AB∣ .

Aufgabe 1
Gegeben sind die Koordinaten der Punkte A = (-1 / 1) und B = (3 / - 2).
AB sowie dessen Betrag ∣⃗
AB∣ .
a) Bestimmen Sie den Vektor ⃗
b) Bestimmen Sie die Mittelsenkrechte zwischen A und B in der Form ⃗
OX =⃗
OP+⋅ t ⃗
PQ .
⃗
∣⃗
Lösung:
a)
AB= 4
AB∣=5
−3
( )
()
⃗
OX =⃗
OM +⋅ t⋅⃗n =
M AB=(1 /−0.5)
c)
1
3
1 +t⋅
−2
4
()
alternative über Abstände
2
2
2
2
(x+1) +( y−1) =( x – 3) +( y +2)
2
2
2
2
x +2 x+1+ y −2 y+1= x −6 x+9+ y +4 y+4
8 x−11=6 y
y= 34 x− 11
6
x=1 ⇒ y=− 12
Aufgabe 2
Längen und Winkel im Dreieck mit dem Skalarprodukt Berechne die Seitenlängen, die Innenwinkel
und den Flächeninhalt des Dreieckes ABC mit Hilfe des Skalarproduktes.
A(2∣3∣0), B(−1∣10∣−4) und C(−2∣0∣7)
−3
−1
4
−4
⃗
⃗
⃗
⃗
AB= 7
BC = −10
CA= 3
AC = −3
Lösung:
−4
11
−7
7
()
( )
AB=√ 74
()
BC =√ 222=√3⋅√ 74
Gleichschenklig :β=γ=30 °
⃗
AB⋅⃗
AC =∣⃗
AB∣⋅∣⃗
AC∣⋅cos α
()
CA= √ 74
2 halbe gleichseitige Dreiecke
−37=√ 74⋅√ 74 cos α
−0.5=cos α⇒ α=120 °
A= 12 c⋅b sin α= 12 √74⋅√74⋅sin 120 °=37⋅sin 120 °=32.0429399=32.04
Aufgabe 3
Gegeben sind die folgende Vektoren:
a) Bestimmen Sie die Komponenten von:
6 ⃗u +2 ⃗
w
i) ⃗u – ⃗v
ii)
b) Bestimmen Sie den Vektor ⃗x
Test.BGB13.Vektoren.2016
() ()
4
⃗v = 0
−8
−3
⃗u = 1
2
iii) −⃗v +⃗u
w ) – (8 ⃗
w +⃗v )
iv) (2 ⃗u −7 ⃗
w
mit 2 ⃗u −⃗v +⃗x =7 ⃗x+⃗
1
()
6
w = −1
⃗
−4
Lösung:
()
−7
ai) u⃗ −⃗v = 1
10
()
()
−6
w= 4
aii) 6 u⃗ +2 ⃗
4
−7
aiii) −u⃗ +u⃗ = 1
10
( )
( )
aiv)
(2⋅⃗u−7⋅⃗
w )−(8⋅⃗
w +⃗v )=2 ⃗u−⃗v −15 ⃗
w=
b)
6 ⃗x =2⋅⃗u – ⃗v – ⃗
w ⇒ ⃗x = 6⋅[2⋅⃗u – ⃗v – ⃗
w ]= 6
1
1
−100
17
72
−16
3
16
Aufgabe 4
Berechnen Sie den Schwerpunkt und die Länge der Schwerlinie sa des Dreiecks
A(−1/3/7) , B(−5/4 /3) , C (6 /−4 /−4) .
Lösung:
M BC =(0.5/0/−0.5)
( )
()
S (0 /1 /2)
1.5
s a= −3
⃗
−7.5
s a=1.5 √1+2 2+52=1.5 √ 30
1
⃗
AS = −2
−5
AS =√ 30
s a=1.5 √ 30=8.2158=8.21
Aufgabe 5
Welche Punkte auf der y-Achse haben vom Punkt
A(12 /12 /−6) doppelte Entfernung wie vom
Punkt B(6 /15 /3) ?
Lösung: ∣⃗
YA∣=2⋅⃗
YB
Beträge im Quadrat
2
2
2
2
2
2
(0−12) +( y−12) +(0+6) =4[(0−6) +( y−15) +(0−3) ]
144+ y 2−24 y+144+36=4⋅[36+ y 2−30 y+225+9]
y 2−24 y+324=4 [ y 2−30 y+270]
0=3 y 2 – 96 y +756
Test.BGB13.Vektoren.2016
0= y 2−32 y+252
2
0=( y−14)( y−18)
also : y 1=18 und y 2=14
Kreis(Kugel) des Apollonios
Innen: (8/14/0)
Aussen:
(0/18/12)
M(4/16/6)
r 2=16+4+36=56
Kugelgleichung: (x−4)2+( y−16)2+(z−6)2 =56
z=0
16+( y−16)2+36=56
( y−16)2=4 ⇒ y 1=18 und y 2=14
Aufgabe 6
Eine Gerade geht durch P (4 ; 5 ;−1) und Q(−7 ; 8 ;−9) . Bestimmen Sie den Durchstosspunkt
R mit der Ebene E : x+3 y−2 z=7
Lösung:
()( )
4
−11
⃗
OX = ⃗
OP+⋅ t⋅⃗
PQ = 5 +t⋅ 3
−1
−8
4−11 t+15+9 t+2+16 t=7 ⇒14 t=−14⇒ t=−1
Kontrolle:
D(15/ 2/7)
15+6−14=7 korrekt
Aufgabe 7
Gegeben sind die zwei Punkte A( 2/0/6) , B(3 /5 /2) .
Bestimme die Koordinaten des Durchstosspunktes D der Geraden
AB mit der xy-Ebene.
Lösung:
() ( )
2
1
⃗
OX = ⃗
OA+⋅ t⋅⃗
AB= 0 +t⋅ 5
6
−4
z=0⇒ 0=6 – 4t ⇒ t=1.5
D(3.5 /7.5 /0)
Aufgabe 8
Die Punkte A(0/0/4), B(5/0/0) und C(0/4/0) legen eine Ebene E fest.
a) Bestimmen Sie eine mögliche Parametergleichung und eine mögliche Koordinatengleichung der
Ebene.
b) Welchen Abstand hat die Ebene vom Ursprung?
Lösung:
x y z
+ + −1=0
4 x+5 y +5 z−20=0
a)
i)
5 4 4
Test.BGB13.Vektoren.2016
3
ii)
b)
() ( ) ( )
0
5
0
⃗
OX = ⃗
OA+⋅ t⋅⃗
AB+⋅ s⋅⃗
AB= 0 +t⋅ 0 +s⋅ 4
4
−4
−4
d=
20
=2.4618298195866546546848132025049
√ 66
()
4
⃗
OX =⋅ t⋅⃗n =t⋅ 5
5
Schnittpunkt:
S(
16 t+25 t+25 t−20=0
t=
20
66
80 100 100 ∣⃗∣
/
/
)⇒ OS =2.46182
66 66 66
Aufgabe 9
⃗b=⃗
Es gilt:
AB , ⃗c =⃗
d =⃗
AD
AC , ⃗
M ist der Mittelpunkt der Strecke CD und S
ist der Schwerpunkt des Dreiecks ABD
SM als
Stellen Sie den Vektor ⃗
Linearkombination von ⃗b , ⃗c und ⃗
d dar.
Lösung:
1
⃗
AM = 2 (⃗c + ⃗
d)
1 ⃗ ⃗ ⃗
⃗
AS = 3 ( b+
d +0)
⃗
AM – ⃗
AS= 12 (⃗c +⃗
d ) – 13 ( ⃗b+⃗
d )= 12 ⃗c + 16 ⃗
d – 13 ⃗b
Aufgabe 10
Die Punkte A(8 / 0 / 0) , B(8 /12 / 0), C (0 /12 /
0), D(0 / 0 / 0), E (0 / 0 / 6), F (0 /12 / 6) bilden
ein dreiseitiges gerades Prisma. Der Punkt M ist
der Diagonalenschnittpunkt des Rechtecks
ABCD.
a) Berechnen Sie das Volumen des Prismas
ABCDEF.
b) Berechnen Sie den Betrag der Vektoren
⃗
ME und ⃗
MF sowie den Winkel, den die
beiden Vektoren einschliessen.
c) Der Punkt P liegt exakt in der Mitte zwischen den Punkte M und E. Geben Sie eine
Parametergleichung der Geraden g:FP an(Gerade durch die Punkte F und P). Bestimmen Sie zudem
Test.BGB13.Vektoren.2016
4
den Durchstosspunkt der Geraden g mit der x-z-Ebene.
d) Die Punkte A, C, und P legen die Ebene ε fest. Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene ε
an.
DA=8
DE =6
DC =12
Lösung:
a)
VolumenV =½ 8⋅6⋅12=288
b)
M =(4 /6 /0)
()
()
−4
⃗
ME= −6
6
−4
⃗
MF = 6
6
16= √ 88⋅√ 88⋅cos α⇒ α=79.524318303610099=79.52°
c)
P (2 /3 /3) ,
y=0 ⇒ t=
d)
F ( 0/12/6)
4
3
8
S y ( 3 /0 /2)
8 a+0 b+0 c=1⇒ a= 18
1
0 a+12 b+0 c=1 ⇒b= 12
1
2⋅18 +3⋅12
+3 c=1⇒ c= 16
1
8
1
x+ 12
y+ 16 z=1
3 x+2 y+4 z=24
Test.BGB13.Vektoren.2016
() ()
0
2
g (FP ):OX = 12 +t⋅ −9
6
−3
5