Übung 2 - IWR Heidelberg

Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2017
Prof. Andreas Dreuw, Manuel Hodecker, Adrian Dempwolff
Ausgabe:
Abgabe:
Übungsblatt 2
1
2
3
4
5
Do 27.04.2017
Fr 05.05.2017 10:00
Σ
/ 24 P
Beachten Sie.
• Auf den Übungszetteln ist die Länge eines Vektors ~a bezeichnet als k~ak.
Aufgabe 2.1 (6 P). Gegeben seien die drei Vektoren




1
2
~b =  −2  ,
~a =  2  ,
−2
1


−4
~c =  3 
0
in R3 . Bestimmen Sie
(a) die Längen von ~a, ~b und ~c
(1 P)
(b) den Winkel zwischen ~a und der x-Achse
(1 P)
(c) den (vektoriellen) Anteil von ~a in Richtung ~b
(1.5 P)
(d) die Kreuzprodukte ~a × ~b und ~b × ~a
(e) die Spatprodukte ~a · ~b × ~c und ~c · ~a × ~b
(1 P)
(1.5 P)
Aufgabe 2.2 (3 P). Gegeben seien zwei Vektoren ~a und ~b eines Vektorraums V . Zeigen Sie,
dass gilt
~a × ~b2 = k~ak2 ~b2 − ~a · ~b2
Aufgabe 2.3 (2 P). Gegeben sei das Dreieck in R3 mit den Eckpunkten
A = (2, 1, 3)
B = (4, 5, 1)
C = (2, −2, 5)
Bestimmen Sie die Fläche des Dreiecks mittels eines der Ihnen bekannten Vektorprodukte.
Aufgabe 2.4 (6 P). Gegeben seien die drei Vektoren




2
−1
~b =  1 
~a =  −1 
1
2


3
~c =  α 
4
Bestimmen Sie alle α ∈ R so, dass die Vektoren linear unabhängig sind.
1
Aufgabe 2.5 (7 P). Seien ~a, ~b, ~c ∈ R3 .
(a) Zeigen Sie, dass für das Spatprodukt die Permutationsregeln
~a · (~b × ~c) = ~b · (~c × ~a) = ~c · (~a × ~b)
gelten. Setzen Sie dazu die Vektoren in Koordinaten




a1
b1
~b =  b2 
~a =  a2 
a3
b3


c1
~c =  c2 
c3
in die obigen Ausdrücke ein und rechnen nach, dass sie identisch sind.
(4 P)
(b) Zeigen Sie damit, dass ~a · ~b × ~c = 0, wenn sich ~a als Linearkombination ~a = µ ~b + ν ~c
mit µ, ν ∈ R darstellen lässt.
(3 P)
2