Kettenbrüche
oder
Unendliche Division durch Summen1:
Interessant und fast uralt ist der Goldene Schnitt, den man auch so erhält:
Teile ewig eine Zahl durch die Summe von 1 und ihrem Kehrwert.
1
http://faculty.evansville.edu/ck6/integer/contfr.html
Der Mathematische Monatskalender unter EULER
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1
2014
____1________
__
1
_____
a.)
Ist
1+
= 1
1____________
:
1+
-
1______
1
1 + 1/(1 + …)
1 + 1/(1 + …)
x
= 1
:
x
-1
x+1=1:x
Oder wenn x der größere Teil der gülden geteilten Einheitsstrecke ist,
dann verhält sich die ganze Einheitstrecke zu x, wie x zum kleineren
Teil 1-x, also 1:x=x:(1-x). Dies liefert die quadratische Gleichung
x²+x-1=0 mit der Lösung
-½ ± √(¼+1) = ½ (√5 - 1)
wobei der
negative Wert nicht verwendbar ist.
Je
zwei
aufeinander
folgende
Kettenbrüche
verhalten
sich
wie
aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen2, die man aus der Summe ihrer
beiden Vorgänger erhält, wenn man mit den ersten beiden natürlichen
Zahlen beginnt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 1443 …
2
http://www.youtube.com/watch?v=bE2EiI-UfsE&feature=related
http://www.youtube.com/watch?v=eYDwWbDhCEg&feature=related
Bei den Fibonacci-Zahlen kehrt nach einer Periode von 60 die Folge der Endziffern
wieder. Nach einem Zyklus von 300 wiederholen sich die letzten zwei Ziffern, nach einem
Zyklus von 1500 die letzten drei Stellen und so fort. Bei den Lucas-Zahlen
Ln = Fn-1 + Fn+1
(2,) 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ... kehren die letzten zwei Ziffern in einem
Sechzigerzyklus wieder. Bei beiden Folgen konvergieren die Verhältnisse aufeinander
folgender Werte gegen den Goldenen Schnitt.
3
1/(1+½)=2/3 1/[1+1/(1+½)]=3/5
8/13, 13/21 usw
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2
1/{1+1/[1+1/(1+½)]}=5/8
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Die von Leonardo Pisano erfundenen Bonacci-Zahlen lassen sich
auch im Pascalschen Dreieck berechen,
wenn man diagonal summiert!
Die explizite Folgenbeschreibung dieser Bonacci Zahlenfolge, (deren
Differenzenfolgen4 wiederum Fibonacci-Folgen sind, und deren Formel
somit keine Funktion n-ten Grades sein kann – n als Exponenten!),
kann mit Hilfe der irrationalen √5 beschreiben werden als
4
Auch die Differenzenfolge der Zweierpotenzen 1, 2, 4, 8, 16, 32, …
reproduziert sich: Allgemein ist bei n-ten Potenzen von a die
Differenzenfolge (a-1) an
For Fibonacci graphs see http://bit-player.org/page/3
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Fn = { [(1 + √5)/2]n – [(1 - √5)/2]n } / √5
oder
Fn = {φ n –(- φ) -n} / √5
mit dem Goldenen Schnitt φ = 1.61803 ...
1–φ=1/φ
(1 - φ) n = φ- n
Beispiel: n=8
F8 = [ 1,6188 – 0,6188] / √5
(46,97… - 1/46,97) /√5 = 46,9495/v5 ≈ 20,9965 ≈ 21…
n=9
F9 = [ 1,6189 – (-1,618)-9] / √5 = (75,999 + 1/75,999)/ = 33,99 etwa
34
bis n
k=1
∑ Fk²
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=
F1²+F2²+F²3+F4²+…+ F²n.. = Fn Fn+1
4
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Die Diagonalen des regulären Pentagons
Teilen sich im Verhältnis des goldenen Schnitts
Die Hypotenuse ist c√(1+¼)
½√5c - ½c = ½c(√5 -1) ≈ 0.61803
1,6180339887498948482045868343656381177203091798057628621
35448622705260462818902449707207204189391137484754088075386
89175212663386222353693179318006076672635443338908659593958
29056383226613199282902678806752087668925017116962070322210
43216269548626296313614438149758701220340805887954454 ...
http://rchsbowman.wordpress.com/category/history-of-math/
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____1________
1
_____________
und
2+
1______
=
1:
2+
1_________
-2
2 + 1/(2 + …)
2 + 1/(2 +…)
(aus x=1/x -2 folgt5, dass x=√2 -1 ist)
Man schreibt √2 = [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,…] =[1,2 Periode]
5
oder aus x=1/(2+x)
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gibt 2x+x²-1=0
also x= -1 ± √2
6
somit √2 = 1+x
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____1________
4+
1______
= 1:
und für √5
4
4 + 1/(4 + …)
1
4+
___________
-
1_________
4 + 1/(4 +…)
(aus x=1/x -4 folgt, dass x=√5 - 2 ist)
Kurzschreibweise:
√5 = [2, 4]
also Periode 4
Und allgemein √(a²+1) = [a, 2a] Unterstrich ist Periode zB. √10 = [3, 6]
√3 = [1, 1,2 Periode 12]
√6 = [2, 2, 4 Periode 24]
allgemein √(a²+2) = [a, a, 2a]
oder √(a²+a) = [a, 2, 2a]
zB. √3 = [1, 1,2]
zB. √6 =[2, 2, 4 ]
√7 = [2, 1,1,1,1,4 Periode 11114]
√8 = [2, 1, 4 Periode 14]
√10 = [3, 6 Periode 6]
√11 = [3, 6, 3 Periode 63]
√(9a²+3) = [3a, 2a, 6a]
zB. √12 =[3, 2, 6 ]
Jede Quadratwurzel lässt sich als einen periodischen Kettenbruch
entwickeln und umgekehrt!
Für dritte Wurzeln z.B
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oder transzendente Zahlen wie π oder e gibt es keine periodische
Kettenbruchdarstellung mit Stammbrüchen!
(n=6)
n=7
e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 2n, 1 ,1 ...].
wohl aber sind zB. bei der Eulerschen Zahl Gesetzmäßigkeiten erkennbar!
Und erst
Schon Euler fand folgende zwei interessante Entwicklungen
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Witzig auch folgende Darstellungen
Das Wallische Produkt
½π = 2/1 2/3 4/3 4/5 6/5 6/7
von 1656 lässt sich auch als Kettenbruch schreiben
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π/4 = 0 +
__________1_________________
1+
1²___________________
1
…
+ 3²/(2 +5²/{2+7²/[2+9²/2+…]})
#
Und weil’s so schön war noch einen vom kleinen Rama6
Ramanujan-Kettenbruch
6
http://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Kettenbr%C3%BCche
http://functions.wolfram.com/Constants/E/10/
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/fraction.shtml
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Kettenbrüche oder Unendliche Division durch Summen1: Teile ewig