Übung 2
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MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften HS2016 Dr. C. Luchsinger Übungsblatt 2 Abgabe: Mittwoch, 05.10.2016, vor der Vorlesung. MUST Aufgabe 1 1 2 → − − Gegeben seien die Vektoren → a = 1 und b = −1. 1 −1 a) Bestimmen Sie → − • 3· b → − •|b| − • 2·→ a − • |→ a| → − − • 4→ a +3 b → − − a · b •→ → − − • 3→ a −2 b → − − a × b •→ → − → − − − − b) Zeichnen Sie symbolisch → a + b und → a − b . Das heisst, Sie können für → a und → − b zwei beliebige Vektoren zeichnen, die aber nicht parallel sind! STANDARD Aufgabe 2 (6 Punkte) Ein Zelt hat eine rechteckige Grundfläche ABCD gemäss folgendem Bild. Die Ecken E und F befinden sich jeweils über der Mitte der jeweiligen Grundstrecken auf der gleichen Höhe h. M E F D C A B −−→ −−→ M liegt in der Mitte der Strecke EF. Ferner seien die Vektoren ~a = M A, ~b = M B, −−→ und ~c = M C gegeben. 1 MAT 182: Analysis für die Naturwissenschaften HS2016 Dr. C. Luchsinger −→ −−→ a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Vektoren AB und BC. Drücken Sie diese durch die → − − −c aus. Vektoren → a , b und → b) (2 Punkte) M’ ist der Schnittpunkt der Diagonalen AC und BD. −−→ −−−→ Bestimmen Sie AM 0 und M M 0 . −→ c) (1 Punkt) Bestimmen Sie den Vektor AF . −−→ d) (1 Punkt) Bestimmen Sie den Vektor BE. Aufgabe 3 (5 Punkte) Wir betrachten das gleiche Bild wie in Aufgabe 2. Es sind die Koordinaten der Punkte A(4/0/0), B(4/6/0), C(0/6/0) und M(2/3/6) gegeben. a) (1 Punkt) Bestimmen Sie die Parametergleichung der Ebene BCM. b) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene BCM. c) (1 Punkt) Bestimmen Sie die Parametergleichung der Geraden AF. d) (1 Punkt) Bestimmen Sie den Durchstosspunkt der Geraden AF mit der Ebene BCM. Aufgabe 4 (5 Punkte) a) (1 Punkt) Zeigen Sie anhand des rechtwinkligen Dreiecks und mit dem Satz des Pythagoras, dass sin2 (α) + cos2 (α) = 1 ist. b) (2 Punkte) Zeigen Sie, dass • 1 + tan2 (x) = 1 cos2 (x) • 1 + cot2 (x) = 1 sin (x) 2 ist. c) (2 Punkte) Es gilt: sin(2α) = 2 sin(α) cos(α) und cos(2α) = 2 cos2 (α) − 1 = 1 − 2 sin2 (α) . Beweisen Sie die Identitäten: sin2 (x) • =1 0.5(1 − cos(2x)) sin(2x) = tan(x) • 1 + cos(2x) 2 HONOURS Aufgabe 5 (4 Punkte) Die Schwerlinien eines Dreiecks teilen sich im Verhältnis 2:1. Beweisen Sie dies. Gehen Sie wie folgt vor: • (1 Punkt) Zeichnen Sie ein Dreieck ABC. Sie benötigen nur zwei Vektoren, z.B. −→ −→ AB = ~c und AC = ~b Zeichnen Sie zwei Schwerlinien (Verbindung eines Eckpunktes mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite) Im Schnittpunkt beider Schwerlinien liegt der Schwerpunkt S. • (3 Punkte) Betrachten Sie nun zum Beispiel das Dreieck ASC und stellen Sie −→ −→ −→ die Vektorgleichung AS = AC + CS auf. 3
