C i - TU Ilmenau

1.7 Energiespeicherelemente der Elektrotechnik
1.7.1
Kapazität und Kondensator
- Influenz
Eine Ladung befindet sich in
einer Kugelschale. Auf der
Oberfläche des Leiters werden
Ladungen influenziert (Influenz).
Das elektrische Feld existiert
auch außerhalb der Schale, im
Leiter selbst verschwindet es.
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
1
Ladungstrennung durch Influenz
-
-
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Die elektrischen Feldlinien stehen senkrecht zur Leiteroberfläche.
Warum ???
Hätte das elektrische Feld E an der Oberfläche eines Leiters eine parallel zur Oberfläche
verlaufende Komponente, E||, so würde diese die Elektronen beschleunigen. Im
statischen Fall (Ladungen ruhen), muss E|| null sein, also muss das elektrische Feld
senkrecht zur Leiteroberfläche stehen.
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
3
Die Abschirmwirkung geschlossener Leiterflächen:
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
Ein starkes elektrische Feld existiert
in der Umgebung dieses
„Faraday’schen Käfigs“. Es ist so
stark, dass Elektronen aus den
Atomen der Luft herausgeschlagen
werden und Ladung zum (oder vom)
Metallkäfig fließt. Doch die Person
im Käfig ist davon nicht betroffen.
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
5
Der “Ladungslöffel”:
Ein geladener Leiter (Metallkugel) wird in
eine isolierte Metalldose (guter Leiter)
gesenkt, dessen Nettoladung null ist.
Die geladene Kugel berührt die Dose und
ihre gesamte Ladung fließt schnell zur
Außenfläche der Dose.
Wenn die Kugel anschließend wieder
entfernt wird, stellt man fest, dass ihre
Nettoladung null ist.
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
van de Graff Generator
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
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- Polarisation
U
+
+
+
+
+
+
+
+Q +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
---- + +
-----+ +
----- + +
-----+ +
----- + +
--
- -Q
-
- der ektrische Fluß Ψd
Ψd
Feld- bzw.
Verschiebungslinien
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
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- die ektrische Flußdichte D
∆Ψd, ∆Az
Ψd
Betrag und Einheit der elektrischen Flußdichte werden:
[D] = 1As/m²
Umgekehrt gilt:
das elektrostatische Feld zweier ungleichnamig geladener Kugelelektroden
1
Daraus ergibt sich als
Grundeigenschaft des
elektrostatischen Feldes
die Beobachtungstatsache:
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
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Beispiel 1:
∫ D dA = Qumfaßt
Der elektrische Fluss durch die Fläche A1 ist positiv.
Der elektrische Fluss durch A2 ist negativ.
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
∫ D dA = Qumfaßt
Beispiel 2:
A
Der Nettofluss durch die Fläche A ist gleich Null.
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
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Beispiel 3:
∫ D dA = Qumfaßt
Der Nettofluss durch die
Fläche A ist negativ.
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
∫ D dA = Qumfaßt
Beispiel 4:
Der elektrische Fluss durch die Fläche A1 ist positiv.
Der elektrische Fluss durch A2 ist gleich Null.
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
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- der Zusammenhang zwischen elektrischer Flußdichte und Feldstärke
für elektrisch lineare Werkstoffe gilt:
D
im Vakuum gilt die absolute Permittivität
E
ε 0 = 8,86 ⋅ 10−12
As
Vm
allgemein ist mit der relativen Permittivität:
-Kapazität und Kondensator
U
Q
+Q
-Q
U
Dielektrikum
Metallelektroden
Q
C
U
17
die Proportionalitätskonstante
wird als Kapazität bezeichnet.
Bemessungsgleichung der Kapazität
im homogenen Feld gilt:
Q = Ψd = D A
-Q
+Q
U = Ed
A
damit wird die Kapazität
C=
d
Q DA εE A
=
=
U Ed
Ed
U
g - Permittivität
19
- Zusammenschaltung von Kondensatoren
Reihenschaltung von Kondensatoren
+Q
C1
U1
C2
+Q
+Q
U2
Cn
Q1 = Q2 = ⋯ = Qn = Q
Un
Uab
CersR
+Q
Uab
n
Q
1
Q
U ab = ∑ U i = ∑ = Q∑ =
CersR
i =1
i =1 Ci
i = 1 Ci
n
n
Parallelschaltung von Kondensatoren
Uab
Q1
Q2
Qn
C1
C2
Cn
U 1 = U 2 = ⋯ = U n = U ab
n
Q=
n
∑Q = ∑U
i
i =1
n
ab
Ci =U ab ∑ Ci = U ab CersP
i =1
i =1
CersP
Uab
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Der kapazitive Spannungsteiler
U1
U2
Q
Q
1
CersR
C1
=
1
1 C2 + C1
+
=
C1 C2
C1 C2
C2
Uab
Q = C1 U1 = C2 U 2 = CersR U ab
CersR =
C2 C1
C1 + C2
Technische Anwendungen
- technische Kondensatoren
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
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Kondensatoren mit fester Kapazität
Plattenkondensator
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
Folienkondensator
Kondensatoren mit variabler Kapazität
Achse
(isoliert)
α
Rotor
Stator
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Eine Taste einer Computertastatur. Beim Drücken der Taste verringert sich der Abstand
der Kondensatorplatten, wodurch die Kapazität steigt. Dies wird von einem
elektronischen Schaltkreis registriert.
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
Koaxialkabel
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
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Kondensatormikrofon
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
Energie im elektrostatischen Feld
Q
Q
dWel=U dQ
U
U
im linearen Fall ergibt sich
Q = CU
dQ = C dU
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Kräfte auf Ladungen im elektrischen Feld
Anwendungsbeispiele
Beschleunigung von
Elektronen
(Kathodenstrahlröhre,
Teilchenbeschleuniger)
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
Erzeugung gewollter Elektronenbahnen
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
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Eine Kathodenstrahlröhre. Anstelle von elektrischen Ablenkplatten werden häufig
magnetische Ablenkspulen verwendet. Die relative Lage der Bauteile wurde zur
besseren Übersichtlichkeit übertrieben dargestellt.
Bildquelle: Douglas C. Giancoli, Physik, Pearson-Studium, 2006
- der Verschiebungsstrom
u(t)
+Q(t)
-Q(t)
i(t)
i(t)
Ψd(t)
Leitungsstrom
im Nichtleiter gilt
Q(t ) = C u( t )
33
Zustandsänderungen an Kondensatoren
ic(t)
C
uc(t)
uc(t)
t
das Schaltgesetz:
die Aufladung von Kondensatoren
t=0
R
i
UQ
Maschensatz:
C
U Q = R i + uC
uC
i= C
duC
dt
lineare Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
UQ = R C
duC
+ uC
dt
35
t=0
R
UQ = R C
i
UQ
C
duC
+ uC
dt
uC
Abkürzung:
RC = τ
Lösungsmethode: -Trennung der Variablen
UQ = τ
duC
+ uC
dt
duC
dt
= −
uC − U Q
τ
U Q dt = τ duC + uC dt
− τ duC = uC dt − U Q dt
duC
dt
=
−
∫ uC − U Q ∫ τ
t=0
R
duC
dt
=
−
∫ uC − U Q ∫ τ
i
UQ
uC
C
(
)
ln uC − U Q = −
t
+ ln K
τ
die allgemeine Lösung:
uC = U Q + K e
ln
t
−
τ
(u
C
)=− t
− UQ
τ
K
uC − U Q
K
= e
−
t
τ
37
t=0
R
i
UQ
uC = U Q + K e
C
−
t
τ
uC
−
t
τ
uC = U Q (1 − e )
Anfangsbedingung:
uC (0 − 0) = uC (0 + 0) = 0 = U Q + K e
K = − UQ
−
0
τ
und für den Strom
t
UQ − t
duC
1
−
τ
i= C
= − U QC e (− ) =
e τ
dt
τ
R
u(t)
Kurvendiskussion:
uC(t)
t=0
R
0,7 UQ
i
0,5 UQ
UQ
uC
C
t
τ
1,2
0,7
i(t)
−
t
uC = U Q (1 − e τ )
0,5 UQ/R
i=
UQ
R
e
−
t
0,3 UQ/R
τ
i(t)
t
τ
1,2
0,7
39
- die Entladung von Kondensatoren
t=0
uC
i
uC = U Q + K e
R
C
uC = K e
−
−
t
τ
t
τ
Anfangsbedingung:
uC ( 0 − 0 ) = uC ( 0 + 0) = U 0 = K e
K = U0
−
0
uC = U 0 e
τ
−
t
τ
und für den Strom
i = −C
t
duC
1 U −t
−
= − U 0C e τ ( − ) = 0 e τ
dt
τ
R
Kurvendiskussion:
uC = U 0 e
i=
UQ
R
e
−
−
t
τ
t
τ
i(t), uC(t)
t
τ
41