Komplexe Zahlen
Einführung:
Die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der uns vertrauten reellen Zahlen. Der Wunsch nach einer solchen Erweiterung
entsteht durch durch den Versuch für jede quadratische Gleichung eine Lösung zu nden. Jede komplexe Zahl besteht aus einem
Real und einen Imaginärteil, dessen 'Einheit' i ist:
z = a + bi
Dabei gilt: i2 = −1 und somit:
(a, b ∈ R)
i 0 = 1, i 1 = i , i 2 = −1, i 3 = −i , i 4 = 1, ...
Die konjungierte einer komplexen Zahl z = a + bi , ist z = a − bi , sie unterscheiden sich also nur durch das Vorzeichen der
imaginären Komponente.
Rechenregeln in kartesischer Binomialform:
• (a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + i (b + d)
• (a + bi ) − (c + di ) = (a − c) + i (b − d)
• (a + bi )(c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac − bd) + i (ad + bc) (aus multiplizieren)
•
a+bi
c+di
=
(a+bi)(c−di)
(c+di)(c−di)
=
(ac+bd)+i(bc−ad)
c 2 +d 2
(also mit der konjugierten des Nenners erweitern)
Polardarstellung:
Jede komplexe Zahl lässt sich auch durch Angabe von Entfernung vom Nullpunkt, dem Betrag r , und dem Winkel von der
positiven x-Halbachse aus, dem Argument φ, bestimmen.
3
a + ib
a
2
r
b
1
φ
−1
0 1
2
3
4
5
6
Man schreibt komplexe Zahlen in Polardarstellung auch in der Form: r (cos(φ) + i sin(φ))
Die Umrechung erfolgt durch folgende Formeln:
Von der Polardarstellung zur kartesischen Binomialform:
• a = r · cos(φ)
• b = r · sin(φ)
Von der kartesichen Binomialform zur Polardarstellung:
• r=
√
a2 + b 2
• φ = arctan( ba )
Bei der Berechung von φ ist darauf zu achten in welchem Quadraten sich die komlpexe Zahl bendet, für die Berechnung mit
dem Taschenrechner gelten folgende Regeln:
email: juergen@nachhilfe-saueregger.at
Tel.:0664/ 36 160 36
• im I. Quadranten: φ = arctan( ba )
• im III. Quadranten: 180◦ + φ = arctan( ba )
• im II. Quadranten: 180◦ + φ = arctan( ba )
• im IV. Quadranten: 360◦ + φ = arctan( ba )
Falls a = 0 gilt für b < 0: r = b, φ = 270◦ und für b > 0: r = b, φ = 90◦
Multiplikation und Divison in Polarkoordinaten:
Für z1 = (r1 , φ1 ) = r1 (cos(φ1 ) + i sin(φ1 )) und z2 = (r2 , phi2 ) = r2 (cos(φ2 ) + i sin(φ2 )) gilt:
• z1 · z2 = (r1 · r2 , φ1 + φ2 ) oder r1 · r2 (cos(φ1 + φ2 ) + i sin(φ1 + φ2 ))
•
z1
z2
= ( rr12 , φ1 − φ2 ) oder
r1
r2 (cos(φ1 − φ2 ) + i
sin(φ1 − φ2 ))
Potenzieren von komplexen Zahlen, die Formel von Moivre:
Für z = (r, φ) = r (cos(φ) + i sin(φ)) gilt:
z n = (r n , φ · n) oder: r n (cos(nφ) + i sin(nφ))
Wurzeln von komplexen Zahlen
Für z = (r, φ) = r (cos(φ) + i sin(φ)) gilt:
√
n
√ φ + k · 360◦
√
φ + k · 360◦
φ + k · 360◦
+ i sin
für: k ∈ 0..n − 1
z = ( n r,
) oder: n r cos
n
n
n
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Komplexe Zahlen - Nachhilfe