Ubungsblatt 9 - Dependable Systems and Software

DEPENDABLE SYSTEMS AND SOFTWARE
Fachrichtung 6.2 — Informatik
Universität des Saarlandes
Christian Eisentraut, M.Sc.
Julia Krämer
Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 2012/13)
Übungsblatt 9
(Zusatz:Beweise)
Hinweis: Eine irrationale Zahl ist eine Zahl x ∈ R \ Q. Bekannte Beispiele sind
1
√ √
2, 3 und π.
Mathematik nach prädikatenlogischer Ausdruck
Aufgabe 9.1
Aus der Schule kennen Sie den folgenden Satz: Wenn A, B und C arithmetische Ausdrücke sind
und A = B, dann gilt auch A + C = B + C und A · C = B · C.
Übersetzen Sie den Satz in einen prädikatenlogischen Ausdruck.
Aufgabe 9.2
Schreiben Sie die folgenden Sätze als prädikatenlogische Ausdrücke auf.
(a) Wenn n eine natürliche Zahl ist und n2 + 5 ungerade, dann ist n gerade.
(b) Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.
(c) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.
(d) Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational.
(e) Das Produkt zweier rationalen Zahlen ist rational.
(f) Seien A,B Mengen. Wenn A ∪ B = A, dann ist B ⊆ A.
(g) Seien A, B und C Mengen. Dann ist die Kardinalität von A ∪ B ∪ C gerade die Summe
der Kardinalitäten der Mengen verringert um die Kardinalitäten aller möglichen Schnitte
der Mengen.
2
Prädikatenlogischer Ausdruck nach Mathematik
Aufgabe 9.3
Schreiben Sie die folgenden prädikatenlogischen Ausdrücke in mathematische Sätze und Definitionen (natürlichsprachlich) um. Wenn möglich sollen Ihre Sätze ähnlich wie in Aufgabe 9.2
formuliert sein.
(a) ∀A, B : A \ B = A → B ∩ A = ∅
(b) ∀A, B : A ∪ B = A → B ⊆ A
(c) ∀A, B : A ⊆ B → B ⊆ A
(d) ∀z ∈ Z : (∃k ∈ Z : 3 · z + 2 = 2 · k) ↔ (∃k :∈ Z : z + 5 = 2 · k + 1) ↔ (∃k ∈ Z : z 2 = 2 · k)
1
3
Gegenbeispiele angeben
Aufgabe 9.4
Widerlegen Sie die Behauptungen, indem Sie ein Gegenbeispiel angeben. Korrigieren Sie die Aussagen dann und beweisen Sie die Korrektheit Ihrer Lösung. Bei manchen Behauptungen können
Sie nur die Negation bilden, bei anderen ist es möglich eine korrekte Beziehung anzugeben.
(a) Das Produkt zweier irrationaler Zahlen ist irrational.
(b) Seien A, B und C Mengen. Wenn A ∪ C = B ∪ C, dann gilt A = B.
(c) Seien a, b natürliche Zahlen. Dann ist max(a, b) = 12 · (a + b + |a − b|) + 1.
(d) Seien a, b natürliche Zahlen. Dann ist min(a, b) = 12 · (a + b + |a − b|).
4
Kontraposition
Hinweis: Bei der Kontraposition bedient man sich der Äquivalenz von ϕ → ψ und ¬ψ → ¬ϕ
für ϕ, ψ ∈ P. Um mit Hilfe der Kontraposition zu arbeiten, formen Sie zunächst die Aussage
gemäß dieser Regel um, und arbeiten dann wie gewohnt mit der Implikation und den anderen
Bestandteilen der Behauptung weiter.
Aufgabe 9.5
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe der Kontraposition.
(a) Beweisen Sie für eine beliebige natürliche Zahl n: Ist n2 ungerade, dann ist auch n ungerade.
(b) Wenn n eine ganze Zahl ist und n3 + 5 ungerade ist, dann ist n gerade.
(c) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.
(d) Wenn x selbst keine rationale Zahl ist, dann ist auch x1 keine rationale Zahl.
(e) Wenn n eine natürliche Zahl ist und n2 + 5 ungerade, dann ist n gerade.
5
Beweis durch Widerspruch
Aufgabe 9.6
Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe des Widerspruchsbeweises.
(a) Man sagt, y heißt Barbier, wenn ∀x : (¬P (x, x) ↔ P (y, x)) für y wahr wird. Zeigen Sie,
dass es keinen Barbier geben kann.
(b) Die Funktion f : R → R, f (x) = x2 − 2 hat keine Nullstelle in Q.
(c) Hinweis: Eine Nullstelle einer beliebigen Funktion g ist ein Element x seines Quellbereiches, so dass g(x) = 0. Gehen Sie bei diesem Beweis ähnlich vor wie beim Beweis, dass
√
2 6∈ Q.
√
(d) 3 6∈ Q
(e) Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist irrational.
6
Ringschluss
Aufgabe 9.7
Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden drei Aussagen mit Hilfe eines Ringschlusses. Sei dazu
z ∈ Z beliebig.
(a) ∃k ∈ Z : 3 · z + 2 = 2 · k
(b) ∃k :∈ Z : z + 5 = 2 · k + 1
(c) ∃k ∈ Z : z 2 = 2 · k
2
7
Direkte Beweise
Aufgabe 9.8
Beweisen Sie die folgenden Aussagen direkt. Verwenden Sie dazu die Regel (=-Subst).
Hinweis: Bei einigen Aufgabenteilen benötigen Sie den Satz aus Aufgabe 9.1.
(a) Die Summe zweier ungerader Zahlen ist gerade.
(b) Das Produkt zweier ungerader Zahlen ist ungerade.
(c) Es gibt zwei irrationale Zahlen, deren Potenz rational ist.
Aufgabe 9.9
Beweisen Sie auch diese Aussage direkt. Verwenden Sie dazu die Regel (=-Subst) nicht, sondern
wenden Sie die Sätze an.
Zeigen Sie, dass x2 − x − 1 = 0 zwei Lösungen hat. Formen Sie dazu die Gleichung um.
Aufgabe 9.10
Machen Sie sich klar, warum man (Subst) und (=-Subst) nicht einfach austauschen kann.
Hinweis: Einen Ausdruck zu vereinfachen ist nicht das gleiche wie in einer Gleichung beide
Seiten äquivalent zu verändern. Betrachten Sie dazu z.B. die beiden vorangegangenen Aufgaben.
Hinweis: Auf Funktionen kann man äquivalent injektiv und surjektiv auch wie folgt definieren.
Sei f : X → Y eine beliebige Funktion von der Menge X in die Menge Y . Dann heißt f injektiv,
wenn es ∀x, y ∈ X : f (x) = f (y) → x = y erfüllt und surjektiv, wenn es ∀y ∈ Y : ∃x ∈ X :
f (x) = y erfüllt. Auch die Komposition definiert man häufig auf Funktionen etwas anders: Sei
zusätzlich g : W → X eine Funktion von der Menge W nach X. Dann ist (f ◦ g)(w) := f (g(w))
für w ∈ W .
Definition 1 (a) f −1 ist die Umkehrfunktion zu einer Funktion f , wenn f −1 funktional und
die Umkehrrelation von f ist.
(b) f −1 ist die Umkehrabbildung zu einer Abbildung f , wenn f −1 funktional, links-total und
die Umkehrrelation von f ist.
Aufgabe 9.11
Beweisen Sie die folgenden beiden Äquivalenzen:
(a) Eine Funktion f besitzt genau dann eine Umkehrfunktion, wenn f injektiv ist.
(b) Eine Abbildung f besitzt genau dann eine Umkehrabbildung, wenn f bijektiv ist.
8
Gemischtes
Aufgabe 9.12
Beweisen Sie, dass die Gleichheit unter Kardinalität auf unendlichen Mengen eine Äquivalenzrelation
ist.
Aufgabe 9.13
Bearbeiten Sie Aufgabe 2.2 (b) des Wochenübungsblattes erneut. Vergleichen Sie vorher Ihre
restlichen Beweise mit dem Lösungsblatt.
Sie sind nun schon fertig? Kein Problem, bearbeiten Sie einfach die fehlenden Beweise auf
den reguären Übungsblättern.
3