88 Analytische Geometrie – mit Vektoren rechnen 89
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Analytische Geometrie – mit Vektoren rechnen Analytische Geometrie – mit Vektoren rechnen Berechnung von Winkeln Abstand eines Punktes von einer Geraden Winkel zwischen Vektoren Der Abstand eines Punktes R von einer Geraden g ist gleich dem Betrag des Vektors æ RF. F ist der Fußpunkt des Lotes von R auf g. Die Berechnung des Abstandes erfolgt in drei Schritten: – Aufstellen einer Gleichung der zu g orthogonalen Ebene E durch R, – Berechnung des Schnittpunktes F von g und E, – Berechnung des Betrages von æ RF. Schließen zwei Vektoren æ a und æ b den Winkel a ein, so gilt: a æ·æb cos (a) = __ |æ a |·| æ b| (0 ª a ª 180°). Schnittwinkel zweier Geraden Abstand eines Punktes von einer Ebene Sind æ u und æv die Richtungsvektoren von zwei sich schneidenden Geraden, so gilt für den Schnittwinkel a: |u æ·væ | cos (a) = __ |u æ|·| væ | Der Punkt R (r1 | r2 | r3) (Ortsvektor ær) hat von der Ebene E mit E: æ n0 (æx – æ p) = æ o bzw. a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b den Abstand d: (0 ª a ª 90°). d = |æ n0 (ær – æ p) | = Winkel zwischen Gerade und Ebene |æ u·æ n| sin (a) = __ (0 ª a ª 90° ). |æ u |·| æ n| |n æ1·næ2 | (0 ª a ª 90° ). cos (a) = __ |n æ1 |·| næ2 | Bestimmen von Abständen Abstand zweier Punkte ____ √a21 + a22 + a23 | . Abstand windschiefer Geraden g liegt in F, F steht senkrecht auf E. Winkel zwischen Ebenen æ1 s2 n 2 Schneiden sich zwei Ebenen mit den Normalenvektoren n æ1 und n , dann gilt für ihren Schnittwinkel a: æ2 | a1 r1 + _ a2 r2 + a3 r3 – b Ist æ n0 (ær – æ p) > 0, so liegt R auf der Seite der Ebene, in die æ n0 zeigt. Ist æ n0 (ær – æ p) < 0, so liegt R auf der gegenüberliegenden Seite. Ist æ u ein Richtungsvektor der Geraden und æ n ein Normalenvektor der Ebene, die von der Geraden durchstoßen wird, so gilt für den Schnittwinkel a: E 88 E1 s d = |n æ0·(qæ – pæ) |, wobei næ0 © uæ, næ0 © væ und | næ0 | = 1. Weitere Abstände a a Die windschiefen Geraden g mit g: xæ = p æ + t uæ und h mit h: xæ = qæ + s væ haben den Abstand n2 æ s1 Der Abstand zweier paralleler Geraden g und h ist gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden g von der Geraden h. Der Abstand zweier paralleler Ebenen ist gleich dem Abstand eines Punktes der einen Ebene zur anderen Ebene. Der Abstand d zweier Punkte A (a1 | a2 | a3) und B (b1 | b2 | b3) beträgt ___ |æ AB | = d = √ (a1 – b1) 2 + (a2 – b2) 2 + (a3 – b3) 2 . Der Abstand einer Geraden zu einer zu ihr parallelen Ebene ist gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes der Geraden von der Ebene. 89
