Lineare Algebra für Physiker Blatt 1

Fachrichtung Mathematik
Institut für Analysis
Prof. Dr. W. Schirotzek / Dr. H.-P. Scheffler
WS 2010/2011
Lineare Algebra für Physiker
Blatt 1
Vorbereitungen
1. Sind durch die folgenden Zuordnungsvorschriften Funktionen f : R → R definiert?
Untersuchen Sie dies in Abhängigkeit von α ∈ R.
2
x + α für x ≤ 2
α
für x 6= 0
a) f (x) :=
, b) f (x) :=
,
3x − 4 für x ≥ 2
x + 1 für x2 = x
c) |f (x)| :=
ln x
für x ≥ 1,
x2 + 1
d) arctan f (x) := e−x .
2. Ermitteln Sie jeweils die Menge D aller x ∈ R, für die die folgenden Ausdrücke
definiert sind, und skizzieren Sie den Graphen von f : D → R:
p
√
1
1
a) 1 − |x|, b) p
, c) p
, d) 4 − 2x2 − x + 3,
|x| − x
x − |x|
1
e) sin( ),
x
f)
√
1 − sin x,
g) ln(sin x),
h) ln x − ln(x − 1).
3. Untersuchen Sie, durch welche der folgenden Teilmengen Mj (j = 1, 2, 3, 4) des
R3 Funktionen aus Rk nach R3−k definiert sind. Bestimmen Sie gegebenenfalls
Definitionsbereich und Wertevorrat dieser Funktionen. Überprüfen Sie, ob Umkehrfunktionen existieren:
M1 := {(t, t2 , t4 ) ∈ R3 | t3 − 1 ≤ 0}, k = 1;
M2 := {(t, t2 , t3 ) ∈ R3 | t2 − 1 ≤ 0}, k = 1;
M3 := {(t2 , −t4 , t2 ) ∈ R3 | t ∈ [−1, 1]}, k = 1;
M4 := {(x, y, x2 − y 2 ) ∈ R3 | x2 + y 2 ≤ 1}, k = 2.
Komplexe Zahlen
a) z1 = 1 + i, z2 = 1 − i,
z1
, z1 · z¯2 , z¯1 ·z2 für folgende komplexe Zahlen:
z2
√
b) z1 = 1 + i 3, z2 = 1 − i,
c) z1 = i, z2 = −2 − 4i,
d) z1 = 5 + 2i, z2 = 2 − 5i.
4. Berechnen Sie z1 +z2 , z1 −z2 , z1 ·z2 ,
5. Ermitteln Sie den Spiegelpunkt der komplexen Zahl z 6= 0 bezüglich
a) des Ursprungs,
b) der reellen Achse,
c) der imaginären Achse,
d) der Geraden z0 (y) = x0 + i y; x0 , y ∈ R,
e) der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten,
f) der Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten.
6. Bestimmen Sie Realteil, Imaginärteil, Betrag und Argument der komplexen Zahlen
√
√
5
1
, (3i − 3)4 , 4 exp( πi), 64(sin2 ϕ + i 3 + cos2 ϕ)−6 (ϕ ∈ R),
1+i
6
q
3
q
√
√
2 + 3 + i 2 − 3 , (1 + i)3047 , in (n ∈ Z).
7. Skizzieren Sie die folgenden Mengen komplexer Zahlen:
a) {z ∈ C| |z − 1 + i| = 1},
b) {z ∈ C| Re(z̄ − i) = 2},
c) {z ∈ C| 23 < |i − 3z − 1| ≤ 4},
d) {z ∈ C| 21 ≤ Re( z1 ) ≤ 1, −2 ≤ Im(z 2 ) ≤ 2}.
1 1
e) {z ∈ C| + = 1}.
z z̄
8. Beweisen Sie für ϕ ∈ R bzw. ϕk ∈ R, k ∈ N, die Gültigkeit folgender Beziehungen:
2
exp(iϕ) = exp(−iϕ); exp (iϕ) = exp(2iϕ);
n
Y
exp(iϕk ) = exp i
k=1
n
X
ϕk (n ∈ N).
k=1
9. Ermitteln Sie alle komplexen Lösungen z = x + iy der folgenden Gleichungen:
a) z 2 = −1,
e) z 3 = 8i,
b) z 2 = ±i,
c) z 4 = −1,
f) z 2 + (i − 1)z − i = 0,
d) z 8 = −1,
g) |z| = z · z̄.
10. Beweisen Sie folgende Beziehungen:
z n+1 − 1
a) Für z ∈ C, z 6= 1 gilt
= z n + z n−1 + · · · + z + 1.
z−1
1 sin[(n + 12 )ϕ]
= cos(nϕ) + cos((n − 1)ϕ) + · · · + cos ϕ + 1.
b) Für ϕ ∈ (0, 2π) gilt +
2
2 sin( ϕ2 )
c) Für jede Lösung w 6= 1 von wn = 1 (n ∈ N) gilt wn−1 +wn−2 +· · ·+w +1 = 0.
11. Für z0 ∈ C, |z0 | = 1 wird durch f (z) := z0 z eine Abbildung f : C → C
definiert. Diese beschreibt eine Drehung der komplexen Zahlenebene. Warum? Bestimmen Sie die entsprechenden Zahlen z0 , durch die 1 + i in −1 + i bzw. −1 + i
√
1
in √ (− 3 + i) überführt wird. Geben Sie den jeweiligen Drehwinkel an.
2
12. Zeigen Sie, dass zu jedem z0 ∈ C \ R reelle Zahlen α und β existieren, so dass
α 2
2
(z − z0 )(z − z 0 ) = z + αz + β ∀ z ∈ C und
− β < 0.
2
13. Gegeben seien die folgenden Polynome:
p1 (x) := x3 − 3x2 − x + 3,
p2 (x) := x4 − 1,
p3 (x) := x4 + x3 − 5x2 − 3x + 6,
p4 (x) := x3 − x2 + 3x − 3,
64 .
p5 (x) := x3 − 1.5x2 − 0.25x + 0.375, p6 (x) := x3 − 2x2 − 38 x + 27
a) Bestimmen Sie die Nullstellen dieser Polynome in R bzw. C.
b) Faktorisieren Sie die Polynome über R bzw. C.