Füllen einer Lücke aus der 5. Klasse: Winkelsymmetralen
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Klasse: 7B(G) Mathematik Schuljahr 2007/08 Dr. Robert Resel Füllen einer Lücke aus der 5. Klasse: Winkelsymmetralen mittels Vektoren In Kürze werden wir im Zuge der Beantwortung der Frage "Wie ermittelt man an eine Ellipse in einem ihrer Punkte die Tangente?" (vgl. zweites Blatt zur Ellipse mit dem Lückentext!) rechnerisch Winkelsymmetralengleichungen aufzustellen haben. Um dies erfolgreich bewältigen zu können, schließt nun folgender Einschub an: Es soll die Winkelsymmetrale des Winkels α = ∠CAB rechnerisch ermittelt werden, wozu wir einfach einen Richtungsvektor von wα aufstellen, was sich durch folgende Idee umsetzen läßt: Da die Vektoren AB und AC im Allgemeinen nicht betragsgleich sind, spannen sie demnach keine Raute, sondern "nur" ein gewöhnliches Parallelogramm auf. Da die Diagonalen eines Parallelogramms aber nicht die Winkel zwischen den entsprechenden Seiten halbieren, kommen wir so nicht weiter. Wir benötigen eine Raute, da dort genau diese Eigenschaft sehr wohl gilt! [Warum eigentlich? Schlage in einem Unterstufenbuch nach und rechne durchaus damit, in (einer) der nächsten Mathematikstunde(n) darauf angesprochen zu werden!] D.h. die Vektoren AB und AC müssen derart kollinear verformt werden, dass sie hernach betragsgleich sind. Wie dies zu bewerkstelligen ist, legt aber wohl der Hausverstand nahe … … deshalb dazu einfach ein … … BEISPIEL. Stelle eine Gleichung der Winkelsymmetrale wα im Dreieck ∆ABC[A(0|0), B(12|5), C(204|253)] auf. LÖSUNG. 12 204 sowie AC = . Wie du selbst nachrechnen kannst, ergibt 5 253 204 = 325 . Eine nahe liegende (und gar immer zielführende, sich daraus AB = 13 sowie AC = 253 Es gilt einfacherweise AB = aber manchmal mitunter etwas umständliche!) Methode, die beiden Vektoren auf den gleichen Betrag zu bringen, wird wiederum dem Hausverstand überlassen, da wir hier wegen der Teilbarkeitseigenschaft 13|325 (weil 325=25 13) durch Multiplikation von AB mit 25 bereits das Gewünschte erhalten. Beachten wir jetzt noch nebenstehende Skizze, so erhalten wir schließlich via 12 204 w α = 25 ⋅ + 5 253 300 204 504 + = = 125 253 378 56 8 4 42 6 3 bereits einen Richtungsvektor von wα! Abschließend noch eine gute Nachricht: Das war alles und genau so einfach wie es "klingt" ist es auch!
