¨Ubungen zur Mathematische Methoden I

Übungen zur Mathematische Methoden I
WiSe 2012/2013
Prof. Dr. W. Kilian, D. van Dyk, C. Fleper, D. Schmitz, S. Warsow
Blatt 11
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Ausgabe: Mi., 16.01.2013
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Aufgabe 1: Taylorentwicklung im Komplexen
Abgabe: Mi., 23.01.2013
6 P
Gegeben ist ein Polynom P (x) dritten Grades,
P (x) = x3 − x2 + x .
(1)
Berechnen Sie die Taylorentwicklung von P (x) bis zur Ordnung 3 in x um folgende
Punkte in der komplexen Ebene:
a) x0 = 2
b) x0 = −1
c) x0 = i
d) x0 = 1 + i
e) x0 = −2i
√
f ) x0 = (1 − i)/ 2
Aufgabe 2: Division im Komplexen
6 P
In dieser Aufgabe sollen Sie die Division von und durch komplexe Zahlen üben. Zur Erinnerung: Ein Quotient Q = Z/N , mit Z, N ∈ C lässt sich schreiben als Q = ZN ∗ /|N |2 .
Berechnen Sie explizit die Ergebnisse folgender Divisionen
a) (1 + i)/(1 − i)
b) 1/i
c) 25/(3 + 4i)
√
d) (3i + 9)/( 5 + 2i)
p
e) 3/( (2) + i)
f ) 1/(1 + 2i + z) mit z ∈ C.
bitte wenden
Aufgabe 3: Exponentialfunktion im Komplexen
Wir betrachen die drei Funktionen
f (x) = exp − x ,
g(x) = exp ix ,
6 P
h(x, y) = exp x + iy .
(2)
Dabei sei x, y ∈ R.
a) Berechnen Sie die Kehrwerte jeder der drei Funktionen, und drücken Sie diese
wiederum als Exponentialfunktion aus.
b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen nach x für jede der drei Funktionen, und
zusätzlich die partielle Ableitung nach y für h(x, y).
c) Wenden Sie zunächst die Eulersche Formel an, um g(x) durch sin(x) und cos(x)
auszudrücken. Nehmen Sie dann an, dass x = i(−i)x =: ix̃. Drücken Sie dann f (x)
durch sin und cos von komplexem Argument x̃ aus.
d) Wenden Sie ihre Erkenntnisse aus Aufgabenteil c) an, um h(x, y) vollständig durch
sin und cos auszudrücken.
e) Es gilt weiterhin die Identität exp(−x) = cosh(x) − sinh(x), wobei die hyperbolischen Funktionen cosh und sinh mit den trigonometrischen Funktionen cos und sin
verwandt sind. Benutzen Sie Ihre Erkenntnisse aus Aufgabenteil c) um Relationen
zwischen cosh und cos bzw. sinh und sin herzuleiten.
Aufgabe 4: Algebraische Gleichungen im Komplexen
6 P
Im Folgenden sollen Sie sich mit zwei algebraischen Gleichungen
z4 + 1 = 0
(G1)
z − iz + 1 = 0 .
(G2)
2
Finden Sie alle Lösungen beider Gleichungen, und skizzieren Sie die Lage der Lösungen
in der komplexen Ebene. Hinweis: Für Gleichung (G2) bietet sich eine geeignete Koordinatentransformation an, um die Gleichung reellwertig zu machen.