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Vortrag von Angelika Ruess
im SS 2000
Komponenten zur Förderung des Algebraverständnisses von
Schülerinnen und Schülern
auf der Grundlage des Standard 1 für die Klassen 6-8
Vorbemerkung
Warum benötigt man einen Standard für Zahlen und Verknüpfungen (number and
operation)? Vor allem deshalb, um den Schülern den späteren Einstieg in die
Algebra zu erleichtern. Das Referat soll deswegen erweitert werden zu:
Komponenten zur Förderung des Algebraverständnisses bei Schülerinnen und
Schülern. Die Inhalte des Standard 1 für die Klassen 6-8 gehören mir zu diesen
Komponenten, werden allerdings noch von mir ergänzt durch die Inhalte
verschiedenen Artikel der Zeitschrift “Teaching Mathematics”. Die im folgenden
genannten Komponenten sind lediglich eine von mir getrof fene Auswahl und
deswegen natürlich nicht vollständig.
Überblick über die vier Komponenten zur Förderung des
Algebraverständnisses
Zahlenverständnis
Die SchülerInnen sollen Zahlen, Zahldarstellungen und die Beziehungen zwischen
Zahlen und Zahlsystemen verstehen.
1.
Eigenschaften
Die SchülerInnen sollen wichtige Eigenschaften von Zahlen und Rechenarten
verstehen und nützen können.
2.
Gleichheit
Die SchülerInnen sollen das Gleichheitszeichen richtig verstehen und anwenden.
3.
4. Verknüpfungen
Die SchülerInnen sollen die Bedeutung von Verknüpfungen und ihre Beziehung
zueinander verstehen.
1. Zahlenverständnis
1.1 Flexibler Umgang mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozenten, um
Problemstellungen zu lösen
Dazu gehört, dass SchülerInnen z.B. den Bruch 3/20 umschreiben können in
eine Dezimalzahl oder in eine Prozentzahl: 3/20 = 15/100 = 0,15 = 15%.
Als Hilfe zur Veranschaulichung können sogenannte 10*10 Quadrate
verwendet werden. Die SchülerInnen sollen z.B. 75% und ¾ des Quadrates
ausfüllen und anschließend vergleichen, ob es das gleiche ist.
SchülerInnen sollen sicher darin werden, wann welche Art der
Darstellungsform sinnvoll ist. So wird die Reduzierung im
Sommerschlussverkauf in Prozenten ausgedrückt, die Wahrscheinlichkeit auf
einen Gewinn dagegen als Bruch. Der Lehrer sollte hierfür Aufgaben mit
Kontext verwenden, so dass die SchülerInnen selber überprüfen können, ob
ihre Lösungen überhaupt Sinn machen.
SchülerInnen sollten Brüche auch als Verhältnis oder Funktionsweisen sehen,
nicht nur als Ergänzung für Zahlen kleiner eins, oder als Punkte auf dem
Zahlenstrahl.
Ein Beispiel für ein Verhältnis wäre: Wenn 3 Erwachsene auf 8 Sch ülerInnen
aufpassen, dann hat jede/r SchülerIn einen 3/8 Aufpasser.
Eine Beispiel für eine Funktionsweise wäre: Wenn man mit 5/8 multipliziert,
bekommt man als Ergebnis eine Zahl, die nur noch 5/8 der Ausgangszahl ist.
Schüler sollten das Stellenwertsystem als Grundlage für den Umgang mit
Dezimalzahlen verstehen. Sonst kann es sein, dass ein/e SchülerIn die Zahl
3,75 für größer als 3,8 hält, mit der Begründung, dass 75 ja größer als 8 ist.
Wichtig ist auch, dass SchülerInnen Dezimalzahlen als Brüche, deren Nenner
10er Potenzen sind, verstehen und sie damit leichter Dezimalzahlen in Br üche
umschreiben können.
1.2 Brüche, Dezimalzahlen und Prozente vergleichen und ordnen können
1988 ergab eine Umfrage des National Assessment of Educational Progress
(NAEP), dass weniger wie 1/3 der 13jährigen SchülerInnen von den folgenden
Brüchen korrekt den größten bestimmen konnten.
¾, 2/3, 5/8, 9/16.
Es ist also wichtig, dass SchüleInnen Strategien entwickeln mit denen sie
schnell und korrekt Brüche vergleichen können.
Die Verwendung von Bruchstreifen kann SchülernInnen helfen, ohne
auszurechnen zu begründen, warum z.B. 7/8 größer als 2/3 ist.
In diesem Fall könnte die Begründung folgendermaßen lauten: Bei beiden
Brüchen fehlt ein Teil zu eins. Da aber 1/7 < 1/3, ist 7/8 n äher bei eins wie 2/3.
Eine weitere Hilfe kann sein, wenn SchülerInnen sich die Dezimalzahlen oder
die Brüche auf einem Zahlenstrahl vorstellen können.
1.3 Verhältnisse und Proportionalitäten verwenden um quantitative Beziehungen
darzustellen
SchülerInnen sollen proportionale Größen wahrnehmen und Zahlen,
Schaubilder und Gleichungen nützen, um über diese Proportionalitäten
nachzudenken. Proportionalitäten tauchen in der Klasse 6-8 immer wieder bei
den unterschiedlichsten Themen auf. Bei Linearfunktionen, beim
Maßstabsrechen, wenn SchülerInnen eine Strecke zwischen zwei Punkten auf
der Karte mit der Strecke in Wirklichkeit vergleichen sollen oder in der
Geometrie.
Wie verhält sich der Inhalt des Kreises zu seinem Radius, wenn ich den
Radius verdopple? Der Inhalt vervierfacht sich. Bei vielen verschiedenen
Themen durch die gesamten Klassen 6 bis 8 kann mit Sch ülerInnen also
Proportionalität bearbeitet werden.
1.4 Große Zahlen auch in exponentieller und in Taschenrechner-Schreibweise
erkennen und verwenden
SchülerInnen sollten die Zahl 2,3Mrd umschreiben können in 2 300 000 000
oder in 2,3 * 10`9.
Und sie sollten wissen wie z.B. die Zahl 2,3Mrd auf dem Taschenrechner
aussieht.
1.5 Faktoren, Vielfache, Primfaktorzerlegung und Primzahlen verwenden um
Problemstellungen zu lösen
Diese Inhalte werden vor allem beim Bruchrechnen benötigt. Vielfache für die
Bildung des Hauptnenners, die Faktorenbildung fürs Kürzen.
2. Eigenschaften
2.1 Assoziative und kommutative Eigenschaften der Addition und Multiplikation
und die distributiven Eigenschaften der Multiplikation über die Addition
verwenden um Rechnungen mit Brüchen, Dezimalzahlen und Prozenten zu
vereinfachen.
Zunächst eine kurze Wiederholung der drei Eigenschaften:
Kommutativ heißt soviel wie umstellbar, vertauschbar.
Es gilt hier:
a+b=b+a
für die Addition und
a*b=b*a
für die Multiplikation
Assoziativ heißt soviel wie vereinigen, verbinden (Sozius beim Motorrad).
Es gilt hier:
(a + b) + c = a + (b + c)
für die Addition und
(a * b) * c = a * (b * c)
für die Multiplikation
Distributiv heißt soviel wie verteilen.
Es gilt hier:
a * (b + c) = a * b + a * c für die Multiplikation über die
Addition
Die SchülerInnen sollen nun lernen, dass diese Eigenschaften nicht nur f ür die
Natürlichen Zahlen gelten, sondern auch für Brüche und Dezimalzahlen, also
für die Rationalen Zahlen anwendbar sind.
Bei der Berücksichtigung dieser Eigenschaften lassen sich manche
Rechenaufgaben leichter und schneller lösen.
Interessant für die Schüler ist auch, dass bei der Multiplikation eines
gemischten Bruches auch das Distributivgesetz angewendet werden kann.
3 * 2½ = 3 * 2 + 3 * ½ .
2.2 Die inverse Beziehung ziwschen addieren-subtrahieren,
multiplizieren-dividieren und neu von quadrieren und wurzelziehen verstehen
und anwenden
SchülerInnen sollen damit Wurzeln ihre ungef ähre Lage auf dem Zahlenstrahl
zuordnen können.
Zum Beispiel: Wurzel aus 27, befindet sich auf dem Zahlenstrahl etwas rechts
von 5, weil 5² = 25 ist. Wurzel aus 99 befindet sich auf dem Zahlenstrahl
etwas links von 10, weil 10² = 100.
3. Gleichheit
Das Verständnis der Gleichheit, ist meiner Meinung nach ein sehr wichtiger
Punkt für das Algebraverständnis, wird aber in dem Standard 1 nicht erwähnt.
3.1 Probleme mit dem Gleichheitszeichen
Eine Lehrerin bat ihre sechste Klasse ihr zu sagen, welche Zahl in das freie
Feld dieser Aufgab muss:
8 + 4 = __ + 5
Die ganze Klasse war sich einig, dass es12 sein muss, weil acht und vier zwölf
ergibt.
Es wird deutlich, dass diese SchülerInnen das Gleichheitszeichen noch nicht
richtig verstanden haben.
In der Arithmetik sind Aufgaben eher so aufgebaut, dass links eine ´Frage`
steht, und die SchülerInnen gewohnt sind diese Frage zu beantworten, und
zwar so, dass die ´Antwort` möglichst nur aus einer Zahl besteht. Das
Gleichheitszeichen wird von den SchülerInnen somit als Aufforderung zum
Ausrechnen aufgefasst.
287 + 146 = 433
Wenn dieses Verständnis der SchülerInnen nicht korrigiert wird, werden sie
mit Aufgaben der Algebra Schwierigkeiten bekommen, denn 2x + 2 sieht eben
nicht nach einer Antwort aus. 2(x + 1) = 2x + 2
Der Lehrer sollte auch darauf achten, dass Sch ülerInnen ihre Überlegungen
zu Rechenreihen nicht einfach so in ihr Heft übertragen:
“3 + 4 = 7 + 8 = 15 * 2 = 30”
Diese falsche Annahme kann auch von der Verwendung des
Taschenrechners kommen. Denn beim Taschenrechner bedeutet das
Gleichheitszeichen ‚Operation ausführen‘.
3.2 Anregungen für ein richtiges Verständnis des Gleichheitszeichens
Der Lehrer sollte Aufgaben mit unterschiedlicher Schreibweise verwenden, so
dass die Schüler das Ergebnis nicht immer nur in gewohnter Weise eintragen
müssen, sondern auch mal auf der linken Seite des Gleichheitszeichens.
__ = 4 + 5 oder 5 + __ = 3 * 6
Für Rechenreihen sollte der Lehrer mit seiner Klasse eigentlich ein neues
Zeichen ausmachen, z.B. einen Pfeil.
Den SchülerInnen sollte auf jeden Fall klar sein, dass ein Gleichheitszeichen
nur einmal in einer Reihe auftauchen kann.
Eine weitere Möglichkeit wäre, SchülerInnen ihre Ergebnisse auf verschiedene
Arten schreiben zulassen.
Nicht 14 als Ergebnis von 5 + 9, sondern 2 * 7, oder 15 –1, usw.
Das Ziel soll sein, dass Schüler die Gleichheit als Beziehung verstehen, in der
zwei verschieden mathematische Ausdrücke den gleichen Wert besitzen.
Die oben erwähnte Lehrerin konnte am Ende das Schuljahres, nachdem sie
mit ihrer Klasse regelmäßig Übungen zum Verständnis der Gleichheit gemacht
hatte, ihrer Klasse sogar folgende Aufgabe vorlegen.
a=b+2
Sie sagte der Klasse, dass der Ausdruck richtig ist, und stellte die Frage, was
denn größer sei, a oder b?
Die Mehrzahl der SchülerInnen der Klasse konnte mit guten Argumenten das
richtige Ergebnis nennen.
Ausdrücke an denen man üben kann, wie SchülerInnen denken!
Richtig oder falsch und warum? (Hinter den Ausdrücken, stehen die von
SchülerInnen gemachten Aussagen.)
4+5=9
richtig, so sind sie es gewohnt
12 – 5 = 9
falsch, da falsch gerechnet
7=3+4
eigentlich richtig, aber doch falsch, weil verkehrt herum
8 + 2 = 10 + 4 richtig, weil 8 + 2 = 10
8=8
eigentlich richtig, aber das sollte man so nicht schreiben
4. Verknüpfungen
4.1 Überschlagsrechnen bei Brüchen
Ein/e SchülerIn rechnet 2/3 + ¾ = 5/7 und will überprüfen ob sein Rechnung
richtig ist. Hierzu kann er die Rechnung mit ihm gut bekannten Brüchen
überschlagen. 2/3 ist größer wie ½ , genauso wie ¾ größer wie ½ ist. Also
muss das Ergebnis auf jeden Fall größer als eins sein. Seine Rechnung oben
kann also nicht stimmen.
Es ist wichtig, dass sich SchülerInnen selber Strategien überlegen und diese
auch anwenden, um prüfen zu können, ob das was sie gerechnet haben auch
wirklich Sinn macht.
4.2 Division
SchülerInnen haben vor allem bei der Division von Brüchen Probleme mit dem
altbekannten “mit dem Kehrbruch malnehmen”. Sie vergessen z.B. wann sie
diese Regel anwenden dürfen, oder von welcher Zahl sie jetzt den Kehrwert
nehmen müssen usw.
Eine mögliche Erklärung für diese Regel, die auch SchülerInnen
nachvollziehen können wäre folgende:
Es gilt :
5/8 = 5 : 8
Es gilt auch:
5/8 = 5 * 1/8
Aus dem Gleichsetzungsverfahren und/oder dem Verständnis der Gleichheit
folgt:
5 : 8 = 5 * 1/8
Anstatt Division Multiplikation und anstatt 8, den Kehrwert von 8, nämlich 1/8.
Die Divison von Brüchen kann man SchülerInnen auch als wiederholte
Subtraktion erklären.
Von einem Band der Länge 5m, werden immer ¾m Stücke abgeschnitten.
Wie oft ist das möglich und wieviel bleibt übrig?
Allerdings sollte man als Lehrer darauf achten, die Division nicht nur auf diese
Art zu verwenden. Es gibt Aufgaben, die über Addition, Subtraktion und
Division zu lösen sind, bei denen aber deutlich wird, dass die Division der
schnellste Weg ist.
John braucht neue Käfige für seine 96 Kanarienvögel. Er will immer 6 in einen
sperren. Wie viele neue Käfige muss er kaufen?`
Hier wird die Division zum einzig möglichen Weg, wenn das Problem
algebraischer Art ist: John also N Vögel hat, die er immer zu x in einen Käfig
sperren will. Bei dieser Aufgabe ist die einzig richtige Lösung N/x.
4.3 Multiplikation mit Zahlen kleiner 1
Durch Aufgaben mit Brüchen und Dezimalzahlen wird das Verständnis der
SchülerInnen für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division vertieft und
verfeinert.
Ausgehend von den Natürlichen Zahlen hatten die SchülerInnen das
Verständnis, dass Multiplikation immer vergrößert, Division hingegen
verkleinert. Anhand eines Produkts das als Rechteck dargestellt wird, kann
den SchülerInnen gezeigt werden, dass Multiplikation durchaus auch
verkleinern kann.
Der Flächeninhalt des Rechtecks sei 3 * y.
Wenn nun y einen Wert gr ößer als 1 annimmt, dann ist der Flächeninhalt auch
größer als 3:
Wenn y > 1, dann Inhalt > 3
Wenn y genau 1 ist, beträgt der Inhalt genau 3: Wenn y = 1, dann Inhalt = 3
Ist y allerdings kleiner als 1, dann ist der Flächeninhalt des Rechtecks auch
kleiner als 3:
Wenn y < 1, dann Inhalt < 3
Das heißt, wenn man eine Zahl mit einer Zahl multipliziert, die kleiner als 1 ist,
ist das Ergebnis auf jeden Fall kleiner als die Ausgangszahl.
Mit diesem Wissen haben die Sch ülerInnen wieder eine Möglichkeit ihre
Ergebnisse selbst zu überprüfen, oder im voraus schon eine Abschätzung des
Ergebnisses vorzunehmen.
4.4 Großes Spektrum an Zahlen
Bei all ihren Rechnungen sollten SchülerInnen ein großes Spektrum an Zahlen
verwenden. Dazu gehört auch Aufgaben zu bearbeiten in denen große Zahlen
vorkommen. Zum Beispiel: 400 Ibize fressen 90 00 Grash üpfer, wie viele frisst
einer?
Zahlenmuster an denen die SchülerInnen erkennen sollen, wie man die
nächste Zahl erhält, sollten auf Dezimalzahlen ausgeweitet werden. Das
erleichtert den Schülerinnen zum einen die Operation zu benennen und nimmt
ihnen die Angst vor Dezimalzahlen.
5000
50
500
nicht nur, sondern auch solche verwenden
5
50
0,5
5
0,05
Bei dem zweiten Beispiel, erkennen die SchülerInnen eher, dass mit 10
multipliziert werden muss, während sie beim ersten auch denken könnten,
dass immer eine Null ‚angehängt‘ werden muss.
Den SchülerInnen sollte auch klar sein, dass eine Addition von Brüchen ganz
anders aussieht,, wie eine Addition von Dezimalzahlen. Bei Brüchen muss der
Hauptnenner gebildet werden, während man Dezimalzahlen untereinander
schreibt und dann addiert.
Bei der Multiplikation von Dezimalzahlen hilft es den SchülerInnen, wenn sie
ihr Ergebnis vorher abschätzen können.
Bei 1,4 * 0,67 kann sich der/die SchülerIn klar machen, dass 1,4 mit einer Zahl
multipliziert wird, die kleiner als eins ist, Deswegen muss das Ergebnis also
kleiner als 1,4 sein. Diese Überlegung hilft dem/der SchülerIn, wenn sie nach
dem schriftlichen Multiplizieren überlegen muss, wo er/sie das Komma setzt.
4.5 Beziehungen algebraisch ausdrücken
Ein Beispiel das wieder verdeutlicht, dass SchülerInnen Schwierigkeiten mit
Dezimalzahlen haben.
Ein Lehrer gab seiner Klasse den Auftrag, seinen vorgelesenen Satz,
mathematisch aufzuschreiben.
‚Wenn man y mit 8 multipliziert, ist das Ergebnis 24 ‘. Damit hatte kein/e
SchülerIn Probleme.
‚Dreimal y ist dasselbe wie 0,051.‘ Bei diesem Satz meldeten sich die
SchülerInnen und beschwerten sich, dass sie die Zahlen nicht mögen, und
dass sie mit Dezimalzahlen nicht rechnen können, obwohl der mathematische
Ausdruck in beiden Fällen der gleiche ist.
Das macht deutlich, dass auch solche Aufgaben wie Beziehungen
mathematisch ausdrücken, Dezimalzahlen enthalten sollten.
Den SchülerInnen wurde folgende Reihe präsentiert:
X 1
Y 9
2
19
3
29
4
39
5
49
6
59
7
69
Sie sollten kommentieren welche Zusammenhänge sie erkennen.
Die SchülerInnen äußerten sich folgendermaßen:
‚x wird immer um eins größer‘
‚y wird immer um 10 größer‘
‚x zeigt an, welche Zehnerzahl der nächste y-Wert hat‘
‚eine 0 an x hängen und 1 wegnehmen‘
‚1 von x wegnehmen und 9 dahinter schreiben‘
Mit diesen Erkenntnissen lassen sich zwar die jeweiligen Reihen weiterführen,
aber es ist noch keine Aussage über den Zusammenhang zwischen x und y
getroffen worden.
Die SchülerInnen sollen also lernen, die Beziehung zischen zwei Zahlen
mathematisch auszudrücken.
Der Lehrer kann das fördern, in dem er die SchülerInnen immer mal wieder
Aussagen über zwei Zahlen, z.B. A = 30 und B = 15 treffen läßt.
Außerdem kann der Lehrer Reihen ohne Reihenfolge verwenden:
X 2
7
9
5
10
6
Y 6
11
13
9
...........
Das zwingt die Schüler sich direkt über die Verknüpfung von x und y
nachzudenken.
Das Ziel ist, dass Schüler den Unterschied zwischen der Vorgehensweise
innerhalb einer Reihe und der Verknüpfung der Variablen erkennen.
4.6 Minuszeichen vor einer Klammer
SchülerInnen sollten auch darin trainiert werden, Regeln zu durchdenken und
mündlich zu begründen, nicht einfach nur auswendig zu lernen.
Hier eine Aufgabe: Warum gilt folgende Regel? M ÜNDLICH begründen!
a – (b – c) = (a – b) + c
Begründung:
Von a wird etwas abgezogen. Und zwar ein b, von dem aber wiederum c
abgezogen wurde.
Also wird von a etwas abgezogen, das um c kleiner ist als b. Wenn ich jetzt
also das ganze b von a abziehe, muss ich wieder c addieren, damit es stimmt.