Aufgabe A8/13 Aufgabe A8/14 Aufgabe A8/15

Aufgabe A8/13
Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf
dem Tisch.
a)
Peter dreht zufällig zwei gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt
liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:
: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch.
: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch.
b)
Die neun Karten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura
dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch
liegen, bis ein Ass erscheint. Die Zufallsvariable
gibt die Anzahl der
aufgedeckten Spielkarten an. Welche Werte kann annehmen?
Berechnen Sie
2 .
(Quelle Abitur BW 2013)
Aufgabe A8/14
An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich
a)
b)
aller Spiele.
Formulieren Sie ein Ereignis für das gilt:
10
∙
∙
10 ∙
∙
.
8
Jemand
spielt
vier
Spiele
an
dem
Automaten.
Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zweimal.
Mit
welcher
(Quelle Abitur BW 2014)
Aufgabe A8/15
Ein Glücksrad hat drei farbige Sektoren, die beim einmaligen Drehen mit
folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt werden:
: 20%
ü : 30%
!"#$: 50%
Das Glücksrad wird –mal gedreht.
Die Zufallsvariable gibt an, wie oft die Farbe Rot angezeigt wird.
a)
Begründen Sie, dass binomialverteilt ist.
Die Tabelle zeigt einen Ausschnitt der Wahrscheinlichkeitsverteilung von .
&
b)
c)
&
0
0,01
1
0,06
2
0,14
3
0,21
4
0,22
5
0,17
6
0,11
7
0,05
…
…
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens dreimal Rot
angezeigt wird.
Entscheiden Sie, welcher der folgenden Werte von der Tabelle zugrunde
liegen kann: 20, 25 oder 30.
Begründen Sie Ihre Entscheidung.
(Quelle Abitur BW 2015)
Aufgabe A8/16
Bei einem Glücksrad werden die Zahlen 1, 2, 3 und 4 bei einmaligem Drehen mit
folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt:
1
2
3
4
Zahl
0,4
0,1
0,3
0,2
Wahrscheinlichkeit
a)
b)
Das Glücksrad wird einmal gedreht
Geben Sie zwei verschiedene Ereignisse an, deren Wahrscheinlichkeit
jeweils 0,7 beträgt.
An dem Glücksrad sollen nun die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen 1 und
2 so verändert werden, dass das Spiel fair ist.
Für einen Einsatz von 2,50€ darf man einmal am Glücksrad drehen. Die
angezeigte Zahl gibt den Auszahlungsbetrag in EURO an.
Bestimmen Sie die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen 1
und 2.
(Quelle Abitur BW 2016)
Lösung A8/13
Es handelt sich um Ziehen ohne Zurücklegen.
im ersten Zug bzw. im zweiten Zug.
a)
im ersten Zug bzw.
;
im zweiten Zug.
∙
Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Ass aufgedeckt ist beträgt etwa 27,8%.
im ersten Zug bzw. im zweiten Zug.
im ersten Zug bzw.
,
b)
2
#%2
!
Lösung A8/14
b)
b)
c)
∙ ! ∙
,
"
∙
Es handelt sich um eine Bernoullikette mit (
10, )
: „Bei 10 Spielen mindestens 8 Mal verlieren“.
Binomialverteilung mit ( 4, )
und # 2.
4
- #
2
/ 0⋅/ 0 ⋅/ 0
6⋅ ⋅
;
2
.
Er verliert mit
Wahrscheinlichkeit genau zweimal.
Lösung A8/15
a)
,
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Dame und ein Ass aufgedeckt sind beträgt
etwa 22,2%.
Spätestens im sechsten Zug wird ein Ass aufgedeckt. Somit gilt für #:
1 % # % 6.
#%2
# 1 ! # 2
Hinweis: # 0 kann nicht vorkommen, denn dann wäre ja kein Ass im
Kartenstapel.
# 1
#
a)
,
im zweiten Zug.
und # * 8.
# ist binomialverteilt, weil es nur zwei Ergebnisse gibt mit immer gleichen
0,8.
Wahrscheinlichkeiten bei jedem Zug, nämlich 234
0,2 und 234
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 3–mal 234 ist # * 3 , bzw.
1 6 # % 2 . Aus der Tabelle ergibt sich somit:
16 # %2
1 6 0,01 ! 0,06 ! 0,14
0,79.
Die Wahrscheinlichkeit für mindestens 3–mal 234 beträgt 79%.
8 (⋅)
Das Maximum in der Tabelle liegt für 9 4 bei 0,22.
Damit ist der Erwartungswert : #
8 4.
4 ( ∙ 0,2 ⟹ ( 20
Der Tabelle liegt der Wert ( 20 zugrunde.
Lösung A8/16
a)
b)
erscheint die 1.“
erscheint die 2.“
erscheint die 3.“
erscheint die 4.“
! =
0,4 ! 0,3 0,7
!
!
0,4 ! 0,1 ! 0,2 0,7
=
Erwartungswert: : #
2,50€
Betrachtung aus der Sicht des Spielers:
@A
1,00€
2,00€
3,00€
# @A
)
)
0,3
@A ∙ # @A
) €
2 ⋅ ) €
0,3 ⋅ 3€
A:
B:
C:
D:
„Es
„Es
„Es
„Es
∪=
A
B @A ∙
#
@A
) !
2 ⋅ ) !
0,9 !
4,00€
0,2
0,2 ⋅ 4€
0,8
: #
) ! 2) ! 0,9 ! 0,8 2,5
Weiterhin muss gelten:
) ! ) ! 0,3 ! 0,2 1 ⟹ )
1 6 ) 6 0,3 6 0,2 0,5 6 )
) ⟶: #
0,5 6 ) ! 2) ! 0,9 ! 0,8 2,5
2,5 ⟹ )
0,3
2,2 ! )
)
0,5 6 )
0,2
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 für die Zahl 1 und 0,3 für die Zahl 2 ist
das Spiel fair.