Skript

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Mathematik für Sek I und Sek II
Grundlagen der Mathematik
6. Die Geheimnisse der Multiplikation und Exponenten
09:55 Minuten
00:30 Wie weit ist das Sternbild Andromeda von der Erde entfernt?
00:36 200 Billiarden Kilometer!
00:43 Wie viel?
00:47 2 Mal 1017 Kilometer!
00:56 1017 entspricht der Zahl 10, 17-mal mit sich selbst multipliziert.
Das nennt man Potenzierung.
01:05 Mal angenommen, du schenkst deiner Liebsten jeden Tag Rosen. Du beginnst am ersten Tag mit dem Überreichen einer einzelnen
Blume. Am nächsten Tag verdoppelst du die Anzahl Rosen. Wie viele
Blumen musst du ihr schliesslich am fünften Tag schenken?
01:19 Aus einer Rose werden zwei…
01:24 Aus zwei werden vier…
01:29 Aus vier werden acht, usw…Die Anzahl Rosen verdoppelt sich
jeden Tag. Am fünften Tag musst du also sechzehn Rosen schenken.
01:39 Ziemlich verwirrend diese ganzen Multiplikationen. Deshalb
kannst du zur Vereinfachung auch Exponenten verwenden. Setzte
eine kleine 4 oben rechts neben die 2. Man spricht dann von «zwei
hoch vier», oder von «der vierten Potenz von zwei». Das bedeutet,
dass man 2 viermal mit sich selbst multiplizieren muss.
02:00 Potenzierung bezieht sich auf eine mathematische Funktion, bei
der dieselbe Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert wird.
02:07 Beim Potenzieren sprich man von Basis und Exponent. Also
Basis hoch Exponent.
02:21 Der niederländische Mathematiker Simon Stevin hat als erster
das Konzept der Potenzierung eingeführt.
02:26 Im Jahre 1856 hat Stevin eine Zahl und die entsprechende
Quadrat- und Kubikzahl durch Verwendung von eigenen Symbolen
ausgedrückt.
02:33 Der Legende nach war Stevin ein ziemlich fauler Mathematiker,
der die gleichen Zahlen nicht wieder und wieder aufschreiben wollte.
Deshalb erfand er das Potenzieren.
02:46 1637 entwickelte der französische Philosoph und Mathematiker
René Descartes Ausdrücke, die man für Exponenten verwendet.
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Grundlagen der Mathematik: 6. Die Geheimnisse der Multiplikation und Exponenten
02:54 Die Platzierung des Exponenten rechts über der Basiszahl wurde von Descartes erfunden und gilt heute noch als Standard.
03:06 Mit der Zunahme des Exponenten wird das Resultat einer Potenz um ein vielfaches grösser. Man kann so unglaubliche Zahlen auf
einfachste Weise darstellen.
03:21 Wenn man eine Zeitungsseite 50 Mal faltet, wie dick ist sie
dann?
03:27 Versuche es selbst! Da es unmöglich ist, sie fünfzigmal zu falten, schichtest du die einzelnen Seiten stattdessen auf.
03:40 Nach dem ersten Faltvorgang hast du eine Dicke von zwei Zeitungsseiten. Zweimaliges falten ergibt vier, dreimaliges falten ergibt
acht.
03:49 Jede Faltbewegung verdoppelt die Dicke der Zeitungsseite.
Anders gesagt kannst du diese durch Exponenten der Zahl zwei ausdrücken.
04:01 Falte die Zeitung nun also fünfzig Mal. Bei einer ursprünglichen
Dicke von einem Zehntel Millimeter pro Seite erreicht der Papierstapel
eine Höhe von 112‘590‘000 Kilometern.
Unglaublich, nicht?
04:19 Aber das ist tatsächlich das korrekte Resultat. Jedes Mal, wenn
du mit zwei multiplizierst, entspricht dies einer Faltbewegung. Schau
dir an, wie hoch der Stapel werden kann.
04:38 Zehnmaliges Falten macht den Stapel höher als eine Tasse
Kaffee.
04:42 Nach fünfzehn Faltbewegungen ist der Stapel höher als ein
Kühlschrank.
04:45 Zweiundzwanzigmal…und er ist so gross wie ein Wolkenkratzer.
04:54 Nach dem fünfundzwanzigsten Mal ist der Stapel höher als der
Mount Everest.
05:00 Wie du siehst, wird der Zeitungsstapel höher und höher…
Nach dem fünfzigsten Mal Falten…beträgt er 112‘590‘000 Kilometer.
Das ist hoch genug, um von der Erde bis zum Mars zu reichen.
05:21 Verstehst du nun die Macht der Exponenten?
05:28 Das hier ist ein brahmanischer Tempel in Indien.
Seine drei Säulen fassen 64 goldene Scheiben.
05:43 Die brahmanischen Mönche haben sich in Geduld geübt, indem
sie diese runden Scheiben von einer Säule zur anderen verschoben
haben. Es gab zwei Regeln:
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05:52 1.Es darf nur eine Scheibe auf einmal bewegt werden. 2. Eine
grössere Scheibe darf nie auf eine kleinere gelegt werden.
06:00 Wie viele Schritte braucht man, um alle 64 Scheiben zu verschieben.
06:14 Wie sieht es mit zwei Scheiben aus? In diesem Fall sind drei
Schritte genug.
06:22 Und bei drei Scheiben? Nun braucht man schon sieben Bewegungen.
06:36 Wenn man genau hinschaut, erkennt man ein Muster.
06:43 Die Anzahl der benötigten Schritte ist 2 hoch die Anzahl der
Scheiben, minus 1.
06:55 Das bedeutet, dass im Fall des brahmanischen Tempels 2 hoch
64, minus 1 Bewegung notwendig sind. Und die Antwort lautet… Nicht
erschrecken…
07:07 Verblüffend, nicht? Das ist eine ziemlich grosse Zahl und sie ist
auch ziemlich schwierig zu lesen.
07:14 Wenn man für jede einzelne Bewegung eine Sekunde braucht,
wie lange würde es dauern, alle Scheiben zu verschieben?
07:23 584,9 Milliarden Jahre. Das ist ziemlich lange. Selbst wenn man
damit begonnen hätte, als die Erde noch in Entstehung war, wäre man
jetzt immer noch am Verschieben von Scheiben.
07:39 Exponenten sind nützlich, um extrem grosse oder extrem kleine
Zahlen auszudrücken, besonders in der Naturwissenschaft.
07:45 Lichtgeschwindigkeit beträgt rund 300´000´000 Meter pro Sekunde, oder 3 Mal 108 Meter pro Sekunde.
07:56 Die Grösse eines Wasserstoffmoleküls beträgt 0.00000001 cm,
oder 1 Mal 10-8 cm.
08:07 Ein Koch stellt von Hand Nudeln her. Jedes Mal, wenn er den
Teig schlägt, verdoppelt sich die Menge der Nudeln.
08:21 Der Koch beginnt mit einem Klumpen Teigmasse, aber wenn er
ihn faltet, werden daraus zwei, vier und dann acht.
08:27 Die Anzahl der Nudeln vervielfacht sich rasend schnell. In kürzester Zeit werden daraus Dutzende und Hunderte.
Wie kann das sein? Weil die magische Kraft der Exponenten sogar in
einfachsten Dingen wie Nudeln wirkt.
08:46 Würdest du gerne eine Welt voller Güte und Wärme schaffen?
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08:54 Hilf drei Menschen in deinem Umfeld. Diese Drei helfen dann
wieder Dreien in ihrem Umfeld. Diese Neun helfen dann wieder jeweils
Dreien, und so weiter.
09:13 Nach zehn solchen Runden ist 60´000 Menschen geholfen worden. Nach 16 Runden kann man der ganzen Bevölkerung von Korea
helfen, also etwa 50 Millionen Menschen. Nach 21 Runden kommt die
ganze Menschheit mit 7 Milliarden Einwohnern in den Genuss einer
guten Tat.
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