Ubungen zur Vorlesung ,,MMP II - Physik

Institut für Theoretische Physik, Universität Zürich
Übungen zur Vorlesung ,,MMP II“
Prof. Dr. D. Wyler
http://krone.physik.unizh.ch/˜thuber/
Aufgabe 1
Blatt 1 – SS 2005
Abgabe: 11.04.2005
Komplexe Zahlen
(a) Zeigen Sie, dass die Addition zweier komplexer Zahlen der Addition von Vektoren im 2 entspricht.
(b) Zeigen Sie, dass die Multiplikation mit einer komplexen Zahl einer Drehstreckung
entspricht. Bestimmen Sie Drehwinkel und Streckfaktor.
(c) Zeigen Sie, dass die Multiplikation mit einer komplexen Zahl durch eine Matrix
der Form
α −β
α, β ∈
β α
beschrieben werden kann.
(d) Eine Funktion f heisst in z0 = x0 + iy0 komplex differenzierbar, wenn sie im reellen Sinne differenzierbar ist, und wenn das Differential df an der Stelle (x0 , y0 )
die Multiplikation mit einer komplexen Zahl ist. Leiten Sie daraus die CRD her.
Aufgabe 2
Potenzreihen
(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Reihen
(i)
∞
X
zn
nn
n=1
(ii)
∞
X
zn
(−1)
n
n=1
n
(iii)
∞
X
z 2n
n=0
3n
(b) Bestimmen Sie die Potenzreihendarstellungen um z0 = 0 von ez , sin(z) und
cos(z), sowie deren Konvergenzradien. Beweisen Sie die Beziehung
eiz = cos(z) + i sin(z) .
(c) Zeichnen Sie für reelle Argumente die Funktion cos(x) sowie die Polynome der
Potenzreihendarstellung bis zu den Ordnungen 0, 2, 6 und 10.
Aufgabe 3
Cauchy-Riemann Differentialgleichungen
Wo sind die folgenden Funktionen komplex differenzierbar? Wo sind sie holomorph?
(a) f (z) = ez
(b) g(z) = z · z ∗
(c) h(z) = 1/z
– bitte wenden –
Aufgabe 4
Harmonische Funktionen und Holomorphie
Gegeben sei die Funktion u :
2
→
durch
u(x, y) = e−2xy · sin(x2 − y 2 )
(a) Zeigen Sie, dass u Realteil einer holomorphen Funktion ist.
(b) Berechnen Sie alle v(x, y), so dass f mit
f (x + iy) = u(x, y) + i v(x, y)
holomorph ist. Stellen Sie dann f nur als Funktion von z dar.
Aufgabe 5
Möbiustransformationen
Es sei ˆ =
durch
∪ {∞}. Wir betrachten die Abbildung f : ˆ → ˆ , die gegeben ist
f (z) =
1
z
(a) Gegeben sei eine Gerade parallel zur imaginären Achse durch x0 ∈ \{0}.
Zeigen Sie, dass das Bild einer solchen Gerade ein Kreis ist, und bestimmen Sie
in Abhängigkeit von x0 dessen Mittelpunkt und Radius.
(b) Zeigen Sie, dass das Bild des Kreises um 1 mit Radius 1 eine Gerade ist, und
bestimmen sie deren Gleichung.