Reell: rational – irrational
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Reell: rational – irrational 13 Mathematische Inhalte Im Auge behalten Zahlenmengen Rationale und irrationale Zahlen Operieren mit rationalen und irrationalen Zahlen Buchstabenterme, Wurzelterme ­Variable ersetzen und damit weiterrechnen Sich beim Operieren mit irrationalen Zahlen an bekannten Rechengesetzen orientieren __ Der Beweis der Irrationalität von √ 2 ist klassisch. Er sollte von der Lehrperson moderiert werden. 39 Zahlenmengen l – irrationa 095 048 … __ 213 562 373 Reell : rational – √ 2 = – 1.414 270 … _____ 621 120 890 000 000 … Zahldarstellung 8 pt __ en 8.5 pt oft den Die Null wird natürlichen Zahlen In diesem Fall zugeordnet. 8.5 pt für die schreibt man 0. natürlichen Zahlen 8 pt nde Dezimalman abbreche he __ brüche als periodisc (0,2 = 0,20 ) interpretieren . Indien und Arabien Ursprung in en, haben ihren von Pisa) ci (Leonardo wir heute verwend wie Fibonac Zahlen konnten Die Ziffern, die durch Kaufleute «arabischen» unter anderem angepassten Sie wurden gebracht. Die sie weltweit Heute werden dert nach Europa durchsetzen. im 13. Jahrhun derte später erst Jahrhun sich in Europa chinesisch verwendet. japanisch ch malaiisch koreanis thai kannada bengalisch hindi panjabi h arabisch hebräisc ___ 27 __ = – 10 323 ___ = 100 = 1,3 ende, Nicht abbrech brüche che Dezimal __ nicht periodis unendlich π oder √ 2 haben 2 4 _ 1 = 3,23 in gewöhnliche lassen sich ebenso eln. Brüche verwand irrationale Zahlen √2 _1 π 1 3 0 7 –3 – 0,25 __ – √5 ___ __ 0,16 4 _ 3 2 __ = – 11 – 0,18 = ___ 0,0681 = 1 _ 6 3 __ 44 … π = 3,141 59 __ 213 … – √ 2 = – 1,414 wie nach dem Komma viele Stellen ssigkeit in der ohne Regelmä nicht Sie lassen sich Ziffernfolge. Brüche als gewöhnliche l. sie sind irrationa darstellen – ng der Darstellu Tabelle mithilfe Anwendungsfelder 8.5 pt 0 dar. ndung der Zahl stellt die Erfi zu gebrauchen. lichen Geistes für «Nichts» des mensch ige Leistung llbar, ein Zeichen Eine grossart nt, sofern sie Zeit unvorste end unbekan en war es lange , Europa weitgeh Für die Mensch die Zahl 0 in Kenntnis erhielten Mittelalter war aus Indien davon en Bis hinein ins , die zum Beispiel an den römisch te sich lange Handelsreisende nicht durch Kirche orientier 0 für teuflisch. Die katholische Zahl die wurde. ern sowie mitgebracht arabischen Ziff erst Sie hielt die en Ziffern daher Zahlzeichen. die indisch- arabisch eten Stellenuch schafften uns verwend eiten Durchbr Bei dem von Den europaw 1789 –1799). hrlich, um Revolution ( unentbe ter ischen für 0 als Platzhal nach der Französ ngen haben, (eine Ziffer) 12 mehrere Bedeutu ist ein Zeichen wertsystem Ohne die 0 könnte zu vermeiden. Verwechslungen 10 200, … 12, 102, 120, zum Beispiel Geschichte und Geschichte der Mathematik, i­nsbesondere Zahlschreibweisen in verschiedenen Kulturen gehört? n Zahlen __ D Gib zu folgende 0,5 0 √3 2212222 gehört 0,212212 Zahlenmenge E Zu welcher Aufgabe E. Zahlen wie bei F Erfinde weitere 2 1222221 …? 8.5 pt pt pt pt 8.5 8.58.5 n sechs eine der folgende , , oder enge. Zahlenmengen dieser Zahlenm Zahlen aus den wieder zu pt Beispielen Wenn man mit das Ergebnis 7.5 fe mit eigenen nie? Überprü durchführt, gehört Operationen manchmal oder Aussage immer, A Stimmt diese all? die Tabelle. 0 ein Spezialf und ergänze 8 pt durch die Zahl Zahlen 8 pt die Division ist reelle B Weshalb 8 pt Zahlen 8 pt 1. Addieren 2. Subtrahieren Randspalte. n Zahlen jeder Zahlenm zu den rationale : B Notiert zu geben, die nicht denen sie gehören natürliche Zahl engen an, zu C Kann es eine jeweils alle Zahlenm 8 pt natürliche Zahlen 8 pt 8 pt ganze Zahlen 8.5 pt rationale Zahlen 8 pt 8.5 pt reelle Zahlen in der in der r die Begriffe Beispiele. A Erklärt einande enge weitere 2 natürliche Zahlen 8.5 pt manchmal rationale Zahlen 8.5 pt 3 s_LUs.indd 84011_mathbuch_sb_plu immer eispiele. e durch Gegenb en oder widerleg natürliche Zahlen. en Zahlen sind Belege mit Beispiel von zwei natürlich die rational sind. sind rational. A Alle Differenzen irrationalen Zahlen, rationalen Zahlen ten von zwei gebrochenen, B Es gibt Quotien verschiedenen ten von zwei irrationale Zahlen. C Alle Quotien en Zahlen sind Zahl ist. aus natürlich hes eine rationale D Alle Wurzeln 000-Fac 1 e Zahlen. le Zahlen, deren le oder natürlich sind irrationa E Es gibt irrationa enen Zahlen m irrational. von gebroch wiederu Wurzeln sind F Alle len Zahlen e von irrationa irrational sind. G Alle Quadrat en Zahlen, die aus natürlich H Es gibt Wurzeln alen und irration 38-39 Mögliche Lernsicherung Operieren und Benennen ✕ Erforschen und Argumentieren ✕ Grössen, Funktionen, Daten und Zufall n u Lexikon und Begriffe Rational, irrational, reell, periodische Dezimalbrüche, abbrechende ­Dezimalbrüche Kreisberechnungen Der Satz des Pythagoras Winkelfunktionen Logarithmen Projekt: LU 34 «Geschichte der Zahlen» Vernetzung Das Rechnen mit reellen bzw. irrationalen Zahlen knüpft an das Rechnen mit rationalen Zahlen an: Reelle Zahlen finden wie die rationalen Zahlen auch auf dem Zahlenstrahl Platz, der Abstand von vielen irratio­nalen Zahlen zu 0 lässt sich sogar mit Zirkel und Lineal konstruieren. Es gelten alle bisher bekannten Rechen­gesetze. Sämtliche bekannten Operationen mit reellen Zahlen führen wieder zu reellen Zahlen (Ausnahmen: ­Quadratwurzel einer ­negativen Zahl und Division durch 0). Zur Heterogenität t Tätigkeitsbereiche LP 21 len – Mit rationa g n u Das vorliegende Thema soll einerseits einen Überblick 7.5 pt über die Zahlenmengen vermitteln, gleichermassen geht es um eine gewisse Sicherheit beim Umgang mit irra­ tionalen Zahlen. Irrationalen Zahlen begegnet man vorerst durch das Ziehen der Quadratwurzel von rationalen ­Zahlen. Später tauchen irrationale Zahlen in Form von ­Logarithmen, Ergebnissen trigonometrischer Berech­ nungen oder Potenzen auf. Den Lernenden ist ausserdem die irrationale Zahl π bekannt. Die genannten Beispiele machen deutlich, dass irrationale Zahlen bei geome­ trischen Berechnungen eine zentrale Rolle spielen. Querverbindungen ganze 8.5 pt 3. Multiplizieren (Divisor ≠ 0) 4. Dividieren (positive Zahlen) 5. Wurzelziehen (negative Zahlen) 6. Wurzelziehen 06.05.15 08:04 erforschen alen Zahlen len und irration en von rationa Eigenschaften – Rechengesetze anwend n Zahlen rechne – = 4,0 – 2,7 Dezimalbrüche __ √– 3 Hilfsmittel Brüche __ Periodische 1 _ s s a F e t r 5 e 1 i 0 g i 2 r i r n o u k J römisch Mathematisieren und Darstellen gewöhnliche lassen sich in verwandeln. 8.5 pt ungewöhnliche 0,20 ist eine Mit Schreibweise. eise kann dieser Schreibw ___ √ – 3 = ??? 0,5 Dezimalbrüche Abbrechende 875 √ 101 = 10.049 793 238 … 592 653 589 – π = – 3.141 7 rationale Zahlen 000 000 000 2 = 2.000 000 000 … 000 000 000 – 5 = – 5.000 000 000 … __3 = 0.750 000 000 000 4 285 714 … 714 285 714 2 – __ = – 0.285 reelle Zahlen 38 Form und Raum Bereits im «mathbuch 2» wird mit irrationalen Zahlen ­gerechnet, ohne allerdings näher auf Zahlenmengen ­einzugehen. Die irrationalen Zahlen lassen sich schwerer fassen als die rationalen Zahlen. Es sind Dezimalbrüche, die unendlich viele Stellen nach dem Komma auf8.5 pt weisen, ohne wiederkehrende Ziffernfolge. Sie lassen a sich nicht als Bruch z = __ b mit a, b , b ≠ 0 darstellen. Evtl. Ausdrücke unter der Wurzel durch eine 13 Zahl und Variable Hinweise zum Vorgehen Davor Die Lernenden konstruieren selbst eine Zahlreise analog zu Aufgabe 5 der LU. ­Dabei wird von einer natürlichen Zahl ausgegangen. Die Operationsvorschriften sind so zu formulieren, dass bei der Zahlreise natürliche Zahlen, negative Zahlen, rationale Zahlen sowie irrationale Zahlen auftreten. Das Ergebnis am Schluss der Zahlreise soll unabhängig von der ­Ausgangszahl immer gleich gross sein. mathbuch 1 LU 8 «Brüche – Dezimalbrüche – ­Prozente» LU 16 «Wie viel ist viel?» LU 9 «Negative Zahlen» mathbuch 2 LU 13 «Quadratwurzeln» LU 16 «Zehnhoch» Mindestanforderungen: –– Eine Zahlreise formulieren –– Reise durch die vier geforderten ­Zahlenmengen führen –– Die Lernenden können beurteilen, ob ihre Zahlreise immer zum selben Schlussergebnis führt. LU 2 «Rechentraining» Lernkontrolle: «Teste dich selbst» LU 20 «Quadratische Funktion Einbettung im Schuljahr Lernstandserhebung Grundlegung LU 12 «Ganz einfach gerade» Umformungen mit Wurzeltermen allgemein durchführen. mit reellen Zahlen operieren ­mithilfe des Rechners. komplexe geometrische Fragestellungen u. a. mithilfe des ­Satzes des Pythagoras lösen. einfache Operationen mit ­Wurzeltermen durchführen sowie Umformungen von Wurzeltermen durch Einsetzen von Zahlbei­ spielen überprüfen. Eigenschaften der verschiedenen Zahlenmengen beschreiben. Potenzgesetze herleiten und ­anwenden. Flächen und Strecken u. a. mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnen. und Gleichung» Voraussetzungen Eigenschaften von rationalen und irrationalen Zahlen erforschen – Mit rationalen und irrationalen Zahlen rechnen – Rechengesetze anwenden Zusätzlich kann ich … die Unterschiede zwischen ra­ tionalen und irrationalen Zahlen benennen und zu den Zahlen­ mengen Beispiele angeben. Vertiefung Lernzielkontrolle Rechnen mit rationalen Zahlen, Umformen und Auswerten von ­( einfachen) Buchstabentermen Ich kann … Rechentraining «Potenzen und Wurzeln» t Angebot online D213-01
