
2‡
±2:
92
³2:
²2
9
Hierbei handelt es sich um eine wirklich einfache Aufgabe zu l’Hospital, nämlich für x = 4 werden Zähler und
Nenner beide Null. Also bilden wir die Ableitung vom Ausdruck im Zähler und vom Ausdruck im Nenner:
Œ[_
©5á
2‡
2‡
±2:
92
³2:
²2
9
12:
©5á 12:
Œ[_
92
±2
Wie Nenner und Zähler immer noch beide Null sind, wird noch einmal abgeleitet.
9
²
92
©5á 92
9
±
Œ[_
Der Grenzwert beträgt also ²ì1.
²
²
9
±
±
9
D
7
Aufgabe 17: Bestimmen Sie die Lösung folgender unbestimmter Integrale!
Ï ªµ X[\*a+ a
ªµ X[\*a+
ªµ X[\*a+ a
Ï ªµ ÇÈX*a+ a
Partielle Integration und ein bisschen Umformung ergibt:
Ï ªµ
ªµ
ªµ
ªµ
X[\*a+ a ªµ X[\*a+ Ï ªµ ÇÈX*a+ a
X[\*a+ *ªµ ÇÈX*a+ Ï ªµ * X[\*a++ a+
X[\*a+ *ªµ ÇÈX*a+ Ï ªµ X[\*a+ a+
X[\*a+ ªµ ÇÈX*a+ Ï ªµ X[\*a+ a
Eine weitere Anwendung der partiellen Integration liefert:
Und nun schaut man noch einmal richtig hin. Auf der ersten Seite steht nämlich genau das Integral, was wir
berechnen sollten. Ich addiere dies einfach und erhalte:
w
} © X[\*2+|2
Und schon ist diese Aufgabe fertig.
} © X[\*2+
} © ÇÈX*2+
,} © *X[\*2+
} © X[\*2+|2
ÇÈX*2++.
ª†µ a
Ich verwende hier die Transformationsformel.
Bei der dx-du-Methode würde man { †2 setzen. Dann ist 2 {: und |2
*{
+} Q Ð 1,†Ü 2..†Ü E mit Ð
T
Ï } †© |2 Ï {} Q |{
{ |{, also
a
†a
7
Hier brauchen wir keine spezielle Formel anzuwenden, denn wir können ganz einfach den Bruch umschreiben
und dann mit der Summenregel und Potenzregel integrieren.
Es gilt nämlich:
a
†a
7
Das war doch ganz einfach, oder?
®2 / ¯ |2
Ê
1
2
2 Ÿ²
7
Ð
77
ŸÜ:
1
2: |2
E
Ð
Dieses Integral knacken wir mit der Transformationsformel und einer geschickt gewählten Substitution. Ich
wähle jetzt hier die Substitution: š ² 2:. Mit dieser Wahl sollte das Lösen des Integrals ein Kinderspiel
sein. In dieser Aufgabe werde ich aber noch einmal jeden Schritt schön sauber aufschreiben und kommentieren.
Also:
1. Schritt: [Wahl einer geeigneten Substitution]
7
Im Integral Ê Ï 2 Ÿ² 2: |2 substituiere ich nun š ² 2:. D.h. es steht nun
7
Ê Ï 2 †š |2 da. Dies können wir nicht sofort integrieren, weil in diesem Integral die der Integrand dx
und die Variable z und x zugleich auftauchen.
2. Schritt: [Differenzieren der Substitution]
An dieser Stelle bilden wir die erste Ableitung nach x von š
íÓ
Es folgt: š ×
2.
í©
3. Schritt: [Gleichung umformen]
Danach betrachten wir die schöne Gleichung
íÓ
íÓ
2:.
2 und formen diese nach dx um.
í©
íÓ
²
Es steht nun
2 F
|2
í©
/ ©
//voila, nun steht dx ganz alleine und wir können den Ausdruck (für dx) in die substituierte
Gleichung aus Schritt 1 einsetzen.
4. Schritt: [Gleichung verwenden]
Dann steht da: Ê
Ï 2 †š |2
7
/
8
8
Ï 2 š 7 |š
©
Ï š 7 |š .
5. Schritt: [Integration]
Ich führe an dieser Stelle die eigentliche Integration durch:
8
Ï š 7 |š
Ê
G
#
š7
Ð
G
†š á
7
Ð mit Ð
.
6. Schritt: [Resubstitution]
Letztendlich wird meine vorher gewählte Substitution (z) wieder in die Stammfunktion aus Schritt 5
eingesetzt. Ich erhalte:
2 Ÿ²
Ê
77
2: |2
7
C
Ÿ*D
Ü:+D
E
Ð
Das ist also die gesuchte Lösung für unser Integral. Ich habe mir hier einmal die Arbeit gemacht, jeden
Zwischenschritt zu beschreiben, damit jeder die Lösung versteht. Ich benutze hierbei die
Transformationsformel in diesem Style, wie ich es gewohnt bin, aber man kann die Integration mittels
Substitution jedoch auch in einer anderen Form aufschreiben. Es ist einzig und allein wichtig, zum
richtigen Endresultat zu kommen, dabei ist es egal welche Schreibweise man bevorzugt/verwendet,
solange man diese mathematisch korrekt aufschreibt.
2‡ } /© |2
Ich führe nun den Lösungsweg mittels mehrfacher partieller Integration vor.
Die Formel hierfür lautet ja: Ï ‚× l |2 ‚l Ï ‚lÎ |2
Man braucht nicht mehr zu machen, als diese Formel mehrfach anzuwenden, wichtig ist jedoch, dass
man sein l in obiger Formel so wählt, dass das hintere Integral in der Lösung einfacher wird:
‚×
l
‚×
l
} /©
2‡
} /©
12:
w ‚
w l×
} /©
12:
2‡ } 2 |2
w ‚
w l×
2‡ } 2 |2
} /©
92
2‡} 2
2‡} 2
12: * } 2 + |2
12:}
2 |2
Für das hintere Integral wende ich erneut die Formel der partiellen Integration an.
‚×
l
} /©
92
w ‚
w l×
2‡} /©
Und einer geht noch:
9
} /©
2‡} /©
2‡} /©
12:} /©
12:} /©
12:} /©
./Ü * ܇
92} /©
92} /©
7Ü:
92} /© |2
8Ü
9
} /© |2
9} /© Ð
Ð
8+ E
Ð
Damit haben wir dann auch schon die fertige Lösung. Solltet ihr trotzdem noch unsicher mit der
Berechnung von unbestimmten Integralen sein, dann könnt ihr einfach mal in ein Lehrbuch gucken und
weitere Aufgaben dazu durchrechnen. Ich belasse es hier bei nur 5 Aufgaben.
Falls ihr Langeweile haben solltet, dann könnt ihr gerne noch das folgende Integral als Extraaufgabe
lösen: (muss aber nicht sein )
2
ß
} /© |2
Aufgabe 18: Bestimmen Sie die Lösung folgender bestimmter Integrale!
Hinweis: Bei bestimmten Integralen hat man die Integrationsgrenzen gegeben, bei unbestimmten Integralen hat
man keine Integrationsgrenzen gegeben. Dies sollte man sich unbedingt merken.
†2 |2
Bei diesem bestimmten Integral führe ich einmal den kompletten Rechenweg durch, damit jeder sehen kann,
wie man das Integrieren mir gegebenen Grenzen realisiert. Bei den anderen Integralen dieser Teilaufgabe werde
ich dann nur noch die Endresultate zum Kontrollieren angeben.
Bei diesem Integral muss man nur algebraisch fit sein, indem man gut umformen kann.
†2 |2
2 |2
H
1
H Ÿ2 I
1
2 I
Die Grenzen wurden vorerst also gar nicht berücksichtigt und werden erst jetzt sinnvoll eingesetzt, (d. h.: Obere
Grenze – Untere Grenze [eingesetzt in die Stammfunktion in eckigen Klammern]).
Die reelle Konstante C entfällt übrigens bei bestimmten Integralen.
H Ÿ2 I
1
1
Ÿ
1
Man erhält also 1,886 also Lösung des Integrals.
a ÇÈX*a
+ a
Ÿ
*X[\*”+
1
†
X[\* ++
²
†
1
²
³
±±9
/
÷ B÷
+
X[\*a+ ÇÈX*a+
X[\:*a+
Hier existiert kein Wert des Integrals. Warum? Wenn man im Nenner die Gleichung X[\ :*2+ ÇÈX :*2+
'(Õ*©+
K, dann erhält man
anwendet, und anschließend kürzt und die Tangensfunktion erkennt Jë`\*2+
&3'*©+
é
6
irgendwann die Stammfunktion D Œ\4ÇÈX*2+4 . Berechnet man die Differenz aus oberer Grenze eingesetzt in
die Stammfunktion minus untere Grenze eingesetzt in die Funktion, so erhält man einen ln() von einem 0, weil
É
Cosinus hat bekanntlich in der Stelle 2
eine Nullstelle. Die Logarithmusfunktion ist aber nicht für die Null
definiert, deshalb ist keine Lösung für unser bestimmtes Integral definiert.
O
Œ\*2+
2 *Œ\: 2 *2 + Œ\*2 +
+
|2
9 ²9
Das Integral ist etwas schwieriger und wurde mit der Transformationsformel (geeignete Substitution)
gelöst.
O
2 Ÿ
Œ\*2+
Œ\:*2+
|2
•
Ÿ
}L
•:
} L |•
÷ D2D1
†
Dieses Integral war nicht ganz ohne, aber mit einer trickreichen Substitution kommt man schnell zum
gewünschten Resultat.
O
O
2â
” 2ß
2‡
12 á
2‡
2: ²2
2:
²2
³
|2
÷
Bei dem Integral riecht es sehr nach Partialbruchzerlegung, aber glücklicherweise sind hier die beiden
Integrationsgrenzen gleich. Man hätte hier also gar nicht integrieren brauchen und die Lösung mit einem
geübten Blick sofort erspähen können.
Aufgabe 19: Bestimmen Sie wenn möglich i × & ( der folgenden Funktion!
i *2 +
É
Œ\*
*2 ÇÈX*2++ +
Diese Aufgabe kam letztes Semester ähnlich in der Annalysis 1 Klausur (H. R.) dran.
Dazu muss man zuerst die erste Ableitung mit mehrfacher Anwendung der Kettenregel bzw. Summenregel
berechnen. Es gilt:
iÎ*2 +
2 * ÇÈX*2 +
2 X[\*2++ ÇÈX*2+
*2 ÇÈX*2++
Setzt man nun die gesuchte Stelle ein und verwendet die besonderen Werte des Cosinus, dann folgt:
Â
Â
Â
Â
Â
& ÇÈX & (
X[\ & (( ÇÈX & (
Â
iÎ & (
Â
&
Â
ÇÈX & ((
Wir haben also eine Nullstelle der differenzierten Funktion gefunden. Hier könnte sich also sogar ein
Extrempunkt befinden, aber das war nicht die Aufgabe. Abschließend möchte ich euch noch den Graph der
Funktion in Abbildung 12 vorführen:
Abb. 12
Aufgabe 20: Begründen Sie rechnerisch, ob l*2+
2
} /©: an der Stelle 2æ
eine Wendestelle hat!
Diese „komische“ Aufgabe kam letztes Semester ebenfalls in der Analysis 1 Klausur dran. Wir bilden die erste
Ableitung und die 2. Ableitung:
l× *2+ 1} /©: 2:
2 á Œ\*}+ } /©:
l×× *2+
} /©: *² Œ\*}+
2ß
92+
Œ\*}+ ,9 2
} /© .
6
±} /©: 2‡
Auf die dritte Ableitung wird verzichtet.
Es gilt ganz offensichtlich l×× * +
. Weiterhin findet rund um die Stelle x = 0 bei der 2. Ableitung ein
Vorzeichenwechsel statt. Demzufolge besitzt l an der Stelle 2æ
in der Tat eine Wendestelle.
Der Funktionsgraph in Abbildung 13 zeigt die Funktion:
Abb. 13
Aufgabe 21: Berechnen Sie das folgende Integral mittels Riemannscher Summen für beliebiges, reelles
J
ÇÈX*2 +|2
durch 2- A
Wie im Beispiel der Vorlesung erhalten wir für eine natürliche Zahl
J
eine äquidistante Unterteilung von [0, a] der Feinheit . Als Stützstellen wähle ich MRiemannsche Summe ist dann
"
-$
Da
Œ[_
53
P
6’
P
6’
'(Õ
'
ÇÈX ® ¯
X[\ &
folgt:
J
(
ÇÈX*2 +|2
N
X[\ &
Œ[_
53
X[\ &
X[\ &
(
(
(
-J
,
'
!
2- . Die zugehörige
O
X[\* +
Aufgabe 22:
Geben Sie wenn möglich eine Funktion i an, welche Ï*i + |2 D i ××
erfüllt oder begründen Sie, warum es eine solche Funktion nicht gibt!
Falls i*2+
!
} © die Exponentialfunktion ist, dann sind der Wertebereich
Ï*Ï*Ï*i +|2 + |2 + |2
iÎ
erfüllt. Zudem ist die Gleichung Ï*i + |2 D i
Ï*Ï*Ï*i +|2 + |2 + |2 iÎ mit 0 = 0 erfüllt, denn
die Exponentialfunktion ändert sich beim Ableiten und Differenzieren nicht. Es steht da also
} © } © } © } © und diese Gleichung geht offensichtlich auf.
××
und der Definitionsbereich
(3) Proof:
Hierzu kann man leider nicht allzu viel sagen. Es gibt leider kein Patentrezept, wie man an
Beweisaufgaben dran geht. Dennoch sollte man sich immer klar machen, welche Voraussetzung
gegeben ist und was man eigentlich zeigen soll. Ab und zu können Sätze wie der Zwischenwertsatz
oder ähnliches nützlich sein. Es hilft immer, anfangs den Sachverhalt genau zu analysen, d.h. u.a. die
Voraussetzungen in mathematische Sprache umzuwandeln, damit man sie nachher im Laufe des
Beweises wieder sinnvoll verwenden kann. Zudem kann man sich dann Gedanken machen, welche
Sätze und Definitionen alles behandelt wurden und welche man auf die jeweilige Aufgabe wohl
anwenden kann.
Generell gibt es die drei folgenden Beweisverfahren:
Indirekter Beweis:
Bei einem indirekten Beweis (Widerspruchsbeweis) zeigt man, dass ein Widerspruch entsteht, wenn
die zu beweisende Behauptung falsch wäre. Dazu nimmt man an, dass die Behauptung falsch ist, und
wendet dann die gleichen Methoden wie beim direkten Beweis an. Wenn daraus ein Widerspruch
entsteht, dann kann die Behauptung nicht falsch sein, also muss sie richtig sein.
Vollständige Fallunterscheidung:
Beim Beweis einer Aussage durch vollständige Fallunterscheidung wird eine endliche Anzahl von
Fällen betrachtet, die in ihrer Gesamtheit alle möglichen Fälle überdecken und von denen jeder eine
einfachere Behandlung des Problems ermöglicht.
Es sei angemerkt, dass die Fallunterscheidung zwar vollständig sein muss, aber die untersuchten Fälle
sich nicht gegenseitig ausschließen müssen
Vollständige Induktion:
[„n w n + 1” (z.z)] (Prinzip der vollständigen Induktion)
Beispiel: Es wird dazu die Bernoullische Ungleichung aus Abschnitt 1 vollständig beweisen.
Behauptung:
mit a > –1 und alle
gilt: *
+
.
Dies soll nun mit einem Beweis durch vollständige Induktion über n gezeigt werden.
Induktionsanfang:
n=0
Die Behauptung ist im Fall n = 0 richtig (mit Gleichheit), denn sie lautet hier einfach
*
+
F
Induktionsvoraussetzung: Die Behauptung gilt nun für beliebige
.
Induktionsschluss:
Es ist zu zeigen, dass aus n jetzt n + 1 folgt, also aus *
+
sollte nun *
+
folgen. (z. z.)
*
+ *
Es gilt: *
+
+
// aufgrund der bereits bewiesenen Potenzgesetze
+ *
+ *
+ *
Ferner gilt nach Induktionsvoraussetzung: *
+
+ *
+
Nach dem Ausmultiplizieren folgt: *
Letztendlich gilt:
// da
i … yy} Q { |
Schließlich folgt:
*
+
// nach dem Distributivgesetz
Damit wurde alles gezeigt und die Behauptung gilt als bewiesen.
Folgende Instrumente können beim Beweisen helfen:
- Intervallschachtelungsprinzip
- Mittelwertsatz, Zwischenwertsatz, …
- Nulltrick [a + b = a + c + b – c]
- Dreiecksungleichung
- …
q.e.d.
*
+
Zwei Beweise will ich vorerst noch vorführen:
Aufgabe: Eine kleine Schnecke kriecht mit einer Geschwindigkeit von 10 Zentimetern pro Minute auf einem
Gummiband entlang, das pro Minute vom Schneckenexperimentator um jeweils einen Meter weiter
gedehnt wird. Vor Beginn des Experiments ist das Band einen Meter lang. An einem seiner Enden
startet die Schnecke.
Es gelten folgende Modellannahmen:
• Der Dehnungsvorgang ist beliebig wiederholbar.
• Der Schneckenexperimentator und die Schnecke leben beliebig lange.
Beweisen oder widerlegen Sie ausführlich die Behauptung, die Schnecke wird das Ende des Bandes
irgendwann erreichen. Geben Sie wenn möglich auch die Zeit an, welche die Schnecke für das Erreichen des
Bandes Ende benötigt!
Beweis:
Das Gummiband wird in jedem Schritt gleichmäßig über seine ganze Länge gedehnt (sowohl das
schon zurückgelegte Wegstück hinter der Schnecke, als auch das noch vor ihr liegende Stück wächst). Seine
Meter (rekursive
Länge beträgt im n-ten Schritt, i.e. während der -ten Minute des Experiments, genau
Folge mit
und )
Betrachten wir zunächst die relative Position der Schnecke auf dem Gummiband: Die Schnecke legt in jeder
Minute genau 10 cm zurück. Dies entspricht im ersten Schritt genau der Bandlänge, im n-ten Schritt
dagegen nur
•’
der Bandlänge. Durch den Dehnvorgang verändert sich die relative Position auf
dem Gummiband nicht.
Nach dem n-ten Schritt hat die Schnecke daher von ihrem Startpunkt aus gemessen genau den relativen Anteil
…
!
1
"
-$
"
'
-$
'
Des Bandes zurückgelegt. Die Schnecke erreicht in endlicher Zeit das Ende, falls …
für ein
Genauer kommt sie in der n-ten Minute an, in der … erstmals
wird.
Alternativ betrachtet man die absolute Position der Schnecke: Diese wird durch folgende Rekursion
beschreiben:
d A
d
Ad
d
Mittels vollständiger Induktion beweise sich die explizite Darstellung der Folge *d +
0-$
Induktionsanfang: (n = 1) d
-
.
0-$
jd
-
Induktionsvoraussetzung: Die explizite Darstellung ist nun für beliebige d gültig.
Induktionsschritt: [„n w \
d
R@
d
G
Damit ist die explizite Darstellung der Folge gezeigt. E
*
" H
'
-$
+
Wieder erreicht die Schnecke das Ende des Gummibandes, wenn ein
P
0-$
äquivalent ’
ist.
•’
-
G"
-$
'
H
existiert, sodass d
*
+
"
-$
oder
Da die harmonische Reihe bekanntlich divergiert, existiert insbesondere ein
, sodass die Partialsumme
0-$
ist. Das kleinste solche n kann man mit einem schicken C ++ Programm, einer sinnvollen EXELTabelle oder mit MAPLE bestimmen. Mit MAPLE erhält man n = 12367. Die Schnecke erreicht das Ende des
Gummibandes während der 12367-ten Minute. Das sind 8 Tage, 14 Stunden und 7 Minuten (natürlich ohne
dabei jemals eine Pause eingelegt zu haben und unter ständiger Aufrechterhaltung der SchneckenVollspeedGeschwindigkeit von 10 cm pro Minute). Damit ist die Behauptung endgültig bewiesen. Q.E.D.
'
Die folgende Aufgabe ist mein persönlicher Favorit für eine Klausuraufgabe: Den Beweis sollte sich
jeder angucken und ihn zudem nachvollziehen. Dabei kommt es auch mit auf die Struktur an.
Weitere Aufgabe:
6
Es sei die Funktion ij 5
mit i*•+ A } › gegeben. Man will nun sehen, dass f beliebig oft differenzierbar
6
ist, und wir suchen nach einer Beschreibung der n-ten Ableitung: Zeigen Sie, dass i * + *•+ ¥*•+ } › gilt,
wobei ¥*•+ ein Polynom vom Grad ist, das nur gerade bzw. nur ungerade Potenzen von t enthält, je nachdem,
ob gerade oder ungerade ist. Begründen Sie Ihre Zwischenschritte und erklären Sie abschließend den Grund,
warum i beliebig oft differenzierbar ist.
Beweis: (per vollständiger Induktion)
Sei i*•+ A } › . Ich will zeigen, dass i beliebig oft differenzierbar ist, und ich suche nach einer Beschreibung
der n-ten Ableitung. Dazu berechne ich zunächst die ersten 3 Ableitungen:
6
Induktionsanfang:
6
i × *•+
• }›
6
6
6
i ×× *•+
}›
• , • }› . *
²•:+ } ›
6
6
*
i * + *•+ ±• } ›
²•:+ , • } › . * •
±•‡+ } ›
6
Diese Versuche lassen die folgende Behauptung vermuten:
i * + *•+
¥*•+ } ›:
Mit einem Polynom ¥*•+ vom Grad , das nur gerade bzw. nur ungerade Potenzen von • enthält, je nachdem, ob
gerade oder ungerade ist. Für kleine habe ich das verifiziert (I. A.). Also kann ich mit der vollständigen
Induktion weitermachen und „n w n + 1“ zeigen.
I. V. Angenommen die Formel gilt für beliebige
, so gilt:
i*
+ *•+
*¥× *•+
• ¥*•++ } ›:
I.S. Ist etwa
', so enthält ¥*•+ nur gerade Potenzen von t. Aber dann ist ¥× *•+ ein Polynom vom Grad
und • ¥*•+ ein Polynom vom Grad
, und beide enthalten nur ungerade Potenzen von •. Ähnlich
funktioniert es im Falle
'
.
Also gilt die Formel auch für
w.z.b.w.
und damit für alle n.
Nun folgen noch ein paar weitere Beweise in umsortierter Reihenfolge, die sehr interessant sind und man für die
Klausur zumindest nachvollziehen (und selbst beweisen) können sollte. Es handelt sich bei den Beweisen teils
um sehr argumentative Beweise.
Satz 1: Eine notwendige Bedingung für die Riemann-Integrierbarkeit einer auf einem abgeschlossenen Intervall
[a, b] definierten Funktion f ist, dass f auf [a, b] beschränkt ist.
In Kurzform: *i
«*?
@++ w *i ;d• }du‚…˜ '• {i ?
@+
// dies ist nun zu zeigen.
Beweis durch Widerspruch: Ist i nicht auf [a, b] beschränkt, dann ist in jeder Unterteilung P von [a, b] die
Funktion i zumindest in einem der Intervalle ?2#/ 2# @ von P unbeschränkt. Die Laufvariable i sei hierbei
Element der natürlichen Zahlen. Das bedeutet aber, dass wir den Punkt S# ?2#/ 2# @ auf verschiedene Weise
wählen können, sodass 4i*S# + 2# 4 beliebig groß wird. Dann kann aber die Riemannsche Summe T*iü k S+
0#$ i*S# + 2# betragmäßig ebenfalls beliebig groß werden, wenn wir nur den Punkt S# in diesem Intervall
verändern.
Es ist deshalb klar, dass es in so einem Fall keinen endlichen Grenzwert der Riemannschen Summe geben kann.
Damit ist auch schon alles gezeigt und der Satz bewiesen. E
Satz 2: Es gilt Œ[_
53
†
’
.
Beweis: Ich nehme zunächst an, dass
. Zu jedem
existiert ein h
’
’
alle
h, so dass
für
alle
h
gilt,
wonach
Œ[_ 53 †
†
Für
gilt
und damit:
J
Œ[_ †
53
Damit ist auch hier alles gezeigt. E
’
Œ[_
53 ’
Š
+ für
T
Œ[_ Š
53
*
, so dass
.
’
Satz 3: (aus der 1. Klausur) Die Teilfolge einer konvergenten Folge konvergiert gegen denselben Grenzwert wie
die konvergente Folge.
Beweis: Sei dazu * +
eine reellwertige beliebige Zahlenfolge mit Œ[_ * +
und Uj 5 injektiv,
.
. (z.z.)
dann ist Œ[_, V* + 4
* + 5 heißt: Für jedes
ist
‹‰ * + für fast alle , also für alle bis auf etwa
B
! >C. Weil U
injektiv ist, gibt es höchstens > Zahlen , sodass U* + B
! >C, also für fast alle gilt U* + c B
! >C.
Also für fast alle ist V* + ‹‰ * +, und das heißt , V* + . 5 .
Hiermit ist bereits alles gezeigt. E
// Folgerung: Das Grenzverhalten von Folgen ist im gewissen Maße mit der Anordnung der reellen Zahlen
verträglich.
//Und nun kommt mein „bester Satz des Sommersemesters“:
Satz 4: Eine monotone Funktion ist auf jedem kompakten Intervall [a, b] integrabel.
// Um diesen Satz zu beweisen, verwende ich u.a. auch folgende Definition:
Definition #: Für jedes kompakte Intervall I bezeichne ich mit
XYZ Bi*2+ o 2
¬*iü Ê+
ÊC
die Oszillation von f auf I. Weiterhin setze ich
•*iü Ê+
[\] x" ¬,iü •§/ •§ .,•§
§$
[\] Bi*2+ o 2
•§/ . o B• • ! •
ÊC
/
• C
û*Ê+
wobei das Infimum über alle Zerlegungen des Intervalls Ê genommen wird. Mit einer einfacheren Schreibweise
gilt also
•*iü Ê+ [\] B *iü Á+ ‹*iü Á+ o Á û*Ê+C T
Beweis: Sei die Funktion i o ?
@5
äquidistante Zerlegung, hier also
• A
• A
o.B.d.A. monoton wachsend und zudem sei Á
•§ A
~
! •
/
Mit Einsetzen dieser Zerlegung erhält man mit Def. # und aufgrund
und
W§ *iü Á+ A XYZýi*•+j •§/
§ *iü Á+
A [\]ýi*•+j •§/
für die Differenz der entsprechenden Ober- und Untersumme
•*i ?
@+
[\] B *iü Á+
•
A
*
•
•§ þ
•§ þ
‹*iü Á+ o Á
+
i*•§ +
i*•§/ +
û*?
@+C
û*?
•
o
T
@+ die
*iü Á +
"
§$
‹*iü Á +
i,•§ .
",•§
•§/ . i,•§ .
§$
?i* +
i,•§/ .
i*•§/ +
i* +@T
Weil man den letzten Ausdruck durch genügend große Wahl von m beleibeig klein machen könnte, erhält man
@+
•*i ?
, d. h. aufgrund der Erklärung im Definitionsteil in Kapitel 1 ist i auf ?
@ integrabel.
Der Beweis für monoton fallende Funktionen geht analog. Damit ist der Satz vollständig gezeigt. E
// Ein übersichtlicher Beweis (mit weniger Zwischenschritten) wurde bei der Bearbeitung von Übungsblatt 13
mit Verwendung von sogenannten Treppenfunktionen realisiert. Falls Sie neugierig sind, dann vergleichen
Sie beide Beweise. Das kann sehr interessant werden, denn in dem Lösungsansatz zu Übungsblatt 13 wurde
die Integrierbarkeit für monotone und stetige Funktionen in einem gemeinsamen Beweis realisiert.
Satz 5: Sei ij ?
@ 5 und lj ?
vorherigen Eigenschaften gilt:
•
J
@5
beschränkt und l i
i*2+l*2+|2
Voraussetzung: Es gilt die Gleichung 4 2 v 4
•
J
•
4i*2+4 |2
J
424 4v4 für 2 v
í
«*J •+ . Für beliebige i l mit
4l*2+4 |2 *$+
.
//Dies kann man ebenfalls als Satz beweisen. Darauf wird hier aber verzichtet.
Beweis: Dazu setze ich
i l A
•
J
il |2
i :A
•
J
4i4:|2
und so ergibt sich mit Definition ## und Voraussetzung die Behauptung (*) in der gleichen Weise wie die
Schwarzsche Ungleichung im í . E
Definition ##:
í
Eine Funktion
o í 5
, die jedem Vektor 2
eine mit 2 bezeichnete reelle Zahl zuordnet, heißt
í
í
Norm auf
, wenn beliebige 2 v
und
gilt:
(i) 2
und 2
s2
4 4 2
(ii) 2
(iii) 2 v
2
v
í
Es ist übrigens die definierte Länge 424 eines Vektors 2
eine Norm aud í , welche man die Euklidische
Norm nennt.
í
Das Euklidische Skalarprodukt zweier Vektoren 2
, das mit 2 v oder auch mit 2 v bezeichnet wird,
wird definiert als
2 v
í
2 v A " 2§ v§
§$
Gelegentlich nennt man 2 v auch das innere Produkt von 2 und v.
Dass Paar , í
. bezeichnet man als den d-dimensionalen Euklidischen Raum.
//zu meinen ersten Sätzen (Archimedisches Axiom) in Teil 1 kamen viele Fragen, daher folgen nun die
zugehörigen Beweise. Diese Beweise kann man in kurzer Form realisieren, deshalb sollte man in der Lage sein,
die Beweisstruktur nachzuvollziehen.
Satz 6: Zu jedem `
existiert \
mit
Õ
.
Beweis: Nach dem archimedischen Prinzip in Satz 7 existiert ein \
, gilt
. Somit ist auch \
und
Õ
.
E
, sodass
. Weil
und
+W a '‚. (*#*)
sodass *
µ
Beweis: Da nicht oben beschränkt ist, ist die Menge Ž\
4
• eine nichtleere, nach unten
X
beschränkte Teilmenge der ganzen Zahlen. Damit erhält die Menge ein kleinstes Element k, d.h.
µ
*
+
'. Da W
, sind diese Ungleichungen zu denen im archimedischen Prinzip (*#*)
X
äquivalent. Die Eindeutigkeit von
, das diese Ungleichungen erfüllt, folgt aus der Eindeutigkeit
dieses kleinsten Elementes in einer Zahlenmenge. Damit ist die Behauptung vollständig gezeigt. E
Satz 7: Zu jeder festen positiven Zahl h und jeder reellen Zahl x gibt es eine eindeutige ganze Zahl k,
Satz 8: Sei
,
. Ist
, so ist
. (z.z)
Beweis: Die Ungleichung
2 ist nach Satz 6 nicht möglich. Damit bleibt im Sinne einer
vollständigen Fallunterscheidung nur noch der obige Fall in der Behauptung übrig. E
// Dieses Mädchen ist stetig und daher auch Riemann-integrabel. Ohh, wie gerne ich hier doch das zweite
Integrablitätskriterium hier mal anwenden würde. ^^
(4) Testfragen zur Analysis 1
Die folgenden Testfragen sollen Ihnen zeigen, ob Sie flächendeckend in dem Gebiet der Analysis
vorbereitet sind, d.h. ob Sie den Vorlesungsstoff schon verinnerlicht haben. Diese Prüfungsfragen
lassen sich sehr schnell bearbeiten und sind daher ideal für eine kurzfristige Prüfungsvorbereitung
zu gebrauchen. Ferner geben Ihnen die Testfragen nach Bearbeitung relativ zügig ein Feedback, in
welchen Bereichen Sie noch einmal reingucken sollten. Die anschließenden Fragen stellen ein
Bindeglied zwischen der Vorlesung und den Übungen (Tutorien und Zentralübungen) dar, indem Sie
im unmittelbaren Anschluss an die Vorlesung oder kurzfristig vor dem Prüfungstermin die
Möglichkeit haben, gelernte Inhalte in einfacher und knapper Form zu üben und deren Verständnis zu
überprüfen.
Zur Bearbeitung: Entscheiden Sie bei den Testaufgaben jeweils schriftlich begründet, warum die
Aussage entweder „wahr“, oder warum die Aussage „falsch“ ist! Kreuzen Sie anschließend die wahre
Aussage an. Hinweis: Bei jeder Testfrage ist genau ein Kreuz zu setzen. Vergleichen Sie hiernach Ihr
Resultat mit der anschließenden Musterlösung.
Mathematische Grundlagen:
Y j
Y j
Y j
Yá j
Will man die Aussage „2n + 1 ist durch 2 teilbar für natürliche Zahlen n größer als 100“
induktiv beweisen, so scheitert man
a)
am Induktionsanfang (Beweis für das kleinste n).
b)
an der Induktionsannahme.
c)
am Induktionsschluss (Schluss von n auf n + 1).
A
*
+ ist
a)
eine Definition.
b)
eine Behauptung.
c)
ein Beweis.
Definiert man
a)
15.
b)
18.
c)
21.
Z[
A\
i yyd ñ ] ƒ
dann ist 0Z$ 0[$
i yyd ñ p ]
Z[
gleich
Die Anzahl der Zahlenpaare (a, b), für die a und b natürliche Zahlen kleiner als 50 sind und
gilt, ist gleich
a)
1225.
b)
2401.
c)
2450.
Yß j
Die Aussageform „x ist eine Primzahl und † 2 ist irrational“ hat als Negation die Aussageform
a)
b)
c)
Yà j
Yâ j
YG j
Y^ j
„x ist keine Primzahl oder † 2 ist irrational“.
a)
25 Möglichkeiten.
b)
600 Möglichkeiten.
c)
14400 Möglichkeiten.
Der Binomialkoeffizient ,^. ist gleich
a)
3.
b)
84.
c)
504.
Der Binomialkoeffizient ,¦. ist genau dann negativ, wenn
a)
p negativ ist.
b)
c)
p kleiner als 1 ist.
größer als 1 ist.
¦
Für reelle Zahlen a und b gilt *
a)
c)
Y j
„x ist keine Primzahl oder † 2 ist rational“.
Aufgrund eines Sängerfestes sollen von Svenja Vereinsfahnen entlang der Feststraße aufgestellt
werden, und zwar auf der einen Seite die Fahnen der 5 einheimischen Vereine, auf der anderen
Straßenseite die Fahnen der 5 auswärtigen Vereine. Für die Anordnung gibt es insgesamt
b)
Y j
„x ist keine Primzahl und † 2 ist rational“.
‡
± ‡
± ‡
± :
:
19 :
±
±
”²
:
:
:
1 + ist glich
1 ‡.
° ‡.
° ‡.
Zwei Bocciaspieler haben jeweils vier Kugeln. Für die Reihenfolge des Werfens beider Spieler
bestehen bei einem Spiel
a)
70 Möglichkeiten.
b)
576 Möglichkeiten.
c)
1680 Möglichkeiten.
Für das Streichen einer 5-türigen Schrankwand mit 2 Farben, wobei jede Tür einfarbig
gestrichen werden soll, hat man insgesamt
a)
10 Möglichkeiten.
b)
32 Möglichkeiten.
c)
120 Möglichkeiten.
Y j
Y j
Die Anzahl der Ehen, die 5 Männer und 2 Frauen eingehen können, ist gleich
a)
10.
b)
32.
c)
120.
Es gibt reelle Zahlen a, b und c, für die nicht gilt 4
a)
b)
4 4
4 4
4
1
a)
u4.
2
”
2.
9
c)
”+
9, wenn x folgende Bedingung erfüllt
2.
Es seien a und b reelle Zahlen mit
1 und 4 4
K
Ungleichung ˆ
ˆ ” genügen, muss gelten
a)
J
u
³
b)
u
1
c)
Y àj
u4.
Für eine reell Zahl x gilt genau dann 1*2
b)
Y ßj
4u4.
4
4 4
c)
Y áj
4 4
u4
u
. Soll eine reelle Zahl c auf jeden Fall der
1
³.
.
Für reelle Zahlen a, b, c und d gilt nach der Schwarzschen Ungleichung
4 |
a)
b)
c)
*
:
Ÿ :
:
u
u:
|+
: Ÿu:
|:.
u
u
| 4
|:.
Lösungen:
Hinweis: Falls Ihnen absolut nicht klar sein sollte, warum eine Aussage richtig sein sollte und warum andere Aussagen
nicht richtig sein sollten, dann können Sie mich bedenkenlos mit der Aufgabennummer (per Mail, Forum, persönlich)
kontaktieren. Ich werde dann jede Auswahlmöglichkeit einzeln und ausführlich begründen. Hier werde ich Ihnen nur eine
kurze Lösungsübersicht (teils mit Kommentaren) vorstellen.
Y j
Will man die Aussage „2n + 1 ist durch 2 teilbar für natürliche Zahlen n größer als 100“
induktiv beweisen, so scheitert man
a)
am Induktionsanfang (Beweis für das kleinste n).
b)
an der Induktionsannahme.
c)
am Induktionsschluss (Schluss von n auf n + 1).
// denn für n = 101 ist die Aussage falsch, da
1 nicht durch 2 teilbar ist.
Y j
A
*
+ ist
a)
eine Definition.
b)
eine Behauptung.
c)
ein Beweis.
// Der Doppelpunkt vor dem Gleichheitszeichen zeigt an, dass das, was vor dem Gleichheitszeichen
steht, durch das, was hinter dem Gleichheitszeichen steht, definiert wird.
Y j
Yá j
//
Definiert man
a)
15.
b)
18.
c)
21.
// 0Z$ 0[$
0á^
J$
Yß j
A\
*
i yyd ñ ] ƒ
dann ist 0Z$ 0[$
i yyd ñ p ]
+
*
á^ *á^
+
+
*
a)
1225.
b)
2401.
c)
*”
2450.
+ 0á^
-$ '
// , .
”
a)
„x ist keine Primzahl und † 2 ist rational“.
”
„x ist keine Primzahl oder † 2 ist rational“.
„x ist keine Primzahl oder † 2 ist irrational“.
Aufgrund eines Sängerfestes sollen von Svenja Vereinsfahnen entlang der Feststraße aufgestellt
werden, und zwar auf der einen Seite die Fahnen der 5 einheimischen Vereine, auf der anderen
Straßenseite die Fahnen der 5 auswärtigen Vereine. Für die Anordnung gibt es insgesamt
a)
25 Möglichkeiten.
b)
600 Möglichkeiten.
c)
14400 Möglichkeiten.
// Für jede Straßenseite ergeben sich 5! = 120, insgesamt also
^
gleich
Die Aussageform „x ist eine Primzahl und † 2 ist irrational“ hat als Negation die Aussageform
c)
Yâ j
+
Z[
Die Anzahl der Zahlenpaare (a, b), für die a und b natürliche Zahlen kleiner als 50 sind und
gilt, ist gleich
b)
Yà j
Z[
Z[
Der Binomialkoeffizient ,^. ist gleich
a)
3.
b)
84.
c)
504.
±²
^ G â
²²
Möglichkeiten.
YG j
Y^ j
Der Binomialkoeffizient ,¦. ist genau dann negativ, wenn
a)
p negativ ist.
b)
c)
p kleiner als 1 ist.
größer als 1 ist.
Für reelle Zahlen a und b gilt *
a)
b)
c)
Y j
Y j
¦
‡
± :
± ‡
:
± ‡
19 :
±
±
”²
:
:
:
1 + ist glich
1 ‡.
° ‡.
° ‡.
Zwei Bocciaspieler haben jeweils vier Kugeln. Für die Reihenfolge des Werfens beider Spieler
bestehen bei einem Spiel
a)
70 Möglichkeiten.
b)
576 Möglichkeiten.
c)
1680 Möglichkeiten.
Für das Streichen einer 5-türigen Schrankwand mit 2 Farben, wobei jede Tür einfarbig
gestrichen werden soll, hat man insgesamt
a)
10 Möglichkeiten.
b)
32 Möglichkeiten.
1 Möglichkeiten.
c)
120 Möglichkeiten.
// denn für jede Tür gibt es 2, für 5 Türen also insgesamt
Y j
Die Anzahl der Ehen, die 5 Männer und 2 Frauen eingehen können, ist gleich
a)
10.
b)
32.
c)
120.
// denn für jeden der 5 Männer gibt es 2 mögliche Ehen, insgesamt also ”
Y j
Es gibt reelle Zahlen a, b und c, für die nicht gilt 4
a)
b)
4 4
4 4
4 4
4
u4
4u4.
u4.
4 4 4
c)
u4.
// setzt man etwa a:=0, b:=1, c:= -1, so hat man 4
Ehen.
u4
4 4
4
u4
Y áj
Für eine reell Zahl x gilt genau dann 1*2
a)
b)
c)
Y ßj
1
2
”
2.
9
9, wenn x folgende Bedingung erfüllt
2.
Es seien a und b reelle Zahlen mit
1 und 4 4
K
ˆ ” genügen, muss gelten
Ungleichung ˆ
a)
J
u
³
b)
u
1
c)
Y àj
”+
u
. Soll eine reelle Zahl c auf jeden Fall der
1
³.
.
Für reelle Zahlen a, b, c und d gilt nach der Schwarzschen Ungleichung
4 |
a)
b)
c)
*
:
Ÿ :
:
u
u:
|+
: Ÿu:
|:.
|:.
u
u
| 4
Konvergenz und Grenzwerte:
_j
³
a)
b)
³.
c)
_j
_j
Eine Zahlenfolge
a)
Zu jedem
b)
Es existieren
c)
Es existiert ein
A
a)
A
A
c)
A
A
b)
A
c)
_ß j
Es gilt Œ[_
a)
b)
c)
_à j
existiert kein h, sodass 4
4
und h, sodass 4
4
für alle
1 ! fallen von
`
h gibt mit 4
h
4
1!
1!
‡/
und h A ³
und h A ”
’
, dann ist das dritte Element der
1!
:/
53 , †°
+’
h
! ist konvergent, wenn
und h A ²
G
* /
für alle
, sodass es für alle h ein
Alle Elemente der Zahlenfolge
A
Umgebung von 0, wobei definiert ist
a)
A
! ist genau dann divergent, wenn für jede reelle Zahl a gilt
Eine Zahlenfolge
b)
_á j
! durch
Definiert man die Zahlenfolge
Folge gleich
.
9
Die Zahlenfolge
a)
keinen Grenzwert
b)
einen Grenzwert
c)
zwei Grenzwerte
! mit
A*
+ hat
an aufwärts in die
_â j
A
a)
A
b)
a)
c)
a)
c)
b)
c)
† ²²
† ²²
’
*
*
*
A und
³+
³+
^
A ³³ so ist
h
h
³+
i*
i*
h
+
+
Die Zahlenfolge
A
a)
A
A
c)
Gilt Œ[_
’
†^
^’
)
^’
53
¥* +
+
¥* +
¥* +
! ist divergent für
1!
1!
1!
, so ist der Grenzwert der Folge
a)
b)
c)
_ j
† ²²
’
i*
b)
_ j
1!
Es sei ¥* + die Anzahl aller Permutationen aus den ersten n natürlichen Zahlen und i*
+
die Anzahl aller abbrechenden Folgen
!
mit #
!
oder für
;
. Dann gilt von einer bestimmten Stelle
aufwärts
a)
_ j
1!
8
’
’
Setzt man
b)
_ j
1!
Es gibt eine natürliche Zahl n mit
b)
_^ j
/
A
c)
_G j
! hat den Grenzwert 0, wenn
Die Zahlenfolge
A\
/
””
Folgende Aussage ist falsch: Divergent ist jede Zahlenfolge, die
a)
eine obere und eine untere Schranke besitzt.
b)
eine obere, aber keine untere Schranke besitzt.
c)
keine obere und keine untere Schranke besitzt.
ƒ gleich
_ áj
Für konvergente Folgen
a)
b)
c)
_ ßj
_ àj
_ ^j
.
.
c)
.
Dass Œ[_
a)
53 *
53 *
+
+
+
53 :/
Œ[_
Œ[_
Œ[_
53 :/
53 :/
53 :/
*
a)
b)
.
.
c)
.
und Œ[_Õ53 `Õ p
mit
.
.
.
A † ,†
Œ[_ *
53
8
Ô(a &’
’5b
Ô(a &
’5b
† .,
+ Œ[_
8
(
’:
8
/ (
’:
A
*
53 :/
+ Œ[_
:/à
à :
53 :/
/
.
,
Nach dem Einschließungskriterium folgt für Œ[_
a)
aus c = 1 immer
b)
aus c = 1 und
c)
aus
a)
c)
1 ! ist gleich
für alle n.
für alle n immer
+
.
Œ[_ *
53
A*
A
A
/
8
/’
+
53
u
für alle n.
! ist nicht monoton steigend, wenn
1!
1!
1!
Die reellen Intervalle [1, 3) und (2, 4] haben
a)
keine reelle Zahl gemeinsam
b)
genau zwei reelle Zahlen gemeinsam
c)
unendlich viele reelle Zahlen gemeinsam
+
.
1 ! ist gleich
für alle n immer c = 1.
Die Zahlenfolge
ist immer
gilt, kann man mit der Limesrechnung folgendermaßen beweisen:
Der Grenzwert der Folge
b)
_ j
Œ[_
a)
b)
c)
_ Gj
Œ[_
53 *
Der Grenzwert der Folge
b)
_ âj
Œ[_
und
Œ[_
53
_ j
_ j
_ j
Nach dem Monotoniekriterium ist ein reelle Zahlenfolge konvergent, wenn sie
a)
monoton steigend und nach unten beschränkt ist
b)
nicht monoton steigend und nach oben beschränkt ist
c)
monoton fallend und nach unten beschränkt ist
Die Eulersche Zahl } ist
a)
rational
b)
irrational und algebraisch.
c)
transzendent
Eine Intervallschachtelung Å Å Å ! wird definiert durch
a)
b)
c)
_ áj
_ ßj
_ àj
Å A ?1/
Å A ?1/
Å A?
/
/
@
/
1!
@
1!
1!
Eine Intervallschachtelung, deren Intervalllängen gegen Null konvergieren, erfasst
a)
genau eine Zahl
b)
genau zwei Zahlen.
c)
unendlich viele Zahlen
Für die Konvergenz einer Zahlenfolge ist
a)
notwendig, dass Sie eine Schranke besitzt
b)
hinreichend, dass Sie eine Schranke besitzt.
c)
notwendig und hinreichend, dass sie eine Schranke besitzt
Nach dem Cauchy-Kriterium ist eine Zahlenfolge genau dann divergent, wenn
a)
c)
kein h existiert, sodass 4
4
und h existieren, sodass 4
4
zu jedem
b)
_ âj
1
@
ein
existiert, sodass es für alle h Zahlen
für alle
Das Cauchy-Kriterium besagt nicht, dass eine Zahlenfolge
wenn zu jedem
eine natürliche Zahl h existiert mit
a)
b)
c)
4
4
4
4
4
4
für alle
für alle
für alle
h
h wobei
h wobei
.
.
für alle
h
h gibt mit 4
h
4
! schon konvergent ist,
_ Gj
Man erhält eine konvergente Zahlenfolge durch folgende rekursive Definition:
A
a)
A
b)
_ j
_ j
/
1
8
’
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
1!
1!
1!
Eine absolut konvergente Reihe
a)
hat immer einen positiven Grenzwert.
b)
hat immer einen nichtnegativen Grenzwert.
c)
kann eine beliebige reelle Zahl als Grenzwert annehmen.
Es ist
a)
03
#$
à
ß
#
*/ +c¡8
3
0#$
#
#/
03
#$ #:
à
â
! die Folge der Partialsummen der Reihe
/#
Der Grenzwert der Reihe 03
ist gleich
#$ 1
a)
1,5
b)
1,6.
c)
3,141592653… .
Es gibt keine Partialsumme d der harmonischen Reihe mit
a)
b)
c)
_ áj
A
1/
a)
c)
_ j
/
1
Für die Konvergenz einer Reihe ist die Bedingung, dass ihre Glieder eine Nullfolge bilden,
b)
_ j
/
A
A
c)
_ ^j
A
d
d
d
†
Nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium ist die folgende Reihe konvergent
a)
b)
c)
03
#$
†#
*/ +c¡8
3
0#$
†#
†#/
3
0#$
#:
_ ßj
_ àj
Der Grenzwert der Reihe 03
#$
beträgt
a)
0,83
b)
0,84.
c)
1,24
b)
c)
a)
c)
a)
c)
#
c¡8
3 */ +
0#$
#
03
#$ #:
03
#$
03
#$
03
#$
#
c
03
#$
03
#$
03
#$
b)
c)
03
#$
03
#$
03
#$
*/ +c¡8
c
ist die Reihe
.
#)
ß
c
ß
6c
ß *#
c
c
#
#
#
und 03
#$
ß
c
ist die Reihe
+
Ist das Cauchysche Produkt der Reihen 03
#$
man notwendigerweise, dass
a)
_á j
03
#$
Das Cauchysche Produkt der Reihen 03
#$
b)
_ ^j
gerundet auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma
Eine konvergente Majorante für die Reihe 03
#$
b)
_ Gj
ßc
Die folgende Reihe muss divergent sein, weil sich aus ihr die (divergente) harmonische Reihe
superponieren lässt
a)
_ âj
*/ +c
oder 03
#$
3
und 0#$
und 03
#$
#
#
#
#
und 03
#$
nicht absolut konvergent ist
nicht konvergent sind
nicht absolut konvergent ist
Die Folge der ganzzahligen Anteile von &
a)
monoton steigend
b)
monoton nicht fallend.
c)
monoton nicht steigend .
A J K( ist
#
nicht absolut konvergent, so hat
_á j
Der Grenzwert der Reihe 03
#$/
a)
b)
c)
_á j
a)
c)
a)
c)
#
i yyd
; i yyd ;
;ƒ
ist gleich
1}.
c
;
#
;
à
Œ[_#53
Œ[_#53
#:
#
#)
#
*#
c
folgt nach dem Quotientenkriterium von d’Alembert wegen
1!
;
ß
#c
!
#
1²! .
ist nach dem Quotientenkriterium konvergent, da
+
#:
#:
Œ[_#53 *# +6
.
.
c
Wurzelkriteriums gelten
b)
c)
Œ[_#53 Š
#
Œ[_#53 Š
#
c
Œ[_#53 Š
c
c
a)
c)
A
Es sei #8
kann nicht
a)
b)
c)
1 9
u A1
#6
#
#
Die Zahlenfolge
b)
_áà j
1.
#
#
, wobei _[\* ;+ A \
Da die harmonische Reihe divergiert, jedoch Œ[_#53 Š existiert, muss aufgrund des
a)
_áß j
}
Die Reihe 03
#$
b)
_áá j
1
Die Konvergenz der Reihe 03
#$
b)
_á j
}
a (Õ* #+
4#4 )
:
#7
A, .
”
1!
1!
1 ! hat als Teilfolge
! eine Teilfolge der Zahlenfolge
! eine Teilfolge von
ein n existieren mit
ein n existieren mit ;
#’
#8
#6
#7
! sein
! und es gelte
#8
p
. Dann
_áâ j
Zwei konvergente Reihen 03
#$
a)
b)
c)
_áG j
_á^ j
_ß j
#
#
#
#
#
#
;
;
#
;
#
! T
! T
und 03
#$
#
haben denselben Grenzwert, wenn gilt
! T
Für die Divergenz einer Zahlenfolge ist die Bedingung, dass mindestens eine ihrer Teilfolgen
divergiert,
a)
notwendig, aber nicht hinreichend
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
Nach dem Auswahlsatz von Bolzano-Weierstraß enthält eine beschränkte Zahlenfolge
a)
genau eine konvergente Teilfolge.
b)
endlich viele konvergente Teilfolgen.
c)
unendlich viele konvergente Teilfolgen.
Eine konvergente Teilfolge ist enthalten in der Zahlenfolge
a)
b)
c)
A&
A
A
8
6
(
1 !.
1 !.
1 !.
Lösungen:
_j
³
a)
b)
³.
c)
_j
_j
a)
Zu jedem
b)
Es existieren
c)
Es existiert ein
A
A
A
c)
A
A
b)
A
c)
Es gilt Œ[_
a)
b)
c)
_à j
+’
, dann ist das dritte Element der
4
für alle
h
1 ! fallen von
`
! ist konvergent, wenn
h gibt mit 4
h
4
1!
1!
:/
1!
‡/
und h A ²
G
* /
für alle
, sodass es für alle h ein
Alle Elemente der Zahlenfolge
A
Umgebung von 0, wobei definiert ist
a)
_ß j
existiert kein h, sodass 4
4
und h, sodass 4
Eine Zahlenfolge
a)
A
! ist genau dann divergent, wenn für jede reelle Zahl a gilt
Eine Zahlenfolge
b)
_á j
! durch
Definiert man die Zahlenfolge
Folge gleich
an aufwärts in die
und h A ³
und h A ”
53 , †°
.
’
9
Die Zahlenfolge
a)
keinen Grenzwert
b)
einen Grenzwert
! mit
A*
+ hat
c)
zwei Grenzwerte
// eine Folge kann höchstens einen Grenzwert haben, bei der vorliegenden Folge erfüllt jedoch kein a
die Bedingung, dass
&šT gT
Umgebung von a liegen.
( die Folgenglieder von einem bestimmten
`
an alle in der
_â j
A
a)
A
b)
a)
c)
a)
c)
b)
c)
† ²²
† ²²
’
*
*
*
A und
³+
³+
^
A ³³ so ist
h
h
³+
i*
i*
h
+
+
Die Zahlenfolge
A
a)
A
A
c)
Gilt Œ[_
’
†^
^’
)
^’
53
¥* +
+
¥* +
¥* +
! ist divergent für
1!
1!
1!
, so ist der Grenzwert der Folge
a)
b)
c)
_ j
† ²²
’
i*
b)
_ j
1!
Es sei ¥* + die Anzahl aller Permutationen aus den ersten n natürlichen Zahlen und i*
+
die Anzahl aller abbrechenden Folgen
!
mit #
!
oder für
;
. Dann gilt von einer bestimmten Stelle
aufwärts
a)
_ j
1!
8
’
’
Setzt man
b)
_ j
1!
Es gibt eine natürliche Zahl n mit
b)
_^ j
/
A
c)
_G j
! hat den Grenzwert 0, wenn
Die Zahlenfolge
A\
/
””
Folgende Aussage ist falsch: Divergent ist jede Zahlenfolge, die
a)
eine obere und eine untere Schranke besitzt.
b)
eine obere, aber keine untere Schranke besitzt.
c)
keine obere und keine untere Schranke besitzt.
ƒ gleich
_ áj
Für konvergente Folgen
a)
b)
c)
_ ßj
_ àj
_ ^j
.
.
c)
.
Dass Œ[_
a)
53 *
53 *
+
+
+
53 :/
Œ[_
Œ[_
Œ[_
53 :/
53 :/
53 :/
*
a)
b)
.
.
c)
.
und Œ[_Õ53 `Õ p
mit
.
.
.
A † ,†
Œ[_ *
53
8
Ô(a &’
’5b
Ô(a &
’5b
† .,
+ Œ[_
8
(
’:
8
/ (
’:
A
*
53 :/
+ Œ[_
:/à
à :
53 :/
/
.
,
Nach dem Einschließungskriterium folgt für Œ[_
a)
aus c = 1 immer
b)
aus c = 1 und
c)
aus
a)
c)
1 ! ist gleich
für alle n.
für alle n immer
+
.
Œ[_ *
53
A*
A
A
/
8
/’
+
53
u
für alle n.
! ist nicht monoton steigend, wenn
1!
1!
1!
Die reellen Intervalle [1, 3) und (2, 4] haben
a)
keine reelle Zahl gemeinsam
b)
genau zwei reelle Zahlen gemeinsam
c)
unendlich viele reelle Zahlen gemeinsam
+
.
1 ! ist gleich
für alle n immer c = 1.
Die Zahlenfolge
ist immer
gilt, kann man mit der Limesrechnung folgendermaßen beweisen:
Der Grenzwert der Folge
b)
_ j
Œ[_
a)
b)
c)
_ Gj
Œ[_
53 *
Der Grenzwert der Folge
b)
_ âj
Œ[_
und
Œ[_
53
_ j
_ j
_ j
Nach dem Monotoniekriterium ist ein reelle Zahlenfolge konvergent, wenn sie
a)
monoton steigend und nach unten beschränkt ist
b)
nicht monoton steigend und nach oben beschränkt ist
c)
monoton fallend und nach unten beschränkt ist
Die Eulersche Zahl } ist
a)
rational
b)
irrational und algebraisch.
c)
transzendent
Eine Intervallschachtelung Å Å Å ! wird definiert durch
a)
b)
c)
_ áj
_ ßj
_ àj
Å A ?1/
Å A ?1/
Å A?
/
/
@
/
1!
@
1!
1!
Eine Intervallschachtelung, deren Intervalllängen gegen Null konvergieren, erfasst
a)
genau eine Zahl
b)
genau zwei Zahlen.
c)
unendlich viele Zahlen
Für die Konvergenz einer Zahlenfolge ist
a)
notwendig, dass Sie eine Schranke besitzt
b)
hinreichend, dass Sie eine Schranke besitzt.
c)
notwendig und hinreichend, dass sie eine Schranke besitzt
Nach dem Cauchy-Kriterium ist eine Zahlenfolge genau dann divergent, wenn
a)
c)
kein h existiert, sodass 4
4
und h existieren, sodass 4
4
zu jedem
b)
_ âj
1
@
ein
existiert, sodass es für alle h Zahlen
für alle
Das Cauchy-Kriterium besagt nicht, dass eine Zahlenfolge
wenn zu jedem
eine natürliche Zahl h existiert mit
a)
b)
c)
4
4
4
4
4
4
für alle
für alle
für alle
h
h wobei
h wobei
.
.
für alle
h
h gibt mit 4
h
4
! schon konvergent ist,
_ Gj
Man erhält eine konvergente Zahlenfolge durch folgende rekursive Definition:
A
a)
A
b)
_ j
_ j
/
1
8
’
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
1!
1!
1!
Eine absolut konvergente Reihe
a)
hat immer einen positiven Grenzwert.
b)
hat immer einen nichtnegativen Grenzwert.
c)
kann eine beliebige reelle Zahl als Grenzwert annehmen.
Es ist
a)
03
#$
à
ß
#
*/ +c¡8
3
0#$
#
#/
03
#$ #:
à
â
! die Folge der Partialsummen der Reihe
/#
Der Grenzwert der Reihe 03
ist gleich
#$ 1
a)
1,5
b)
1,6.
c)
3,141592653… .
Es gibt keine Partialsumme d der harmonischen Reihe mit
a)
b)
c)
_ áj
A
1/
a)
c)
_ j
/
1
Für die Konvergenz einer Reihe ist die Bedingung, dass ihre Glieder eine Nullfolge bilden,
b)
_ j
/
A
A
c)
_ ^j
A
d
d
d
†
Nach dem Leibnizschen Konvergenzkriterium ist die folgende Reihe konvergent
a)
b)
c)
03
#$
†#
*/ +c¡8
3
0#$
†#
†#/
3
0#$
#:
_ ßj
_ àj
Der Grenzwert der Reihe 03
#$
beträgt
a)
0,83
b)
0,84.
c)
1,24
b)
c)
a)
c)
a)
c)
#
c¡8
3 */ +
0#$
#
03
#$ #:
03
#$
03
#$
03
#$
#
c
03
#$
03
#$
03
#$
b)
c)
03
#$
03
#$
03
#$
*/ +c¡8
c
ist die Reihe
.
#)
ß
c
ß
6c
ß *#
c
c
#
#
#
und 03
#$
ß
c
ist die Reihe
+
Ist das Cauchysche Produkt der Reihen 03
#$
man notwendigerweise, dass
a)
_á j
03
#$
Das Cauchysche Produkt der Reihen 03
#$
b)
_ ^j
gerundet auf zwei Dezimalstellen nach dem Komma
Eine konvergente Majorante für die Reihe 03
#$
b)
_ Gj
ßc
Die folgende Reihe muss divergent sein, weil sich aus ihr die (divergente) harmonische Reihe
superponieren lässt
a)
_ âj
*/ +c
oder 03
#$
3
und 0#$
und 03
#$
#
#
#
#
und 03
#$
nicht absolut konvergent ist
nicht konvergent sind
nicht absolut konvergent ist
Die Folge der ganzzahligen Anteile von &
a)
monoton steigend
b)
monoton nicht fallend.
c)
monoton nicht steigend .
A J K( ist
#
nicht absolut konvergent, so hat
_á j
Der Grenzwert der Reihe 03
#$/
a)
b)
c)
_á j
a)
c)
a)
c)
#
i yyd
; i yyd ;
;ƒ
ist gleich
1}.
c
;
#
;
à
Œ[_#53
Œ[_#53
#:
#
#)
#
*#
c
folgt nach dem Quotientenkriterium von d’Alembert wegen
1!
;
ß
#c
!
#
1²! .
ist nach dem Quotientenkriterium konvergent, da
+
#:
#:
Œ[_#53 *# +6
.
.
c
Wurzelkriteriums gelten
b)
c)
Œ[_#53 Š
#
Œ[_#53 Š
#
c
Œ[_#53 Š
c
c
a)
c)
A
Es sei #8
kann nicht
a)
b)
c)
1 9
u A1
#6
#
#
Die Zahlenfolge
b)
_áà j
1.
#
#
, wobei _[\* ;+ A \
Da die harmonische Reihe divergiert, jedoch Œ[_#53 Š existiert, muss aufgrund des
a)
_áß j
}
Die Reihe 03
#$
b)
_áá j
1
Die Konvergenz der Reihe 03
#$
b)
_á j
}
a (Õ* #+
4#4 )
:
#7
A, .
”
1!
1!
1 ! hat als Teilfolge
! eine Teilfolge der Zahlenfolge
! eine Teilfolge von
ein n existieren mit
ein n existieren mit ;
#’
#8
#6
#7
! sein
! und es gelte
#8
p
. Dann
_áâ j
Zwei konvergente Reihen 03
#$
a)
b)
c)
_áG j
_á^ j
_ß j
#
#
#
#
#
#
;
;
#
;
#
! T
! T
und 03
#$
#
haben denselben Grenzwert, wenn gilt
! T
Für die Divergenz einer Zahlenfolge ist die Bedingung, dass mindestens eine ihrer Teilfolgen
divergiert,
a)
notwendig, aber nicht hinreichend
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
Nach dem Auswahlsatz von Bolzano-Weierstraß enthält eine beschränkte Zahlenfolge
a)
genau eine konvergente Teilfolge.
b)
endlich viele konvergente Teilfolgen.
c)
unendlich viele konvergente Teilfolgen.
Eine konvergente Teilfolge ist enthalten in der Zahlenfolge
a)
b)
c)
A&
A
A
8
6
(
1 !.
1 !.
1 !.
Funktionen:
dj
d j
d j
dá j
Definitionsbereich und Wertebereich einer Funktion
a)
haben keine Zahl gemeinsam.
b)
haben mindestens eine Zahl gemeinsam.
c)
können keine, eine oder mehrere Zahlen gemeinsam haben.
Die Funktion i*2+ A ”
^
2
^ hat
nur positive Nullstellen.
b)
eine positive und eine negative Nullstelle.
c)
nur negative Nullstellen.
Veranschaulicht man sich mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems die Funktion
i*2+ A 2
, ^ 2 ^ als Kurve in der Ebene, so liegt der Punkt mit der Abszisse 2
und der Ordinate -1
a)
oberhalb der Kurve.
b)
auf der Kurve.
c)
unterhalb der Kurve.
Für das Polynom ká *2+ A
gilt
b)
c)
dà j
2:
a)
a)
dß j
92
ká *2+
ká *2+
ká *2+
*2
*2
*2
+*³
±
92
12
2
2:
2 +
”2‡
2 á,
^
2
^, mit der Nullstelle -2
+* ³
2 +
”2 °2
+*³ 92 °2
2 +
Ein Polynom ungleich dem Nullpolynom mit den Nullstellen -2, 0 und 2
a)
hat höchstens den Grad 2.
b)
hat mindestens den Grad 3.
c)
kann beliebigen Grad haben.
Die Punkte (0, -2), (1, -3) und (2, 0) liegen auf der Kurve von
a)
keinem Polynom 2-ten Grades.
b)
genau einem Polynom 2-ten Grades.
c)
unendlich vielen Polynomen 2-ten Grades.
dâ j
dG j
Ein Funktionenlimes einer Funktion f(x) muss
a)
stets im Definitionsbereich von f(x) liegen.
b)
immer im Wertebereich von f(x) liegen.
c)
nicht im Definitions- oder Wertebereich von f(x) liegen.
Ist 2 im Definitionsbereich der Funktion i*2+ enthalten, dann ist i*2 + ein Funktionenlimes
von i*2+ für 2 5 2 , wenn im Definitionsbereich von i*2+
a)
b)
c)
d^ j
d j
d j
53 *2
keine gegen 2 konvergierende Folge 2 existiert mit Œ[_
kein 2 existiert mit i*2+ i*2 +
.
Der Funktionenlimes der Funktion i*2+ A
a)
0.
b)
1.
c)
2.
2
©
53 *2
für 2 5
+
i*2 +.
+ p i*2 +.
ist gleich
Für die Stetigkeit einer Funktion i*2+ ist die Bedingung, dass immer der Funktionenlimes von
i*2+ für 2 5 2 existiert (2 sei ein beliebiger Grenzwert einer im Definitionsbereich von i*2+
enthaltenen Folge),
a)
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
Die Funktion i*2+ A \
a)
b)
c)
d j
eine gegen 2 konvergierende Folge 2 existiert mit Œ[_
o
o
o
.
2
2:
^
2
2
^
ƒ ist stetig an der Stelle x = 2, wenn man definiert
.
1.
Eine Funktion i*2+ ist genau dann nicht stetig, wenn für mindestens eine Stelle 2 ihres
Definitionsbereichs gilt
, sodass 4i*2+ i*2 +4
für 42
, sodass 4i*2+ i*2 +4
für 42 2 4
existiert kein f
a)
Zu jedem
b)
Es existieren
c)
Es existiert ein
4i*2e + i*2 +4
und f
, sodass es für alle f
.
ein 2e gibt mit 42e
2 4
2 4
f.
f.
f und
d j
Eine stetige Funktion i*2+ haben die Funktionswerte i & (
a)
b)
c)
d áj
b)
c)
b)
c)
a)
c)
d Gj
.
4i*2+4
4l*2+4
2
4l*2+4 stetig ist.
l*2+ stetig ist.
ø *š +
?
ø *š +
ø *š +
š # und i*2+
š
8
8
#
±š
8
#
Definiert man i*2+ A Ž
b)
d âj
.
@.
Die mittelbare Funktion l*2 + A *±2
Funktionen
a)
d àj
i* +
i* +
.
1 ! . Dann gilt
Es seien i*2+ und l*2+ Funktionen mit dem Definitionsbereich ? @. Ist i*2+ gebrochen
rational und i*…+
l*…+ für jede rationale Zahl … zwischen 0 und 1, dann ist i*2+
l*2+
für alle 2 in ? @, wenn
a)
d ßj
i* +
/
Œ[_©5
Œ[_©5
Œ[_©5
i*2+
*±2
und i*2+
2
i*2+ p
i*2+
Die Funktion i*2+ A 424
und i*2+
2
8
+ gilt.
ø*i*2++ für die stetigen
±2‡ gilt.
^
Œ[_ i*2+.
©5/
+# ist stetig, da l*2+
Œ[_ i*2+.
2‡ gilt.
2 ^ƒ
dann gilt für die einseitigen Grenzwerte
2
©5/
p Œ[_ i*2+.
©5/
^
2
^, ist an der Stelle 2
a)
stetig.
b)
rechtsseitig stetig, aber nicht linksseitig stetig.
c)
nicht stetig.
Ist i*2+ eine in einem abgeschlossenen Intervall ?
@ stetige Funktion mit i* +
dann gibt es nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano
a)
b)
c)
zu 2 in *
zu 2 in *
+ immer ein v in *
+ mit i*2+
v.
+ immer ein v in *i* + i* ++ mit i*2+
zu v in *i* + i* ++ immer ein 2 in *
+ mit i*2+
v.
v.
i* +,
d ^j
d j
Die ganze rationale Funktion i*2+ A
Nullstelle im offenen Intervall
a)
(0, 1).
b)
(1, 2).
c)
(2, 3).
a)
b)
b)
c)
d j
i*2+
424
2
2
©/
2
4©4/
.
i *Í 2+
i *Í 2+
i *Í 2+
2
2:
²2‡,
^
2
^, hat eine
+, wenn gilt
.
.
2
, gleichmäßig stetig, wenn zu
existiert.
2
existiert.
2
existiert.
Für die Stetigkeit einer Funktion i*2+
?
@ beschränkt ist,
a)
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
2
, ist die Bedingung, dass i*2+ in
Nach dem Satz von Weierstraß folgt, dass eine in dem abgeschlossenen Intervall ?
@ stetige
Funktion i*2+ ihr Maximum oder Minimum in dem offenen Intervall *
+ annimmt, wenn
gilt
a)
b)
c)
d áj
i*2+
i*2+
Nach dem Satz von Heine ist eine Funktion i*2+
i*2+ eine stetige Fortsetzung
a)
d j
2
Die Funktion i*2+ ist gleichmäßig stetig in *
c)
d j
1
i* +
i* +
i* +
i* +.
i* +.
i* +.
Die reelle Zahl }
ist
a)
kleiner als 100.
b)
zwischen 100 und 1000.
c)
größer als 1000.
d ßj
Es gilt }
a)
b)
c)
d àj
a)
c)
a)
c)
d ^j
} }J
}
J
} J}
•
}
•
*J •+
•
* ^+
? ^+
* ^ ^+
8
2
, ist
a)
gleichmäßig stetig.
b)
stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
c)
nicht stetig.
Der uneigentliche Funktionenlimes Œ[_
a)
c)
d j
#)
c
3 * ©+
0#$
#)
c
3 * ©+
0#$
* #+ )
Die Funktion i*2+ A } · ,
b)
d j
©c
Der Wertebereich der e-Funktion ist gleich
b)
d Gj
03
#$
Nach dem Additionstheorem der Exponentialfunktion ist }
b)
d âj
©
^.
5/3 *
} /© + ist gleich
.
^.
Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sind im offenen Intervall &
a)
gleichmäßig stetig.
b)
stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
c)
nicht stetig.
Es gilt ÇÈX* 2+
a)
b)
c)
03
#$
03
#$
*/ +c
2
#)
*/ +c
* #+ )
c
3 */ +
0#$
*
* #+ )
#
2
#
2+
#
É
(
d j
Nach dem Additionstheorem der trigonometrischen Funktionen gilt für reelle Zahlen a, b und c:
X[\*
u+
a)
b)
c)
d j
d áj
X[\* + ÇÈX* + ÇÈX*u+
X[\* + ÇÈX* + X[\*u+
X[\* + X[\* + X[\*u+
a)
2 Nullstellen.
b)
4 Nullstellen.
c)
8 Nullstellen.
Â+
ÇÈX* + X[\* + ÇÈX*u+.
G
†
a)
†
&
†
(
Für die Funktion X[\* 2+ ist die kleinste positive Periode gleich
a)
c)
Â.
Â.
² Â.
Für die Funktion ŸÇÈX*2+ kommt als möglicher Definitionsbereich das folgende Intervall in
Frage
a)
b)
c)
? Â @.
É
É
J
K.
?
Â@
Der Sinus und der Kosinus sind monoton steigend im Intervall
a)
b)
c)
d Gj
ÇÈX* + ÇÈX* + X[\*u+
ÇÈX* + ÇÈX* + ÇÈX*u+.
É
b)
d âj
X[\* + ÇÈX* + ÇÈX*u+
ÇÈX* + X[\* + X[\*u+
ÇÈX* + ÇÈX* + X[\*u+.
Der Wert von ÇÈX: & ( ist gleich
c)
d àj
X[\* + X[\* + ÇÈX*u+
ÇÈX* + X[\* + ÇÈX*u+
Die Funktion X[\*2+ ÇÈX*2+ hat auf dem halboffenen Intervall ?
b)
d ßj
X[\* + X[\* + X[\*u+
J
J
J
É
É
á
É
K
É
á
K.
K.
Die trigonometrischen Funktionen Tangens und Kotangens sind im offenen Intervall &
a)
gleichmäßig stetig.
b)
stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
c)
nicht stetig.
É
(
d ^j
Der Tangens ist monoton nicht fallend im Intervall
a)
b)
c)
dá j
a)
c)
dá j
a)
b)
á
*
Â+.
* Â Â+.
* ^ ^+
v
v
wird dargestellt durch
T
v
a)
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
Für positive reelle Zahlen a und b hat man } ÔÕ*J+
a)
c)
a)
c)
Œ\*
+
©
b)
c)
©+
.
f
©
6
&
(
8
·
/6 6
.
8g
©
#
.
Die Funktion i*2+ A X[\*2:+ ,
a)
ÔÕ*•+
.
Für eine positive reelle Zahl a gilt *
b)
dáß j
á
Für die Stetigkeit einer monotonen Funktion mit Intervall als Definitionsbereich ist die
Bedingung, dass ihre Umkehrfunktion stetig ist,
b)
dáá j
* Â+.
É ßÉ
&
(
Die Umkehrfunktion von i*2+ A 2
c)
dá j
(.
É É
Der Wertebereich des Kotangens ist gleich
b)
dá j
&
i $ *v+
i $ *v+
i $ *v+
`îÇX[\,Ÿv.
`îÇX[\ :Š ;
àÉ
Š`îÇX[\ & (
-
v
v
v
2
T
É
à
É
Š , hat die Umkehrfunktion
T
dáà j
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist das Produkt aus der Länge einer Seite, der Länge der auf
dieser Seite senkrecht stehenden Höhe sowie der rationalen Zahl
T
a)
T
b)
c)
dáâ j
Das Trapez mit den Eckpunkten (-1, 0), (1, 0), (-1, 3) und (1, 5) hat den Flächeninhalt
a)
b)
c)
dáG j
T
á
9T
±T
T
Die Gerade v
wenn gilt
T
a)
²T
c)
Der Inhalt der Fläche, die aus allen Punkten *2 v+ mit
ist gleich
a)
b)
c)
dß j
}
}
*}
²T
T
2
} und Œ\*2+
v
besteht,
+T
Der Inhalt der Fläche zwischen der x-Achse, dem durch die Funktion i*2+ A Ÿ ¥2
2
dargestellten Parabelbogen und der Parallelen zur y-Achse im Abstand p , ist genau dann
gleich a², wenn gilt
a)
b)
c)
dß j
bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck vom Flächeninhalt 4,
T
b)
dá^ j
2
¥
¥
¥
^
T
G
T
T
Bei der nachstehenden Folge von Intervallteilungen für [0, 1] konvergiert die maximale
Teilintervallbreite nicht gegen Null:
a)
b)
c)
2#
* +
2#
* +
2#
* +
A
A
A
#
#*
*#
#
/#
+
+
;
;
;
dß j
Das bestimmte Riemannsche Integral existiert für die Funktion
a)
b)
c)
dß j
i*2+ A
i*2+ A
ª
c)
dßá j
a)
c)
2
2
+T
T
ª*}
+T
+T
a a
T
a)
2
+T
Es gilt Ï †
±T
²T
Das Integral ÏJ |2 ist gleich 0, wenn
a)
b)
c)
•
`
`
£
`
£
£
T
T
T
Das Integral ÏJ |2 ist gleich 1, wenn
d)
e)
f)
dßG j
*}
ª *ª
c)
dßâ j
*ª
T
ª
b)
dßà j
´
Es gilt Ï ªµ a
b)
dßß j
Œ\*2+
i*2+ A } '(Õ*©+
Es gilt Ï a a
a)
b)
/©
•
`
`
£
`
£
£
T
T
T
Einfache Rechenregeln für das bestimmte Integral ergeben Ï/ *
a)
b)
c)
ª
ª T
ª
T
T
}
© +|2
dß^ j
Die Differenz Ï 2 |2
a)
b)
c)
dà j
c)
b)
c)
dàá j
A †}
A Š *}
,
`T
·
+ und u A Š *}
+ liegt am Dichtesten an
£T
ÇT
f(x) und g(x) seien im abgeschlossenen Intervall [0, 1] stetige Funktionen, und es gelte
]*a+ Ò*a+
a
. Dann ist Ï ]*a+ a Ï Ò*a+ a genau dann, wenn
a)
dà j
Ï/ 424 |2T
der Zahl Ï } 6 †2 |2 die Zahl
b)
dà j
Ï/ 2 |2 T
Von den Zahlen
a)
dà j
Ï/ 2 |2 T
Ï/ 2 |2 ist gleich
Ò*a+
Ò*a+
Ò*a+
]*a+
]*a+
]*a+
Ç
a
a
a
T
T
Ç
T
Es sei f(x) eine im abgeschlossenen Intervall [0, 1] stetige Funktion. Für ˆÏ ]*a+ aˆ
Bedingung, dass h
eine Schranke von f(x),
a
, ist,
a)
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
Für eine stetige Funktion f(x),
a
folgt aus Ï ]*a+ a
a)
f(0) = 0.
b)
f(0) < 0.
c)
f(x) = 0 für wenigstens ein x in (0, 1).
h ist die
und ]* +
Zu jeder positiven reellen Zahl a existiert nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung eine
J
Zwischenstelle z aus [0, a], sodass gilt Ï } © †2 |2
a)
b)
c)
†} Ó .
} Ó† .
*} J
+†š T
dàß j
Ein Rechteck hat die Eckpunkte * + *` + * £+ *` £+. Ist für eine in [0, a] stetige Funktion
Ö
f(x) das Integral Ï ]*a+ a gleich dem Inhalt des angegebenen Rechtecks, so hat die Kurve von
f(x) einen Punkt gemeinsam mit der Rechteckseite zwischen den Eckpunkten
a)
b)
c)
dàà j
a)
c)
b)
c)
ià^ j
”.
°” .
] × *a+
Š
] × *a+
Š
] × *a+
á
†µ
µ
Š
a
2
2
Gµ
2
àµ
^
^.
^.
2
^, ist an der Stelle x = 0
b)
differenzierbar, aber nicht stetig.
c)
weder stetig noch differenzierbar.
Es sei f(x) , `
ist dann
a
£ eine differenzierbare Funktion und a aus [a, b]. Nicht abhängig von x
der Differenzenquotient von f(x) bezüglich a .
das Funktionsdifferential von f(x) bezüglich a .
der Differentialquotient von f(x) bezüglich a .
Die Steigung der Tangente des Parabelbogens :
a)
b)
c)
^ , an der Stelle x = 5 ist
^.
stetig, aber nicht differenzierbar.
c)
2
^ hat die Ableitung
a)
b)
^
”T
Die Funktion ]*a+ A 4a4
a)
iâ j
* £+ und (a, b).
*` £+ und (a, 0).
Die Funktion ]*a+ A
a)
iàG j
+ und (0, b).
Die Ableitung der Funktion ]*a+ A a‡
b)
dàâ j
*
0,5 .
T
†
†
.
²a im Punkt (4, 4) ist gleich
iâ j
Die Steigung des Sinus an der Stelle a
a)
b)
c)
iâ j
iâ j
iâá j
c)
nicht stetig.
Für ]*a+ A a:ªµ
a)
c)
a)
c)
a+aªµ .
'(Õ:*©+
á©:
G©:
á©:
+
2
+
, ist ] × *a+
.
&3êÖÕ:*©+
©:
á©:
^ , ist ] × *a+
.
&3':*©+
á©:
2
.
2
áµ: /
.
µ
^ , ist ] × *a+
.
.
Die folgende Funktion hat im offenen Intervall (1, 2) kein lokales Maximum bzw. Minimum
a)
b)
c)
iââ j
*
a+ªµ .
Für ]*a+ A
b)
iâà j
*
aªµ .
^
Für ]*a+ A ë`\*a+
b)
iâß j
a ^ƒ
, ist an der Stelle x = 0
2
stetig, aber nicht differenzierbar.
c)
ist gleich
†1 .
b)
b)
à
0,5 .
† T
a:
]`ŒŒX
Die Funktion ]*a+ A \ á
a ]`ŒŒX ^
a)
stetig und differenzierbar.
a)
+
]*a+ A a:
]*a+ A a:
]*a+ A
a:
1a
a
1a
a
1a
.
.
a
.
Die Kurve der Funktion f(x) hat an einer geeigneten Zwischenstelle aus (-1, 1) horizontale
Tangente, wenn man definiert
a)
b)
c)
]*a+ A 4a4
]*a+ A 1a
]*a+ A a‡
a
a
a
a
.
.
.
iâG j
Für eine in [a, b] stetige und in (a, b) differenzierbare Funktion f(x) besagt der Mittelwertsatz
der Differentialrechnung, dass für eine geeignete Zwischenstelle j aus (a, b) die Ableitung
] × *j+ gleich der Steigung der Geraden durch die Punkte
a)
b)
c)
iâ^ j
iG j
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
Die Ableitung des `îÇX[\*a+ an der Stelle a
a)
†1.
T
µ
b)
c)
1 X[\*a+.
b)
c)
^
1 X[\*a+ ÇÈX*a+.
1 X[\*a+ ÇÈX :*a+.
Für ]*a+ A a + ïµ
a)
^ , ist ] × *a+
T
Für ]*a+ A ÇÈX‡*a+
a)
a
.
µ
ist gleich
†1.
à
a)
c)
iGá j
ï.
à
Für ]*a+ A Œ\* a+
b)
iG j
*` ]*£++ und (b, f(a)) ist.
a)
c)
iG j
*` ]*j++ und (b, f(j)) ist.
Es sei f(x) eine in einem Intervall [a, b] definierte, differenzierbare Funktion. Dafür, dass f(x)
monoton steigend ist, ist ] × *a+
` a £,
b)
iG j
*` ]*`++ und (b, f(b)) ist.
a
a +/ ïµ Œ\*ï+.
a +/ ïµ *ï a Œ\*ï++.
a +/ ïµ *ï
a
^ , ist ] × *a+
^ , ist ] × *a+
Œ\*ï++.
Nach dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung ist ÏÖ ïµ Œ\*a+ a
a)
b)
c)
ïk
ïk/Ö .
ïÖ .
ïk/Ö Œ\*ï+.
k
iGß j
Eine Stammfunktion von ]*a+ A
*a+ A †a
a)
*a+ A †a
*a+ A
b)
c)
iGà j
a)
c)
iGG j
]*a+ A
^
ÇÈX* a+
a
^
]*a+ A X[\*a+ ÇÈX*a+
a
a
^.
^.
a
^
^
^.
^ ist eine Stammfunktion von
existiert nicht immer eine Stammfunktion.
b)
existiert genau eine Stammfunktion.
c)
existieren unendlich viele Stammfunktionen.
Für das unbestimmte Integral von ]*a+ A
a)
Œ\*a
µ:
a
Œ\*a
Œ\*a
+
l
l
+ l
l
+
l
a)
c)
ë`\*a+
ÇÈë*a+
ë`\*a+ ÇÈë*a+
ë`\*a+ ÇÈë*a+
Die Funktion ]*a+ A \
µ
µ/
a
l.
l.
'(Õ :*µ+ &3' :*µ+
l.
a: a
a
ƒ ist
a)
stetig, aber nicht differenzierbar.
b)
differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar.
c)
stetig differenzierbar.
Mit partieller Integration erhält man für Ï a ÇÈX*a+ a
+
a)
b)
c)
.
ï.
ï.
^ gilt Ï
µ/
a
a
gilt Ï
µ
l
Für das unbestimmte Integral von ]*a+ A
b)
i^ j
^.
^.
a)
c)
i^ j
]*a+ A X[\* a+
µ
^ , ist
Zu einer in einem Intervall definierten und stetigen Funktion
b)
iG^ j
a
†µ
a
^.
Die Funktion *a+ A Ï X[\*Xë+ ë
b)
iGâ j
a
a
†µ
+
mµ
'(Õ:*µ+ &3':*µ+
i^ j
Mit zweimaliger partieller Integration erhält man Ï a ªµ a
a)
b)
c)
i^ j
a)
c)
b)
c)
a)
c)
n
n
Ï 6 X[\ :*ë+ ÇÈX :*ë+ ë.
a Œ\*a+
µ:
µ:
Œ\*a+
a
Œ\*a+
a
µ:
á
l
l
l
l
a
Ï ë ÇÈX*ë+ ë
l
.
l
ë
Ï ë ÇÈX*ë+ ë
ë
Ï ë ÇÈX*ë+ ë
ë
.
+
à
o*a+
*a
*a
+*a
+*a
+*a
, so erhält man
.
+
.
1+*a
o*a+
*a
a
.
a)
o*a+
^ erhält man mit partieller
.
”a:
c)
a: a
Ï 6 X[\*ë+ ÇÈX:*ë+ ë.
Weil das Polynom o*a+ A a á
gilt
b)
i^â j
n
Ï 6 X[\ :*ë+ ÇÈX*ë+ ë.
Substituiert man a*ë+ A X[\*ë+ in Ï `îÇX[\*a+ a
b)
i^à j
ª.
.
Für das unbestimmte Integral von ]*a+ A a Œ\*a+
Integration Ï a Œ\*a+ a
a)
i^ß j
´
.
Durch Substitution a*ë+ A X[\*ë+ erhält man Ï a: Ÿ
b)
i^á j
ª
+*a
+*a
+*a
1+*a
1+*a
a
²+.
² genau die Nullstellen
1 und ² hat,
²+.
²+.
+ mit genau n verschiedenen Nullstellen. Um zu
Es sei o*a+ ein Polynom n ten Grades *\
erhalten, dass die Ableitung o× *a+ an allen Nullstellen von o*a+ ungleich 0 ist, muss
a)
b)
c)
keine weitere Voraussetzung eingeführt werden.
vorausgesetzt werden, dass der Koeffizient von a Õ gleich 1 ist.
vorausgesetzt werden, dass alle Koeffizienten ungleich 0 sind.
i^G j
Die gebrochen rationale Funktion ]*a+ A
µ: /
Partialbruchzerlegung
µ
a)
c)
Es ist
a)
b)
c)
i
a)
µ/á
µ/
.
á
^
µ
µ
µ/
]*a+ A
]*a+ A
]*a+ A
Œ\4a
Œ\4a
a:
b)
c)
r*©+
©/
©
µ/
µ/ â
die Partialbruchzerlegung von folgender gebrochen rationalen Funktion
µ‡ / µ: / µ
µ‡
.
/µ / â
/
µ: / µ
.
µ/ â
µ‡ / áµ:
j Es gilt Ï &
a)
b)
c)
Â.
É
4
µ
4
Œ\4a
Œ\4a
.
Â.
.
4
l
l
.
4 l
Œ\4a
l
.
4 Œ\4a
4 l
l
und m*2+ A *2
*© / +6
*© / +6
*© / +6
©
hat folgende
.
â
j Ist k*2+ A 2
q*©+
gilt:
a)
i
.
a p ² pa p
j Mit der Methode der Partialbruchzerlegung erhält man für Ï
b)
c)
i
µ
µ
b)
i^^ j
µ/á
µ/G
.
.
.
ë`\: & (( |2
©
µ:
µ
µ/
a
.
+ , dann erhält man durch Koeffizientenvergleich, dass
i
j Durch die Substitution 2*•+ A
über in
a)
b)
c)
i
i
i
áj
ßj
àj
Ï›
Ï
Ï
,
í›
*›
›:
í›
*›
`îÇë`\*•+ geht das unbestimmte Integral Ï
í©
'(Õ*©+ / &3'*©+
.
› 6+
.
› 6 .í›
› 6+
.
Die numerische Quadratur erlaubt die Berechnung eines
a)
unbestimmten Integrals.
b)
bestimmten Integrals
c)
Näherungswertes für ein bestimmtes Integral.
a:
a
ƒ , ist
Die Funktion ]*a+ A \
a a
d)
stetig, aber nicht differenzierbar.
e)
differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar.
f)
zweimal differenzierbar, aber nicht dreimal differenzierbar.
Berechnet man `îÇë`\ & ( mit der Trapezregel und wählt man dabei die Unterteilung von J K
in 2 äquidistante Teilintervalle, so erhält man unter Vernachlässigung des Restgliedes den Wert
a)
b)
c)
àG
â
É
à
.
.
.
Lösungen:
dj
Definitionsbereich und Wertebereich einer Funktion
a)
haben keine Zahl gemeinsam.
b)
haben mindestens eine Zahl gemeinsam.
c)
können keine, eine oder mehrere Zahlen gemeinsam haben.
// Beispiele sind i*2+
2
2
ü l*2+ 2
ü
2
ü
d j
d j
dá j
Die Funktion i*2+ A ”
^
2
^ hat
nur positive Nullstellen.
b)
eine positive und eine negative Nullstelle.
c)
nur negative Nullstellen.
2:
2
Veranschaulicht man sich mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems die Funktion
i*2+ A 2
, ^ 2 ^ als Kurve in der Ebene, so liegt der Punkt mit der Abszisse 2
und der Ordinate -1
a)
oberhalb der Kurve.
b)
auf der Kurve.
c)
unterhalb der Kurve.
Für das Polynom ká *2+ A
gilt
b)
c)
dà j
2:
a)
a)
dß j
92
‚*2+
ká *2+
ká *2+
ká *2+
*2
*2
*2
+*³
±
92
12
2
2:
2 +
”2‡
2 á,
^
2
^, mit der Nullstelle -2
+* ³
”2 °2
2 +
+*³ 92 °2
2 +
Ein Polynom ungleich dem Nullpolynom mit den Nullstellen -2, 0 und 2
a)
hat höchstens den Grad 2.
b)
hat mindestens den Grad 3.
c)
kann beliebigen Grad haben.
Die Punkte (0, -2), (1, -3) und (2, 0) liegen auf der Kurve von
a)
keinem Polynom 2-ten Grades.
b)
genau einem Polynom 2-ten Grades.
c)
unendlich vielen Polynomen 2-ten Grades.
dâ j
dG j
Ein Funktionenlimes einer Funktion f(x) muss
a)
stets im Definitionsbereich von f(x) liegen.
b)
immer im Wertebereich von f(x) liegen.
c)
nicht im Definitions- oder Wertebereich von f(x) liegen.
Ist 2 im Definitionsbereich der Funktion i*2+ enthalten, dann ist i*2 + ein Funktionenlimes
von i*2+ für 2 5 2 , wenn im Definitionsbereich von i*2+
a)
b)
c)
d^ j
d j
d j
53 *2
keine gegen 2 konvergierende Folge 2 existiert mit Œ[_
kein 2 existiert mit i*2+ i*2 +
.
Der Funktionenlimes der Funktion i*2+ A
a)
0.
b)
1.
c)
2.
2
©
53 *2
für 2 5
+
i*2 +.
+ p i*2 +.
ist gleich
Für die Stetigkeit einer Funktion i*2+ ist die Bedingung, dass immer der Funktionenlimes von
i*2+ für 2 5 2 existiert (2 sei ein beliebiger Grenzwert einer im Definitionsbereich von i*2+
enthaltenen Folge),
a)
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
Die Funktion i*2+ A \
a)
b)
c)
d j
eine gegen 2 konvergierende Folge 2 existiert mit Œ[_
o
o
o
.
2
2:
^
2
2
^
ƒ ist stetig an der Stelle x = 2, wenn man definiert
.
1.
Eine Funktion i*2+ ist genau dann nicht stetig, wenn für mindestens eine Stelle 2 ihres
Definitionsbereichs gilt
, sodass 4i*2+ i*2 +4
für 42
, sodass 4i*2+ i*2 +4
für 42 2 4
existiert kein f
a)
Zu jedem
b)
Es existieren
c)
Es existiert ein
4i*2e + i*2 +4
und f
, sodass es für alle f
.
ein 2e gibt mit 42e
2 4
2 4
f.
f.
f und
d j
Eine stetige Funktion i*2+ habe die Funktionswerte i & (
a)
b)
c)
d áj
b)
c)
b)
c)
a)
c)
d Gj
.
4i*2+4
4l*2+4
2
4l*2+4 stetig ist.
l*2+ stetig ist.
ø *š +
?
ø *š +
ø *š +
š # und i*2+
š
8
8
#
±š
8
#
Definiert man i*2+ A Ž
b)
d âj
.
@.
Die mittelbare Funktion l*2 + A *±2
Funktionen
a)
d àj
i* +
i* +
.
1 ! . Dann gilt
Es seien i*2+ und l*2+ Funktionen mit dem Definitionsbereich ? @. Ist i*2+ gebrochen
rational und i*…+
l*…+ für jede rationale Zahl … zwischen 0 und 1, dann ist i*2+
l*2+
für alle 2 in ? @, wenn
a)
d ßj
i* +
/
Œ[_©5
Œ[_©5
Œ[_©5
i*2+
*±2
und i*2+
2
i*2+ p
i*2+
Die Funktion i*2+ A 424
und i*2+
2
8
+ gilt.
ø*i*2++ für die stetigen
±2‡ gilt.
^
Œ[_ i*2+.
©5/
+# ist stetig, da l*2+
Œ[_ i*2+.
2‡ gilt.
2 ^ƒ
dann gilt für die einseitigen Grenzwerte
2
©5/
p Œ[_ i*2+.
©5/
^
2
^, ist an der Stelle 2
a)
stetig.
b)
rechtsseitig stetig, aber nicht linksseitig stetig.
c)
nicht stetig.
Ist i*2+ eine in einem abgeschlossenen Intervall ?
@ stetige Funktion mit i* +
dann gibt es nach dem Zwischenwertsatz von Bolzano
a)
b)
c)
zu 2 in *
zu 2 in *
+ immer ein v in *
+ mit i*2+
v.
+ immer ein v in *i* + i* ++ mit i*2+
zu v in *i* + i* ++ immer ein 2 in *
+ mit i*2+
v.
v.
i* +,
d ^j
d j
Die ganze rationale Funktion i*2+ A
Nullstelle im offenen Intervall
a)
(0, 1).
b)
(1, 2).
c)
(2, 3).
a)
b)
b)
c)
d j
i*2+
424
2
2
©/
2
4©4/
.
i *Í 2+
i *Í 2+
i *Í 2+
2
2:
²2‡,
^
2
^, hat eine
+, wenn gilt
.
.
2
, gleichmäßig stetig, wenn zu
existiert.
2
existiert.
2
existiert.
Für die Stetigkeit einer Funktion i*2+
?
@ beschränkt ist,
a)
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
2
, ist die Bedingung, dass i*2+ in
Nach dem Satz von Weierstraß folgt, dass eine in dem abgeschlossenen Intervall ?
@ stetige
Funktion i*2+ ihr Maximum oder Minimum in dem offenen Intervall *
+ annimmt, wenn
gilt
a)
b)
c)
d áj
i*2+
i*2+
Nach dem Satz von Heine ist eine Funktion i*2+
i*2+ eine stetige Fortsetzung
a)
d j
2
Die Funktion i*2+ ist gleichmäßig stetig in *
c)
d j
1
i* +
i* +
i* +
i* +.
i* +.
i* +.
Die reelle Zahl }
ist
a)
kleiner als 100.
b)
zwischen 100 und 1000.
c)
größer als 1000.
d ßj
Es gilt }
a)
b)
c)
d àj
a)
c)
a)
c)
d ^j
} }J
}
J
} J}
•
}
•
*J •+
•
* ^+
? ^+
* ^ ^+
8
2
, ist
a)
gleichmäßig stetig.
b)
stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
c)
nicht stetig.
Der uneigentliche Funktionenlimes Œ[_©5/3 * } /© + ist gleich
a)
c)
d j
#)
c
3 * ©+
0#$
#)
c
3 * ©+
0#$
* #+ )
Die Funktion i*2+ A } · ,
b)
d j
©c
Der Wertebereich der e-Funktion ist gleich
b)
d Gj
03
#$
Nach dem Additionstheorem der Exponentialfunktion ist }
b)
d âj
©
^.
.
^.
Die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus sind im offenen Intervall &
a)
gleichmäßig stetig.
b)
stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
c)
nicht stetig.
Es gilt ÇÈX* 2+
a)
b)
c)
03
#$
03
#$
*/ +c
2
#)
*/ +c
* #+ )
c
3 */ +
0#$
*
* #+ )
#
2
#
2+
#
É
(
d j
Nach dem Additionstheorem der trigonometrischen Funktionen gilt für reelle Zahlen a, b und c:
X[\*
u+
a)
b)
c)
d j
d áj
X[\* + ÇÈX* + ÇÈX*u+
X[\* + ÇÈX* + X[\*u+
X[\* + X[\* + X[\*u+
a)
2 Nullstellen.
b)
4 Nullstellen.
c)
8 Nullstellen.
Â+
ÇÈX* + X[\* + ÇÈX*u+.
G
†
a)
†
&
†
(
Für die Funktion X[\* 2+ ist die kleinste positive Periode gleich
a)
c)
Â.
Â.
² Â.
Für die Funktion ŸÇÈX*2+ kommt als möglicher Definitionsbereich das folgende Intervall in
Frage
a)
b)
c)
? Â @.
É
É
J
K.
?
Â@
Der Sinus und der Kosinus sind monoton steigend im Intervall
a)
b)
c)
d Gj
ÇÈX* + ÇÈX* + X[\*u+
ÇÈX* + ÇÈX* + ÇÈX*u+.
É
b)
d âj
X[\* + ÇÈX* + ÇÈX*u+
ÇÈX* + X[\* + X[\*u+
ÇÈX* + ÇÈX* + X[\*u+.
Der Wert von ÇÈX: & ( ist gleich
c)
d àj
X[\* + X[\* + ÇÈX*u+
ÇÈX* + X[\* + ÇÈX*u+
Die Funktion X[\*2+ ÇÈX*2+ hat auf dem halboffenen Intervall ?
b)
d ßj
X[\* + X[\* + X[\*u+
J
J
J
É
É
á
É
K
É
á
K.
K.
Die trigonometrischen Funktionen Tangens und Kotangens sind im offenen Intervall &
a)
gleichmäßig stetig.
b)
stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
c)
nicht stetig.
É
(
d ^j
Der Tangens ist monoton nicht fallend im Intervall
a)
b)
c)
dá j
a)
c)
dá j
a)
b)
á
*
Â+.
* Â Â+.
* ^ ^+
v
v
wird dargestellt durch
T
v
a)
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
Für positive reelle Zahlen a und b hat man } ÔÕ*J+
a)
c)
a)
c)
Œ\*
+
©
b)
c)
©+
.
f
©
6
&
(
8
·
/6 6
.
8g
©
#
.
Die Funktion i*2+ A X[\*2:+ ,
a)
ÔÕ*•+
.
Für eine positive reelle Zahl a gilt *
b)
dáß j
á
Für die Stetigkeit einer monotonen Funktion mit Intervall als Definitionsbereich ist die
Bedingung, dass ihre Umkehrfunktion stetig ist,
b)
dáá j
* Â+.
É ßÉ
&
(
Die Umkehrfunktion von i*2+ A 2
c)
dá j
(.
É É
Der Wertebereich des Kotangens ist gleich
b)
dá j
&
i $ *v+
i $ *v+
i $ *v+
`îÇX[\,Ÿv.
`îÇX[\ :Š ;
àÉ
Š`îÇX[\ & (
-
v
v
v
2
T
É
à
É
Š , hat die Umkehrfunktion
T
dáà j
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist das Produkt aus der Länge einer Seite, der Länge der auf
dieser Seite senkrecht stehenden Höhe sowie der rationalen Zahl
T
a)
T
b)
c)
dáâ j
Das Trapez mit den Eckpunkten (-1, 0), (1, 0), (-1, 3) und (1, 5) hat den Flächeninhalt
a)
b)
c)
dáG j
T
á
9T
±T
T
Die Gerade v
wenn gilt
T
a)
²T
c)
Der Inhalt der Fläche, die aus allen Punkten *2 v+ mit
ist gleich
a)
b)
c)
dß j
}
}
*}
²T
T
2
} und Œ\*2+
v
besteht,
+T
Der Inhalt der Fläche zwischen der x-Achse, dem durch die Funktion i*2+ A Ÿ ¥2
2
dargestellten Parabelbogen und der Parallelen zur y-Achse im Abstand p , ist genau dann
gleich a², wenn gilt
a)
b)
c)
dß j
bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck vom Flächeninhalt 4,
T
b)
dá^ j
2
¥
¥
¥
^
T
G
T
T
Bei der nachstehenden Folge von Intervallteilungen für [0, 1] konvergiert die maximale
Teilintervallbreite nicht gegen Null:
a)
b)
c)
2#
* +
2#
* +
2#
* +
A
A
A
#
#*
*#
#
/#
+
+
;
;
;
dß j
Das bestimmte Riemannsche Integral existiert für die Funktion
a)
b)
c)
dß j
i*2+ A
i*2+ A
ª
c)
dßá j
a)
c)
2
2
// denn diese zusammengesetzte Funktion ist stetig.
+T
T
ª*}
+T
+T
a a
T
a)
2
+T
Es gilt Ï †
±T
²T
Das Integral ÏJ |2 ist gleich 0, wenn
a)
b)
c)
•
`
`
£
`
£
£
T
T
T
Das Integral ÏJ |2 ist gleich 1, wenn
a)
b)
c)
dßG j
*}
ª *ª
c)
dßâ j
*ª
T
ª
b)
dßà j
´
Es gilt Ï ªµ a
b)
dßß j
Œ\*2+
i*2+ A } '(Õ*©+
Es gilt Ï a a
a)
b)
/©
•
`
`
£
`
£
£
T
T
T
Einfache Rechenregeln für das bestimmte Integral ergeben Ï/ *
a)
b)
c)
ª
ª T
ª
T
T
}
© +|2
dß^ j
Die Differenz Ï 2 |2
a)
b)
c)
dà j
c)
b)
c)
dàá j
A †}
A Š *}
,
`T
·
+ und u A Š *}
+ liegt am Dichtesten an
£T
ÇT
f(x) und g(x) seien im abgeschlossenen Intervall [0, 1] stetige Funktionen, und es gelte
]*a+ Ò*a+
a
. Dann ist Ï ]*a+ a Ï Ò*a+ a genau dann, wenn
a)
dà j
Ï/ 424 |2T
der Zahl Ï } 6 †2 |2 die Zahl
b)
dà j
Ï/ 2 |2 T
Von den Zahlen
a)
dà j
Ï/ 2 |2 T
Ï/ 2 |2 ist gleich
Ò*a+
Ò*a+
Ò*a+
]*a+
]*a+
]*a+
Ç
a
a
a
T
T
Ç
T
Es sei f(x) eine im abgeschlossenen Intervall [0, 1] stetige Funktion. Für ˆÏ ]*a+ aˆ
Bedingung, dass h
eine Schranke von f(x),
a
, ist,
a)
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
Für eine stetige Funktion f(x),
a
folgt aus Ï ]*a+ a
a)
f(0) = 0.
b)
f(0) < 0.
c)
f(x) = 0 für wenigstens ein x in (0, 1).
h ist die
und ]* +
Zu jeder positiven reellen Zahl a existiert nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung eine
J
Zwischenstelle z aus [0, a], sodass gilt Ï } © †2 |2
a)
b)
c)
†} Ó .
} Ó† .
*} J
+†š T
dàß j
Ein Rechteck hat die Eckpunkte * + *` + * £+ *` £+. Ist für eine in [0, a] stetige Funktion
Ö
f(x) das Integral Ï ]*a+ a gleich dem Inhalt des angegebenen Rechtecks, so hat die Kurve von
f(x) einen Punkt gemeinsam mit der Rechteckseite zwischen den Eckpunkten
a)
b)
c)
dàà j
a)
c)
b)
c)
ià^ j
”.
°” .
] × *a+
Š
] × *a+
Š
] × *a+
á
†µ
µ
Š
a
2
2
Gµ
2
àµ
^
^.
^.
2
^, ist an der Stelle x = 0
b)
differenzierbar, aber nicht stetig.
c)
weder stetig noch differenzierbar.
Es sei f(x) , `
ist dann
a
£ eine differenzierbare Funktion und a aus [a, b]. Nicht abhängig von x
der Differenzenquotient von f(x) bezüglich a .
das Funktionsdifferential von f(x) bezüglich a .
der Differentialquotient von f(x) bezüglich a .
Die Steigung der Tangente des Parabelbogens :
a)
b)
c)
^ , an der Stelle x = 5 ist
^.
stetig, aber nicht differenzierbar.
c)
2
^ hat die Ableitung
a)
b)
^
”T
Die Funktion ]*a+ A 4a4
a)
iâ j
* £+ und (a, b).
*` £+ und (a, 0).
Die Funktion ]*a+ A
a)
iàG j
+ und (0, b).
Die Ableitung der Funktion ]*a+ A a‡
b)
dàâ j
*
0,5 .
T
†
†
.
²a im Punkt (4, 4) ist gleich
iâ j
Die Steigung des Sinus an der Stelle a
a)
b)
c)
iâ j
iâ j
iâá j
c)
nicht stetig.
Für ]*a+ A a:ªµ
a)
c)
a)
c)
a+aªµ .
'(Õ:*©+
á©:
G©:
á©:
+
2
+
, ist ] × *a+
.
&3êÖÕ:*©+
©:
á©:
^ , ist ] × *a+
.
&3':*©+
á©:
2
.
2
áµ: /
.
µ
^ , ist ] × *a+
.
.
Die folgende Funktion hat im offenen Intervall (1, 2) kein lokales Maximum bzw. Minimum
a)
b)
c)
iââ j
*
a+ªµ .
Für ]*a+ A
b)
iâà j
*
aªµ .
^
Für ]*a+ A ë`\*a+
b)
iâß j
a ^ƒ
, ist an der Stelle x = 0
2
stetig, aber nicht differenzierbar.
c)
ist gleich
†1 .
b)
b)
à
0,5 .
† T
a:
]`ŒŒX
Die Funktion ]*a+ A \ á
a ]`ŒŒX ^
a)
stetig und differenzierbar.
a)
+
]*a+ A a:
]*a+ A a:
]*a+ A
a:
1a
a
1a
a
1a
.
.
a
.
Die Kurve der Funktion f(x) hat an einer geeigneten Zwischenstelle aus (-1, 1) horizontale
Tangente, wenn man definiert
a)
b)
c)
]*a+ A 4a4
]*a+ A 1a
]*a+ A a‡
a
a
a
a
.
.
.
iâG j
Für eine in [a, b] stetige und in (a, b) differenzierbare Funktion f(x) besagt der Mittelwertsatz
der Differentialrechnung, dass für eine geeignete Zwischenstelle j aus (a, b) die Ableitung
] × *j+ gleich der Steigung der Geraden durch die Punkte
a)
b)
c)
iâ^ j
iG j
notwendig, aber nicht hinreichend.
b)
hinreichend, aber nicht notwendig.
c)
notwendig und hinreichend.
Die Ableitung des `îÇX[\*a+ an der Stelle a
a)
†1.
T
µ
b)
c)
1 X[\*a+.
b)
c)
^
1 X[\*a+ ÇÈX*a+.
1 X[\*a+ ÇÈX :*a+.
Für ]*a+ A a + ïµ
a)
^ , ist ] × *a+
T
Für ]*a+ A ÇÈX‡*a+
a)
a
.
µ
ist gleich
†1.
à
a)
c)
iGá j
ï.
à
Für ]*a+ A Œ\* a+
b)
iG j
*` ]*£++ und (b, f(a)) ist.
a)
c)
iG j
*` ]*j++ und (b, f(j)) ist.
Es sei f(x) eine in einem Intervall [a, b] definierte, differenzierbare Funktion. Dafür, dass f(x)
monoton steigend ist, ist ] × *a+
` a £,
b)
iG j
*` ]*`++ und (b, f(b)) ist.
a
a +/ ïµ Œ\*ï+.
a +/ ïµ *ï a Œ\*ï++.
a +/ ïµ *ï
a
^ , ist ] × *a+
^ , ist ] × *a+
Œ\*ï++.
Nach dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung ist ÏÖ ïµ Œ\*a+ a
a)
b)
c)
ïk
ïk/Ö .
ïÖ .
ïk/Ö Œ\*ï+.
k
iGß j
Eine Stammfunktion von ]*a+ A
*a+ A †a
a)
*a+ A †a
*a+ A
b)
c)
iGà j
a)
c)
iGG j
]*a+ A
^
ÇÈX* a+
a
^
]*a+ A X[\*a+ ÇÈX*a+
a
a
^.
^.
a
^
^
^.
^ ist eine Stammfunktion von
existiert nicht immer eine Stammfunktion.
b)
existiert genau eine Stammfunktion.
c)
existieren unendlich viele Stammfunktionen.
Für das unbestimmte Integral von ]*a+ A
a)
Œ\*a
µ:
a
Œ\*a
Œ\*a
+
l
l
+ l
l
+
l
a)
c)
ë`\*a+
ÇÈë*a+
ë`\*a+ ÇÈë*a+
ë`\*a+ ÇÈë*a+
Die Funktion ]*a+ A \
µ
µ/
a
l.
l.
'(Õ :*µ+ &3' :*µ+
l.
a: a
a
ƒ ist
a)
stetig, aber nicht differenzierbar.
b)
differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar.
c)
stetig differenzierbar.
Mit partieller Integration erhält man für Ï a ÇÈX*a+ a
+
a)
b)
c)
.
ï.
ï.
^ gilt Ï
µ/
a
a
gilt Ï
µ
l
Für das unbestimmte Integral von ]*a+ A
b)
i^ j
^.
^.
a)
c)
i^ j
]*a+ A X[\* a+
µ
^ , ist
Zu einer in einem Intervall definierten und stetigen Funktion
b)
iG^ j
a
†µ
a
^.
Die Funktion *a+ A Ï X[\* ë+ ë
b)
iGâ j
a
a
†µ
+
mµ
'(Õ:*µ+ &3':*µ+
i^ j
Mit zweimaliger partieller Integration erhält man Ï a ªµ a
a)
b)
c)
i^ j
a)
c)
b)
c)
a)
c)
n
n
Ï 6 X[\ :*ë+ ÇÈX :*ë+ ë.
a Œ\*a+
µ:
µ:
Œ\*a+
a
Œ\*a+
a
µ:
á
l
l
l
l
a
Ï ë ÇÈX*ë+ ë
l
.
l
ë
Ï ë ÇÈX*ë+ ë
ë
Ï ë ÇÈX*ë+ ë
ë
.
+
à
o*a+
*a
*a
+*a
+*a
+*a
, so erhält man
.
+
.
1+*a
o*a+
*a
a
.
a)
o*a+
^ erhält man mit partieller
.
”a:
c)
a: a
Ï 6 X[\*ë+ ÇÈX:*ë+ ë.
Weil das Polynom o*a+ A a á
gilt
b)
i^â j
n
Ï 6 X[\ :*ë+ ÇÈX*ë+ ë.
Substituiert man a*ë+ A X[\*ë+ in Ï `îÇX[\*a+ a
b)
i^à j
ª.
.
Für das unbestimmte Integral von ]*a+ A a Œ\*a+
Integration Ï a Œ\*a+ a
a)
i^ß j
´
.
Durch Substitution a*ë+ A X[\*ë+ erhält man Ï a: Ÿ
b)
i^á j
ª
+*a
+*a
+*a
1+*a
1+*a
a
²+.
² genau die Nullstellen
1 und ² hat,
²+.
²+.
+ mit genau n verschiedenen Nullstellen. Um zu
Es sei o*a+ ein Polynom n ten Grades *\
erhalten, dass die Ableitung o× *a+ an allen Nullstellen von o*a+ ungleich 0 ist, muss
a)
b)
c)
keine weitere Voraussetzung eingeführt werden.
vorausgesetzt werden, dass der Koeffizient von a Õ gleich 1 ist.
vorausgesetzt werden, dass alle Koeffizienten ungleich 0 sind.
i^G j
Die gebrochen rationale Funktion ]*a+ A
µ: /
Partialbruchzerlegung
µ
µ/á
a)
µ
b)
Es ist
a)
b)
c)
i
a)
µ
µ
.
µ/
.
â
]*a+ A
]*a+ A
]*a+ A
Œ\4a
Œ\4a
a:
b)
c)
r*©+
©/
©
µ/
µ/ â
die Partialbruchzerlegung von folgender gebrochen rationalen Funktion
µ‡ / µ: / µ
µ‡
.
/µ / â
/
µ: / µ
.
µ/ â
µ‡ / áµ:
j Es gilt Ï &
a)
b)
c)
Â.
É
4
µ
4
Œ\4a
Œ\4a
.
Â.
.
4
l
l
.
4 l
Œ\4a
l
.
4 Œ\4a
4 l
l
und m*2+ A *2
*© / +6
*© / +6
*© / +6
©
hat folgende
.
µ/
j Ist k*2+ A 2
q*©+
gilt:
a)
i
^
a p ² pa p
j Mit der Methode der Partialbruchzerlegung erhält man für Ï
b)
c)
i
á
µ/á
c)
i^^ j
µ
µ/G
.
.
.
ë`\: & (( |2
©
µ:
µ
µ/
a
.
+ , dann erhält man durch Koeffizientenvergleich, dass
i
j Durch die Substitution 2*•+ A
über in
a)
b)
c)
i
i
i
áj
ßj
àj
Ï›
Ï
Ï
,
í›
*›
›:
í›
*›
`îÇë`\*•+ geht das unbestimmte Integral Ï
í©
'(Õ*©+ / &3'*©+
.
› 6+
.
› 6 .í›
› 6+
.
Die numerische Quadratur erlaubt die Berechnung eines
a)
unbestimmten Integrals.
b)
bestimmten Integrals
c)
Näherungswertes für ein bestimmtes Integral.
a:
a
ƒ , ist
Die Funktion ]*a+ A \
a a
a)
stetig, aber nicht differenzierbar.
b)
differenzierbar, aber nicht zweimal differenzierbar.
c)
zweimal differenzierbar, aber nicht dreimal differenzierbar.
Berechnet man `îÇë`\ & ( mit der Trapezregel und wählt man dabei die Unterteilung von J K
in 2 äquidistante Teilintervalle, so erhält man unter Vernachlässigung des Restgliedes den Wert
a)
b)
c)
àG
â
É
à
.
.
.
(5) Sonderteil zur Stetigkeit
Gliederung:
Einleitung:
• Mathematisches Paradoxon als motivierender Einstieg
Hauptteil:
• Definition Y (punktweise Stetigkeit)
• Satz Y (Folgenstetigkeit)
• Definition _ („normale Stetigkeit“)
• Definition d (gleichmäßige Stetigkeit)
• Satz _ (gleichmäßige Stetigkeit w punktweise Stetigkeit)
• Übersicht („Intensität“ der einzelnen Stetigkeitsdefinitionen)
• Anwendungsbeispiele
Schlussteil
• Beispiele und Übungsaufgaben
Komplexes Paradoxon:
Historisches: „Weder die echten noch die unechten Wurzeln sind stets reell; manchmal sind sie nur
imaginär; das heißt, obwohl wir uns stets so viele Wurzeln für unsere Gleichung
vorstellen können, wie ich ihr zugeweisen habe, entspricht doch nicht jede Wurzel, die
wir uns vorgestellt heben, auch einer bestimmten Größe.
(Descartes 1637)
Der italienische Mathematiker Gerolamo Cardano (1501 – 1576) rechnete vermutlich als erster mit
komplexen Zahlen, als er auf der Suche nach der Lösung der Gleichung 2:
2 ²
war. Im
Laufe der folgenden Jahrhunderte traten solche „unmögliche“ oder „imaginäre“ Lösungen algebraischer
Gleichungen immer und immer wieder auf. Besonders in den Arbeiten von Euler fand der Gebrauch der
imaginären Einheit endgültige Akzeptanz. Er prägte schließlich in seinem späteren Leben auch die
Einführung des Symbols ; für † .
Erinnerung: Es gelten bekanntlich folgende Regeln
Dann müsste doch auch folgendes gelten:
w2
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
†
Ÿ*
†
; ;
;:
2
†
;:
//imaginäre Einheit
;
†
* + * +
†
† †
; ; ;:
+ *
†
+
// nach (i)
// nach (iv)
// nach (v)
// nach (iii)
// nach (vi)
// nach (ii)
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
Aber das kann nicht sein, denn es gilt natürlich p
. Wo steckt also der Fehler? Es wurden doch eigentlich
nur die Sätze/Regeln aus der Erinnerung verwendet.
Die Lösung des Problems liegt darin, dass die Quadratwurzel für komplexe Zahlen nicht eindeutig ist. Es ist
also eine Fehler im Schritt von Zeile [3] bis Zeile [4], denn die †
ist nicht eindeutig bestimmt.
Unglücklicherweise wurde hier Regel (v) angewendet, welche nur in , jedoch nicht in gilt.
Generell ist die Bedeutung der „Wurzel“ in sehr wichtig. Was ist zum Beispiel die Wurzel aus 1? Hierbei gibt
zwei reelle Zahlen, deren Quadrat 1 ist, nämlich –1 und 1. Dies sind die beiden Kandidaten für das Resultat der
Wurzel aus 1. Nur der positive dieser beiden Kandidaten wird als "die" Wurzel bezeichnet und für diese
Definition wird das Wurzelsymbol verwendet. In diesem Fall gilt dann ebenfalls obige Regel (v)
Falls allerdings a und b negativ sind (oder, ganz allgemein, komplexe Zahlen), so gilt Satz/Regel (v) nicht mehr.
Um das nachvollziehen zu können, ist es wichtig zu wissen, was die Wurzel aus –1 ist. Tatsächlich gibt es zwei
komplexe Zahlen, deren Quadrat –1 ist, nämlich –i und i. Das sind die beiden Kandidaten für die Wurzel aus –1.
Weil aber keine von beiden Kandidaten positiv ist, ist die gerade besprochene Definition "der" Wurzel aus einer
positiven reellen Zahl hier nicht anwendbar.
Man kann nicht einmal sagen, dass Satz/Regel (v) für andere als positive reelle Zahlen falsch wäre - sie macht
schlicht und einfach keinen Sinn, da nicht gesagt wurde, was das Wurzelsymbol bedeutet. Es ist unklar, ob die
Wurzel aus –1 gleich –i oder gleich i ist. Legt man sich auf eine dieser beiden Möglichkeiten fest, um dem
Wurzelsymbol einen eindeutigen Sinn zu geben, dann ist die Regel (v) in Bezug auf a = b = –1 falsch.
Fazit: Wenn komplexe Zahlen unter dem Wurzelsymbol auftauchen, sind i.d.R. beide Kandidaten gemeint. In
Fachsprache sagt man, die Wurzelfunktion ist mehrdeutig.
Stetigkeit:
Historisches: „ … i*2+ heißt stetige Funktion, falls … die Zahlenwerte der Differenz
i*2 Y+ i*2+ mit jenen von Y unbegrenzt fallen. Wir bemerken ebenfalls, dass es
generell eine unbegrenzt kleine Anzahl ersten Grades ist, sodass der Quotient …“
(Cauchy 1821, Cours d’Analyse S.44)
„Wir nennen dabei eine Größe v eine stetige Funktion von 2, wenn man nach Annahme
einer Größe die Existenz von f beweisen kann, sodass zu jedem Wert zwischen
f!2
f der zugehörige Wert von v zwischen v
!v
liegt.“
2
(Weierstraß 1874)
Der 1798 in Paris geborene Mathematiker Augustin Lois Cauchy (F1857 in Sceaux) führte das
Konzept der stetigen Funktionen 1821 ein. Er forderte, dass unbegrenzt kleine Änderungen von 2 zu
unbegrenzt kleinen Änderungen von v führen sollte. Bolzano präsentierte 1817 ebenfalls seine
Definition der Stetigkeit. Die heutzutage bekannte úf Definition der Stetigkeit beruht auf Karl
Weierstraß (1874): Die Differenz i*2+ i*2 + muss beliebig klein sein, sofern die Differenz 2 2
hinreichend klein ist.
Definition Y [punktweise Stetigkeit]
Es sei ij q 5
f stetig in
-
s
eine reelle Funktion und
tf
2
q. Es gilt dann:
q o *42
4
f w 4i*2+
i* +4
+
Einerseits muss man die Definition der punktweisen Stetigkeit beherrschen, andererseits ist es in
den meisten Fällen wichtiger, dass man diese Definition auch auf Funktionen anwenden kann.
Die folgende anschauliche Darstellung soll denjenigen einen Eindruck vom Stetigkeitsbegriff
vermitteln, die ihn mit der Definition immer noch nicht verstanden haben.
[Anschauliche Darstellung Nr. 1: - unstetige Zugfahrt]
Angenommen der Mathematik Student Matthias in Berlin muss um 12 Uhr am Bahnhof in Heide sein, um dort
zwischen 12.30 und 13 Uhr seine Traumprinzessin Svenja zu treffen. Der Zug vom Bahnhof Berlin Südkreuz
zum Heider Bahnhof braucht 4 Stunden, und ein solcher Zug startet um 8 Uhr in Berlin. Es sei vorausgesetzt,
dass diese Zeiten von der Bahn eingehalten werden. Das passt also alles gut. Leider verspätet sich Matthias
etwas und kommt erst um 8.10 Uhr zum Bahnsteig in Berlin Südkreuz. Der Zug ist abgefahren, und der nächste
geht erst wieder um 10 Uhr. Matthias ist enttäuscht, er kann seine Sonnenkönigin Svenja nicht sehen und muss
weitere Jahre auf eine neue Chance, ihr Herz zu gewinnen, warten.
Wäre Matthias um 7.45 Uhr am Bahnsteig in Berlin gewesen, so hätte es geklappt, auch wenn er dies um 7.55
Uhr oder 7.59, ja selbst um 8.00Uhr geschafft hätte, aber eben nicht mehr um 8.01 Uhr.
Das ist eine typische Situation für eine Unstetigkeit. Betrachtet man die Funktion, die der Ankunftszeit x von
Matthias am Bahnsteig in Berlin Südkreuz die Ankunftszeit f(x) am Bahnsteig in Heide zuordnet, so gilt
i*2+
für ° 2 ± und i*2+
² für ± 2
. Wenn Matthias noch so wenig nach 8 Uhr einsteigen
will, es bringt nichts, die Verzögerung ist nach 8 Uhr immer 2 Stunden.
Beheben könnte man dies (theoretisch), wenn es statt des Zuges eine Art „Förderband“ von Berlin Südkreuz
nach Heide gäbe, das ständig läuft und auf das man in Berlin Südkreuz jederzeit aufspringen kann. Dann könnte
Matthias auch noch um 8.15 Uhr aufspringen, und sein Date in Heide zwischen 12.30 und 13.00 Uhr
wahrnehmen. Es käme bei seiner Abfahrtszeit nicht so genau drauf an. Bei einer Toleranz in der Zielvorgabe
von einer halben Stunde könnte Matthias sich anstrengen, eine entsprechende Toleranz in der Abfahrtszeit
einzuhalten, um doch noch rechtzeitig am Ziel zu sein. Stetigkeit bedeutet also, salopp formuliert: Bei Vorgabe
einer Toleranz im Zielbereich kann man diese erfüllen durch Einhaltung einer Toleranz im Ausgangsbereich.
Dieses Beispiel zeigt erneut: In obiger mathematischer Definition der Stetigkeit ist es sehr sinnvoll, die Toleranz
„ “ in der Zielmenge vorzugeben und zu fordern, dass es dazu immer eine Toleranz „f* +“ in der
Definitionsmenge gibt, die sie erfüllt. Die Zielvorgabe einer Leistung erfolgt zuerst, und danach richtet sich die
Anstrengung, sie zu erreichen – nicht etwa umgekehrt!
Dieses Beispiel stellt die Stetigkeit einmal ganz anschaulich dar. Es gibt natürlich viele ähnliche Darstellungen,
wie eine stetige Pizzamaschine, oder eine Werkzeugmaschine, usw..
[Anschauliche Darstellung der Stetigkeit Nr. 2 – Umgebungsbegriff]
‹J
i*2+
i* +
gegeben
‹ð*J+
gesucht
// Abb. 2
a
2
Eine Funktion i heißt genau dann stetig in , wenn durch eine geringe Abweichung vom
Wert auch nur eine
+
geringe Abweichung vom i*
Wert folgt. Dabei ist die exakte Bedeutung von „gering“ hier wohl eine offene
Interpretationsfrage.
Punktweise Stetigkeit bedeutet also, dass man zu jeder noch so kleinen Umgebung (
‹ l} { l), ich
schreibe ‹ð*J+ , um den Funktionswert i* + eine kleine Umgebung ‹J um den
Wert finden kann, sodass
diese Umgebung ‹J komplett in die Umgebung ‹ð*J+ abgebildet wird.
Das ganze Szenario einer punktweise stetigen Funktion ist in Abbildung 2 dargestellt.
‹J
i*2+
i* +
‹ð*J+
Umgebung
2
a
// Abb. 3
Aber für nichtstetige Funktionen führt die Negation unserer Definition Y dazu, dass man zwar eine
Umgebung um i*2+ finden kann, zu der man jedoch keine passende f Umgebung um finden kann. Eine
offensichtlich im Punkt unstetige Funktion ist in Abbildung 3 dargestellt. Man kann mit den Abbildungen
auch eine äquivalente Stetigkeitsdefinition ableiten: Es sei dazu i o q 5 erneut eine Funktion.
f stetig in s
tf
2 q o *2 ‹e * + w i*2+ ‹‰ *i* ++
oder f stetig in s
tf
2 q o &‹f * + = i ‹ *i* +(
Satz Y [Punktweise Stetigkeit mit dem Folgenbegriff]
Die Funktion ij q 5
in D mit Œ[_ 53 2
heißt punktweise stetig im Punkt
gilt Œ[_ 53 i*2 + i* +. (*)
Beweis: Hier wähle ich zu gegebenem
4 f für alle
ein h, so dass 42
für
h und (*) ist erfüllt.
q, wenn für jede Folge *2 +
ein f
wie in Definition Y. Aufgrund 2 5
h ist. Wegen der Stetigkeit bei gilt dann 4i*2 +
existiert
i* +4
Wenn ich nun annehme, dass (*) gilt und das i*2+ unstetig ist, dann müsste die Negation der Stetigkeit
gelten. Diese Negation lautet:
t
f
t2
q o 42
Meine Idee besteht darin, f
4
f p 4i*2+
i* +4
zu wählen und an 2 einen Index
zu setzen, welcher von f abhängt. So
4
erhalte ich eine Folge *2 + in D, so dass 42
gilt (und folglich 2 5 ) während zugleich
4i*2 + i* +4
ist. Dies widerspricht (*). Damit ist Satz Y insgesamt bewiesen. E
Definition _ [„normale“ Stetigkeit]
Die Funktion ij q 5
heißt stetig, wenn f für alle
q auch stetig in a ist.
[Gleichmäßige Stetigkeit]
Historisches: „Es scheint aber noch nicht bemerkt zu sein, dass … diese Continuität in jedem einzelnen
Punkte … nicht diejenige Continuität ist … die man gleichmäßige Continuität nennen kann, weil sie
sich gleichmäßig über alle Punkte und alle Richtungen erstreckt.“
(Heine 1870, S.361)
„Den allgemeinen Gang des Beweises einiger Sätze in §.3 nach den Prinzipien des Herrn Weierstrass
kenne ich durch mündliche Mitteilungen von ihm selbst, von Herrn Schwarz, und Cantor, so dass …
(Heine 1872, S.182)
Die Besonderheit der weiteren Stetigkeitsdefinition besteht darin, dass das f nur von s abhängig sein
darf, und nicht wie bei der punktweisen Stetigkeit nach Definition Y von der Stelle . Diese
Eigenschafft nennt man gleichmäßige Stetigkeit, ein Begriff, welcher sich anfangs sehr zögerlich aus
den Vorlesungen von Dirichlet im Jahr 1854 und von Weierstraß im Jahr 1861 herausschälte. Die erste
Veröffentlichung geht aber auf Heine in 1870 auf Seite 353 ff. zurück.
Definition d [gleichmäßige Stetigkeit]
Die Funktion ij q 5 heißt gleichmäßig stetig, wenn gilt:
f gleichmäßig stetig s
tf
2 v
q o *42
v4
f w 4i*2+
i*v+4
+
Viele werden sich fragen, warum es mehrere unterschiedliche Definitionen der Stetigkeit gibt. Mit der
punktweisen, „normalen“ und gleichmäßigen Stetigkeit ist unsere Liste natürlich noch nicht vollständig. Es gibt
noch die Hölder Stetigkeit, die absolute Stetigkeit, und die Lipschitz-Stetigkeit. Diese werden hier in meinem
Vortrag nicht weiter angesprochen, aber in einem Schaubild der „Stärke“ nach geordnet.
Die gleichmäßige Stetigkeit braucht man, um einige fundamentale Sätze der Analysis zu beweisen, wie zum
Beispiel, dass eine auf [a, b] stetige Funktion auch gleichmäßig stetig ist, da [a,b] ein kompaktes Intervall ist.
[Anschauliche Darstellung der gleichmäßigen Stetigkeit Nr. 1 – Umgebungsbegriff]
i*2+
-Umgebung
-Umgebung
// Abb.4
i* +
f
f
2
Anschaulich bedeutet die gleichmäßige Stetigkeit, dass man zu jeder noch so kleinen senkrechten
Rechteckseite eine hinreichend kleine waagerechte Rechteckseite f finden kann, sodass, wenn man das
Rechteck mit den Seiten und f geeignet auf dem Funktionsgraphen entlang führt, dieser immer nur die
senkrechten Rechteckseiten schneidet.
Bei der punktweisen Stetigkeit konnte das f auch noch von 2 abhängig sein, also von der Stelle, die man auf
Stetigkeit untersucht. Wenn man aber ein f angeben kann, dass nur von abhängt, dann hat man die
gleichmäßige Stetigkeit gezeigt. In Abbildung 4 ist die gleichmäßige Stetigkeit schematisch dargestellt.
Fazit: Punktweise Stetigkeit ist also eine lokale und gleichmäßige Stetigkeit eine globale Eigenschaft.
Satz _ [gleichmäßige Stetigkeit w punktweise Stetigkeit]
Ist die Funktion ij q 5
gleichmäßig stetig in q, dann ist sie dort auch punktweise stetig.
q und es sei
beliebig. Nach
Beweis: Angenommen i sei gleichmäßig stetig in q und
Voraussetzung der gleichmäßigen Stetigkeit existiert ein f
, sodass 4i*2+ i*v+4
2 mit v q und 42 v4 f. Weiterhin gilt für alle 2 q mit 42 v4 f auch
4i*2+ i*v+4
und somit für jedes die Ungleichung 4i*2+ i* +4
. E
Diesen Beweis konnte ich ziemlich einfach durch scharfes Hinsehen führen, indem ich lediglich die
Definitionen Y und d angewendet habe.
`t[ëj uª ª ÒŒª[ÇW_˜™[Ò Xëªë[Òª Y\ ë[È\ [Xë `ŒXÈ`YÇW ZY\ ëv ª[Xª wëªë[ÒT
-
Die Umkehrung des Satzes gilt übrigens sehr offensichtlich nicht. Dies kann man leicht mit einem
geeigneten Gegenbeispiel zeigen.
[Stetigkeiten-Übersicht:]
G % *+ !
,
A
*+
C8 #
;
7H
#
6
E
)
// Abb. 5
In Abbildung 5 sind einige unterschiedliche Stetigkeitsdefinitionen der „Intensität“ nach geordnet.
[Anwendungsbeispiele]
-
Ich zeige die Stetigkeit der Parabel ij 5
4 f:
Es sei
beliebig und 42
Abschätzung: 4i*2+
J
4 f &
f 42
i* +4 42:
(
f
f
Falls nun also
sf
Abschätzung 4i*2+
-
i* +4
f
:4
‰
J
mit i*2+
4*2
2: im Punkt
+*2
+4
42
sei, dann wählt man f A _[\ Ž
. Also ist i in jedem Punkt
J
.
442
‰
J
4
f42
4
•. Somit folgt die
stetig.
Ich zeige nun noch ausführlich, dass die Umkehrfunktion der Parabel, also die Wurzelfunktion
io
5
mit i*2+ †2 gleichmäßig stetig ist.
Sei
beliebig vorgegeben. Dann gibt es einerseits ein f
, sodass †2 Ÿv
für alle
2 v ? @ mit 42 v4 f . Setzt man nun f A _[\*f
+, dann gilt:
Falls nämlich 2 v
oder v
folgt:
†2
Ÿv
?
†2
für alle 2 v
mit 42 v4
†2 Ÿ v
@, so folgt dies aus der obigen Abschätzung, andererseits, falls 2
Ÿv
†2
Ÿv
42
v4
f.
f
Damit ist insgesamt die gleichmäßige Stetigkeit von i gezeigt.
[Beispielfunktionen]
// Abb. 6
f
f
im Bereich q * ]. Diese Funktion ist nicht
Obige Abbildung 6 zeigt den Graphen der Funktion v
©
gleichmäßig stetig. Die f, welche zur Sicherung von 4i*2+ i* +4
für ein festes nötig sind, streben für
5 gegen Null.
f
// Abb. 7
f
f
In Abbildung 7 habe ich die gleichmäßig stetige Wurzelfunktion dargestellt. Die Funktion hat trotz ihrer
unendlichen Steigung im Ursprung ein kleines f #
:, das positiv ist. Dieses f # , obwohl es unnötig klein
ist, kann im gesamten Definitionsbereich genutzt werden. Diese Eigenschaft nennt man gleichmäßige Stetigkeit.
Übungsaufgaben
Blatt 1: Stetigkeitsbegriff, und mathematische Paradoxa
[email protected]
Hinweis: Die folgenden Aufgaben können nach dem Sonderteil eigenständig bearbeitet werden. Die Lösungen
hierfür werden nicht vorgeführt, denn ähnliche Aufgabentypen sind bereits in der Übersicht gelöst. Dieses
Übungsblatt wurde ebenfalls von mir selbst entworfen und soll einen individuellen Prototyp eines Aufgabenblatts
zur wöchentlichen Nachbearbeitung der Vorlesung darstellen, wobei die Nachbesprechung bekanntlich in den
Tutorien realisiert werden sollte.
Aufgabe 1: (6 Punkte)
[Multiple Choice-Aufgaben]
In den folgenden Teilaufgaben sind jeweils 6 Aussagen. Kreuzen sie alle korrekten Aussagen an. Beachten Sie, dass es
mehrere wahre Aussagen pro Teilaufgabe geben kann. Die Bewertung jeder Teilaufgabe erfolgt wie folgt: Für jedes korrekt
Anzahl aller Antworten
gesetzte Kreuz gibt es
viele Punkte. Für ein falsch gesetztes Kreuz wird ein Punkt
3 ⋅ Anzahl der richtigen Antworten
abgezogen. Die erreichte Punktzahl der einzelnen Teilaufgaben kann also durchaus negativ sein. Unter Aufgabe 1 können
insgesamt wenigstens 0 Punkte erreicht werden.
a) Es sei die Funktion i o
wahr?
5
mit i*2+
X[\*2+ gegeben. Welche der folgenden Aussagen sind
4 f w 4i*2+ i* +4
+
Es gilt:
tf
2 q o *42
4 f w 4i*2+ i* +4
+
Es gilt: t
tf
2 q o *42
4 f s 4i*2+ i* +4
+
Es gilt: t)
tf
2 q o *42
*42
4i*2+
+
Es gilt:
tf
2 v qo
v4 f w
i*v+4
Es existiert g
mit 4i*2+4 g.
Die Funktion i*2+ X[\*2+ ist bijektiv und stetig.
b)
Es sei die Funktionl o
„B C 5
mit l*2+
©
gegeben. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Die Funktion l*2+ ist gleichmäßig stetig.
Das Urbild l/ * + existiert nicht.
+
Es gilt:
tf
2 v q o *42 v4 f s 4i*2+ i*v+4
4 f w 4i*2+ i* +4
+
Es gilt: t
tf
2 q o *42
Die Funktion l*2+ ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn die Umkehrfunktion von l*2+
existiert.
Die Funktion l*2+ ist im Punkt
punktweise stetig.
c) Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
Punktweise Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit.
Ist eine Funktion nicht gleichmäßig stetig, dann ist sie auch nicht punktweise stetig.
Es gibt eine stetige Bijektion zwischen und T
Eine Funktion ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn sie punktwiese stetig ist.
Wenn eine Funktion in ihrem Definitionsbereich streng monoton ist, dann ist sie überall stetig.
Gleichmäßige Stetigkeit impliziert punktweise Stetigkeit.
Aufgabe 2: (3 Punkte)
[Paradoxon der partiellen Integration]
Analysieren Sie folgenden Lösungsweg der partiellen Integration. Begründen Sie, ob die Rechnung stimmt
und beschreiben Sie mögliche Fehler!
partielle Integration: {
•
©
2
2
|2
2
{×
•×
2
Ê
2
©:
|2
2:
2
|2
2
2 |2
÷
2
2
|2
2
|2
|2 4
Aufgabe 3: (3 Punkte)
Zeigen oder widerlegen Sie die Behauptung: „Ist eine Funktion ‚ o q 5
auch gleichmäßig stetig.“
2
|2
in einem Punkt stetig, dann ist ‚
Aufgabe 4: (3 Punkte)
Untersuchen Sie die folgende Funktion auf gleichmäßige und punktweise Stetigkeit!
a) i*2+
©
Aufgabe 5: (6 Punkte)
Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Stetigkeit an der Stelle x = 1!
a)
2‡ ²2:
2
i*… 2
i*2+ x 2:
2
} ©/
i*… 2
b)
c)
i*2+ A )
2 X[\ ® ¯
2
i*2+ A x
°
ƒ
i …2p ƒ
i …2
i*… 2
i*… 2
i*… 2
ƒ
d) Handelt es sich bei der Funktion in Teilaufgabe c. um eine gleichmäßig stetige Funktion? Begründen
Sie Ihre Antwort!
Aufgabe 6: (4 Punkte)
Es sei i o Ê 5 stetig in . Zeigen Sie: Ist i* +
, so gibt es ein
, sodass i*2+
2 ‹‰ * + » Ê ist. Kommentieren Sie die zentralen Schritte in Ihrer Beweisführung!
für alle
(6) Klausur:
Nehmen Sie sich nach dem Bearbeiten der Menüpunkte 1 bis 3 nun noch einmal genau 90 Minuten
Zeit und setzen Sie sich an die folgende Klausur. Stoppen Sie die Zeit, in der Sie die Klausur ohne
Hilfsmittel eigenständig bearbeiten. Danach können Sie dann ihre Lösungen mit den folgenden
Kurzlösungen vergleichen und sich selber bewerten. Das zeigt Ihnen, wo Sie noch Schwierigkeiten in
der Analysis 1 in Bezug auf die Klausur haben. Diese Schwierigkeiten können Sie dann mit dieser
Klausurvorbereitungsübersicht zu eliminieren versuchen. Falls Ihnen einzelne Themenbereiche in
meiner Übersicht zu kurz dargestellt sind, können Sie sich auch gerne noch selbst ein Buch zur Hand
nehmen oder einen Freund, den Tutor oder mich fragen. Die Klausur wurde übrigens von mir erstellt,
entspricht aber nahezu 1 : 1 dem Layout der Probeklausur aus der Vorlesung, um für ein vorzeitiges
Klausurfeeling zu sorgen. Die Idee, das Layout so anzupassen, soll also noch mal die Motivation der
Bearbeitung dieser Übungsklausur steigern.
Bearbeitungsnummer: ____________
(unter dieser Nummer wird ihre Note veröffentlicht)
Klausur zur Analysis I
__________________________________________________________________
Name:__________________________ Vorname__________________________ Matr.-Nr.:_______________
Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.
Die Lösungen sind in gut lesbarer Reinschrift mit allen Nebenrechnungen auf DIN A4–Blättern abzugeben.
Alle Blätter bitte mit Namen, Matrikelnummer und Aufgabennummer versehen!
Mit Bleistift oder Rotstift geschriebene Lösungen werden nicht gewertet.
Block I [15 Punkte]
Kreuzen Sie an, ob der Wahrheitsgehalt der jeweiligen Aussagen „wahr“ oder „falsch“ ist. Für jede richtig angekreuzte
Aussage erhalten Sie einen Punkt, für jede falsch angekreuzte Aussage erhalten Sie einen Punkt Abzug. Sie haben genau
einen Freischuss, d.h. die erste falsch angekreuzte Antwort wird nicht gewertet. Die minimal erreichbare Punktzahl beträgt
0 Punkte, die maximal erreichbare Punktzahl beträgt 15Punkte.
wahr
falsch
Aussage
1.
ist ein vollständig angeordneter Körper.
2.
Alle Treppenfunktionen sind Riemann–integrabel.
3.
In
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
oder in
konvergiert jede Cauchy Folge.
Die Funktion ij ? 9@ 5
}
s2
sei stetig. Das Bild i*? ²@+ ist ein kompaktes Intervall.
2 s , *ÔÕ*O+/
ÇÈX*Â+. p
+
Es existiert eine Menge, die offen und abgeschlossen ist.
Für alle 2
gilt: } ©
Œ[_
5
&
©
(
0-$
©–
-)
.
Die Funktion i*2+
2 ist streng monoton wachsend w i × *2+
Die Funktion i*2+
2: ist auf
Sei 0-$
-
eine Reihe. Gilt Œ[_-5 XYZ Ÿ4
–
-4
w 0-$
gleichmäßig stetig.
Es existiert eine bijektive Abbildung zwischen
-
.
ist absolut konvergent.
und .
Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie nicht offen ist.
Die Polynomenfunktion ¥*2+ 2:
2 1 hat nach dem Nullstellensatz von Bolzano
mindestens eine reelle Nullstelle auf dem Intervall [0, 2].
Die Betragsfunktion i*2+ A 424 ist überall stetig, aber im Nullpunkt nicht differenzierbar.
Die Funktion i?
Es sei š
1
1;
@5
ist integrabel s f ist differenzierbar und stetig und monoton.
. Die konjugiert komplexe Zahl von z heißt dann šÍ
1;
1.
Block II [15 Punkte]
Bearbeiten Sie genau 3 der folgenden Aufgabenabschnitte a), b), c), d) und e).
a)
Lösen Sie folgende unbestimmte Integrale und geben Sie die benutzten Regeln an:
(i)
(ii)
Ï 2‡ } /© |2
Ï } © X[\*2+ |2
b) Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz:
3
"
c)
-$
*'
')
Bestimmen Sie die Lösung des bestimmten Integrals für alle 2
verwendeten Regeln an:
O
+)
und gegen Sie alle Nebenrechnungen und
Œ\*2+
2 *Œ\: 2*2+ Œ\*2+
+
|2
(*) Hinweis: y *2+ y *2+
d) Bestimmen Sie wenn möglich den maximalen und minimalen Wert der Funktion ij
i*2+ 2: Œ\*2+
2: und geben Sie die benutzten Regeln an.
e)
Untersuchen Sie, ob folgende Funktion ij
i*2+
Begründen Sie Ihre Antwort.
5
5
„B C mit
y : 2*2+
an der Stelle x = 1 stetig und differenzierbar ist:
2‡
x 2:
} ©/
²2:
2
2
i*… 2
ƒ
i*… 2
Block III [20 Punkte]
Beweisen Sie die zwei folgenden Sachverhalte und geben Sie die geforderte Definition an.
a)
Es sei die Funktion ij 5
mit i*•+ A } › gegeben. Man will nun sehen, dass f beliebig oft
differenzierbar ist, und wir suchen nach einer Beschreibung der n-ten Ableitung:
6
Zeigen Sie, dass i * + *•+ ¥*•+ } › gilt,
wobei ¥*•+ ein Polynom vom Grad ist, das nur gerade bzw. nur ungerade Potenzen von t enthält, je nachdem, ob
gerade oder ungerade ist. Begründen Sie Ihre Zwischenschritte und erklären Sie abschließend den Grund, warum i
beliebig oft differenzierbar ist.
6
b)
Am Anfang eines 10 m langen Gummibandes sitzt eine Schnecke. Jeden Tag kriecht sie einen Meter voran. Nachts,
wenn sie ruht, dehnt ein Dämon das Band gleichmäßig so aus, dass es jedesmal um 10m länger wird. Dämon und
Schnecke seien unsterblich, das Band unbegrenzt dehnbar. Beweisen oder widerlegen Sie die Behauptung, dass die
Schnecke irgendwann das Ende des Bandes erreicht.
c)
Geben Sie die exakte Definition der punktweisen Stetigkeit an.
Dieses Feld bitte nicht beschriften!
Teil
Punkte
I
II
III
0
wahr
falsch
Aussage
1.
ist ein vollständig angeordneter Körper.
2.
Alle Treppenfunktionen sind Riemann–integrabel.
3.
In
oder in
konvergiert jede Cauchy Folge.
Die Funktion ij ? 9@ 5
4.
}
5.
6.
s2
sei stetig. Das Bild i*? ²@+ ist ein kompaktes Intervall.
2 s , *ÔÕ*O+/
ÇÈX*Â+. p
+
Es existiert eine Menge, die offen und abgeschlossen ist.
Für alle 2
7.
8.
10.
11.
Œ[_
5
&
©
(
0-$
-)
.
2 ist streng monoton wachsend w i × *2+
Die Funktion i*2+
2: ist auf
-
eine Reihe. Gilt Œ[_-5 XYZ Ÿ4
–
-4
w 0-$
gleichmäßig stetig.
Es existiert eine bijektive Abbildung zwischen
12.
©–
Die Funktion i*2+
Sei 0-$
9.
gilt: } ©
-
.
ist absolut konvergent.
und .
Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn sie nicht offen ist.
Die Polynomenfunktion ¥*2+ 2:
2 1 hat nach dem Nullstellensatz von Bolzano
mindestens eine reelle Nullstelle auf dem Intervall [0, 2].
13.
Die Betragsfunktion i*2+ A 424 ist überall stetig, aber im Nullpunkt nicht differenzierbar.
14.
Die Funktion i?
15.
Es sei š
16.
1
1;
@5
ist integrabel s f ist differenzierbar und stetig und monoton.
. Die konjugiert komplexe Zahl von z heißt dann šÍ
1;
1.
Block II
a-d) wurden bereits in der Übersicht ausführlich gelöst!
e) Die Funktion ist stetig, denn der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert von f(x) an der Stelle x = 1sind
identisch (hierzu braucht man ggf. 2 Mal die Regel von l’Hospital). Die Funktion ist in x = 1 nicht
differenzierbar, denn der rechtsseitige und linksseitige Grenzwert von i × *2+ ist jeweils ungleichgleich. Man
musste hierzu f(x) vorher einmal ableiten, u.a. mit der Quotientenregel.
Block III
a) Diese Aufgabe wurde 1:1 in Bereich 3 vorgeführt.
b) Behauptung: Die Schnecke erreicht irgendwann das Ende des Bandes.
Beweis:
J
nach der n-ten Nacht.
2* +
v
*
•
f
+
/â
/â (
/â 0
2* + 0#$ v# 0#$ &
#$ #
#
Ein ähnlicher Beweis wurde in Teil 3 vorgestellt.
c) Die Definition befindet sich in der Übersicht.
t
, sodass die Partialsumme
ist. E
Bearbeitungsnummer: ____________
(unter dieser Nummer wird ihre Note veröffentlicht)
(7) Nachklausur zur Analysis I
__________________________________________________________________
Name:__________________________ Vorname__________________________ Matr.-Nr.:_______________
Die Bearbeitungszeit beträgt 90 Minuten.
Die Lösungen sind in gut lesbarer Reinschrift mit allen Nebenrechnungen auf DIN A4–Blättern abzugeben.
Alle Blätter bitte mit Namen, Matrikelnummer und Aufgabennummer versehen!
Mit Bleistift oder Rotstift geschriebene Lösungen werden nicht gewertet.
Block I [15 Punkte]
Kreuzen Sie an, ob der Wahrheitsgehalt der jeweiligen Aussagen „wahr“ oder „falsch“ ist. Für jede richtig angekreuzte
Aussage erhalten Sie einen Punkt, für jede falsch angekreuzte Aussage erhalten Sie einen Punkt Abzug. Sie haben genau
einen Freischuss, d.h. die erste falsch angekreuzte Antwort wird nicht gewertet. Die minimal erreichbare Punktzahl beträgt
0 Punkte, die maximal erreichbare Punktzahl beträgt 15Punkte.
wahr
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
falsch
xX Xª[ij ?
@ 5 eine differenzierbare Funktion. Dann ist f stetig und nimmt alle Werte
zwischen i* + und i* +an.
xX Xª[ij ?
@ 5 eine differenzierbare Funktion. Wenn
so ist, dass 4i × * +4
für
alle 2 ?
@, dann gilt 4i* + i* +4
*
+.
xX Xª[lj ?
@ 5 eine differenzierbare Funktion und l× *2+
für alle 2 ?
@. Dann ist
l entweder konstant oder monoton fallend.
Aussage
Die Funktion i o
5
mit i*2+
2: besitzt ein globales Maximum.
3
Es sei *u- + eine reelle Folge, wenn 03
-$ u- konvergiert, dann konvergiert auch 0-$
Die Reihen 03
-$
Für alle 2
'(Õ*-+
-:
gilt: } ©
Die Potenzreihe 03
-$ *
und 03
-$
Œ[_
+-
5
©–
-
-:
&
und 03
-$
©
(
*/ +–
-
0-$
©–
-)
und 03
-$
/
â
-:
K–
-
sind konvergent.
genau dann wenn ÇÈX*X[\* ++
hat den Konvergenzradius «
.
.
.
Es gibt auf einem abgeschlossenen Intervall unbeschränkte Funktionen in , die Riemannintegrierbar sind.
Es sei ij
5
Die Folge |
eine stetige Funktion mit Œ[_©53 i*2+
ªaZ*
^. Die Folge *i* ++
+ nicht genau einen Häufungspunkt in .
divergiert.
Eine Intervallschachtelung, deren Intervalllänge gegen 0 konvergiert, erfasst genau 2 Zahlen.
Die Eulersche Zahl } ist entweder transzendent oder irrational und nicht algebraisch.
Der Binomialkoeffizient ,¦. ist genau dann negativ, wenn p negativ ist.
Die Menge der Summer aller geraden Primzahlen und aller Personen mit dem Namen „Svenja
Ohm“ innerhalb Deutschlands ist abgeschlossen oder kompakt oder beschränkt.
Es sei ij 5 eine -mal differenzierbare Funktion. Dann lautet für das Taylor-Polynom T
von f der Ordnung n mit Entwicklungspunkt 2
die korrekte Formel wie folgt:
Ã*2+
0#$
ð*c+ *©— +
#)
*2
2 +#
« *2+
Block II [15 Punkte]
Bearbeiten Sie genau 3 der folgenden Aufgabenabschnitte a), b), c), d) und e).
a)
Berechnen Sie das folgende Integral mittels Riemannscher Summen für beliebiges, reelles
J
ÇÈX*2 +|2
b) Bestimmen Sie die Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt 2
c)
!
für die Exponentialfunktion!
Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe!
3
"
-$
2'
d) Die durch i j 2 Ñ 2 auf dem Intervall [0, 1] definierte Funktionenfolge *i +
konvergiert punktweise.
Bestimmen Sie die Grenzfunktion! Konvergiert die Funktionenfolge *i +
ebenfalls gleichmäßig?
e)
Untersuchen Sie die folgende Funktion ij
5
auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit!
i*2+
Begründen Sie Ihre Antwort.
i*… 2
i*… 2 c
\
ƒ
Block III [20 Punkte]
Beweisen Sie die zwei folgenden Sachverhalte in b) und in c) oder d) und geben Sie die in a) geforderte Definition an.
a)
b)
c)
Geben Sie die exakte Definition der punktweisen, normalen und gleichmäßigen Stetigkeit an.
Zeigen Sie erstens: Aus gleichmäßiger Stetigkeit folgt immer punktweise Stetigkeit und zeigen oder widerlegen
Sie zweitens, dass normale Stetigkeit die gleichmäßige Stetigkeit impliziert.
Sei ij ?
(i)
(ii)
d)
@5
stetig und sei ø*v+
Gilt i*2+
Gilt i*2+
für alle 2
für alle 2
?
?
Ï i*2+|2. Zeigen oder widerlegen Sie:
-
@, so ist F monoton wachsend.
@, so ist F strikt monoton wachsend.
Zeigen oder widerlegen Sie, dass alle monotonen Funktionen immer Riemann-integrierbar sind.
Dieses Feld bitte nicht beschriften!
Teil
Punkte
I
II
III
0
Block I:
wahr
1.
2.
3.
falsch
xX Xª[ij ?
@ 5 eine differenzierbare Funktion. Dann ist f stetig und nimmt alle Werte
zwischen i* + und i* +an.
xX Xª[ij ?
@ 5 eine differenzierbare Funktion. Wenn
so ist, dass 4i × * +4
für
alle 2 ?
@, dann gilt 4i* + i* +4
*
+.
xX Xª[lj ?
@ 5 eine differenzierbare Funktion und l× *2+
für alle 2 ?
@. Dann ist
l entweder konstant oder monoton fallend.
Aussage
Die Funktion i o
4.
5
mit i*2+
2: besitzt ein globales Maximum.
3
Es sei *u- + eine reelle Folge, wenn 03
-$ u- konvergiert, dann konvergiert auch 0-$
5.
Die Reihen 03
-$
6.
Für alle 2
7.
'(Õ*-+
-:
gilt: } ©
Die Potenzreihe 03
-$ *
8.
und 03
-$
Œ[_
+-
5
©–
-
-:
&
und 03
-$
©
(
*/ +–
-
0-$
©–
-)
und 03
-$
/
â
-:
K–
-
sind konvergent.
genau dann wenn ÇÈX*X[\* ++
hat den Konvergenzradius «
.
.
.
Es gibt auf einem abgeschlossenen Intervall unbeschränkte Funktionen in , die Riemannintegrierbar sind.
9.
Es sei ij
10.
5
Die Folge |
11.
12.
^. Die Folge *i* ++
eine stetige Funktion mit Œ[_©53 i*2+
ªaZ*
+ nicht genau einen Häufungspunkt in .
divergiert.
Eine Intervallschachtelung, deren Intervalllänge gegen 0 konvergiert, erfasst genau 2 Zahlen.
Die Eulersche Zahl } ist entweder transzendent oder irrational und nicht algebraisch.
13.
Der Binomialkoeffizient ,¦. ist genau dann negativ, wenn p negativ ist.
14.
Die Menge der Summer aller geraden Primzahlen und aller Personen mit dem Namen „Svenja
Ohm“ innerhalb Deutschlands ist abgeschlossen oder kompakt oder beschränkt.
Es sei ij 5 eine -mal differenzierbare Funktion. Dann lautet für das Taylor-Polynom T
von f der Ordnung n mit Entwicklungspunkt 2
die korrekte Formel wie folgt:
15.
Ã*2+
16.
0#$
ð*c+ *©— +
#)
*2
2 +#
« *2+
Block II:
a) Diese Aufgabe wurde 1 : 1 im Rechenteil der Übersicht vorgeführt (Aufg. 21).
b) (.*.) Die Exponentialfunktion ist analytisch. Für die Taylor-Reihe mit Entwicklungspunkt 2
ªaZ*a+
3
"
$
ªaZ* + * +
a
)
3
"
$
)
a T
gilt:
// (.*.)Die Potenzreihen und Taylor-Reihen wurden in Kapitel 8 der Vorlesung thematisiert. In meinem
ersten Teil der Übersicht ist Kapitel 8 nicht enthalten. Der prozentuale Anteil von Kapitel 8 in der
Nachklausur ist jedoch nach Auskunft von unserem Dozenten sehr gering. Gegen Anfang des
Wintersemesters stelle ich eine Übersicht u.a. zu diesen Themen auf der Textseite Analysis 2 zur
Verfügung.
c) Der Konvergenzradius der Potenzreihe 03$
µy
Œ̀ Yëªë R = 1. Man kann den Konvergenzradius einer
Potenzreihe i.d.R. mit den Formeln von Cauchy-Hadamard und Euler bestimmen.
]`ŒŒX a ?
]`ŒŒX a
d) Die Grenzfunktion lautet: ] o a 5 \
+ƒ
5
, denn
und 2 5
für
2
// falls man die Begründung vergessen hätte, würde man 2 Punkte weniger erhalten, wie in der
tatsächlichen Klausuraufgabe mit der Reihenkonvergenz durch dem Leibniz Kriterium.
T
Die Funktionenfolge *i +
konvergiert nicht gleichmäßig, denn dafür wird gegen das notwendige
Kriterium, dass die Grenzfunktion stetig sein müsste, verstoßen.
e) Es ist die Dirichlet-Funktion ]*a+
]*îa
]*îa c
\
ƒ auf Stetigkeit zu untersuchen.
// Das müsste jeder aus dem Stehgreif hinbekommen, ansonsten wird die Nachklausur wohl eher schief
laufen.
Sei a c und *aÕ + *\ \
sich der Dezimaldarstellung
\
ergibt. Für alle \
und Œ[_Õ53 aÕ
Sei nun a
Dann gilt:
ist aÕ
/
a
\
\
\
\
Œ[_ ]*aÕ +
Õ53
und *aÕ + die Folge mit aÕ
a
†
Õ
Œ[_ ]*aÕ +
/
/
\
\
/
/
a. Dann gilt:
p
]*a+T
. Für alle \
p
Õ53
]*a+T
! + die Folge rationaler Zahlen, die
!
ist aÕ c
und Œ[_Õ53 aÕ
a.
Hiermit ist gezeigt, dass f(x) nirgends stetig ist. Weil Stetigkeit ein notwendiges Kriterium für
Differenzierbarkeit ist, kann f(x) nicht differenzierbar sein.
Block III:
a) Diese Definitionen befinden sich in Kapitel 5 dieser Übersicht – „Sonderteil zur Stetigkeit“. Sie
wurden durch bildliche Erklärungen ergänzt.
b) Der erste Teil wird ebenfalls im Sonderteil sehr ausgiebig bewiesen. Zum zweiten Teil kann man
©‡/á©:
©
i*… 2
ƒ, welche an der Stelle x = 1 punktweise stetig
}
i*… 2
ist (den Beweis dazu möge der interessierte Leser führen oder man möge in die vorherige
Probeklausur dieser Übersicht gucken^^.) aber nicht gleichmäßig stetig ist, als Gegenbeispiel
bringen. Natürlich kann man den zweiten Teil auch mit einer anderen Funktion, wie i*2+
Œ\*2+ 2
widerlegen.
die Funktion i*2+
)
©/
©:/ ©
c) // Dieser Beweis ist sehr interessant:
Zu (i)
Beweis: Angenommen es gelte ]*a+
für alle a
Es muss nun die Monotonie gezeigt werden, also
Umformulierung: Ï
8
] * a+ a
?
* +
Ï ] * a+ a
6
@ und ] sei stetig.
* +
Aufgrund der Intervall-Additivität bei Integralen folgt für
8
] * a+ a
6
] * a+ a
6
8
mit
:
] * a+ a
mit
. (z.z.)
.
Es gilt also ebenfalls:
6
Ï ] * a+ a
6
Ï ] * a+ a
8
Ï ] * a+ a
8
Ï ] * a+ a
6
6
Ï ] * a+ a 4
Diese Gleichung wird nun ein bisschen umgeformt:
6
6
8
6
Ï ]*a+ a.
] * a+ a
6
Ï ]*a+ a.
Dies gilt ganz bestimmt, denn nach Voraussetzung ist ] auf seinem gesamten Definitionsgebiet stetig,
also somit auch gleichmäßig stetig und der Funktionswert ist
für alle a ? @.
Damit ist alles gezeigt. E
Zu (ii)
Beweis: Angenommen es gelte ]*a+
für alle a
Es muss die Monotonie gezeigt werden, also *
Umformulierung: Ï
8
] * a+ a
+
?
Ï ] * a+ a
6
@ und ] sei stetig.
ø* +
Aufgrund der Intervall-Additivität bei Integralen folgt für
Es gilt also ebenfalls:
8
] * a+ a
6
6
Ï ] * a+ a
6
Ï ] * a+ a
] * a+ a
8
Ï ] * a+ a
8
Ï ] * a+ a
6
6
8
8
] * a+ a
.
. (z.z.)
:
] * a+ a
6
Ï ]*a+ a.
6
Ï ] * a+ a 4
Diese Gleichung wird nun ein bisschen umgeformt:
6
6
mit
mit
6
Ï ]*a+ a.
Dies gilt ganz bestimmt, denn nach Voraussetzung ist ] auf seinem gesamten Definitionsgebiet stetig,
also somit auch gleichmäßig stetig und der Funktionswert ist
für alle a ? @.
Damit ist auch hier alles gezeigt. E
d) Achtung, der Satz gilt nur für beschränkte Funktionen. Man kann also mit einer unbeschränkten
monotonen Funktion ein Gegenbeispiel angeben. Siehe dazu auch noch mal Satz 1 und Satz 4 im
Beweisteil 3.
Extreme Probleme - Männerphantasien
Es ist Sommer und wir befinden uns in Sylt am bekannten Strand. Das Thermometer zeigt 32° im
Schatten und wir liegen ganz bequem auf unserem Badehandtuch und genießen das Sonnenbad. Was
kann es da bitte noch Schöneres geben?
Während wir da so liegen und faulenzen passiert es, ganz langsam läuft sie vorbei, eine große blonde
Frau. Sie ist wahrhaftig die Sonnenkönigin höchst persönlich. Wir richten unsere Augen nur auf sie
und ihre schönen Beine. Sie hat gleich zwei davon, wie zwei Parallelen, die sich im Unendlichen
schneiden. Die Frau passiert uns und bleibt ungefähr 10 Meter vor unserem Liegeplatz stehen, mit dem
Gesicht abgewendet und betrachtet die Pracht der Nordsee. Gefesselt von positiven Gefühlen
betrachten wir die umwerfenden Beine dieser Frau, sie hauen uns fast um, ein Glück, das wir bereits
auf festem Boden liegen. Schnell beschließen wir, da müssen wir näher ran, um diese göttlichen Beine
(Schenkel) näher zu inspizieren und den maximalen Kick zu erreichen. Aber bloß nicht zu nahe dran,
denn wir wollen möglichst viel von ihren Beinen sehen. Davon haben wir immer schon mal geträumt.
Wenn wir aber zu nah an die Frau rankommen, dann ist der Blickwinkel nicht gut. Wir brauchen also
einen möglichst großen Blickwinkel, unter dem wir die Beinpracht beobachten können. Die Frau dreht
sich kurz um, Oh, weh, falls sie nun weggeht, ist alles vorbei, aber Glück gehabt, sie dreht sich sofort
wieder um und betrachtet erwartungsvoll das Meer. Wir müssen zügig reagieren, bevor sie
verschwindet. Langsam beginnen wir zu schwitzen, denn der Anblick ist einfach so schön, aber wir
wollen noch mehr sehen, also schnell rechnen. Wir haben eine Frau von fast eins achtzig. Sehr blond,
sehr gerade, sehr stolz, Beinlänge über eins zehn. Wohlgefällig ruht unser Blick auf die Beine und auf
deren Unendlichkeit. Die Unendlichkeit vernachlässigen wir, denn es ist auch schon ohne dessen
Betrachtung eine ziemlich heiße Angelegenheit. Tolle Frau, tolle Beine und vier Augen, die noch mehr
sehen wollen. Der Winkel muss groß sein. Wenn wir zu weit weg sind, ist er zu klein, weil nur ein
kleiner Winkel unseres Blickfeldes von diesen Beinen eingenommen wird. Also müssen wir uns
einfach mal ran pirschen, wenn es der Wahrheitsfindung dient. Aber bloß nicht zu sehr, denn dann
wird der Winkel kleiner und die Frau merkt unser Vorgehen. Dies ist männerfeindliche Mathematik.
Wir müssen uns natürlich der Frau im aufrechten Gang nähern, und nicht sabbernd über den Boden
rutschen. Dann müssten wir irgendwann steil nach unten gucken, und die Beine nehmen wieder einen
kleinen Teil unseres eingeschränkten Blickfeldes ein. Wieder dreht sich die Frau kurz um, puh, erneut
Glück im Unglück gehabt, sie bleibt stehen. Kleiner Winkel, großer Winkel, kleiner Winkel, das riecht
förmlich nach einer Extremwertaufgabe. Jetzt noch ein bisschen mühe geben und schnell den
optimalen Abstand berechnen. Einer muss sie ablenken und der Andere berechnet. Aber Achtung, die
blonde Wunderpracht hat unseren Blick bemerkt und setzt sich in Bewegung. Sie entflieht sich
förmlich unserem Umkreis. Schade, zu spät. Sachlich blicken wir noch den beiden Wunderbeinen
hinterher, die sich auf dem Sandweg in Richtung Ausgang bewegen, wo die Unendlichkeit wohnt.
Theorie:
Solche Extremwertaufgaben wie das Beinproblem der schönen blonden Frau sind ein zentrales Thema
der Analysis. Extremwertprobleme gehören in den Bereich der Infinitesimalrechnung, man findet es
unter dem Kapitel der Differentialrechnung. Für viele Schüler der Oberstufen ist dieser Bereich jedoch
schwer verständlich, man verliert endgültig den Verstand und beginnt zu zweifeln, denn es geht um
unendlich kleine Zahlen und Grenzwertprozesse (Limes). Dies sind alles ziemlich abstrakte Konzepte,
und das Rechnen damit ist anfangs nicht gerade einfach. Trotzdem ist dies eines meiner
Lieblingsbereiche.
Auflösung:
Wirklich Schade, dass hat nicht so ganz geklappt, aber was ist denn nun der perfekte Blickwinkel und
wie nah muss man an diese Frau ran? Hier kommt die Lösung für die schönen Beine: Es ist ein
Extremwert gesucht, nämlich der größte Winkel, unter dem sich die Beine der Frau betrachten lassen.
Man kann den Aufbau genau skizzieren: Ein Mann, dessen Augen sich in einer Höhe m über den
Boden befinden, schaut einer Frau hinterher, die f Meter Bein zeigt. Der Abstand der beiden beträgt x
Meter. Die unabhängige Variable x wurde übrigens mit bedacht gewählt, weil der optimale
Blickwinkel Alpha von x abhängt. Der Winkel Alpha ist übrigens gesucht, jedoch weiß man zunächst
einmal sehr wenig über ihn: Er gehört zu einem Dreieck, von dem nur eine Seite bekannt ist. Weiterhin
sieht dieses Dreieck unregelmäßig aus (alle Seiten sind verschieden lang.). Schon in der 9.
Klassenstufe lernt man (Satzgruppe des Pythagoras, Winkelfunktionen), dass man bei solchen
geometrischen Problemen oft weiter kommt, indem man nach rechtwinkligen Dreiecken sucht. Dies ist
auch hier der Fall. Somit lassen sich die zwei anderen Winkel leichter ermitteln, nämlich Beta und
Gamma, welche in Dreiecken liegen, von denen zwei Seiten bekannt sind, und die außerdem
rechtwinklig sind. Alpha erhält man, wenn man von 90 Grad Beta und Gamma abzieht, da die
Winkelsumme in einem Dreieck bekanntlich 180 Grad beträgt. Eine Graphik ist in der folgenden
Analysis Grundlage ergänzt. Damit man nun aus den Seiten eines Dreiecks die Winkel berechnen
kann, braucht man die Winkelfunktionen wie Sinus, Cosinus und Tangens sowie deren
Umkehrfunktionen, welche lediglich davor das Wörtchen „Arkus“ haben. Keinen Grund zur Panik,
hier werden nur die grundlegenden Definitionen der Funktionen verwendet, den Rest schaut man in
Tabellenbüchern nach oder überlässt die Berechnung dem Taschenrechner.
Der Winkel Gamma liegt in einem rechtwinkligen Dreieck, wovon die Seiten x und m bekannt sind,
welches die beiden Katheten des Dreiecks sind. Der Quotient x/m wird auch der Tangens von y
genannt, also tan(y). Allgemein ist der Tangens die Funktion, die einem Winkel diesen Quotienten
zuweist. Wenn man umgekehrt aus dem Quotienten den Winkel bestimmen will, dann muss man die
Umkehrfunktion des Tangens benutzen, den Arkustangens. Falls man diesen Ausgangspunkt aufgreift,
entsteht eine Gleichung. Nach Umformungen und Benutzung einer weiteren Hilfsgleichung kann man
ganz leicht eine Zielfunktion aufstellen, welche im folgenden Abschnitt Alpha(x) genannt wird. Von
dieser Kurve muss man nur noch das Maximum bestimmen. Den Rechenweg diesbezüglich kann man
in der „Analysis Grundlage“ leicht nachvollziehen. Schließlich erhält man das Resultat, dass man der
blonden Schönheit richtig auf den Pelz rücken muss. Unter Verwendung der Beispielwerte m = 1,7
und f = 0,7 (typische Werte) liegt der perfekte Blickwinkel bei 1,30 Meter Entfernung. Selbst am
Strand in Sylt würde sich dabei das „Opfer“ gewiss bedrängt fühlen. Auch die Ausrede, „Ich wollte
nur Ihre Beine unter einem optimalen Winkel sehen“, würde dieses Gefühl wohl eher zur Gewissheit
machen. In dieser Situation muss man also zu einer neuen Taktik greifen, wie auch immer die
aussehen mag, kann sich der Leser/ die Leserin ja gerne im stillen Kämmerlein überlegen.
B
!! B
I
7 )
B>
1 6
+
) #
&
' # *+
# *+
@
Mit einem geübten Blick erhält man folgende Gleichungen:
©
/ð
d `îÇë`\ & ( und _ `îÇë`\ &
(
©
Der gesuchte Winkel Y ist nun einfach die Differenz der Winkel _ und d. Man erhält die folgende
/ð
©
Zielfunktion: Y*2+ ³
`îÇë`\ &
( `îÇë`\ & (.
©
Für unsere Beispielswerte
° und i
° lautet die Zielfunktion:
©
Y*2+ ³
`îÇë`\ & ( `îÇë`\ & ( oder völlig gleichbedeutend:
Y*2+
³
©
`îÇë`\*2
/
+
â
`îÇë`\ & (.
©
â
Definitionsbereich der Zielfunktion:
Der Definitionsbereich ist ganz , denn der Arkustangens ist überall im Bereich der reellen Zahlen
definiert, daher auch die mit Subtraktionen zusammengesetzte Zielfunktion.
Wertebereich der Zielfunktion:
Hierfür gilt: ³
 Y*2+ ³
Â, denn der Wertebereich der Arkustangens-Funktion ist
É
`îÇë`\*2+
2
.
Die Zielfunktion Y*2+ ist überall beliebig oft differenzierbar. Auf einen Beweis hierfür wird an
dieser Stelle verzichtet. Er wird voraussichtlich später im Bereich Analysis 1 (WS 2011/2012) als
Übungsaufgabe vorgeführt. Hierfür wird nach Definition einfach nur die Existenz des
Differentialquotienten gezeigt.
É
Damit ist Y*2+ nach Satz (Differenzierbarkeit w Stetigkeit) auch im ganzen Definitionsbereich stetig.
Bildet man die Ableitung der Zielfunktion unter Voraussetzung, dass
`îÇë`\*2+
u€d *`îÇë`\*2++
2
©
Kettenregel) folgende Ableitungsfunktion:
í
í©
Y *2+
gilt, dann erhält man (u.a. nach Anwendung der
2
// dies werde ich nun noch ein bisschen vereinfachen
Y *2+
2
°
& (
2
2
°
°
*2
&
2
(
°
+
°+
°*2
*2
+*2
°+
// super, dieser Ausdruck sieht doch viel einfacher aus, oder?
Diese Ableitungsfunktion wird nun „nullgesetzt“, weil Y *2+ nach Satz („Notwendiges Kriterium“ für
Extremwerte) in ihrer Extremstelle eine waagerechte Tangente besitzen muss.
*2
+
°+
°*2
Y *2+
*2
+*2
°+
// nun wir mit dem Nenner multipliziert
*2
2*
2
2
2
+
°+
°*2
°+
°*
°+
° 4è†
† ° z 2 7 (Meter)
1 (Meter)
† °z
4 o*
°+ | Zusammenfassen!
Durch Kontrolle mit der 2. Ableitungsfunktion resultiert aufgrund eines bewiesenen Satzes (Zweites
„Hinreichendes Kriterium“ für Extremwerte), dass es sich bei dem Wert von 2 um ein lokales
Maximum handelt. Das kann der Leser/ die Leserin bei Interesse gerne nachrechnen, denn es ist eine
gute Wiederholungsaufgabe zum Bestimmen von Ableitungen. An dieser Stelle wird jedoch darauf
verzichtet. Bei 2 handelt es sich übrigens um ein lokales Minimum.
Hinweis: Es wurden hauptsächlich die bewiesenen Sätze 3.2.18, 3.2.17, 3.1.13, 3.1.8 sowie einige
Definitionen aus dem Werk „Grundkurs Analysis 1“ von K. Fritsche aufgegriffen.
Zum Schluss stelle ich den Graph unserer Zielfunktion Y*2+ noch einmal vor:
28.06.2011, 17:43 Uhr | Von Ulrich Pontes
Pi ist die vielleicht wichtigste Zahl in der Mathematik (Foto: imago)
Es klingt nach einem Angriff auf die Grundfesten der Mathematik: "Pi ist falsch", behauptet
der US-Physiker Michael Hartl. Er plädiert stattdessen für eine neue Kreiszahl Tau mit dem
doppelten Wert von Pi. Im Internet hat die Idee Tausende Fans - doch Mathematiker sind
skeptisch.
"No, really, pi is wrong!" Unter diesem Motto hat der heute im Internet-Business tätige Physiker
Michael Hartl vor gut einem Jahr sein "Tau-Manifest" ins Netz gestellt. Es gehe ihm um nichts
Geringeres als "eine der wichtigsten Zahlen der Mathematik, vielleicht die wichtigste", betont er gleich
zu Beginn: die Kreiszahl. Eine Konstante, welche die Eigenschaften der perfektesten aller
geometrischen Formen in einer einzigen Zahl erfasst. Eine Konstante, an der man nicht vorbeikommt,
wenn man Umfang oder Fläche eines Kreises ausrechnen möchte - oder einfach nur im
Mathematikunterricht von der Mittelstufe aufwärts bestehen.
Und nun soll also das, was man in diesem Unterricht gelernt hat, falsch sein? "Der Gedanke, dass so
eine grundlegende mathematische Konstante in irgendeiner Weise '
falsch'sein könnte, ist
erschreckend", sagt Michael Hartl. Zwar bekomme man durchaus korrekte Ergebnisse, wenn man mit
Pi rechne, dem Quotienten aus Umfang und Durchmesser eines Kreises. Pi sei aber eine "verwirrende
und unnatürliche Wahl für die Kreiskonstante".
Als bessere Alternative sieht Hartl den Quotienten aus Umfang und Radius. Schließlich tauche der
Radius schon in der Definition eines Kreises auf (Menge aller Punkte, die eine feste Distanz r von
einem gegebenen Punkt entfernt sind) und sei somit die grundlegende Größe. Seine auf diese Weise
umdefinierte Kreiskonstante bezeichnet Hartl mit dem griechischen Buchstaben Tau.
Aus den bekannten Formeln wird schnell klar: Tau ist exakt zweimal Pi, also 6,28... Eine Konstante
durch eine doppelt so große Konstante zu ersetzen, erscheint auf den ersten Blick kaum sinnvoll. Hartl
geht es dabei aber um eine bessere Logik und um Pädagogik. Der Sinn seines Vorschlags werde etwa
deutlich, wenn man Winkel betrachte, sagt er: "Im Bogenmaß kann man einen rechten Winkel, also
eine Vierteldrehung, mit dem Bruch Tau/4 angeben - oder mit Pi/2. Was ist einleuchtender?"
Auf Hartls Website findet sich auch der überschwängliche Dankesbrief eines anonymen Studenten, der
seiner kleinen, Mathematikunterricht-geplagten Schwester mittels Tau angeblich zum unverhofften
Erfolg in einer Trigonometrie-Klausur verhalf. Derartige Fälle kann sich freilich Rudolf vom Hofe von
der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik nicht so recht vorstellen: "Ich glaube nicht, dass durch
diese Verdopplung die entsprechenden Formeln plötzlich allen einleuchten", sagt der Bielefelder
Professor. Und überhaupt habe die Mathematik in der Schule genug echte Probleme. Auch seine
Klagenfurter Kollegin Edith Schneider sieht keine wirkliche Vereinfachung: An Pi führe derzeit
schließlich kein Weg vorbei. "Tau wäre doch nur wieder ein neues, zusätzliches Symbol, das ich mir
als Schüler dann auch noch merken soll."
Im Internet hat die Pi-Alternative bereits eine gewisse Popularität erlangt. Über 15.000 Facebook-Fans
verfügt das Tau-Manifest, ein Werbevideo dafür wurde gar über 450.000 Mal angeklickt.
Hartl trommelt inzwischen für den Tau-Tag als Konkurrenz-Event zum "Pi Day", der in der
englischsprachigen Welt angesichts der identischen Aussprache traditionell als "Pie Day" mit runden
Kuchen (pie) gefeiert wird. Pi-Tag ist der 14.3. (englische Schreibweise 3/14), Tau-Tag der 28.6.
(6/28). Mit Sprachwitz triumphiert laut Hartl der Tau Day, getreu der Formel Tau = 2 * Pi: "Tau Day
has twice as much pi(e)" (Am Tau-Tag gibt'
s doppelt so viel Kuchen).
Was die ernsthafte mathematische Substanz angeht, folgt Hartl dagegen weitgehend dem USMathematiker Bob Palais, der bereits 2001 einen Artikel namens "Pi is wrong" im Fachblatt "The
Mathematical Intelligencer" veröffentlichte. Und Palais listet auf seiner Website nicht nur amüsierte
und interessierte Reaktionen auf die Tau-Bewegung, sondern verweist auch auf Vorläufer: Schon im
19. und 20. Jahrhundert hatten einzelne Physiker und Mathematiker denselben Gedanken. Als erster
Tau-Nutzer gilt gar der bereits 1708 verstorbene schottische Mathematiker David Gregory.
Konsequenzen hätte eine Tau-Einführung übrigens auch für die Eulersche Identität, die als schönste
Formel der Welt gilt. Sie lautet ei*Pi + 1 = 0. Will man den Ausdruck Tau/2 vermeiden, dann lässt sich
die Formel mit einem anderen Vorzeichen retten:
ei*Tau - 1 = 0.
Die Schönheit der ursprünglichen Formel bleibt nahezu erhalten.
Bei deutschen Experten beißen die Tau-isten aber offenbar auf Granit. Einer, der ähnlich wie Hartl
Mathematik und deren tiefere Zusammenhänge möglichst einleuchtend präsentieren will, ist Albrecht
Beutelspacher. Er hat das Gießener Mathematikum gegründet - ein Museum, in dem das Abstrakte
sinnlich und spielerisch erfahrbar wird. Viel abgewinnen kann Beutelspacher der neuen Kreiszahl
nicht: "Dieses Tau ist doch nur eine andere Verkleidung, hinter der dieselbe Mathematik steckt."
Natürlich spreche mathematisch nichts gegen Tau, alles bleibe logisch konsistent, räumt der
Mathematikprofessor ein. "Aber genauso gut könnte man einen neuen Kalender einführen oder die
Winkel so umdefinieren, dass die Winkelsumme im Dreieck 100 statt 180 Grad beträgt."
Beutelspachers Botschaft: Man kann Zeit und Energie sinnvoller investieren, auch in Bezug auf Pi.
Von den "Geheimnissen der Kreiszahl" schwärmt er: Immer sei das Verhältnis Umfang zu
Durchmesser gleich, ob man nun einen Ehering oder einen Planeten zu berechnen habe. Außerdem sei
sie eine irrationale und transzendente Zahl. Diese Wunder der Mathematik "eröffnen sich einem kein
bisschen mehr, wenn man Tau statt Pi betrachtet".
Schlusswort: Zehn Dinge, mit denen Sie in der Klausur nicht durchkommen:
Achtung: Hier wird als Stilmittel der Sarkasmus verwendet. Diese 10 Dinge sind nur der Unterhaltung halber
beschrieben und sollen Ihr Verhalten nicht beeinflussen.
Geben Sie für eine Prüfungsfrage zwei Lösungen an
Wenn Sie sich nicht entscheiden können, welche von zwei Lösungen die richtige ist, schreiben Sie sie
beide hin, unterkringel Sie beide irgendwie und streichen Sie irgendwie halbherzig durch. Wenn eine
von Ihren beiden Lösungen richtig ist, wir der Dozent im Zweifel einen Punkt für Sie geben.
Schreiben Sie in Prüfungen unleserlich
Ermitteln Sie die Lösung auf Ihrem Taschenrechner und schreiben Sie Ihren „Lösungsweg“ dann so
schlampig, dass der Dozent ihn nicht lesen kann. Weil Sie die richtige Antwort haben, geht er davon
aus, dass Sie wussten, was Sie tun, und gibt Ihnen die volle Punktzahl.
Zeigen Sie Ihren Lösungsweg in der Prüfung nicht auf
Ermitteln Sie die Lösung auf Ihrem Taschenrechner und schreiben Sie unter die Aufgabe „Einfache
Aufgabenstellung – im Kopf gelöst“. Der Dozent wird Ihnen glauben.
Lösen Sie nicht alle Prüfungsaufgaben
Wer sagt, dass Sie alle Prüfungsaufgaben lösen müssen? Wenn eine Prüfung vier Seiten umfasst,
suchen Sie sich die Seite mit den schlimmsten Aufgaben, entfernen Sie, stecken Sie sie in die Tasche
und legen Sie die anderen Seiten sorgfältig wieder zusammen. Ihr Dozent wir denken, die Seite sei
beim Kopieren verloren gegangen. Wenn Sie später den „fehlenden Teil“ der Prüfung vervollständigen
und alle Aufgaben perfekt beherrschen, wir Ihr Dozent keinen Verdacht schöpfen.
Machen Sie Ihre Lerngruppe für Ihre schlechten Noten verantwortlich
Sagen Sie Ihrem Dozenten, dass Ihre Lerngruppe Ihnen alles falsch erklärt hat, dass es also nicht Ihr
Fehler war. Ihr Dozent wird die Prüfung wiederholen lassen.
Sagen Sie Ihrem Dozenten, dass Sie eine gute Note in Analysis 1 brauchen, um Ihre
Flamme zu beeindrucken.
Ihr Dozent ist letztendlich ein Romantiker – und erinnert sich sicher an seine Schultage, als er gut in
Analysis 1 und damit Liebling aller Frauen war – und gibt Ihnen eine 1,0.
Beschweren Sie sich, dass Prüfungen am frühen Morgen nicht fair sind, weil Sie
ein Morgenmuffel sind
Erklären Sie, dass Sie im Frühaufstehen einen persönlichen Angriff sehen. Ihr Dozent erlaubt Ihnen,
alle Prüfungen nachmittags zu schreiben, und vertraut Ihnen, dass Sie in der Zwischenzeit nicht mit
ihren Freunden sprechen, die die Prüfung schon vormittags abgelegt haben.
Stellen Sie das gesamte Notensystem in Frage
Verklagen Sie Dozenten, die annehmen, sie hätten das Recht, Ihnen eine Note zu geben. Wer sind sie,
dass sie glauben, Sie beurteilen zu können? Treten Sie als engagierter Notengegner auf. Argumentieren
Sie, dass Noten eine ungerechte Bewertung von Talent und Intelligenz darstellen – und dass das
gesamte System menschenfeindlich ist. Ihr Dozent wird von Ihren philosophischen Abhandlungen
beeindruckt sein und lässt Sie alle Prüfungen bestehen.
Lösen Sie während der Prüfung den Feueralarm aus
Das ist nun wirklich ein bisschen kindisch – im Gegensatz zu den vorherigen Tipps, natürlich.
Verwenden Sie diese Klausurübersicht als Entschuldigung
Wenn Sie keine der obigen Ausreden anbringen können, sagen Sie Ihrem Dozenten, dass Sie meinten,
es stimmt, weil Sie es in einem Buch gelesen haben. Ihr Dozent wird Ihnen sicher glauben.
Anhang (Literatur und Quellverzeichnis):
Hinweise: Der Doppelstrich // steht für eine Kommentarzeile. Tipp- und Rechtschreibfehler können trotz mehrfacher
Kontrolle nicht hundertprozentig vermieden werden. Keine Gewährleistung für eventuelle Fehler und deren mögliche
Folgen! Die selbst erstellte Übersicht orientiert sich an die Syntax sowie Konventionsvorgaben der Vorlesung. Es wurden
zahlreiche inhaltliche Aspekte der Vorlesung und der folgenden Werke teilweise nahezu 1 : 1 übernommen oder
überarbeitet und ergänzt. Zur Bearbeitung wurde u.a. folgende Literatur verwendet:
- R. E. Bradley und C. E. Sandifer „Cauchy’s Cours d’analyse“ – An annotated translation [engl.]
- Michael Spivak „Calculus“ [engl.]
- Blitzer „Thinking Mathematically“ [engl.]
- F. Bornemann „Konkrete Analysis“
- H. Stöcker „Analysis für Ingenieurstudenten Band 1“
- Winfried Kaballo „Einführung in die Analysis I“
- H. Malle „Handbuch Mathematik“
- T. Bröcker „Analysis 1“
- Morgan „Real Analysis“ [engl.]
- H. Junek „Analysis“
- Fritsche „Analysis 1“
- Modler/Kreh „Tutorium Analysis 1 und Lineare Algebra 1“
- Walter „Analysis 1“
- Königsberger „Analysis 1“
-W. Poguntke/ R. Wille „Testfragen zur Analysis 1“
- Peter Dörsam „Mathematik in den Wirtschaftswissenschaften“ (Übungsbuch und Textbuch)
- J. Apell „Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen“
- Hildebrandt „Analysis 1“
- Vladimir A. Zorich „Analysis 1“
- Jänich „Mathematik 1“
- Stoer „Numerische Mathematik 1“
- G. Walz, F. Zeilfelder, Th. Rießinger „Brückenkurs Mathematik“
- Wolter Dahn „Analysis Individuell“
- Hans-Jörg Reiffen/ Heinz Wilhelm Trapp „Einführung in die Analysis I“ und „Einführung in die Analysis II“
- Blatter „Analysis I“ und „Analysis 2“
- Schröder „Wege zur Analysis“
- H. Amann und J. Escher „Analysis I“ und „Analysis 2“
- Forster „Analysis 1“ und „Übungsbuch zur Analysis 1“
- Behrends „Analysis Band 1“ und „Analysis Band 2“
- Rolf Walter „Einführung in die Analysis 1“
- Varga „Mathematische Logik für Anfänger: Aussagenlogik“
- G. Fanghänel, H. Vockenberg „Arbeiten mit Mengen“
-M. Wohlgemuth „Mathematisch für Anfänger“
- Hairer, Wanner „Analysis in historischer Entwicklung“
- Schäfer, Georgi, Trippler „Mathematik Vorkurs“
- H. Neunzert „Analysis 1“
- Matthias Plaue und Mike Scherfner „Mathematik für das Bachlorstudium I“
- Harald Scheid und Wolfgang Schwarz „Elemente der Linearen Algebra und der Analysis“
- Mark Ryan „Analysis für Dummies“
– Heinz Partoll und Irmgard Wagner „Mathe macchiato Analysis“
- Martin Barner und Friedrich Flohr „Analysis 1“
- Harro Heuser „Lehrbuch der Analysis Teil 1“
- T.Arens, F. Hettlich. Karpfinger, U. Kockelkorn, K. Lichtenegger, H. Stachel „Mathematik“ (1496 S.) und „Arbeitsbuch
Mathematik“ …
- Weber/ Zillmer TCP „Mathematik“
- Kusch „Mathematik 1“, „Mathematik 2“, „Mathematik 3“ und „Mathematik 4“ (jeweils zzgl. Lösungsbücher)
- C. Drösser „Der Mathematik-Verführer“
- N. Hermann „Mathematik ist überall“
- F.Ayres und E. Mendelson „Differential- und Integralrechnung“
- Schmidt „Mathematik“
- Führer „Kompakt Training Wirtschaftsmathematik“
- H. Rommelfanger „Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“
- J. Tietze „Einführung in die angewandte Wirtschaftsmathematik“ und „Übungsbuch zur angewandten
Wirtschaftsmathematik“
- E. Salomon und W. Poguntke „Wirtschaftsmathematik“
- K. Sydsaeter und P. Hammond „Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“
- Hans M. Dietz „ECOMath 1 – Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“
- Mark Zegarelli: „Analysis II für Dummies“
- C. Mayer, S. Jensen und S. Bort „Wirtschaftsmathematik für Dummies“
- Prof. Dr. W. Fieger und AR W. Hummel „Mathematik 1“
- Schwarze „Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“ Band 1bis5 + Übungsbuch
- Leydold „Mathematik für Ökonomen“
- Ohse „Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler“ Band 1
- u.v.m.
- Sowie zahlreiche (online verfügbare) Skripte
Weiterhin wurden zur Recherche ebenfalls im Internet einige Begriffe gegoogelt.
Die Graphiken wurden Größenteils selber erstellt. Ausnahmen sind hierbei die folgenden Graphiken:
Schaubild S. 40 (wurde aus „Analysis“ 1. Auflage (1998) von Seite 116 entnommen)
Bild S. 65 (wurde der Homepage www.werder.de entnommen)
S. 143 (Das Bild wurde dem Netzwerk Facebook entnommen)
S. 144 (Das Frauenbild in der von mir zusammengeschnittenen Graphik wurde ebenfalls von Facebook entnommen)
S.146-147 (Der Artikel wurde mit der Graphik vollständig der Internetseite www.t-online.de entnommen)
Softwareverwendung:
Auf meinen 7 aktiven Computern wurde das Betriebssystem Microsoft Windows XP verwendet. Desweiteren wurde diese
Datei mit Word 07 (aus Microsoft Office 2007) sowie unterstützend mit allen verfügbaren Anwendungen, wie u. a. den
Formeleditor, erstellt. Es wurde mit Franzis Mathematik Klasse 12/13 gearbeitet, u. a. zum Erstellen der Funktionsgraphen
und zum Integrieren und Differenzieren.
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Verfasser der Datei: Matthias Rehder
Kontakt: [email protected] oder Mobil (in Notfällen): 01627794935
www.mathematikwelt.com
www.werdermathematik.npage.de
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