Potenzdefinition – Begriffserweiterung Station 5

Potenzdefinition – Begriffserweiterung
Station 5
Der Begriff „Potenz“ ist zuerst für einen Spezialfall (Hochzahl ist eine natürliche Zahl) definiert
und soll dann auch für Exponenten aus anderen Zahlenmengen gelten.
1.Schritt: Exponenten sind natürliche Zahlen
n ∈ N, a ∈ R.
n
Definition 1:
a = a⋅a⋅a⋅…⋅a
n-mal
Nun kann man Rechenregeln beweisen, z.B.: a ⋅a = (a⋅a)⋅(a⋅a⋅a) = a oder allgemein:
2
Def.1
AG
a ⋅a = (a⋅a⋅…⋅a) ⋅
n
3
m
(a⋅a⋅…⋅a)
n-mal
Def.1
=
a⋅a⋅…⋅a
n
m
a :a =a
=a
n+m
(n+m)-mal
m-mal
Aufgabe 1: Zeige mit konkreten Zahlen für n und m:
Bei der Regel
5
( an ) m = an⋅m
∀ a ∈ R \ {0}, n, m ∈ N \ {0,1}
n–m
hat man Schwierigkeiten, wenn n < m. Rechne nach der
a3
a⋅a⋅a
1
1
3
5
3–5
–2
Regel: a : a = a = a , rechne als Bruch: 5 =
= 2 , Folgerung: a− 2 = 2
a
a⋅a⋅a⋅a⋅a a
a
2.Schritt: Exponenten sind ganze Zahlen
1
0
Definition 2: a − n = n und a = 1, n ∈ N, a ∈ R \ {0}.
a
Man kann nun beweisen, dass alle Rechenregeln wie bei natürlichen Exponenten gelten.
0
Aufgabe 2: Zeige, dass die Definition a = 1 sinnvoll ist.
∀ a ∈ R \ {0}
3.Schritt: Exponenten sind rationale Zahlen
Die bekannten Rechenregeln sollen weiter gelten, also:
1
n
1
n
1
n
1 1
1
+ + .....+
n n
n
n
n
a ⋅ a ⋅ ..... ⋅a = a
= a = a,
z.B. 2 ⋅2 ⋅ 2
=2
=2
Nach der Definition der Wurzel gilt aber: Wird eine Zahl n-mal mit sich selbst multipliziert und
erhält man dabei a, so ist diese Zahl die n-te Wurzel von a. (z.B.: a = 8, 2⋅2⋅2 = 8, d.h. 2 = 3 8 )
(1/3)
(1/3)
(1/3)
(1/3+1/3+1/3)
Aufgabe 3: Begründe: a 5 = 5 a
1
1
Definition 3: a n = n a und
n
m
am = a n , n ∈ N \ {0}, m ∈ N, a ∈ R0 .
+
Wieder muss man beweisen, dass man mit rationalen Exponenten wie gewohnt rechnen kann.
Wenn das geschehen ist, kann man Rechenregeln für Wurzeln herleiten, z.B:
1
1
n
1
a ⋅ b = (Def.3) = ( a ⋅ b) n = (Rechenregel) = a n ⋅ b n = (Def.3) =
Aufgabe 4:
a) Zeige analog, dass
n
a
=
b
n
n
n
a
.
b
b) Beweise durch Rückführung auf die Definition 3:
ACDCA
a ⋅n b
Station 5
3
a ⋅5 a =
15
a8
Potenzen und Wurzeln