Studiengang: PT/LOT/PVHT Semester: WS 09/10 Analysis I Serie: 2

Studiengang:
PT/LOT/PVHT
Analysis I
Semester: WS 09/10
Serie: 2
Thema: komplexe Zahlen
1. Aufgabe
Man berechne z1 + z2;
wobei z1 = 2 + 3j;
z1 ¡ z2 ;
z2 = 3 ¡ 5j:
z1 ¢ z2 ;
z1
;
z2
z2 ¢ z1 ;
2. Aufgabe
Berechnen Sie den Betrag und
p das Argument der komplexen
p Zahl z
a) z = j + 1
b) z = 3 + j
c) z = ¡ 12 + 12 3j
3. Von der komplexen Zahl z bestimme man den Real- und Imaginärteil!
1
a) z = 1+j
b) z = 3+2j
1+j
4. Aufgabe
Formen Sie die komplexen Zahlen
p in die trigonometrische und in die Exponentialform um!
u = 2j; v = 2 ¡ 2j; z = ¡ 5 + 2j
5. Aufgabe
Wandeln Sie in die arithmetische Form um.
p
7¼
z1 = 4(cos 120± + j sin 120±)
z 2 = 2 ¢ ej 4
6. Aufgabe
Um welchen Winkel wird der Zeiger einer komplexen Zahl z gedreht, wenn z mit
a) w = 8 ¡ 15j
b) v = ¡2 + 2j
multipliziert wird?
7. Aufgabe
Berechnen Sie
1
(1 + 2j)110
555
8. Aufgabe
Lösen Sie die Gleichungen!
a) z2 + 5 = 12j
b) z 2 + z + 1 + j = 0
9. Aufgabe
Skizzieren Sie in der Gaußschen Zahlenebene die Punkte z für die gilt:
¼
a) jarg(z)j ·
b) jz + 2j ¡ 1j = 2
4
10. Aufgabe
Zeigen Sie folgende Rechenregeln: ( z1 ; z2 2 C)
a) z = z
b) z1 + z2 = z1 + z2
c) z1 ¢ z2 = z1 ¢ z2
11. Aufgabe
Man berechne z = ln (¡j) ; so dass Im (z) ¼ ¡20
12. Aufgabe
Man überlagere die harmonischen Schwingungen y1 (t) = A sin (!t) und y 2 (t) = B cos (!t)
unter Verwendung komplexer Zeiger.
13. Aufgabe
Die Berechnungen im Wechselstromkreis führt man zweckmäßigerweise symbolisch unter Verwendung komplexer Zahlen durch. Der Ohmsche Widerstand hat nur einen Realanteil R;
1
während der induktive und der kapazitive Widerstand nur einen Imaginärteil j!L bzw.
j!C
haben. Ein komplexer Widerstand hat die Form Z = R + jX; wobei R den Wirkwiderstand und X den Blindwiderstand darstellen. Der resultierende komplexe Widerstand in
1
1
1
einer Reihenschaltung ist Z = Z 1 + Z 2; bei Parallelschaltung entsprechend
=
+
:
Z
Z1 Z2
Eine angelegte Wechselspannung U (t) = U0 ¢ sin (!t + ') mit einem Scheitelwert U0 , einer
!
Frequenz f =
und einer Phasenverschiebung ' kann als komplexe Zeiger in der Form U
2¼
¡
¢
= U0 ¢ ej' beschrieben werden. Es sei erinnert an: Im U ¢ ej!t = U (t) :(Analoges gilt für die
Stromstärke). Das Ohmsche Gesetz läßt sich dann für den Wechselstrom durch die Gleichung
U
I=
ausdrücken.
Z
Wir betrachten eine Reihenstromkreis mit einem
Widerstand R = 20 -; einer Spule mit der
Induktivität L = 2 H und einen Kondensator mit
einer Kapazität C = 2¹F: Die angelegte Spannung
habe Scheitelwert von 100V und eine
Frequenz von 60Hz. (keine Phasenverschiebung)
a)
Berechnen Sie den komplexen Widerstand Z des Schaltkreises
b)
Berechnen Sie die Stromstärke I und geben Sie deren Scheitelwert und
Phasenverschiebung an.
Lösungen:
1 z1 + z2 = 5 ¡ 2j; z1 ¡ z2 = ¡1 + 8j; z1 ¢ z2 = 21 ¡ j;
z1
1
= 34
(19j ¡ 9) ; z2 ¢ z1 = ¡9 + 19j
z2
2 a) 45±
b) 30±
c) 120±
3 a) Re (z) = 12 ; Im (z) = ¡ 12
b)Re (z) = 52 ; Im (z) = ¡ 12
¼
4 u = 2(cos ¼2 + j sin ¼2 ) = 2e 2 j , v =
±
0 00
z = 3 ¢ ej¢138 11 24 = 3 ¢ e2;41187j
p
5 z1 = ¡2 + 2 3j;
z2 = 1 ¡ j
p
p 7¼ j
7¼
4
8(cos 7¼
,
4 + j sin 4 ) = 8e
6 a) = - 62 ± (bzw. = 298± )b) = 135±
7 ¡0:741 + 0:671j
8 a) z1 = 2 + 3j , z2 = ¡2 ¡ 3j
b) z1 = ¡j , z2 = ¡1 + j
11 z = ¡j6; 5¼; k = ¡3
12 y (t) = y1 (t) + y2 (t) = C sin (!t + '), mit C =
p
A2 + B 2;
13 a) Z= (20 ¡ 572j) - b) I0 = 0; 175A 'I = 88±
' = arctan
¡B ¢
A