Mathematik IV

Christian Beck
Parmenides Garcia Cornejo
Ralf Gerkmann
Donnerstag, 9. Juni 2011
Mathematik IV
(Lebesgue-Theorie, Funktionentheorie und Gewöhnliche Differentialgleichungen)
— Blatt 6 —
(Tutoriumsblatt)
Aufgabe 18
(a) Sei z = 1 + i ∈ C. Zeigen Sie, dass z 7 = 8(1 − i) gilt, und bestimmen Sie Real- und Imaginärteil
der komplexen Zahl z 941 .
(zur Erinnerung: Es ist sin( π4 ) = cos( π4 ) =
√1 .)
2
(b) Sei z ∈ C \ {0}. Beweisen Sie, dass es genau vier verschiedene komplexe Zahlen w ∈ C mit w4 = z
gibt. Dabei darf ohne Beweis verwendet werden, dass exp(z + w) = exp(z) exp(w) für alle z, w ∈ C
gilt.
Aufgabe 19
(a) Beweisen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme von Sinus und Kosinus, dass exp(z + w) =
exp(z) exp(w) für alle z, w ∈ C gilt.
(b) Sei f : C → C eine holomorphe Funktion mit f (x) = ex für alle x ∈ R und f (z + w) = f (z)f (w)
für alle z, w ∈ C. Zeigen Sie, dass dann f mit seiner komplexen Ableitung übereinstimmt, dass also
f ′ = f gilt.
(c) Wir werden bald mit Hilfe der Potenzreihen-Entwicklung holomorpher Funktionen feststellen, dass
die Funktion f durch die in (b) genannten Eigenschaften eindeutig bestimmt ist. Ist f auch dann
noch eindeutig festgelegt, wenn man in Teil (b) die Eigenschaft holomorph“ durch überall reell
”
”
differenzierbar“ ersetzt?
Aufgabe 20
(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius ρ der Potenzreihe
f (z)
=
∞
X
( 12 )n+1 − ( 13 )n+1 z n .
n=0
(b) Laut Vorlesung definiert f auf der offenen Kreisscheibe Bρ (0) eine holomorphe Funktion. Zeigen
Sie, dass für alle z ∈ Bρ (0) gilt:
f ′ (z)
=
5 − 2z
.
(z 2 − 5z + 6)2
Dieses Übungsblatt wird in der Woche vom 15. bis zum 17. Juni in den Tutorien bearbeitet.
Hinweise zur Bearbeitung der Aufgaben
Aufgabe 18
- In dieser Aufgabe geht es vor allem darum, die Vorteile der Polarkoordinaten-Darstellung von
komplexen Zahlen zu verdeutlichen. Vor allem das Multiplizieren und Potenzieren ist in dieser
Darstellung bedeutend einfacher.
- Bei einer Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Winkel
der Polardarstellung addiert. Verdeutlichen Sie sich das anhand einer Skizze.
- Versuchen Sie anhand der Skizze zu erkennen, was bei der Potenzierung komplexer Zahlen passiert.
Welcher Effekt tritt ein, wenn der Winkel der komplexen Zahl ein rationales Vielfaches von 2π ist?
- Anhand der Zeichnungen sollte klar werden, dass sich die vorgebene Zahl z = 1+i bei Potenzierung
periodisch“ verhält. Nutzen Sie dies, um z 7 und z 941 zu berechnen.
”
- Für Aufgabenteil (b) überlegen Sie zunächst, wie die Lösungen der Gleichung w4 = 1 (oder der
Gleichung wn = 1 für beliebiges n ∈ N) aussehen. Versuchen Sie dann, das Ergebnis auf Gleichungen der Form w4 = reiϕ zu übertragen.
- Beim Aufschreiben des Beweises denken Sie daran, dass zwei Aussagen bewiesen werden müssen:
dass die angegebenen Zahlen die Gleichung tatsächlich lösen, und dass es keine weiteren Lösungen
gibt.
Aufgabe 19
- Teil (a) ist eine einfache Rechnung.
- Für Aufgabenteil (b) bestimmen Sie die Richtungsableitung von Real- und Imaginärteil der Funktion f in Richtung des Vektors 1. Stellen Sie dazu den Differentialquotienten auf.
- Bei der Berechnung des Grenzwertes können Sie die Differenzierbarkeit der reellen Exponentialfunktion verwenden.
- In Aufgabenteil (c) lautet die Antwort nein. Versuchen Sie eine Funktion f mit f (i) = 2 zu finden,
die alle Bedingungen erfüllt. Auf Grund der Funktionalgleichung f (z + w) = f (z)f (w) gibt es für
f nicht viele Möglichkeiten.
Aufgabe 20
- Um den Konvergenzradius nach unten abzuschätzen, können Sie die Reihe in zwei Summanden
zerlegen. Die Konvergenz der einzelnen Summanden lässt sich dann einfacher beweisen. Warum ist
diese Vorgehensweise zulässig?
- Die Abschätzung nach oben erledigt man am besten durch einen Widerspruchsbeweis. Versuchen
Sie zuvor eine reelle Stelle zu finden, in der die Reihe offensichtlich divergiert.
- Bevor Sie die Ableitung von f berechnen, versuchen Sie zunächst, eine geschlossene“ Form für die
”
Funktion f zu finden. (Stichwort: geometrische Reihe)