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- Zahlenfolgen Mathematik Leistungskurs Klasse 12, M. Rehder
Die Fibonacci – Zahlen:
Die Fibonacci-Zahlen gehören zu den berühmtesten und am meisten benutzten Zahlen in der
Mathematik. Fibonacci oder Leonardo von Pisa hat im Jahre 1202 das berühmte Buch "Liber Abaci"
geschrieben, welches auch das "Kaninchen - Problem" behandelt. Wenn 2 Kaninchen jeden Monat ein
neues Paar Kaninchen zur Welt bringen, dieses neue Paar aber erst im Alter von 1 Monat selbst
zeugungsfähig ist und die Kaninchen niemals sterben, wie viele Kaninchenpaare sind dann jeden Monat
am Leben? Die Antwort sind die Fibonacci-Zahlen!
(Source: www.natur-struktur.ch/goldenmean/fibonacci.php)
Annahmen:
1) Zu Beginn gibt es ein Paar neugeborene Kaninchen.
2) Jedes neugeborene Kaninchenpaar wirft nach 2 Monaten ein weiteres Paar.
3) Anschließend wirft jedes Kaninchenpaar jeden Monat ein weiteres Paar.
4) Kaninchen leben ewig und haben einen unbegrenzten Lebensraum.
Notieren wir nach jedem Monat die Anzahl der Kaninchenpaare, dann erhalten wir eine Zahlenfolge, die
sogenannte Fibonacci – Zahlenfolge. Die ersten Folgeglieder lauten: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89
Bevor wir die besondere Bedeutung der Fibonacci Zahlenfolge weiter untersuchen werden, werden wir
unsere verwendeten Grundbegriffe über Folgen mathematisch präzisieren.
Definition 1.01 (Folge)
Unter einer (Zahlen-) Folge reeller Zahlen, oder kurz Folge in ℝ, verstehen wir eine Abbildung
𝑓 ∶ ℕ → ℝ mit der Menge der natürlichen Zahlen als Definitionsbereich. Ist 𝑓(𝑛) = 𝑎𝑛 , dann schreiben
wir (𝑎𝑛 ) oder 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , … . Eine Folge 𝑎𝑛 reeller Zahlen heißt
a) stationär, falls 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+1 für alle 𝑛 ∈ ℕ gilt,
b) quasistationär, falls 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛+1 ab einer Stelle 𝑛0 gilt,
c) beschränkt, falls es eine Konstante 𝐾 > 0 mit |𝑎𝑛 | ≤ 𝐾 für alle 𝑛 ∈ ℕ gibt,
d) monoton wachsend, falls 𝑎𝑛 ≤ 𝑎𝑛+1 für alle 𝑛 ∈ ℕ gilt,
e) streng monoton wachsend, falls 𝑎𝑛 < 𝑎𝑛+1 für alle 𝑛 ∈ ℕ gilt,
f) monoton fallend, falls 𝑎𝑛 ≥ 𝑎𝑛+1 für alle 𝑛 ∈ ℕ gilt,
g) streng monoton fallend, falls 𝑎𝑛 > 𝑎𝑛+1 für alle 𝑛 ∈ ℕ gilt.
Beispiele: a) 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, … ist eine streng monoton wachsende Folge, wobei die
Folgenglieder immer um 1 inkrementiert werden.
b) 5, 5, 5, 5, 5, 5, … ist eine konstante Folge, die Fünferfolge.
c) −1, 1, − 1, 1, − 1, 1, … ist eine alternierende Folge, denn das Vorzeichen der Folgenglieder
wechselt laufend.
Man kann eine Folge wie folgt angeben:
a) Graphische Darstellung
b) Rekursives Bildungsgesetz
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 + 1, 𝑎1 ≔ 0
c) Explizites Bildungsgesetz
𝑎𝑛 = 𝑛
d) Wertetabelle
e) Angabe der ersten Folgenglieder
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …
Für die Fibonacci – Folge erhalten wir offenbar die folgende rekursive Darstellung:
𝑓𝑛+2 = 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 für 𝑛 > 1 mit den Startwerten 𝑓1 ≔ 1 und 𝑓2 ≔ 1
Ein späterer Höhepunkt wird die Umformung der rekursiven Darstellung in eine explizite Darstellung
sein. Außerdem werden wir die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonacci - Zahlen näher
untersuchen. Zuvor wollen wir noch präzise die Konvergenz einer Zahlenfolge besprechen. Dazu führen
wir zunächst den grundlegenden Begriff der Konvergenz von Folgen ein, wie er von Augustin Louis
Cauchy (1789 – 1857) in seinen „Vorlesungen zur Infinitesimalrechnung“ zur strengen Begründung der
Analysis geprägt wurde.
Definition 1.02 (Folgenkonvergenz)
Wir nennen eine Folge (𝑎𝑛 ) reeller Zahlen konvergent gegen 𝑎, wenn zu jedem 𝜀 > 0 eine reelle Zahl
𝑛0 (𝜀) existiert, sodass für alle 𝑛 ≥ 𝑛0 (𝜀) die Ungleichung |𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜀 erfüllt ist. In diesem Fall heißt
𝑎 der Grenzwert von (𝑎𝑛 ) und wir schreiben 𝑎 = lim 𝑎𝑛 oder auch 𝑎𝑛 → 𝑎 für 𝑛 → ∞. Eine nicht
𝑛→∞
konvergente Folge heißt divergent.
Exkurs (Mathematische Notationen, Quantoren):
∀ Allquantor (für alle)
∃ Existenzquantor (es gibt ein, bzw. für ein)
∃! Eindeutiger Existenzquantor (es gibt genau ein, bzw. für genau ein)
∄ Nichtexistenzquantor (es gibt kein)
Bemerkung: In Quantorennotation bedeutet die Konvergenz einer reellen Zahlenfolge 𝑎𝑛 :
𝑎 = lim 𝑎𝑛 ∶⇔ ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝑛0 (𝜀) ∈ ℝ ∀𝑛 ≥ 𝑛0 (𝜀) ∶ |𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜀
𝑛→∞
lim 𝑎𝑛 = 𝑎 bedeutet also, dass für jedes 𝜀 > 0 fast alle Folgenglieder von 𝑎𝑛 in der 𝜀 − Umgebung von
𝑛→∞
𝑎 (d.h. in 𝑈𝜀 (𝑎) = (𝑎 − 𝜀, 𝑎 + 𝜀)) enthalten sind. Eine Folge heißt konvergent, wenn sie einen
Grenzwert hat.
Satz 1.03 (Eindeutigkeit des Grenzwertes)
Jede konvergente Folge (𝑎𝑛 ) reeller Zahlen besitzt genau einen Grenzwert.
Beweis:
Angenommen die konvergente Folge (𝑎𝑛 ) hätte zwei Grenzwerte 𝑎 ≠ 𝑎′ . Setze dann 𝜀 ≔
|𝑎−𝑎′ |
2
> 0.
Nach Voraussetzung erfüllen alle Folgenglieder die Ungleichungen |𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜀 und |𝑎𝑛 − 𝑎′ | < 𝜀.
Hiermit resultiert: 2𝜀 = |𝑎 − 𝑎′ | = |𝑎 − 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 − 𝑎′ |
≤
⏟
|𝑎 − 𝑎𝑛 | + |𝑎𝑛 − 𝑎′ | < 2𝜀. ■
∆−𝑈𝑛𝑔𝑙.
Satz 1.04 (Notwendiges Kriterium)
Jede konvergente Folge (𝑎𝑛 ) reeller Zahlen ist beschränkt.
1
Beispiel: Wir beweisen mit Definition 1.02, dass die reelle Zahlenfolge 𝑛² gegen 0 konvergiert:
1
1
Wir setzen |𝑎𝑛 − 𝑎| = |𝑛2 − 0| = 𝑛² < 𝜀 und stellen und die Frage, ab welcher Zahl 𝑛 die Bedingung
1
1
1
< 𝜀 erfüllt ist. Auflösen nach 𝑛 ergibt: 𝑛 > √𝜀 . Mit 𝑛0 (𝜀) ≔ √𝜀 + 1 haben wir für alle 𝑛 ≥ 𝑛0 (𝜀) ∶
𝑛²
die Bedingung |𝑎𝑛 − 𝑎| < 𝜀 sichergestestellt. Wir nennen eine Folge mit 0 als Grenzwert übrigens eine
Nullfolge.
Satz 1.05 (Grenzwertsätze)
Es gelte 𝑎𝑛 → 𝑎 und 𝑏𝑛 → 𝑏. Dann folgen:
a) 𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 → 𝑎 ± 𝑏 und 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑏
b) |𝑎𝑛 | → |𝑎|
1
c)
1
𝑎𝑛
𝑏
𝑏
→ 𝑎 und 𝑎𝑛 → 𝑎 , falls alle 𝑎𝑛 ≠ 0 und 𝑎 ≠ 0 sind.
𝑛
Beispiele: Wir berechnen die folgenden Grenzwerte.
4 3
6
4 3
6
𝑛3 (1 + 𝑛 + + )
𝑛 (1 + 𝑛 + + )
𝑛³ + 4𝑛² + 3𝑛 + 6
𝑛² 𝑛³ = lim
𝑛² 𝑛³ = ∞
𝑎) lim
= lim
1
4
1
4
𝑛→∞
𝑛→∞
𝑛→∞
8𝑛² + 𝑛 + 4
𝑛2 (8 + 𝑛 + )
8+𝑛+
𝑛²
𝑛²
3 6
3 6
𝑛² (4 + 𝑛 + )
4+𝑛+
4𝑛² + 3𝑛 + 6
𝑛²
𝑛² = 4 = 1
𝑏) lim
= lim
= lim
1
4
1
4
𝑛→∞ 8𝑛² + 𝑛 + 4
𝑛→∞ 2
𝑛→∞
8 2
𝑛 (8 + 𝑛 + )
8+𝑛+
𝑛²
𝑛²
Satz 1.06 (Bolzano Weierstraß)
Jede beschränkte Folge (𝑎𝑛 ) reeller Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge.
Beispiel: Die Folge
𝑎𝑛 ≔ (−1)𝑛
ist beschränkt aufgrund von |𝑎𝑛 | = |(−1)𝑛
24
𝑛
4
1+
𝑛
6+
=
4
𝑛
4
1+
𝑛
6(1+ )
6𝑛+1
6𝑛 + 1
8𝑛² + 𝑛 + 4
6𝑛+1
| = 8𝑛²+𝑛+4 ≤
8𝑛²+𝑛+4
6𝑛+1
𝑛+4
=
1
𝑛
4
𝑛(1+ )
𝑛
𝑛(6+ )
=
1
𝑛
4
1+
𝑛
6+
≤
1 23
𝑛 𝑛
4
1+
𝑛
6+ +
=
= 6.
6𝑘+1
(𝑎𝑛 ) besitzt als konvergente Teilfolge unter anderem (𝑏𝑛𝑘 ) =
, wobei (𝑏𝑛𝑘 ) → 0 für 𝑘 → ∞.
8𝑘²+𝑘+4
𝑘
𝑘
Kehren wir nun zum Beispiel unserer Fibonacci – Folge zurück. Wir wollen aus der Rekursionsgleichung 𝑓𝑛+2 = 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 für 𝑛 > 1 mit den Startwerten 𝑓1 ≔ 1 und 𝑓2 ≔ 1 jetzt eine explizite
Darstellung herleiten: Setze 𝑓𝑛 = 𝑞 𝑛 für 𝑞 ∈ ℕ\{0}. Dann ist
𝑓𝑛+2 = 𝑞 𝑛+2 = 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 = 𝑞 𝑛+1 + 𝑞 𝑛 .
Division der letzten Gleichung durch 𝑞 𝑛 liefert
𝑞² = 𝑞 + 1 ⇔ 𝑞² − 𝑞 − 1 = 0
und somit
𝑞1,2 =
Mit
1±√5
2
1 ± √5
.
2
ist auch eine beliebige Linearkombination eine Lösung von 𝑓𝑛+2 = 𝑓𝑛+1 + 𝑓𝑛 .
𝑛
𝑠(𝑛) =
𝑎1 𝑞1𝑛
+
𝑎2 𝑞2𝑛
𝑛
1 + √5
1 − √5
= 𝑎1 (
) + 𝑎2 (
)
2
2
Setzt man die ersten Werte der Rekursion ein, dann erhalten wir:
𝐼) 0 = 𝑠(0) = 𝑎1 + 𝑎2
𝐼𝐼) 1 = 𝑠(1) = 𝑎1
1 + √5
1 − √5
+ 𝑎2
2
2
Multiplikation der ersten Gleichung mit −
𝐼)′ 0 = −
1+√5
2
liefert:
1 + √5
1 + √5
𝑎1 −
𝑎2
2
2
Addition von Gleichung 𝐼) zu Gleichung 𝐼𝐼) liefert:
𝐼𝐼)′ 1 = +𝑎2 (
1 − √5 1 + √5
−
) = −𝑎2 √5
2
2
⇔ 𝑎2 = −
1
√5
Zusammen mit Gleichung 𝐼) erhalten wir: 𝑎1 =
1
√5
Damit erhalten wir die explizite Darstellung:
𝑛
1
𝑛
1 + √5
1 − √5
𝑠(𝑛) =
((
) −(
) )
2
2
√5
Letztere explizite Darstellungsformel heißt auch Formel von Moivre – Binet.
Wir untersuchen nun den Quotienten zweier aufeinanderfolgender Fibonaccizahlen:
𝑓𝑛+1
55
=
⏟
= 1,6176
𝑓𝑛 𝑛=9 34
Allgemein kann man zeigen, dass
𝑓𝑛+1
= 𝜑 (Goldener Schnitt).
𝑛→∞ 𝑓𝑛
lim
Außerdem erhalten wir den goldenen Schnitt als Grenzwert der folgenden Kettenwurzel:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + √1 + √1 + √1 + √1 + √ … = 𝜑.
√
√
√
√
√
Wir erhalten den goldenen Schnitt auch als Grenzwert des folgenden Kettenbruchs:
1
1+
1+
1
1
1+1+ …
.
- Stetigkeit Definition 2.01 (Folgenkriterium)
Sei 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ und 𝑓 ∶ 𝐷 → ℝ eine Abbildung. Wir nennen 𝑓 stetig an der Stelle 𝑎 ∈ 𝐷, wenn
folgendes gilt: Für jede Folge (𝑥𝑛 ) → 𝑎, 𝑥𝑛 ∈ 𝐷, gilt: lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑓(𝑎). 𝑓 heißt stetig, falls 𝑓 in jedem
𝑛→∞
Punkt von 𝐷 stetig ist.
Bevor wir konkret mit der Stetigkeit von Funktionen arbeiten werden, formulieren wir ein zu 2.01
äquivalentes Kriterium:
Satz 2.02 (𝜺, 𝜹 − Kriterium)
Sei 𝐷 ⊂ ℝ𝑛 , 𝑛 ∈ ℕ und 𝑓 ∶ 𝐷 → ℝ eine Abbildung. Wir nennen 𝑓 stetig an der Stelle 𝑎 ∈ 𝐷, wenn es
für alle 𝜀 > 0 ein 𝛿 > 0 gibt, sodass für alle 𝑥 ∈ 𝐷 gilt: Aus |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 folgt |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀.
In Quantorenschreibweise: 𝑓 heißt stetig in 𝑎 ∈ 𝐷 ⇔ ∀ 𝜀 > 0 ∃ 𝛿 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∶ |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 ⇒
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀.
Übung: Man visualisiere sich Satz 2.02 anhand einer geeigneten Skizze.
Beispiel:
Wir beweisen die Stetigkeit der Funktion 𝑓(𝑥) = 2𝑥 im gesamten Definitionsbereich 𝐷.
Wähle dazu 𝑎 ∈ 𝐷 beliebig. Wir starten mit der Abschätzung:
|𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| = |2𝑥 − 2𝑎| = 2|𝑥 − 𝑎| < 𝛿 = 𝜀
Sei 𝜀 > 0 beliebig. Wähle 𝛿 = 𝜀, dann gilt für alle 𝑥 ∈ 𝐷: Aus |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 folgt |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀.
Satz 2.03 (Permanenzsatz)
Sind die beiden Funktionen 𝑓, 𝑔 ∶ 𝐷 → ℝ stetig am Punkt 𝑎 ∈ 𝐷 und sind 𝜆, 𝜇 ∈ ℝ, dann sind auch die
Funktionen 𝜆𝑓 ± 𝜇𝑔 und 𝑓 ∙ 𝑔 stetig im Punkt 𝑎. Ist 𝑓(𝑥) ≠ 0 für alle 𝑥 ∈ 𝐷, dann ist auch 1/𝑓 stetig
bei 𝑎. Eine Verkettung (Komposition) stetiger Funktionen ist stetig.
Lemma/ Folgerung:
i) Jedes Polynom 𝑓(𝑥) = ∑𝑛𝑘=0 𝑎𝑘 𝑥 𝑘 , 𝑎𝑘 , 𝑥 ∈ ℝ ist überall stetig.
ii) Die Funktionen sin 𝑥 , cos 𝑥 , tan 𝑥 , ln 𝑥 , 𝑒 𝑥 , cot 𝑥 , sinh 𝑥 ≔
sinh 𝑥
cosh 𝑥
, coth 𝑥 =
cosh 𝑥
sinh 𝑥
𝑒 𝑥 −𝑒 −𝑥
2
, cosh 𝑥 ≔
sind in ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.
𝑒 𝑥 +𝑒 −𝑥
2
, tanh 𝑥 ≔
Beispiele:
a) Wir untersuchen mit dem Folgenkriterium, ob die Abbildung
1
𝑓(𝑥) = { 𝑥 ,
0,
𝑥≠0
𝑥=0
im gesamten Definitionsbereich stetig ist. Dazu reicht es nach 2.03 und 2.04 𝑓 auf Stetigkeit im
1
Ursprung zu untersuchen: Wähle hierzu die triviale Nullfolge 𝑥𝑛 = 𝑛 , dann erhalten wir:
𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑓 (
1
1
) = = 𝑛,
1
⏟
𝑛
𝑛
≠0 ∀𝑛
lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = lim 𝑛 = ∞ ≠ 𝑓(0) = 0
𝑛→∞
𝑛→∞
Demnach ist 𝑓 nach dem Folgenkriterium im Ursprung nicht stetig.
b) Wir untersuchen mit dem Folgenkriterium, ob die Abbildung 𝑓 ∶ 𝐷 ⊂ ℝ² → ℝ, gegeben durch
𝑥𝑦
,
𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥² + 𝑦²
0 ,
(𝑥, 𝑦) ≠ 0̅
,
(𝑥, 𝑦) = 0̅
im Ursprung stetig ist.
1 1
Wähle dazu die Nullfolge 𝑥𝑛 = (𝑛 , 𝑛) → 0̅, dann erhalten wir:
1
1
1 1
1
𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑓 ( , ) = 𝑛² = 𝑛² = ≠ 0 = 𝑓(0, 0)
1
1
1
𝑛 𝑛
2
+
2
𝑛² 𝑛²
𝑛²
Demnach ist 𝑓 nach dem Folgenkriterium im Ursprung nicht stetig.
Der Graph von 𝑓 außerhalb des Ursprungs.
Satz 2.04 (Satz vom Maximum)
Sei 𝐾 ein kompaktes Intervall und 𝑓 ∶ 𝐾 → ℝ stetig. Dann ist 𝑓 beschränkt und nimmt auf 𝐾 ein
Maximum und ein Minimum an.
Satz 2.05 (Zwischenwertsatz)
Eine stetige Funktion 𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ nimmt jeden Wert zwischen 𝑓(𝑎) und 𝑓(𝑏) an.
Korollar (Nullstellensatz von Bolzano)
Sei 𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ eine stetige Funktion mit 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) < 0, dann besitzt 𝑓 im Intervall (𝑎, 𝑏)
mindestens eine Nullstelle.
Unser 𝛿 in 2.02 kann in Abhängigkeit der Stelle 𝑎 gewählt werden. Wenn man 𝛿 unabhängig von 𝑎
wählen kann, dann erhalten wir eine „verstärkte“ Stetigkeitsdefinition:
Satz 2.06 (Gleichmäßige Stetigkeit)
Sei 𝐷 ⊂ ℝ und 𝑓 ∶ 𝐷 → ℝ eine Abbildung. Wir nennen 𝑓 gleichmäßig stetig an der Stelle 𝑎 ∈ 𝐷, wenn
es für alle 𝜀 > 0 ein 𝛿 > 0 gibt, sodass für alle 𝑎, 𝑥 ∈ 𝐷 gilt: Aus |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 folgt |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜀.
1
Beispiel: 𝑓(𝑥) = 𝑥 ist nicht gleichmäßig stetig auf dem Intervall (0, 1].
Satz 2.07 (kompaktes Intervall)
Eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ist dort gleichmäßig stetig.
Definition 2.08 (Lipschitz Stetigkeit)
Eine Funktion 𝑓 ∶ 𝐷 → ℝ heißt Lipschitz stetig oder dehnungsbeschränkt, falls ein 𝐿 ≥ 0 existiert mit
∀𝑥, 𝑎 ∈ 𝐷 ∶ |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| ≤ 𝐿|𝑥 − 𝑎| (Lipschitz Bedingung für 𝐿). Die Zahl 𝐿 heißt dann eine
Lipschitz Konstante für 𝑓.
Bemerkung: Eine differenzierbare Funktion mit beschränkter Ableitung ist differenzierbar. Eine stetig
differenzierbare Abbildung 𝑓 ∶ [𝑎, 𝑏] → ℝ ist Lipschitz stetig.
Der Beweis kann mit der Definition und dem MWS der Differentialrechnung geführt werden.
Beispiel: 𝑓 ∶ [−2, 1], 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ist Lipschitz stetig auf [−2, 1]
Lemmata: i) Eine gleichmäßig stetige Funktion ist stetig. ii) Eine Lipschitz stetige Funktion ist
gleichmäßig stetig. iii) Eine differenzierbare Funktion ist stetig.