Lösungen: Übungsblatt 3 zur Quantenelektronik I

Prof. Dr. U. Keller
FS 2016
Lösungen: Übungsblatt 3 zur Quantenelektronik I
Aufgabe 1
Transmission durch eine Glasoberfläche
a)
70°
Luft
Glas
30°
Einfallsebene
b) Die Feldkomponenten sind Ep = E0 cos30° = 0.866 (mit E0 = 1)
und Es = E0 sin 30° = 0.5.
c) Wir rechnen mit Impedanzen unter Verwendung der Formeln aus dem Skript:
Z
Z1,p = Z 0 cosθ1 = 129 Ω, Z 2,p = 0 cosθ 2 = 196 Ω
n
Z
Z1,s = Z 0 / cosθ1 = 1102 Ω, Z 2,s = 0 / cosθ 2 = 322 Ω
n
und erhalten damit
1 − rp
Z 2p − Z1p
= +0.206, t p =
= 0.529,
rp =
n
Z 2p + Z1p
Z − Z1s
= -0.547, ts = 1 + rs = 0.453.
rs = 2s
Z 2s + Z1s
Damit ergeben sich die transmittierten Feldamplituden zu E2p = t p Ep = 0.458 und
E2s = ts Es = 0.226. Es treten keine Phasensprünge auf, weil sich die Vorzeichen der
Feldamplituden nicht ändern.
d) Für die Polarisationsrichtung des transmittierten Strahls ergibt sich ein Diagramm wie
oben rechts, nur mit anderen Winkeln. Der Winkel zur Einfallsebene ist arctan E 2s / E 2p
(
)
= 26.3°.
e) Bei Einfall eines Strahles unter dem Brewster-Winkel θ B = arctan n = 56.3° erfolgt keine
Reflexion für p-Polarisation, d. h. der reflektierte Strahl ist vollständig s-polarisiert. Wir
können wie oben den Reflektionskoeffizienten rs für s-Polarisation berechnen, und der
Anteil der reflektierten Leistung vom unpolarisierten Strahl ist rs2 / 2 = 7.4 %. Das ist für
eine praktische Anwendung unter Umständen zu wenig.
Seite 2
Aufgabe 2
Brechung am Prisma
α
θ
θ′
θ′
θ
n"
a) Die Reflexionsverluste sind minimal, wenn der Einfallswinkel (gegen das Lot gemessen)
θ = θ B = arctan n ist. Die Winkelsumme im Dreieck ist π, so dass α + 2(π / 2 − θ ´) = π ,
wobei θ ´= arcsin(sin(θ B ) / n) der Winkel des Strahls zur Normalen innerhalb des Prismas
sin θ B
ist. Daraus ergibt sich α = 2 arcsin
, was sich übrigens (ohne Beweis) zu
n
α = π − 2θ B umformen lässt. Für Quarzglas ergibt sich n(800 nm) = 1.4533 und α = 69.1o.
b) An der Grenzfläche zwischen zwei dielektrischen Medien ist gemäss dem Skript der
tan(θ 2 − θ 1 )
Amplituden-Reflexionskoeffizient für p-Polarisation rp =
. Dieser wird 0
tan(θ 2 + θ 1 )
beim Brewster-Winkel, weil dort θ1 + θ 2 = π / 2 , so dass der Nenner unendlich wird. Für
kleine Abweichungen δ des Arguments von π/2 gilt: tan(π / 2 + δ ) = − cot(δ ) ≈ 1 / δ , so
dass rp ∝ δ und Rp ∝ δ 2 . Entsprechendes gilt für kleine Abweichungen vom optimalen
Wert von θ 1 , da δ näherungsweise proportional dazu ist.
c) Am einfachsten berechnet man dies rein numerisch: Man berechnet den Ablenkwinkel
δ = θ in + θ out − α für 800 nm und 801 nm, wobei in beiden Fällen
θ in = θ B = arctan n(800 nm) gewählt wird und sich θ out durch zweimalige Anwendung
des Brechungsgesetzes ergibt. Aus der Differenz der Werte ergibt sich die Ableitung,
numerisch -35 µrad/nm oder -7.2 Bogensekunden/nm. (Die Brechungsindices erhält man
aus der Sellmeier-Gleichung im Skript.) Bem.: Manchmal wird für diesen Zweck eine
Gleichung verwendet, die auf dn / dλ zurückgreift, jedoch erhält man den Brechungsindex meist einfacher als seine Ableitung.
d) Das erste Prisma lenkt die Strahlen mit verschiedenen Wellenlängen in verschiedene
Winkel ab. Das zweite Prisma wird so aufgestellt, dass die Eintrittsfläche parallel zur
Austrittsfläche des ersten Prismas steht. Dann werden aus Symmetriegründen sämtliche
Strahlen wieder in die ursprüngliche Richtung gelenkt, behalten aber einen
Parallelversatz. Dieser liesse sich übrigens mit einem weiterem Prismenpaar rückgängig
machen. Eine solche Anordnung wird oft in Lasern für ultrakurze Pulse eingesetzt, da sie
es erlaubt, eine einstellbare negative Dispersion zu erzeugen. Die Einstellung erfolgt über
den Einschub der Prismen, der die Propagationslänge im Material verändert, nicht aber die
Winkel der Strahlen.
Seite 3
Aufgabe 3
Periodischer Pulszug
a) Das Faltungstheorem besagt, dass die Fourier-Transformierte einer Faltung dem Produkt
der Fourier-Transformierten der einzelnen Anteile entspricht. Aus der Amplitude des
Pulses erhalten wir die Fourier-Transformierte E1 (ω ) , während der δ -Kamm im Zeitbereich einem δ -Kamm im Frequenzbereich mit Abständen Δω = 2π / TR entspricht.
+∞
Also haben wir E (ω ) ∝ E 1 (ω ) ⋅ ∑ δ (ω − j 2π / TR ) , woraus sich die zu zeigende Behaupj =−∞
tung ergibt.
b) Im Zeitbereich sehen wir, dass dies zu einem Überlapp der einzelnen Pulse führt, wobei
zu beachten ist, dass die Amplituden der einzelnen Pulse miteinander interferieren.
Dadurch ändert sich auch das zeitliche Profil der Pulse. Im Frequenzbereich nimmt dann
die Grösse Δω = 2π / TR so weit zu, dass schliesslich die Details des Spektrums des
Einzelpulses verloren gehen.