Algebra für Informatiker, 1.3bungsblatt 1. (schriftliche Abgabe)

Algebra für Informatiker, 1.Übungsblatt
1. (schriftliche Abgabe) Zeigen Sie für Vektoren u; v; w ( in der Ebene oder im Raum)
und reelle Zahlen ; :
a. ( + ) u = u + u
b. k uk = j j : kuk
c. u (v + w) = u v + u w
2. Gegeben seien die Punkte P = (2; 3; 2) ; Q = (7; 4; 1) :
a. Bestimmen Sie den Mittelpunkt der Strecke P Q:
b. Bestimmen Sie denjenigen Punkt auf der Strecke P Q; der von P dreimal weiter
entfernt ist als von Q:
3. Zeigen Sie: Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebigen Vierecks sind Eckpunkte eines
Parallelogramms.
4. (schriftliche Abgabe) Zeigen Sie: In einem Parallelogramm ist die Summe der Diagonalenquadrate gleich der Summe der vier Seitenquadrate.
5. Beweisen Sie für den von den Vektoren u 6= 0; v 6= 0 eingeschlossenen Winkel
a.
ist spitz, genau dann wenn u v > 0 gilt
b.
ist stumpf, genau dann wenn u v < 0 gilt
6. Man beweise die Gleichung ku + vk2 + ku
:
vk2 = 2 kuk2 + 2 kvk2
7. Zeigen Sie für Vektoren v; w1 ; w2 in der Ebene oder im Raum:
Aus v ? w1 und v ? w2 folgt v ? ( 1 w1 +
2 w2 )
für alle reellen Zahlen
1;
2:
8. Beweisen Sie für Vektoren u; v; w im R3 :
a. u
v=
(v
u)
b. u (v + w) = u v + u w; (u + v)
2.Teil schnell aus Teil 1 erhalten?
1
w=u
w+v
w: Wie kann man diesen