M. Held, S. Huber, P. Palfrader
Universität Salzburg
SS 2016
Fachbereich
Computerwissenschaften
PS Diskrete Mathematik“
”
1. Aufgabenblatt für PS am 10.3.2016
Aufgabe 1 Wir bezeichnen mit A die Aussage “es ist eiskalt” und mit B die Aussage “es schneit”.
Formalisieren Sie die folgenden Aussagen als aussagenlogische Formeln mittels A und B.
(a) Es ist eiskalt und es schneit.
(b) Es ist eiskalt, aber es schneit nicht.
(c) Es ist nicht eiskalt und es schneit nicht.
(d) Entweder es schneit oder es ist eiskalt (oder beides).
(e) Entweder es schneit oder es ist eiskalt, aber es schneit nicht, wenn es eiskalt ist.
(f) Wenn es schneit, ist es eiskalt.
Aufgabe 2 Vereinfachen Sie die folgenden beiden aussagenlogischen Formeln durch Umformen so
weit wie möglich.
(a) pA ^ Aq ñ pB _ Bq
(b) ppA ^ Bq ñ pA ^ pB _ Cqqq
Aufgabe 3 Sind die beiden angegebenen aussagenlogischen Formeln logisch äquivalent?
(a) pA ^ B ^ Cq und pA ^ Bq ñ p A _ pB ñ Cqq
(b) A ô pB ñ Cq und pA ñ Bq _ C
Aufgabe 4 Geben Sie für die folgenden Formeln die freien und gebundenen Variablen an und negieren Sie die Formeln. (Negationszeichen dürfen in ihrer Lösung nur noch ganz innen stehen.)
1. Dz f pzq “ z
2. Dx pP pxq _ P pyqq
3. @[email protected] f px, yq “ z
Aufgabe 5 Formulieren Sie die gegebenen Aussagen in der Sprache der Prädikatenlogik.
1. Für jede reelle Zahl x gilt, dass x ¨ 0 sich zu 0 ergibt.
2. Zu jeder natürlichen Zahl n existiert eine natürliche Zahl m, welche größer als n ist.
3. Für jedes Element x aus der Menge G existiert ein größer als 0 derart, dass K pxq eine
Teilmenge von G ist.
Die Menge der natürlichen Zahlen werden mit N bezeichnet; die Menge der reellen Zahlen mit R.
Anstatt “Für alle natürlichen Zahlen n” schreibt man oft auch kurz @n P N. (Wie würde dies formal
exakt lauten?)
Aufgabe 6 Wir fassen px, yq P R2 als einen Punkt der Ebene mit den Koordinaten x und y auf. Es
seien die Mengen A “ tpx, yq : px, yq P R2 ^ @x P R y ě sin xu und B “ tpx, yq : px, yq P R2 ^ Dx P
R y ě sin xu zwei Teilmengen des R2 .
1. Skizzieren Sie die Mengen A und B graphisch.
2. Zeigen Sie, dass A Ď B.
3. Warum ist die Definition von A und B aus formaler Sicht nicht glücklich gewählt?
Aufgabe 7 Analysieren den folgenden Term: Was ist der syntaktische Aufbau? (Prädikate? Terme?
Quantoren? . . . ) Worum handelt es sich dabei? Was sind die freien Variablen?
@n P N f pnq “
n
ź
2i
i“1
Die Angaben sind unter www.cosy.sbg.ac.at/~held/teaching/diskrete_mathematik/ps_bsp.pdf
auch im WWW verfügbar. Sofern nicht explizit anders angegeben, sind alle Antworten detailliert zu
begründen. Bitte benutzen Sie die in der Vorlesung verwendete Schreibweise und Terminologie.
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2. Aufgabenblatt für PS am 17.3.2016
Aufgabe 8 Es sei X “ t1, 2, 3u. Geben Sie eine Halbordnung ĺ auf der Menge X an, die keine Totalordnung ist, aber ein Minimum besitzt. Hat die duale Ordnung zu ihrer Halbordnung ein
Minimum?
Aufgabe 9 Es sei X “ t1, 2, 3u. Es sei P die Menge aller Teilmengen von X, P 1 die Menge aller nichtleeren Teilmengen von X und P 2 die Menge aller nicht-leeren echten Teilmengen von X. Bestimmten
sie die minimalen und maximalen Elemente von P, P 1 , P 2 , so wie die Existenz eines Minimums oder
Maximums, jeweils mit Ď als Halbordnung.
Aufgabe 10 Gegeben sei eine halbgeordnete Menge pS, ĺq mit zwei verschiedene minimale Elemente.
Zeigen Sie, dass pS, ĺq kein Minimum besitzt.
Aufgabe 11 Beweisen Sie mit Hilfe der Peano-Axiome, dass es keine natürliche Zahl n gibt, für die
1 ă n ă 1 ` 1 gilt.
Aufgabe 12 Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass @n P N : 2n ě 2n.
Aufgabe 13 Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die Summe der ersten n ungeraden
natürlichen Zahlen n2 ergibt. Formulieren Sie die zu beweisende Aussage formal und achten Sie auf
eine genaue Ausführung der Einzelschritte für einen Induktionsbeweis.
Aufgabe 14 Beweisen Sie durch vollständige Induktion die folgende Summenformel:
n
ÿ
@n P N
j“1
j2 “
npn ` 1qp2n ` 1q
.
6
Achten Sie auf eine genaue Ausführung der Einzelschritte für einen Induktionsbeweis.
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3. Aufgabenblatt für PS am 7.4.2016
Aufgabe 15 Zeigen Sie: Es gibt ein n0 P N, sodass für alle n P N mit n ą n0 gilt: 2n ă n!.
(Hinweis: Der Ausdruck n! (”n faktorielle”) ist kurz für 1 ¨ 2 ¨ 3 . . . pn ´ 1q ¨ n.)
Aufgabe 16 Maria hat ein (nicht notwendigerweise konvexes) Vieleck auf Papier gezeichnet und
ausgeschnitten. Nun aber fällt ihr ein, dass sie Dreiecke ja viel lieber mag. Daher will sie dieses
Vieleck entlang einer Diagonalen (von Eckpunkt zu Eckpunkt) in zwei Teile schneiden und diesen
Prozess solange mit den neuen Teilen wiederholen bis nur noch Dreiecke vorhanden sind.
Da Maria unnötige Arbeit gerne vermeiden würde, sucht sie nach der minimalen Anzahl der Schnitte,
die sie für ein n-Eck braucht.
Überzeugen Sie Maria mit Hilfe eines mathematisch formal korrekten Beweises, dass, egal wie sie
schneidet, immer gleich viele Schnitte benötigt werden. Wieviele sind es?
(Dass jedes Vieleck mindestens eine Diagonale hat, entlang derer man schneiden kann, dürfen Sie
voraussetzen.)
Aufgabe 17 Sei X “ tx, y, zu und ĺ eine Relation mit x ĺ x, x ĺ z, y ĺ y und y ĺ z. Welche
Paare aus X müssen weiters mindestens in Relation stehen, damit ĺ a) reflexiv, b) total, c) transitiv
ist.
Aufgabe 18 Die Menge X sei die Menge aller natürlichen Zahlen größer als 1 und sei ĺ eine Relation
auf X mit a ĺ b genau dann wenn a ein Teiler von b ist.
a) Zeigen Sie, dass ĺ eine Halbordnung ist.
b) Beweisen oder widerlegen Sie: ĺ ist eine Totalordnung.
c) Was sind die minimalen und maximalen Elemente von X bzgl. ĺ? Gibt es ein Minimum oder
ein Maximum?
Aufgabe 19 Sei F1 “ F2 “ 1 und Fn “ Fn´1 ` Fn´2 für n ą 2.
• Zeigen sie, daß für alle durch 5 teilbaren k gilt: 5 Fk .
• Gilt dies auch für andere ganzzahlige Startwerte der Folge? Warum (nicht)?
• Welche Möglichkeiten für die Anzahl der durch 5 teilbare Zahlen in Fi gibt es überhaupt, wenn
man die Startwerte variiert.
Aufgabe 20 Sei a eine natürliche Zahl und p P P derart, dass p ffl a. Zeigen Sie, dass es keine zwei
Zahlen 1 ¨ a, 2 ¨ a, . . . , pp ´ 1q ¨ a gibt, welche den gleichen Rest bei der Division durch p haben.
Aufgabe 21 Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass 52 33k `26k´1 für alle nicht-negativen
ganzen Zahlen k gilt.
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4. Aufgabenblatt für PS am 14.4.2016
Aufgabe 22 Zeigen Sie, dass aus p a ¨ b und p ffl b folgt, dass p a, mit p P P und a, b P Z. Lässt
sich die obige Aussage auf beliebige ganze Zahlen p P Z verallgemeinern?
Aufgabe 23 Es sei p eine Primzahl und es sei d P Z mit d ıp 0. Beweisen Sie, dass für alle a, b P Z
gilt:
ad ”p bd
ñ
a ”p b.
(Es ist also zu beweisen, dass d gekürzt“ werden darf.) Lässt sich die obige Aussage auf beliebige
”
ganze Zahlen p P Z verallgemeinern?
Aufgabe 24 Es seien a und b zwei beliebige natürliche Zahlen größer 1.
1. Zeigen Sie, dass es n paarweise verschiedene Primzahlen p1 , . . . , pn gibt, sodass a “ pa11 ¨ ¨ ¨ pann
und b “ pb11 ¨ ¨ ¨ pnbn , wobei a1 , b1 , . . . , an , bn P N0 .
2. Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung von gcdpa, bq und beweisen Sie Ihre Vermutung.
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5. Aufgabenblatt für PS am 21.4.2016
Aufgabe 25 Für x P R und n P N0 definieren wir
$
1
falls n “ 0,
’
’
’
&x
falls n “ 1,
f px, nq :“
n´1
2
’x ¨ f px , 2 q falls n ą 1 ^ n ”2 1,
’
’
%
falls n ą 1 ^ n ”2 0.
f px2 , n2 q
Überlegen Sie sich, weshalb die Evaluation von f px, nq für alle x P R und n P N0 terminiert, und
beweisen Sie dann, daß f px, nq “ xn . (Wir verwenden dabei die Definition von xn aus der VO mit
dem Zusatz 00 :“ 1, wie er etwa im Geometric Modeling bei Bernstein Polynomen üblich ist.)
Aufgabe 26 Für x P R definieren wir txu :“ maxtz P Z : z ď xu. Zeigen Sie, daß
n! “
Yn]
2
n´1
tź
2 u
t
u
!¨2
¨p
p2i ` 1qq
n
2
für alle n P N.
i“0
Aufgabe 27 Wie alt bist Du?“ fragt Andi seine Freundin Carmen. So etwas fragt man eine Dame
”
”
doch nicht“ antwortet diese. Aber wenn Du mein Alter durch drei teilst, bleibt der Rest zwei.“ Und
”
”
wenn man es durch fünf teilt?“ Dann bleibt wieder der Rest zwei. Und jetzt sage ich Dir auch noch,
”
daß bei Division durch sieben der Rest fünf bleibt. Nun solltest Du aber wissen, wie alt ich bin.“
Wissen Sie es auch? Ermitteln Sie das Alter von Carmen (1) durch schlaues“ Probieren (wobei Sie
”
das naive Durchprobieren aller Zahlen zwischen 1 und 105 vermeiden) und (2) durch Anwenden der
Methoden aus der Vorlesung.
Aufgabe 28 Finden Sie a, b P N so, daß die nachstehende Beziehung für alle x P Z gilt:
"
x ”2 a
x ”6 5 ðñ
x ”3 b
Aufgabe 29 Finden Sie alle Lösungen (aus Z) des folgenden Systems von Ungleichungen und drei
linearen Kongruenzen:
1200 ď x ă 2400
x ”3 2
x ”4 3
x ”5 6
Hinweis: Versuchen Sie, das System geeignet umzuformen, um die Methoden aus der Vorlesung anwendbar zu machen.
Aufgabe 30 Finden Sie in Z48 die zu 5 multiplikativ inverse Zahl z. (Simples Probieren reicht hier
nicht; Sie sollen die in der Vorlesung gelehrten Methoden anwenden.)
Aufgabe 31 Beweisen Sie, daß die in der Vorlesung (Dia 89) angegebene Addition von rationalen
Zahlen nicht von der konkreten Wahl der Repräsentanten der Äquivalenzklassen abhängt.
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6. Aufgabenblatt für PS am 28.4.2016
Aufgabe 32 Es seien a, b P N. Zeigen Sie, dass tpx, yq P Z : ax ` by “ gcdpa, bqu unendlich viele
Elemente besitzt. Bestimmen Sie für a “ 84 und b “ 48 zwei Elemente dieser Menge.
Aufgabe 33 Es sei n P N beliebig (gedacht: beliebig groß). Zeigen Sie, dass es zu jeder reellen Zahl
x P R eine rationale Zahl q P Q gibt, mit |x ´ q| ă 2´n . (Mit anderen Worten, beweisen Sie, dass Q
dicht in R liegt.) Welche Beweistechnik(en) haben Sie angewandt?
Aufgabe 34 Beweisen Sie die Dreiecksungleichung für reelle Zahlen, nämlich
|x| ` |y| ě |x ` y|
für alle x, y P R mit Hilfe von zwei Beweistechniken: (i) direkt und (ii) durch Fallunterscheidung.
Aufgabe 35 Wir halten λ P Rzt1u fest. Es sei die Funktion f : N0 Ñ N0 rekursiv definiert, nämlich
n`1
gilt
f pnq “ λn ` f pn ´ 1q. Vervollständigen Sie die unvollständige Definition, sodass f pnq “ 1´λ
1´λ
für alle n P N0 . (Beweisen Sie ihre Lösung.)
Aufgabe 36 Beweisen Sie durch Kontraposition folgende Aussage: Wenn die letzte Ziffer einer Zahl
2, 3, 7, oder 8 ist, dann ist diese keine Quadratzahl. (Eine Quadratzahl ist das Quadrat einer
natürlichen Zahl.)
Aufgabe 37 Zeigen Sie, dass Ÿ, mit x Ÿ y ô x ă y ^ x ”2 y, eine wohlfundierte Ordnung auf N
ist.
Aufgabe 38 Für x P Rřdefinieren wir rxs :“ mintz P Z : z ě xu. Beweisen Sie mit einer wohlfundierten Induktion, dass nk“1 k ”2 r n2 s ist für alle n P N.
• Bestimmen Sie die Parität von
řn
k“1
k für 1 ď n ď 8 explizit.
• Definieren Sie eine geeignete wohlfundierte Ordnung und führen Sie die wohlfundierte Induktion
durch. (Tipp: Sie können das Ergebnis aus dem vorherigen Beispiel verwenden.)
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Aufgaben für das PS - Universität Salzburg