Das Skalarprodukt (2) - minus-p

Skalarprodukt (2)
Winkel zwischen 2 Vektoren
→ →
→
Satz: Für zwei Vektoren mit →
a ! o und b ! o gilt:
→→
cos Œ a , b =
→→
a)b
→ →
a b
.
Aufgabe 1: Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen den beiden Vektoren.
cos ✏ =
3
8 )
0
1
1
1
9 + 64 $ 1 + 1 + 1
=
3+8 =
73 $ 3
11
= 0, 7433
73 $ 3
✏ l 41, 99 o
Aufgabe 2: Gesucht ist der Schnittwinkel zwischen den beiden Vektoren.
cos ✏ =
3
8 )
0
1
1
1
9 + 64 $ 1 + 1 + 1
=
3+8 =
73 $ 3
11
= 0, 7433
73 $ 3
✏ l 41, 99 o
Aufgabe 3:
Ermitteln Sie, für welchen Wert von a der Winkel zwischen beiden Vektoren minimal
wird.
cos ✏ =
=
2
1
3
)
1
0
a
14 $ 1 + a 2
2 + 3a
14 $ 1 + a 2
✏ = arccos
2 + 3a
14 $ 1 + a 2
✏(a ) = arccos
2 + 3a
14 $ 1 + a 2
GRPH − Modus : Min
a = 1, 5
✏ = 15, 5 o
Skalarprodukt (2)
Aufgabe 4:
Gegeben ist die Ebene E mit der Gleichung E : 2x − 3y + 6z = 30.
Die Gerade g verläuft senkrecht zur Ebene E durch den Punkt P(1 x −8 x 0 ).
Die Gerade h verläuft parallel zur Ebene E mit einem Abstand von 14 LE.
Bestimmen Sie die Geradengleichungen der Geraden g und h.
Die Gleichung der Geraden g setzt sich aus dem Ortsvektor des Punkte P und dem
Normalenvektor der Ebene E zusammen.
→
g: x =
1
−8 + t $
0
2
−3
6
Für die Gleichung der Geraden h benötigt man zunächst einen Richtungsvektor, der
senkrecht zum Normalenvektor verläuft.
x
y $
z
2
−3
6
=0
2x − 3y + 6z = 0
Man muss also Zahlen x, y und z suchen, die diese Gleichung erfüllen.
2x − 3y + 6z = 0
z.B. :
x=0
y=2
z=1
→ →
h : x = OQ + t $
0
2
1
Jetzt muss man noch einen Punkt Q finden, der 14 LE von der Ebene entfernt ist.
Dazu bestimmt man zunächst die Länge des Normalenvektors.
2
−3
6
= 49 = 7
Jetzt kann man Q finden, aber wie?
→
OQ =
15
2
0 + 2 $ −3
0
6
=
19
−6
12
Skalarprodukt (2)
Also lautet die Geradengleichung wie folgt:
19
0
−6 + t $ 2
12
1
→
h: x =
Auftrag:
Auftrag: Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC.
A(1 x 1 x 0 ) ; B(5 x 8 x 2 ) ; C(2 x 6 x 4 )
Achten Sie darauf, dass beide Vektoren vom Punkt weg oder zum Punkt hin zeigen.
Berechnen Sie auch den Flächeninhalt.
Geben Sie die Geradengleichung der Höhe von a an.

→
AB =

→
BC =

→
AC =
−4
−7
−2
4

→
7 ; BA =
2
cos ✍ =
−3
−2 ; ...
2
=
cos ✏ =
)
−1
−5
−4
17 $ 42
cos ✎ =
=
−5
17 $ 42
✏ l 100, 8 o
4
7 %
2
)
69 $ 42
47
69 $ 42
=
−4
−7
−2
1
5
4
=
18
−14
13
→
n = 324 + 196 + 169 = 689
A = 1 689 = 13, 12FE
2
)
−3
−2
2
69 $ 17
22
69 $ 17
✎ l 50, 0 o
Flächeninhalt:
→
n =
1
5
4
✍ l 29, 2 o
1
5 ; ...
4
3
2
−2
4
7
2