1 Rechnen mit komplexen Zahlen 2 Aus der Elektrotechnik

Stephan Peter
Wirtschaftsingenieurwesen WS 15/16
Mathematik
Serie 9
Komplexe Zahlen
Wenn ein Mathematiker ein Fantasy-Buch schreibt - wären die Seitenzahlen dann imaginäre Zahlen?
1 Rechnen mit komplexen Zahlen
Aufgabe 1
u z
Es sei u = 3 − 4j und z = −5 + 12j; berechnen Sie u + z, u − z, u · z, , .
z u
Aufgabe 2
Für w = 3 − 2j und z = 7 + 5j berechne man
a∗ ) 3w − z
b∗ ) wz
c∗ )
w
z
d∗ )
w+z
z
c∗ )
z1 · z2
z3
Aufgabe 3
Es seien z1 = 4, z2 = −j und z3 = 2 + 3j. Berechnen Sie
b∗ ) z1 + z2 + z3
a∗ ) z1 (z2 − z3 ) + z2
Aufgabe 4
Geben Sie die Lage folgender komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene an:
√
π
b) | arg(z)| ≤
c) |z − 2j − 1| = 2
a) |z| = 2
4
d∗ ) Im(z) = Re(z) e∗ ) z · z = 9
f∗ ) z + z = −8
z
g∗ ) = 1
h∗ ) |z − 2| ≤ |z + 4| i∗ ) |z + 2 − j| ≥ 2
z
j∗ ) |z| < 5
k∗ ) 2 ≤ |z| ≤ 6
l∗ ) (0 ≤ Re(z) ≤ 2) ∩ (2 ≤ Im(z) ≤ 4)
Aufgabe 5
Machen Sie sich geometrisch die folgenden Sachverhalte plausibel!
1. Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit j bedeutet eine Drehung um +90◦ .
2. Die Division einer komplexen Zahl z durch j bedeutet eine Drehung um −90◦ .
3. Die Multiplikation einer komplexen Zahl z mit einer komplexen Zahl w bedeutet
eine Streckung (Stauchung) ihres Betrages um den Faktor |w| und eine anschließende
Drehung um den Winkel arg(w) in mathematisch positiver Richtung.
2 Aus der Elektrotechnik
Aufgabe 6
Es sollen Betrag und Argument des komplexen Widerstandes Z aus
1
1
= jωC +
Z
R + jωL
1
berechnet werden!
Aufgabe 7
Man berechne den (reellen) Scheinwiderstand Z = |Z| sowie (mit dem Ohmschen Gesetz)
Betrag und Phasenwinkel der komplexen Stromstärke I, wenn folgende Größen gegeben
sind:
R = Re(Z) = 12Ω (Wirkwiderstand)
X = Im(Z) =
5Ω (Blindwiderstand)
jπ
U = 220 exp
.
6
Aufgabe 8
Der Leitwert einer Schaltung sei
Y =
1
1
+
RL + jωL RC +
1
jωC
.
Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von Y !
Aufgabe 9
Die Berechnungen im Wechselstromkreis führt man zweckmäßigerweise symbolisch unter
Verwendung komplexer Zahlen durch. Der ohmsche Widerstand hat nur einen Realanteil
R, während der induktive und der kapazitive Widerstand nur einen Imaginärteil jωL
1
bzw.
haben. Ein komplexer Widerstand hat die Form Z = R + jX, wobei R den
jωC
Wirkwiderstand und X den Blindwiderstand darstellen. Der resultierende komplexe
Widerstand ergibt sich in einer
Reihenschaltung als Z = Z 1 + Z 2 ,
1
1
1
und in einer Parallelschaltung als
=
+
.
Z
Z1 Z2
Eine angelegte Wechselspannung U (t) = U0 · sin (ωt + ϕ) mit einem Scheitelwert U0 ,
ω
einer Frequenz f =
und einer Phasenverschiebung ϕ kann als komplexer Zeiger in
2π
der Form U = U0 · ejϕ beschrieben werden.
Es sei erinnert an:
Im U · ejωt = U (t)
Im I · ejωt = I (t)
Das Ohmsche Gesetz lässt sich dann für den Wechselstrom durch die Gleichung I =
U
Z
ausdrücken.
Wir betrachten eine Reihenstromkreis mit einem Widerstand R = 20 Ω, einer Spule mit
der Induktivität L = 2 H und einen Kondensator mit einer Kapazität C = 2 µF. Die
angelegte Spannung habe einen Scheitelwert von 100 V und eine Frequenz von 60Hz
(keine Phasenverschiebung).
a) Berechnen Sie den komplexen Widerstand Z des Schaltkreises.
2
b) Berechnen Sie die Stromstärke I und geben Sie deren Scheitelwert und Phasenverschiebung an.
3
Lösungen
1 u + z = −2 + 8j , u − z = 8 − 16j , u · z = 33 + 56j ,
|z| = 13 , arg(z) = 112.62◦ , |u| = 5 , arg(u) = 306.87◦
2 a) 2 − 11j
3 a) −8 + 9j
b) 31 + j
b) 6 − 2j
11−29j
= 0.149
74
8
c) − 12
13 + 13 j
c)
− 0.399j
d)
u
z
=
−63
16
169 − 169 j,
85−29j
74
z
u
=
−63
16
25 + 25 j,
= 1.149 − 0.399j
√
4 a) Rand des Kreises um den Ursprung mit Radius 2
b) Viertel eines Kreises, begrenzt durch Geraden mit Anstiegen von 1 und −1
c) Rand des Kreises um (1, 2j) mit Radius 2
d) Gerade durch den Ursprung mit Anstieg 1
e) Rand des Kreises um den Ursprung mit Radius 3
f) Gerade, parallel zur Im-Achse durch Re = −4
g) Re-Achse ohne Ursprung
h) Halbebene mit Re(z) ≥ −1
i) Äußeres und Rand des Kreises um −2 + j mit Radius 2
j) Inneres des Kreises um den Ursprung mit Radius 5
k) Kreisring um den Ursprung mit Innenradius 2 und Außenradius 6
l) Inneres eines achsenparallelen Quadrates mit Seitenlänge 2 im 1. Quadranten
5 Ist wegen z1 · z2 = |z1 ||z2 |[cos(α1 + α2 ) + j sin(α1 + α2 )] klar!
s
6 |Z| =
7Z=
√
R2 + ω 2 L2
(1 − ω 2 CL)2 + ω 2 C 2 R2
ω
α = arg(Z) = arctan
(L − ω 2 CL2 − CR2 )
R
169 Ω = 13Ω |I| = I = 16,9 A αI = 7.38◦
8 Re(Y ) =
RL
ω 2 C 2 RC
+
2 + ω 2 L2
2 +1
RL
ω 2 C 2 RC
9 a) Z = (20 − 572j) Ω
Im(Y ) =
b) I0 = 0, 175A
ϕI =
ωC
2
ω 2 C 2 RC
88◦
+1
−
ωL
2
+ RL
ω 2 L2
14. Dezember 2015, 15:58 Uhr
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