A 4 Einige Rechenregeln zu komplexen Zahlen z = x +

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A 4 Komplexe Zahlen
A 4 Einige Rechenregeln zu komplexen Zahlen
Eulersche Formel :
exp ( jα ) = e± jα = cosα + j sin α
Da cos α und sin α als Projektionen eines Einheitsvektors auf zwei orthogonale Achsen eines
Koordinatensystems aufgefaßt werden können, ergibt sich heraus die Möglichkeit zur Darstellung
einer komplexen Größe in der Gaußschen Zahlenebene.
komplexe Zahl z:
konjugiert komplexe Zahl z*:
z = x + j y = Re z + j Im z
z* = x - j y = Re z - j Im z
z = |z| exp(jα) = |z| e jα
z* = |z| exp(-jα) = |z| e -jα
Für den Betrag einer komplexen Zahl gilt: z =
2
( Re z) + ( Im z)
2
= x 2 + y 2 = z ⋅ z∗ .
Die Phase α ergibt sich aus der Darstellung in der Gauß-Ebene zu: α = arctan
e jα + e − jα
Weitere wichtige Beziehungen sind: cos α =
2
Im z
Re z
e jα − e− jα
sowie sin α =
.
2j
Im Übrigen gelten auch bei Rechnungen mit komplexen Zahlen die Regeln der Arithmetik. So lassen sich z.B. Real- und Imaginärteil bei den häufig auftretenden komplexen Brüchen durch Erweitern mit dem konjugiert komplexen Nenner trennen und wie folgt Betrag und Phase bestimmen:
a + jb a + jb c − jd ac + bd + j(bc − ad )
z=
=
⋅
=
; z =
c + jd c + j d c − jd
c2 + d 2
tan α =
bc − ad
ac + bd
a + jb a − jb
⋅
=
c + jd c − jd
a 2 + b2
c2 + d 2