Serie 9: Integralrechnung - D-MATH

D-ERDW, D-HEST, D-USYS
Dr. Ana Cannas
Mathematik I
HS 13
Serie 9: Integralrechnung
Hinweis:
Als „Aufwärmübung“ empfehlen wir Ihnen aus Papula Bd. 1 Kapitel V (S. 559-565)
• zu den Abschnitten 1-7 die Übungsaufgaben 1,3,4,6-11,
• zu Abschnitt 8 die Übungsaufgaben 2-8,10-12 und
• zu Abschnitt 9 die Übungsaufgaben 1-4.
1. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch partielle Integration:
Z π
Z e
2
3
t2 sin t dt.
t ln t dt.
b)
a)
0
1
Z
c)
0
π
e4t sin 3t dt.
Z
d)
0
π
t sin t
dt.
1 + cos2 t
2. Bestimmen Sie die folgenden Integrale durch eine geeignete Substitution:
Z 3
Z 2
2t
1
dt.
b)
a)
2 dt.
2
2 t ln t
1 t +1
Z 1 √
2 (
2 + 1) t2
c)
dt.
cos2 (πt3 )
0
3. Finden Sie eine Stammfunktion der folgenden unbestimmten Integrale mit Hilfe einer
Partialbruchentwicklung des Integranden (vgl. Papula Bd. 1 V 8.3.1):
Z
Z
7t − 5
4t2 + 4t − 11
a)
dt.
b)
dt.
t2 − 1
(2t − 1)(2t + 3)(2t − 5)
Z
Z
8t2 − 2t − 43
3t2 − 4t − 1
c)
dt.
d)
dt.
(t − 5)(t + 2)2
t3 − 3t2 + 3t − 1
Bitte wenden!
4. Das Bild zeigt die Graphen der Funktionen
f (x) = x2 + x + 1
g(x) = x3 + x2 −
und
5
x + 1.
4
12
10
8
6
4
2
0
−2
−2
−1
0
1
2
a) Berechnen Sie die Stellen x1 < x2 < x3 , an denen sich die Graphen der beiden
Funktionen schneiden.
Z x3
b) Berechnen Sie das Integral
(f (x) − g(x)) dx.
x1
c) Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche.
5. Verifizieren Sie die folgenden Identitäten:
Z π
2
π
a)
sin2 t dt = .
2
− π2
Z
b)
1
2
dt
π
p
= .
2
t (2 − t)
r
Hinweis: Verwenden Sie die Substitution x =
Z
c)
1
∞
t
.
2
√
t dt
1 π
=
+ .
(1 + t)2
2 4
Hinweis:
√ Verwenden Sie zuerst partielle Integration und dann die Substitution
x = t.