Modulprüfung MAT182/ Prof. M. Brodmann/ Repetition Herbst 06

Modulprüfung MAT182/ Prof. M. Brodmann/ Repetition Herbst 06
18. Oktober 2006
Aufgabe 1 (10 Punkte)
a) (5 P.) Beschreiben und skizzieren Sie den maximalen Definitionsbereich
p
f (x, y) := x3 cos(y).
b) (3 P.) Welcher Bedingung muss die Konstante B ∈
D(f ) der Funktion
R genügen, damit die Funktion
f (x, y) := 2x2 + 2Bxy + y 2 + 2
einen Sattelpunkt besitzt?
c) (2 P.) Wählen Sie in Teilaufgabe b) den Wert B = 2 und zeichnen Sie in einem x−z−Koordinatensystem die Graphen der beiden Funktionen z = f (x, x) und z = f (x, −x) ein. Begründen Sie
damit, dass f an der Stelle (0, 0) einen Sattelpunkt hat.
Aufgabe 2 (10 Punkte) Die Kurve C sei gegeben durch die Parameterdarstellung


cos(t)
t 7→ ~x(t) :=  sin(t)  ,
0 6 t 6 2π.
1
sin(t)
2
a) (2 P.) Beschreiben Sie die Kurve C in Worten und machen Sie dazu eine Skizze.
b) (4 P.) Sei α ∈ [0, π). Sei g die Kurventangente im Punkt ~x(α) und sei h die Kurventangente im
Punkt ~x(α + π). Prüfen Sie nach, ob g und h parallele Geraden sind.
Wenn Sie die Teilaufgabe so nicht lösen können, wählen Sie α = π2 . Mit dieser Variante können
jedoch maximal 3 Punkte geholt werden.
~ (~x) das Vektorfeld, das gegeben ist durch
c) (4 P.) Sei F




x1
x2
~ (~x) = F
~  x2  :=  −x1  .
F
x3
x3
Berechnen Sie das Kurvenintegral
I :=
I
~ (~x) · d~x.
F
C
Aufgabe 3 (10 Punkte) Gegeben ist die Differentialgleichung
y′ =
y2 − 4
.
x2 + 1
a) (6 P.) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung.
b) (1 P.) Bestimmen Sie alle konstanten Lösungen.
c) (3 P.) Bestimmen Sie die Lösung y, für welche y(0) = 0 gilt und berechnen Sie y ′ (0) und y ′′ (0).
R
Aufgabe 4 (10 Punkte) Sei f : [0, ∞) 7→ eine differenzierbare, streng monoton wachsende Funktion
mit f (0) > 0. Sei u > 0 und sei t die Tangente an den Graphen von f im Punkt (u, f (u)). Weiter sei
v ∈ so, dass der Punkt (u − v, 0) der Schnittpunkt der Tangenten t mit der x−Achse ist.
R
a) (1.5 P.) Skizzieren Sie die Situation und geben Sie eine Formel für v an.
R
b) (2 P.) Wir betrachten die Funktion g : [0, ∞) 7→ definiert durch
f (x), falls 0 6 x 6 u,
g(x) :=
f (u), falls x > u.
R u+v
Skizzieren Sie die Situation und geben Sie eine Formel für 0 g(x)dx an, in der v gemäss
Teilaufgabe a) ausgedrückt wird.
c) (3 P.) Berechnen Sie a(u) :=
R u+v
g(x)dx
0R
u
0 g(x)dx
für den Fall, dass f (x) = ex . Berechnen Sie limu→∞ a(u).
d) (3.5 P.) Sei f (x) = xn mit n ∈ {1, 2, . . . }. Berechnen Sie a(u) = an (u) :=
R u+v
g(x)dx
0R
u
g(x)dx
0
und
bestimmen Sie limn→∞ an (u). Was fällt hier auf?
Aufgabe 5 (10 Punkte) Sei F (a, b) =
R1 √
0
2
5ax2 + b dx.
a) (3 P.) Es gibt drei Zahlen U , V , W derart, dass für alle a, b ∈
R gilt
F (a, b) = U a2 + V ab + W b2 .
Bestimmen Sie diese drei Zahlen.
b) (2.5 P.) In der a − b−Ebene betrachten wir die Kreisscheibe
D := {(a, b) ∈ R2| a2 + b2 6 1}
und fragen nach Stellen (a0 , b0 ) ∈ D, an welchen F auf D das Maximum annimmt. Begründen
Sie, dass diese Stellen auf dem Rand von D liegen müssen.
c) (4.5 P.) Suchen Sie die in Teilaufgabe b) genannten Maximalstellen und berechnen Sie den
Maximalwert von F auf . Verwenden Sie dazu die durch
D
t 7→ (cos(t), sin(t)), 0 6 t 6 2π
gegebene Parametrisierung des Randes von
D.