Das große Tafelwerk interaktiv 2.0

Das große Tafelwerk
Mathematik
Mediencode
interaktiv 2.0
071-1
Potenzreihen und Taylor’scher Satz
Unter einer Potenzreihe versteht man eine unendliche Reihe der Form

 a (x  x )
k
0
k
mit ak  R, x, x0  R.
k 0
Zu jeder Potenzreihe gibt es eine Zahl r  0, sodass die Reihe für alle x mit
x  x0 < r konvergiert und für alle x mit x  x0 > r divergiert.
Diese Zahl r heißt Konvergenzradius der Reihe.
Satz von Taylor
(1) Ist eine Funktion f mindestens (n + 1)-mal in einem Intervall I stetig differenzierbar, so gilt für
alle x, x0  I:
f(x) = f(x0) +
f ' ( x0 )
1!
( x  x0) +
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mit dem Restglied Rn(x) =
1
n!
f ' ' ( x0 )
2!
( x  x0)2 + ... +
f ( n ) ( x0 )
n!
( x  x0)n + Rn(x)
x
f
( n 1)
(t )  ( x  t ) n dt
x0
(2) Ist eine Funktion f in einem Intervall I beliebig oft differenzierbar und gilt für das Restglied
lim Rn (x) = 0, so gilt für alle x, x0  I:
n 


f(x) =
k 0
f ( k ) ( x0 )
( x  x0 ) k
k!
.
Diese Reihe nennt man die Taylor-Reihe der Funktion f an der Stelle x0.
Ist speziell x0 = 0, so spricht man auch von einer MacLaurin-Reihe.
Die Exponentialfunktion f(x) = ex und die Funktionen sin und cos sind in MacLaurin-Reihen
entwickelbar, die auf ganz R konvergent sind. Es gilt:
ex  1  x 
x 2 x3 x 4 x5



 ...
2! 3! 4! 5!
sin x  x 
x3 x5 x 7 x9



 ...
3! 5! 7! 9!
cos x  1 
x 2 x 4 x 6 x8



 ...
2! 4! 6! 8!
Die Entwicklung von Funktionen in eine Taylor-Reihe ist für numerische Berechnungen häufig von
Vorteil. Insbesondere erhält man meist gute Näherungswerte für Funktionswerte, wenn man nur die
ersten paar Glieder der Taylor-Reihe berücksichtigt. Die mitunter genutzte Näherung sin x  x für
kleine Werte von x ergibt sich zum Beispiel auf diese Weise aus der Taylor-Reihe der Sinusfunktion.
Bemerkung: Für komplexe Zahlen zC können die Funktionen
f(z) = e z, g(z) = sin z und h(z) = cos z
durch diese Potenzreihen definiert werden. Man erkennt dann leicht die Gültigkeit der Beziehung
e ix = cos x + i  sin x für x R und die imaginäre Einheit i C. (Beachte dazu: i2k = 1, i2k +1 =  i)
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