Theoretische Physik 3 - Freie Universität Berlin

Theoretische Physik 3
Elektrizität und Magnetismus
M. Karowski
WS 2010/2011
Inhaltsverzeichnis
0 Vorbemerkungen
0 A Physikalische Theorie ←→ Idealisierte Natur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 B Physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 C Physikalische Grundgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
4
I
5
Einleitung: Experimentelle Grundlagen und Definitionen
1 Elektrische Ladung und elektrisches
1 A Coulombkraft . . . . . . . . . . . .
1 B Ladungserhaltung . . . . . . . . . .
1 C Elektrisches Potential . . . . . . . .
Feld
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5
5
5
7
2 Magnetisches Feld
2 A Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 B Faradaysches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 C Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
10
3 Erzeugung von elektr. und magn. Feldern
3 A Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 B Ampere, Biot-Savart, Oersted . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
14
II
17
Elektrodynamik
4 Maxwellsche Gleichungen
⃗ und B
⃗ . . . .
4 A Gleichungen für die Felder E
4 B Maxwellsche Ergänzung . . . . . . . . . .
⃗ und H
⃗ . . .
4 C Gleichungen für die Felder D
4 D Spezialfälle: . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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17
18
18
2
INHALTSVERZEICHNIS
5 Elektrostatik im Vakuum
5 A Poisson- und Laplacegleichung . . . . . . . . . .
5 B Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 C Eindeutigkeit der Lösung der Poisson-Gleichung
5 D Faraday-Käfig . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 E Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 F Methode der Greenschen Funktionen . . . . . .
5 G Multiplolentwicklung . . . . . . . . . . . . . . .
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20
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24
24
25
26
26
7 Stationäre Ströme
7 A Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 B Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 C Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
27
29
8 Quasistationäre Ströme
8 A Induktivität . . . . . . . . . . .
8 B Transformator . . . . . . . . . .
8 C R,L,C–Stromkreise . . . . . . .
8 D Leistung im Wechselstromkreis .
6 Elektrostatik der Dielektrika
6 A Differentialgleichung . . . .
6 B Randbedingungen . . . . . .
6 C Polarisation . . . . . . . . .
6 D Beispiel . . . . . . . . . . .
6 E Zusammenfassung . . . . . .
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31
32
32
33
9 Energiesatz
9 A Energiedichte des elektrischen Feldes .
9 B Energiedichte des magnetischen Feldes
9 C Poyntingscher Satz . . . . . . . . . . .
9 D Kräfte im elektromagnetischen Feld . .
9 E Maxwellscher Spannungstensor . . . . .
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34
35
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37
38
10 Elektromagnetische Wellen
10 A Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 B Anwendung auf elektromagnetische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
40
42
11 Wellenoptik
11 A Reflexion und Brechung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 B Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11 C Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
45
46
49
12 Retardierte Potentiale
12 A Inhomogene Wellengleichung . . .
12 B Harmonisch schwingende Ladung
12 C Hertzscher Dipol . . . . . . . . .
12 D Poyntingvektor . . . . . . . . . .
49
50
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INHALTSVERZEICHNIS
III
3
Einsteins Relativitätstheorie“
”
53
13 Vierdimensionale Formulierung der Elektrodynamik
13 A Vierervektoren und Vierertensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 B Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 C Viererpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
53
54
55
14 Relativitätsprinzip und Lorentztransformationen
14 A Inertialsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 B Michelson Versuch . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 C Gleichzeitigkeit für entfernte Orte . . . . . . . . . .
14 D Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . .
14 E Minkowskiraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 F Längenkontraktion, Zeitdilatation usw . . . . . . .
14 G Lorentz-Invarianz und -Kovarianz . . . . . . . . . .
14 H Beispiele für 4-Tensoren . . . . . . . . . . . . . . .
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56
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15 Relativistische Mechanik
15 A Bewegungsgleichung eines Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 B Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 C Viererimpulserhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
67
68
68
16 Relativistische Elektrodynamik
16 A Kovarianz der Maxwellgleichungen
16 B Transformationsformeln . . . . . .
16 C Ebene Wellen . . . . . . . . . . . .
16 D Bewegte Materie mit ϵ, µ ̸= 1 . . .
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69
69
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72
17 Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie“
”
17 A Allgemeine Relativität - Äquivalenzprinzip .
17 B Nichteuklidischer Raum . . . . . . . . . . .
17 C Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17 D Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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IV
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Feldtheorie
18 Lagrangesche Formulierung
18 A Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18 B Freies relativistisches Teilchen . . . . . . . . . .
18 C Geladenes Teilchen im elektomagnetischen Feld
18 D ∞-viele Freiheitsgrade . . . . . . . . . . . . . .
18 E Elektromagnetisches Feld . . . . . . . . . . . . .
77
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77
77
78
79
81
84
19 Symmetrien und Erhaltungssätze
19 A Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 B Feldtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 C Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
86
88
89
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4
0 VORBEMERKUNGEN
0 Vorbemerkungen
0 A Physikalische Theorie ←→ Idealisierte Natur
Das heißt
Physik ist eine approximative Wissenschaft
Zum Beispiel:
{
Newtons Mechanik
⊂ Einsteins Relativitätstheorie ⊂ · · ·
⊂ · · · ⊂ Physik
⊂ Heisenbergs Quantenmechanik ⊂ · · ·
Das soll heißen:
falls Geschwindigkeit klein
falls Wirkung klein
⇒
⇒
,,Newton ≈ Einstein“
,,Newton ≈ Heisenberg“
0 B Physikalische Größen
Physikalische Größe X = reelle Zahl × Einheit
Zum Beispiel: Höhe der Raumes h = 3.6 m = 11.5 ft = · · ·
Dimension einer physikalische Größe X = [X] ⇒
Klasseneinteilung der physikalische Größen: z. B. [Höhe] = [Breite] = [Länge]
Physikalische Größen gleicher Dimension:
[A] = [B]
[A] = [B]
⇔ A und B können in gleichen Einheiten gemessen werden
⇔ A und B können addiert werden
es folgt: in Gleichungen haben alle Summanden die gleiche Dimension, d.h. die Einheiten
können heraus gekürzt werden ⇒
Gleichungen physikalischer Größen sind unabhängig von Einheiten
0 C Physikalische Grundgrößen
Länge, Masse, Zeit, elektrischer Strom
oder Länge, Masse, Zeit
oder · · ·
Naturgesetz ⇒ Relation zwischen Dimensionen und Einheiten: z.B.:
Newton: Kraft
= Masse × Beschleunigung
⇒
[Kraft] = [Masse] × [Länge] × [Zeit−2 ]
und
1N
= 1 kg · 1 m · 1 sec−2
Coulomb: Kraft
⇒
[Kraft]
und
1N
= Ladung × elektr. Feld
= [Ladung] × [Spannung] × [Länge−1 ]
= 1 C · 1 V · 1 m−1
5
Teil I
Einleitung: Experimentelle Grundlagen und
Definitionen
1 Elektrische Ladung und elektrisches Feld
Eigenschaften elektrischer Felder (Erzeugung siehe §3)
1 A Coulombkraft
⃗
Definition: Ein Teilchen hat die Ladung q und ein elektrisches Felde die Feldstärke E,
wenn auf das Teilchen die Kraft wirkt
⃗
F⃗ = q E
Coulombkraft“
”
⃗ nur bis auf einen Faktor definiert: q → q/λ, E
⃗ → λE,
⃗ Festlegung
Dadurch sind q und E
von λ in §3 A).
Es }
werden 2 Konventionen benutzt:
√
}
q
q ∗ = q/ 4πϵ0
⃗ im Gauß-System (cgs)
⃗ im SI-System (MKSA) ⇒ E
⃗ ∗ = √4πϵ0 E
E
Einheiten:
Ladung:
el. Feld:
1 Coulomb = 1 C
Volt
V
1
=1
Meter
m
[z.B. für Elektron q = −e0 = −1.602 · 10−19 C]
F = 1N
Es gilt
V
1 Newton = 1 N = 1 C ×1
m
E = V/m
j
•66 6 6
6 6*6
q = 1C
1 B Ladungserhaltung
Ladungsdichte
∆q(⃗r)
∆V →0 ∆V
ρ(⃗r) = lim
Stromdichte
⃗j(⃗r) = lim ∆q(⃗r)⃗v (⃗r) = ρ(⃗r)⃗v (⃗r)
∆V →0
∆V
}
−•
1m 1V
+•
6
1 ELEKTRISCHE LADUNG UND ELEKTRISCHES FELD
Ladung im Volumen V
∫
d3 x ρ(⃗r)
QV =
V
Erhaltungsatz: Zeitliche Änderung von QV
d
QV = Q̇V = −
dt
∫
df⃗ · ⃗j(⃗r)
∂V
∂V = Rand von V, df⃗ = Oberflächenelement × Einheitsvektor ⊥ ∂V (nach außen)
Mathematik
Definition: Divergenz ⃗j = Quellendichte von ⃗j im Punkt ⃗r
∫
1
⃗
div j(⃗r) = lim
df⃗′ · ⃗j(⃗r′ )
V →0 V ∂V
⃗
r ∈V
In Kartesischen Koordinaten für ⃗r = 0
{∫ ∆x ∫ ∆y
}
1
div ⃗j = lim
dxdy (−jz (x, y, 0) + jz (x, y, ∆z)) + . . .
V →0 V
0
0
{
}
∂
1
∂
∂
∂
⃗ · ⃗j
= lim ∆x∆y∆z
jz + . . . =
jz +
jy +
jx = ∇
V →0 V
∂z
∂z
∂y
∂x
 ∂ 
∂x
∂
⃗ =  ∂  = Nabla“
da jz (x, y, ∆z) = jz (x, y, 0) + ∆z ∂z
jz + . . . , ∇
∂y
”
∂
∂z
⃗ · ⃗j(⃗r)
div ⃗j(⃗r) = ∇
Gaußscher Satz: Für beliebiges Volumen V gilt
∫
∫
3 ⃗ ⃗
d x ∇ · j(⃗r) =
df⃗ · ⃗j(⃗r)
V
∂V
Beweis: Sei V = V1 ∪ V2
∫
∫
∫
3 ⃗ ⃗
3 ⃗ ⃗
⃗ · ⃗j
d x∇ · j =
d x∇ · j +
d3 x ∇
∫V
∫V1
∫V2
df⃗ · ⃗j(⃗r) =
df⃗ · ⃗j(⃗r) +
df⃗ · ⃗j(⃗r)
∂V
∂V1
∂V2
Sei V = V1 ∪ · · · ∪ VN , Vi → 0
∫
∫
∑∫
∑
∑∫
3 ⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗ · ⃗j
⃗
⃗
⃗
df · j(⃗r) =
df · j(⃗r) →
Vi div j →
d x∇ · j =
d3 x ∇
∂V
i
∂Vi
i
i
Vi
V
1 C Elektrisches Potential
7
Anwendung auf Ladungserhaltung:
∫
Integralform :
df⃗ · ⃗j(⃗r) = 0
Q̇V +
∂V
⇒
∫
∫
⃗ · ⃗j(⃗r) = 0
d3 x ∇
3
d x ρ̇(⃗r) +
V
V
da V beliebig ⇒
lokale Form :
⃗ · ⃗j(⃗r) = 0
ρ̇(⃗r) + ∇
Kontinuitätsgleichung“
”
1 C Elektrisches Potential
⃗ konservativ (vgl. Mechanik)
Im statische Fall ist F⃗ = q E
⇒ die Arbeit
∫ ⃗r2
∫ ⃗r2
⃗
⃗ · d⃗r
W12 =
F · d⃗r = q
E
⃗
r1
⃗
r1
ist unabhängig vom Weg
⇔ für geschlossenen Weg (∂A = Rand der Fläche A) gilt
I
F⃗ · d⃗r = 0
∂A
⇔ ∃ ein mechanisches Potential V (⃗r) mit W12 = V (⃗r1 ) − V (⃗r2 )
⇒ ∃ elektrisches Potential φ(⃗r)
Definition: Potential
∫
⃗
r
φ(⃗r) = φ(⃗r0 ) −
⃗ · d⃗r
E
⃗
r0
Elektrische Spannung zwischen ⃗r1 und ⃗r2
U12 = φ(⃗r1 ) − φ(⃗r2 )
Einheit: 1 Volt = 1 V (vgl. §1A)
⃗ durch φ:
Darstellung von E
Für alle ⃗r − ⃗r0 = ∆⃗r → 0 gilt
∫ ⃗r
⃗ → ∆⃗r · E
⃗
φ(⃗r) − φ(⃗r0 ) = − d⃗r · E
⃗
r0
⃗ r) + . . . = −∆⃗r · E
⃗ + ...
∆⃗r · ∇φ(⃗
⇒
⃗ = −∇φ
⃗ = − grad φ
E
= Gradient“ φ.
”
8
1 ELEKTRISCHE LADUNG UND ELEKTRISCHES FELD
Mathematik
⃗
Definition: Rotation E
⃗ = Wirbeldichte von E
⃗
rot E
Sei A eine beliebige Fläche
⃗n der Normalenvektor ⊥ zu A
⃗ in Richtung ⃗n = ⃗n · rot E
⃗ = lim 1
Komponente von rot E
A→0 A
I
⃗
d⃗r · E
∂A
∂A = Rand von A.
In Kartesischen Koordinaten für ⃗r = 0 (⃗n || z-Achse):
{∫ ∆x
}
(
)
1
⃗
rot E = lim
dx (Ex (x, 0, 0) − Ex (x, ∆y, 0)) + . . .
A→0 A
z
0
{
} (
)
∆x∆y
∂
∂
⃗ ×E
⃗
− Ex +
Ey = ∇
= lim
A→0
A
∂y
∂x
z
∂
da Ex (x, ∆y, 0) = Ex (x, 0, 0) + ∆y ∂y
Ex + · · · ⇒
⃗ =∇
⃗ ×E
⃗
rot E
Stokesscher Satz:
Für beliebige Fläche A gilt
∫
∫
⃗ =
df⃗ · rot E
A
⃗
d⃗r · E
∂A
Beweis: Sei A = A1 ∪ A2
∫
∫
∫
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
df · rot E =
df · rot E +
df⃗ · rot E
A
∫
∫A1
∫ A2
⃗ =
⃗+
⃗
d⃗r · E
d⃗r · E
d⃗r · E
∂A
∂A1
∂A2
Sei A = A1 ∪ · · · ∪ AN , Ai → 0 ⇒ Beh. wie oben beim Gaußschen Satz.
Anwendung auf elektrisches Potential:
⃗ = −∇φ:
⃗
Bedingungen für die Existenz des Potentials φ(⃗r) mit E
I
⃗ =0
Integral-Bedingung :
d⃗r · E
⇔
∫
A
∂A
⃗ = 0 wegen Stokes, da A beliebig ⇔
df⃗ · rot E
lokale Bedingung :
⃗ =0
rot E
9
2 Magnetisches Feld
2 A Lorentzkraft
⃗ wenn auf ein im Feld
Definition: Ein magnetisches Feld hat die magnetische Induktion B,
bewegtes Teilchen mit der elektrische Ladung q die Kraft wirkt
⃗
B
⃗
F⃗ = q⃗v × B
6 6 6 6
Lorentzkraft“
”
•
⃗v
-
⃗
F
Beispiele:
i) Kraftdichte auf eine Stromdichte ⃗j(⃗r) = ρ(⃗r)⃗v (⃗r)
⃗ r)
f⃗(⃗r) = ⃗j(⃗r) × B(⃗
ii) Kraft auf Strom I =
∫
A
⃗ = const.
df j im Draht ⊥B
∫
∫
⃗ 3 ⃗
F = F = d x j(⃗r) =
V
∫
L
dl
0
df jB = L I B
A
2 B Faradaysches Induktionsgesetz
Drahtring ∂A gegen Magnet bewegt ⇒ Strom im Draht,
d.h. ein elektrisches Feld wird entlang ∂A induziert mit der Spannung
U = −ϕ̇
I
mit
⃗
d⃗r · E
U=
∂A
∫
und
⃗ =
df⃗ · B
ϕ=
A
magn. Induktionsfluss“
”
⃗ auch vorhanden ohne Draht ⇒ Faradaysches Induktionsgesetz
Annahme: E
I
∫
⃗+
⃗˙ = 0
Integralform :
d⃗r · E
df⃗ · B
∂A
⇔ mit Stokes
∫
A
∫
⃗+
df⃗ · rot E
A
⃗˙ = 0
df⃗ · B
A
⇔ (da A beliebig)
lokale Form :
⃗ ist nicht konservativ!!
D.h. F⃗ = q E
⃗ +B
⃗˙ = 0
rot E
10
2 MAGNETISCHES FELD
2 C Vektorpotential
⃗
Das B-Feld
hat keine Quellen (d.h. es gibt keine magnetischen Ladungen)
⃗ =∇
⃗ ·B
⃗ =0
div B
⇐ Faraday
(
)
⃗ · ∇
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = d ∇
⃗ ·B
⃗ ⇒∇
⃗ ·B
⃗ = const
0=∇
dt
(
)
(
)
⃗ · ∇
⃗ ×E
⃗ =− ∇
⃗ ×∇
⃗ ·E
⃗ = 0. Für Magnet → ∞ ⇒ B
⃗ → 0 ⇒ const = 0
wegen ∇
Mathematik
,,Diracsche δ-Funktion“
Definition:
∫
∞
−∞
(δ keine Funktion sondern Distribution)
∫
dx δ(x)f (x) = f (0) ⇐⇒
{
b
dx δ(x) =
a
1 if 0 ∈ [a, b]
0 if 0 ∈
/ [a, b]
d.h. δ(x) = 0 für x ̸= 0 und δ(x) ist punktartig konzentriert bei x = 0. Allgemein:
∫ ∞
dx δ(x − y)f (x) = f (y)
−∞
Entsprechend in 3-Dimensionen δ (3) (⃗r).
Satz:
1
△ = −4πδ (3) (⃗r)
r
⃗ ·∇
⃗ ,,Laplaceoperator“.
mit △ = ∇
Beweis:
Formeln:
(
)
⃗ · ⃗r = 3, ∇r
⃗ =∇
⃗ x2 + y 2 + z 2 1/2 = ⃗r , ∇
⃗ 1 = − ⃗r
∇
r
r
r3
⇒
1
⃗ · ⃗r = 1 ∇
⃗ · ⃗r + ⃗r · ∇
⃗ 1 = 3 − ⃗r · 3 ∇r
⃗ = 0 für r ̸= 0
−△ = ∇
3
3
r
r
r
r3
r3
r4
∫
1
/ V und falls 0 ∈ V gilt für kleine Kugel um 0
⇒ V d3 x △ = 0 falls 0 ∈
r
∫
∫
∫
∫
1
⃗r Gauß
⃗r
1
3
3 ⃗
⃗
d x△ = −
d x∇ · 3 = −
df · 3 = −
df 2 = −4π
r
r
r
r
V
K
∂K
∂K
⇒ mit R = |⃗r − ⃗r ′ |
∫
∫
1
3 ′
′
d x △ f (⃗r ) = −4π d3 x′ δ (3) (⃗r ′ − ⃗r) f (⃗r ′ ) = −4πf (⃗r)
R
2 C Vektorpotential
11
Vektorfeld:
⃗ (⃗r) (mit X
⃗ (⃗r) r→∞
Satz: Jedes Vektorfeld X
→ 0 hinreichend stark) ist eindeutig Summe von
Wirbel und Quellen
⃗ (⃗r) = X
⃗ W (⃗r) + X
⃗ Q (⃗r) = rot 1
X
4π
∫
∫
⃗ (⃗r ′ )
⃗ (⃗r ′ )
rot X
1
div X
dx
− grad
d3 x′
R
4π
R
3 ′
mit R = |⃗r − ⃗r ′ |. Es gilt (siehe Übung)
⃗ W (⃗r) = 0 , rot X
⃗ Q (⃗r) = 0
div X
Beweis: Partielle Integrationen: für V
∫
(( )
) ∫
3
⃗
⃗ + f∇
⃗ ·A
⃗ =
d x ∇f
·A
V
V
∫
((
)
) ∫
⃗ ×A
⃗ f +A
⃗ × ∇f
⃗
d3 x ∇
=
V
V
∫
( ) ∫
⃗
⃗ × Af
=
da ⃗e ·
d3 x∇
V
→ R3 gilt
(
)
Gauß
∫
⃗→0
⃗ · fA
⃗ =
d x∇
df⃗ · f A
∂V
( )
⃗ × Af
⃗
d 3 x∇
→0
∫
(
)
(
)
Gauß
3 ⃗
⃗
⃗ × ⃗e → 0 ∀⃗e
d x∇ · Af × ⃗e =
df⃗ · Af
3
V
∂V
r→∞
⃗ → 0 hinreichend stark ⇒
falls f A
(
)
∫
⃗′×X
⃗ (⃗r ′ )
⃗′·X
⃗ (⃗r ′ )
∇
∇
⃗ ×
⃗
d3 x′ ∇
−∇
R
R
(
(
)
(
))
∫
1 ⃗ ′
1 ⃗ ′
3 ′
⃗
⃗
⃗
⃗
= d x ∇ × ∇ × X (⃗r ) − ∇ ∇ · X (⃗r )
R
R
∫
1 ⃗ ′
⃗ (⃗r)
= − d3 x′ ∆ X
(⃗r ) = 4π X
R
(
)
(
)
⃗ ′ R = −∇R
⃗ und ∇
⃗ × ∇
⃗ ×A
⃗ =∇
⃗ ∇
⃗ ·A
⃗ − ∆A.
⃗
da ∇
⃗
Anwendung auf B-Feld
⃗ r)
⃗ existiert ein Vektorpotential A(⃗
Satz: Für ein quellenfreies Feld B
⃗ ·B
⃗ = 0 ⇔ ∃A
⃗ mit B
⃗ =∇
⃗ ×A
⃗
∇
explizit
⃗ r) = 1
A(⃗
4π
∫
d 3 x′
⃗ ′ × B(⃗
⃗ r ′)
∇
|⃗r − ⃗r ′ |
⃗ ist nicht eindeutig: B
⃗ is invariant bei
Eichinvarianz: A
⃗ r) → A(⃗
⃗ r) + ∇Λ(⃗
⃗ r) =
A(⃗
⃗ × ∇Λ(⃗
⃗ r) = 0.
da ∇
Eichtransformation“
”
12
3 ERZEUGUNG VON ELEKTR. UND MAGN. FELDERN
(
)
˙
˙
˙
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
Elektrisches Potential bei B ̸= 0 Faraday 0 = ∇ × E + B = ∇ × E + A ⇒ ∃ φ mit
⃗ +A
⃗˙ = −∇φ
⃗
E
Zusammenfassung
⃗ und B
⃗
Gleichungen für E
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = 0
∇
⇔
⃗ ·B
⃗ =0
∇
⃗ = −∇φ
⃗ −A
⃗˙
E
⃗ =∇
⃗ ×A
⃗
B
3 Erzeugung von elektrischen und magnetischen Feldern
Elektrische Ladungen haben 2 Eigenschaften:
1. Elektrische und magnetische Felder erzeugen Kräfte auf Ladungen
(
)
⃗ + ⃗v × B
⃗
F⃗ = q E
2. Elektrische Ladungen erzeugen elektrische und magnetische Felder.
3 A Gauß
Coulombkraft zwischen 2 Ladungen Q und q im Abstand r
Qq
⃗
F = konst. 2
r
d.h. die Ladung Q erzeugt in ihrer Umgebung ein elektrische Feld
Q
⃗ ⃗
E = F /q = konst. 2
r
konst. hängt vom Material der Umgebung ab:
konst. =
1 1
4πϵ0 ϵ
ϵ = Dielektrizitätskonstante des Materials = 1 im Vakuum,
⃗ ab (s. §1 A)
ϵ0 = materialunabhängig, hängt von der Definition von q und E
2
1
C2
7 C
10
im SI-Stystem (MKSA)
4πc2
N s2 N s 2
1
ϵ∗0 =
im Gaußsystem
4π
ϵ0 =
3 A Gauß
13
Definition: Elektrische Verschiebungsdichte erzeugt durch die Ladung Q bei ⃗r = 0
(im homogenen Medium)
⃗ Q = Q ⃗r (materialunabhängig)
D
4πr2 r
⃗ Q = ϵ0 ϵE
⃗ Q = Materialgleichung
D
⃗
D-Feld
einer Ladungsverteilung ρ(⃗r)
⃗ρ = 1
D
4π
∫
d 3 x′
ρ(⃗r ′ )
r − ⃗r ′ )
3 (⃗
′
|⃗r − ⃗r |
(gilt im homogenen Medium, Randeffekte später)
Beispiele:
i) Monopol bei ⃗r = 0, mit Ladung q
⃗q =
D
q ⃗r
q ⃗1
=− ∇
2
4πr r
4π r
⃗ q = −∇φ
⃗
⇒E
mit φq =
⃗ 1 = −r−2 ∇r
⃗ = − ⃗r .
da ∇
r
r3
q 1
4πϵ0 ϵ r
Beachte φq = O(r−1 )
Allgemein:
1
φρ (⃗r) =
4πϵ0 ϵ
∫
Coulombpotential
ρ(⃗r ′ )
dx
|⃗r − ⃗r ′ |
3 ′
ii) Dipol bei ⃗r = 0, mit Diplomoment p⃗(= q⃗a )
1
1
⃗ 1 + . . .)
( ⃗a infinitesimal klein, d.h.
= − ⃗a · ∇
|⃗r − ⃗a|
r
r
(
(
)
)
q ⃗ 1
1
1 ⃗
1
1 ⃗ p⃗ · ⃗r
⃗
⃗
Dp⃗ =
∇
−
=
∇ p⃗ · ∇
=− ∇
4π
r |⃗r − ⃗a|
4π
r
4π r3
1 p⃗ · ⃗r
φp⃗ =
4πϵ0 ϵ r3
Beachte φp⃗ = O(r−2 )
Gaußsches Gesetz für eine Ladungsverteilung ρ(⃗r): Sei QV die elektrische Ladung
im Volumen V , dann gilt
∫
⃗ ρ = QV
df⃗ · D
Integral Form
∂V
Gauß
⇔
V beliebig
⇔
∫
V
⃗ ·D
⃗ρ =
d3 x ∇
∫
⃗ ·D
⃗ρ = ρ
∇
V
d3 xρ
lokale Form
14
3 ERZEUGUNG VON ELEKTR. UND MAGN. FELDERN
d.h. die elektrischen Ladungen sind die Quellen des D-Feldes.
⃗ = ⃗r − ⃗r ′ ⇒ ∇
⃗ · R/R
⃗ 3 = −∇
⃗ · ∇1/R
⃗
⃗ ⇒
Beweis: Sei R
= −∆1/R = 4πδ (3) (R)
⃗ ·D
⃗ρ = 1 ∇
⃗ ·
∇
4π
∫
∫
⃗
R
1
d x ρ(⃗r ) 3 =
d3 x′ ρ(⃗r ′ )4πδ (3) (⃗r − ⃗r ′ ) = ρ(⃗r)
R
4π
3 ′
′
Beispiel: Ladungsverteilung einer Punktladung
⃗ = q ⃗r
D
4π r3
⃗ · ⃗r = − q ∆ 1 = qδ (3) (⃗r )
⃗ ·D
⃗ = q ∇
⇒ ρ(⃗r) = ∇
4π
r3
4π r
3 B Ampere, Biot-Savart, Oersted
⃗˙ = 0)
(stationärer Fall ρ̇ = 0 d.h. D
Ampere: Kraft zwischen 2 stromführenden Leitern (parallel und ∞-lang) im Abstand r
mit Strom I und i:
⃗
6
B
Kraft
F
Ii
=
∝
Länge
L
r
⃗
d.h. der Strom I erzeugt
in seiner Umgebung ein
-
F
I
magnetisches Feld BI =
∝
Li
r
i
-
⃗r
1
I⃗
)
F⃗
⃗
⃗ I ∝ I × ⃗r
B
r r
Biot-Savart: Magnetisches Feld von einem ,,Stromstück“ I∆⃗s bei ⃗r = 0
⃗ I = konst.
∆B
durch Integration I ×
Umgebung ab
∫∞
dx′
−∞
I∆⃗s ⃗r
×
r2
r
⃗r − ⃗r ′
⇒ Ampere. Die Konstante hängt vom Material der
|⃗r − ⃗r ′ |3
µ0
µ
4π
µ = ,,Permeabilität“ des Materials = 1 im Vakuum,
µ0 = materialunabhängig
konst. =
Vs
µ0 = 4π10−7
im SI-System (MKSA)
Am
4π
µ∗0 = 2
im Gaußsystem
c
3 B Ampere, Biot-Savart, Oersted
15
Definition: ,,Magnetische Feldstärke“ erzeugt durch das Stromstück I∆⃗s bei ⃗r = 0
(im homogenen Medium)
⃗I =
∆H
I
⃗r
∆⃗
s
×
(materialunabhängig)
4πr2
r
⃗ = µ0 µH
⃗
B
= Materialgleichung
⃗
H-Feld
einer Stromverteilung ⃗j(⃗r)
⃗j = 1
H
4π
∫
⃗ (⃗r ′ ) × (⃗r − ⃗r ′ )
3 ′j
dx
|⃗r − ⃗r ′ |3
(gilt im homogenen Medium, Randeffekte später)
⃗ = ⃗r − ⃗r ′ wegen ∇1/R
⃗
⃗ 3 auch
mit R
= −R/R
⃗ ×
⃗j = 1 ∇
H
4π
∫
d 3 x′
⃗j (⃗r ′ )
R
Oerstedsches Gesetz für Stromverteilung ⃗j(⃗r) (auch Amperesches Durchflutungsgesetz genannt)
(ρ̇ = 0) Sei IA der Strom, der durch die Fläche A fließt, dann gilt
∫
⃗ j = IA
d⃗r · H
Integral Form
∂A
Stokes
⇔
A beliebig
⇔
∫
⃗ ×H
⃗j =
df⃗ · ∇
A
∫
⃗ ×H
⃗ j = ⃗j
∇
A
df⃗ · ⃗j
lokale Form
⃗
d.h. die elektrischen Ströme sind die Wirbel des H-Feldes
.
(
)
(
)
⃗ × ∇
⃗ ×A
⃗ = ∇
⃗ ∇
⃗ ·A
⃗ − ∆A
⃗ und partieller
Bew. dass Biot-Savart ⇒ Oersted: mit ∇
Integration gilt
( (
)
)
∫
1
1
1
3
′
′
′
⃗ ∇
⃗ · ⃗j (⃗r ) − ∆ ⃗j (⃗r )
⃗ ×H
⃗j =
dx ∇
∇
4π
R
R
(
)
∫
(
)
1
1
3 ′
′
′
(3)
′
′
⃗
⃗ · ⃗j (⃗r ) + 4πδ (⃗r − ⃗r )⃗j (⃗r )
=
dx ∇
∇
4π
R
= ⃗j (⃗r)
⃗ (⃗r − ⃗r ′ ) = −∇
⃗ ′ f (⃗r − ⃗r ′ ), ∆ 1 = −4πδ (3) (R)
⃗ und ∇
⃗ ′ · ⃗j (⃗r ′ ) = −ρ̇ (⃗r ′ ) = 0.
da ∇f
R
Beispiele:
16
3 ERZEUGUNG VON ELEKTR. UND MAGN. FELDERN
i) ∞-lange Spule mit Windungszahl/Länge = N/L und Strom I. Sei A eine Fläche
L × d, die die N Windungen senkrecht schneidet. Da Haußen = 0 ⇒
∫
∫
⃗
⃗ = LHinnen
⃗
df · j = N I =
d⃗r · H
A
∂A
Hinnen
N
= I
L
⃗ = ⃗r − ⃗r ′ , für ⃗r ∈
ii) Stomschleife ∂A: d3 x⃗j (⃗r ′ ) → Id⃗r mit R
/ A gilt
∫
∫
I ⃗
I ⃗
′ 1
⃗ 1
⃗
∇×
d⃗r
=
∇ df⃗ · ∇
HI =
4π
R
4π
R
∂A
A
Bew: Sei ⃗e konstanter Vektor
)
∫ (
∫
(
)1
1 ⃗a·(⃗b×⃗c)=⃗b·(⃗c×⃗a)
′
′
⃗
⃗
− ⃗e ·
d⃗r × ∇
=
−
d⃗r · ∇ × ⃗e
R
R
∂A
∂A
∫
∫
(
)1
( (
)
)1
Stokes
bac−cab
′ ⃗′
′
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
= − df · ∇ × ∇ × ⃗e
=
df · ∇ ∇ · ⃗e − ⃗e∆
R
R
A
∫A
1
⃗
⃗
für ⃗r ∈
/A
= ⃗e · ∇
df⃗ ′ · ∇
R
A
(
)
(
)
′
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ da ⃗e beliebig ⇒ Beh.
wegen ∇ → −∇ und ∇ × ∇ × A = ∇ ∇ · A − ∆A;
⃗
iii) Magnetischer Dipol: speziell kleine Stromschleife A = ∆f → 0 bei 0
⃗I = I ∇
⃗
H
4π
(
)
1
1 ⃗
1
1 ⃗m
⃗ · ⃗r
⃗
⃗
⃗
df · ∇ →
∇ m
⃗ ·∇
=− ∇
R
4π
r
4π
r3
A
∫
mit
m
⃗ = I∆f⃗
=
magnetisches Moment“
”
(siehe elektr. Dipol. §3 A)
Zusammenfassung
⃗ und H
⃗ (falls ρ̇ = 0)
Gleichungen für D
⃗ ·D
⃗ =ρ
∇
⃗ ×H
⃗ = ⃗j
∇
17
Teil II
Elektrodynamik
4 Maxwellsche Gleichungen
⃗ und B
⃗
4 A Gleichungen für die Felder E
Faraday’s Induktionsgesetz
̸ ∃ magnetischer Monopole
}
⃗ undB
⃗ :
⇐⇒ ,,Maxwellsche Gleichungen“ für E
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = 0
∇
{
⇐⇒ ∃
⃗ ·B
⃗ =0
∇
⃗ = −∇φ
⃗ −A
⃗˙
E
φ(⃗r, t)
⃗ r, t) mit
A(⃗
⃗ =∇
⃗ ×A
⃗
B
:
⃗ und B
⃗ sind invariant bei der Eichtransformation:
Eichinvarianz: E
φ → φ′ = φ − Λ̇
⃗→A
⃗′ = A
⃗ + ∇Λ
⃗
A
mit Λ(⃗r, t) beliebig.
Beweis:
⃗′ − E
⃗ =∇
⃗ Λ̇ − ∇
⃗ Λ̇ = 0
E
⃗′ − B
⃗ =∇
⃗ × ∇Λ
⃗ =0
B
4 B Maxwellsche Ergänzung

{
ρ̇ ̸= 0

Widerspruch zur Ladungserhaltung
Ladungserhaltung ⇒
⃗ · ⃗j = ∇
⃗ · (∇
⃗ × H)
⃗ =0

ρ̇ = −∇
Oersted-gesetz
⃗ ×H
⃗ → ⃗j = ∇
⃗ ×H
⃗ −D
⃗˙
Maxwell: ⃗j = ∇
⃗ ·D
⃗˙ o.k. wegen Gauß.
⇒ ρ̇ = ∇
18
5 ELEKTROSTATIK IM VAKUUM
⃗ und H
⃗
4 C Gleichungen für die Felder D
Die Erzeugung von elektromagnetischen Felder durch Ladungen und Ströme wird beschrie⃗ und H:
⃗
ben durch die ,,Maxwellsche Gleichungen“ für D
⃗ ·D
⃗ =ρ
∇
Gaußsches Gesetz
⃗ ×H
⃗ −D
⃗˙ = ⃗j
∇
Oerstedsches Gesetz
(
)
⃗ ·D
⃗˙ = ∇
⃗ · ∇
⃗ ×H
⃗ − ⃗j = −∇
⃗ · ⃗j !
⇒ Kontinuitätsgleichung: ρ̇ = ∇
Materialgleichungen:
⃗ = ϵ0 ϵE
⃗,
D
⃗ = µ0 µH
⃗
B
4 D Spezialfälle:
i)
ii)
∂
·
∂t
∂
·
∂t
= 0, ⃗j = 0 : Statik
= 0 : Stationärer Fall, Gleichstrom,. . .
⃗˙ klein: Quasistationärer Fall, Wechselstrom,. . .
iii) D
iv) Allgemein: Elektromagnetische Wellen, Licht,. . .
5 Elektrostatik im Vakuum
∂
·
∂t
⃗ = ϵ0 E
⃗
= 0, ⃗j = 0, D
5 A Poisson- und Laplacegleichung
Maxwell

⃗ ×E
⃗ = 0
∇
⃗ ·E
⃗ = 1∇
⃗ ·D
⃗ = 1 ρ ⇒
∇
ϵ0
ϵ0
⃗ ·E
⃗ = −∇
⃗ · ∇φ
⃗ = 1ρ
Gleichung für das elektrische Potential ∇
ϵ0
1
Poissongleichung ∆φ = − ρ
ϵ0
speziell ρ = 0
Laplacegleichung ∆φ = 0
5 B Leiter
19
5 B Leiter
⃗j = 0
Im Leiter sind Ladungen frei beweglich ⇒
⃗ = 0 im Leiterinneren, φ =const auf Leiter,
1) E-Feld E
⃗ =
denn falls E
̸ 0 ⇒ Kraft auf Ladungen im Leiter ⇒ Strom ⃗j ̸= 0
2) Ladungdichte ρ = 0 im Leiterinneren,
⃗ ̸= 0
denn falls ρ ̸= 0 ⇒ E
Aber ∃ Oberflächenladungsdichte
∆q
∆A→0 ∆A
σ = lim
3) Randbedingungen auf Leiteroberfläche
⃗n >
D
⃗t = 0
a) Tangentialkomponente E
b) Normalkomponente Dn = σ
Beweis:
a) schmales Rechteck“
”
∂A
b
a
L
∫
0=
⃗ Stokes
df⃗ · rot E
=
A
L
⃗t
E
φ = const w
∫
⃗ = a (Etaus − Etin ) + O(b)
d⃗r · E
∂A
mit b → 0, a → 0 ⇒ Etaus = 0
b) fache Dose“
”
V
A
h
L
∫
3
QV =
Gauß
∫
⃗ = A (Dnaus − Dnin ) + O(h)
df⃗ · D
d xρ =
V
∂V
mit h → 0, A → 0 ⇒ Dnaus − Dnin = QV /A = σ
Allgemein gilt an Grenzflächen
⃗ t(2) = 0
⃗ t ist stetig: E
⃗ t(1) − E
a) E
(1)
(2)
b) Dn hat Sprung: Dn − Dn = σ
20
5 ELEKTROSTATIK IM VAKUUM
5 C Eindeutigkeit der Lösung der Poisson-Gleichung
Mathematik
Greensche Sätze:
∫
∫
⃗ =
df⃗ · ϕ∇ψ
1.
∂V
∫
((
3
dx
)(
)
)
⃗
⃗
∇ϕ ∇ψ + ϕ∆ψ
V
(
) ∫
⃗
⃗
⃗
df · ϕ∇ψ − ψ ∇ϕ = d3 x (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ)
2.
∂V
Beweis:
V
∫
Gauß
∫
⃗
df⃗ · ϕ∇ψ
=
∂V
(
)
⃗ · ϕ∇ψ
⃗
d3 x∇
V
Anwendung auf Poisson-Gleichung
Satz: Gegeben eine Ladungsdichte ρ(⃗r) und ein Leiter L:
Die Lösung der Poisson-Gleichung
1
∆φ(⃗r) = − ρ(⃗r)
ϵ0
mit den Randbedingungen φ(⃗r) = φL = const für ⃗r ∈ L ist eindeutig, wenn φ(⃗r) . 1/r für
r → ∞ und
a) φL gegeben oder
b) QL gegeben ist
Beweis: Seien φ und φ′ Lösungen und ϕ = φ − φ′ ⇒ ∆ϕ = 0 ⇒ mit Green 1 (V = R3 − L):
∫
)2 ∫
⃗
d x ∇ϕ
=
3
V
(
a) ϕ = 0 auf ∂V
b) ϕ = ϕL = const auf L ⇒ (
)
∫
∫
⃗ = −ϕL
⃗ −E
⃗′ =
ϕL
df⃗ · ∇ϕ
df⃗ · E
∂L
∂L
⃗ = 0 weil
df⃗ · ϕ∇ϕ
∂V
1
ϕ
ϵ0 L
∫
∂L
df (σ − σ ′ ) =
1
ϕ
ϵ0 L
(QL − Q′L ) = 0
⃗ = 0 ⇒ inV ist ϕ = const = 0, da ϕ → 0 für r → ∞
für a) und b) ⇒ ∇ϕ
5 D Faraday-Käfig
⃗ = 0 in V ,
Sei ρ = 0 in V umgeben von L ⇒ φ = const ⇒ E
da φ = const eindeutige Lösung von ∆φ = 0.
5 E Beispiele
21
5 E Beispiele
i) Punktladung: Lösung von
q
∆φ(⃗r) = − δ (3) (⃗r)
ϵ0
ist
φ(⃗r) =
q 1
⃗ = −∇φ
⃗ = q ⃗r
, d.h. E
4πϵ0 r
4πϵ0 r3
ii) Beliebige Ladungsverteilung: Lösung von
1
∆φ(⃗r) = − ρ(⃗r)
ϵ0
ist
1
φ(⃗r) =
4πϵ0
∫
ρ(⃗r ′ )
⃗ = 1
dx
,
d.h.
E
|⃗r − ⃗r ′ |
4πϵ0
3 ′
∫
iii) Plattenkondensator: zwei parallele Ebenen
Potential φ unabhängig von x, y
Lösung von ∆φ = φ′′ (z) = 0
ist φ = −az + b, a, b = const
Spannung U = φ(0) − φ(d) = ad
⃗ = ϵ0 E
⃗ = −ϵ0 ∇φ
⃗ = ϵ0 a⃗ez
Feld: D
Flächenladungdichte: σ = Dn = ϵ0 a = ϵ0 U/d
Ladung: Q = Aσ = Aϵ0 U/d
Q = CU
⃗r − ⃗r ′
d x ρ(⃗r )
|⃗r − ⃗r ′ |3
3 ′
′
⃗ 6 6 6d
E
666
−•
U
+•
A
Kondensatorgleichung“
”
mit
C=
Einheit: 1
ϵ0 A
Kapazität“ des Kondensators.
d ”
As
= 1 F = 1 Farad.
V
iv) Influenzladungen - das Spiegelungsprinzip
⃗ = ⃗r − ⃗r0 , R
⃗ ′ = ⃗r + ⃗r0
Punktladung vor leitender Ebene (geerdet: φL = 0), mit R
z
⃗′
R
•
−q −⃗r0
scheinbare
Spiegelladung
*
]
⃗r
⃗
R
-•
x
⃗r0 q

1
1


−
q
R R′
φ=
4πϵ0 

0
⃗
E
d.h. Potential von Ladung q bei ⃗r0 + Leiter
≡ Potential der Ladung q bei ⃗r0 + Potential der Ladung −q bei −⃗r0
1
1
Beweis: i) ∆φ = − ρ(⃗r) = − δ (3) (⃗r − ⃗r0 ) für x > 0
ϵ0
ϵ0
für x > 0
für x < 0
22
5 ELEKTROSTATIK IM VAKUUM
ii) φ = 0 auf Leiter, da R = R′ für x = 0
Das Spiegelungsprinzip gilt auch für andere Leiter.
5 F Methode der Greenschen Funktionen
Mathematik Gegeben Gebiet G mit Rand ∂G: Inhomogene Differentialgleichung (hier
x ≡ ⃗x)
∆u(x) = −f (x)
Definition: g(x, y) heißt die Greensche Funktion zu G, wenn
∆y g(x, y) = −δ(x − y)
g(x, y) = 0 für y ∈ G
(d.h. Dirichlet Randbedingung)
Satz: Die Lösung von ∆u(x) = −f (x) in G mit der Randbedingung u(x) gegeben auf ∂G
ist
∫
∫
u(x) =
dyg(x, y)f (y) −
dfy u(y)∇y g(x, y)
G
Beweis: Green 2
∂G
∫
∫
df (ϕ∇ψ − ψ∇ϕ) =
∂V
dx (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ)
V
ψ = u(y), ϕ = g(x, y)
∫
∫
dfy (g(x, y)∇u(y) − u(y)∇y g(x, y)) = dy (g(x, y)∆u(y) − u(y)∆y g(x, y))
∂V
∫
∫V
−
dfy · u(y)∇y g(x, y) = dy (−g(x, y)f (y) + u(x)δ(x − y))
∂V
V
Beispiele:
i) G = R3
Greensche Funktion
g(⃗r, ⃗r ′ ) =
1
1
4π |⃗r − ⃗r ′ |
ii) G = Halbraum x > 0
∆u(⃗r) = 0
{
a für x = 0, y > 0
u(⃗r) =
−a für x = 0, y < 0
5 G Multiplolentwicklung
23
Greensche (
Funktion
)
1
1
1
′
g(⃗r, ⃗r ) =
−
,
⃗rs = Spiegelpunkt von ⃗r
4π |⃗r −(⃗r ′ | |⃗rs − ⃗r ′ | )
∂
1 x − x′ xs − x′
′
g(⃗
r
,
⃗
r
)
=
−
−
, für x′ = 0
∂x′
4π
R3
R3
(
)1/2
R = x2 + (y − y ′ )2 + z 2
y
Y
⃗rs
6⃗
r′
*
x
∫
u(⃗r) = −
a
=
4π
⃗ ′ g(⃗r, ⃗r ′ )
df⃗ ′ u(⃗r ′ )∇
∂G
(
∫
∫
∞
0
∫
∞
dy ′
dz ′
(
−∞
y
a
=
2x
dy ′
4π
−y
2a
y
=
arctan
π
x
∫
∞
′
x2
(
2
)
2x
+ (y −
′2
y ′ )2
dz x + y + z
+
z2
)
′2 −3/2
−∞
′
′
)3/2 − (y → −y )
a
=
2x
4π
∫
y
−y
x2
, y ± y′ → y′
2
dy ′
+ y ′2
wegen
∫
∞
−∞
(
)−3/2
2
c 2 + u2
du = 2
c
∫ y
1
y
x
du = arctan
2
2
x
0 x +u
Kugel mit Radius R
Spiegelpunkt für ⃗r innen ⃗rs = ⃗r R2 /r2 :
Greensche Funktion
(
)
r
1
1
′
R
g(⃗r, ⃗r ) =
−
4π |⃗r − ⃗r ′ | |⃗rs − ⃗r ′ |
mit g(⃗r, ⃗r ′ ) = 0 für ⃗r ′2 = R2
5 G Multiplolentwicklung
Potential einer Ladungsverteilung
1
φ(⃗r) =
4πϵ0
∫
d3 x′
⃗r
ρ(⃗r ′ )
|⃗r − ⃗r ′ |
für ⃗r groß: Taylorentwicklung
{
}1
1 ( ′ ⃗ ) 1 1 ( ′ ⃗ )2 1
1
′ ⃗
= exp −⃗r · ∇
= − ⃗r · ∇
+
⃗r · ∇
+ ...
|⃗r − ⃗r ′ |
r
r
r 2
r
1 ⃗r ′ · ⃗r 1 3 (⃗r ′ · ⃗r)2 − r′2 r2
+ ...
= + 3 +
r
r
2
r5
)
1 ∑ xi ′ ∑ xi xj ( ′ ′
= +
xi +
3xi xj − δij r′2 + . . .
3
5
r
r
r
i
i,j
24
6 ELEKTROSTATIK DER DIELEKTRIKA
Es folgt
1
φ(⃗r) =
4πϵ0
∫
ρ(⃗r ′ )
1
d3 x′
=
′
|⃗r − ⃗r |
4πϵ0
(
q ⃗r · p⃗ 1 ∑ xi xj
+ 3 +
Qij + . . .
r
r
2 i,j r5
)
∫
mit
Ladung
q
=
Dipolmoment
p⃗
=
Quadrupolmoment Qij
∫
d3 xρ(⃗r)
d3 x′ ρ(⃗r ′ )⃗r ′
∫
(
)
=
d3 x′ ρ(⃗r ′ ) 3x′i x′j − δij r ′2
usw.
Z.B. reiner Quadrupol
Beachte: n-ter Beitrag = O(r−n )
6 Elektrostatik der Dielektrika
∂
·
∂t
⃗ = ϵ0 ϵE
⃗
= 0, ⃗j = 0, D
6 A Differentialgleichung
⃗ ×E
⃗ = 0, E
⃗ = −∇φ,
⃗
⃗ ·D
⃗ = ρ, Materialgl. D
⃗ = ϵ0 ϵE
⃗ ⇒
∇
Gauß: ∇
∆φ = −
1
ρ
ϵ0 ϵ
6 B Randbedingungen
ϵ1
⃗ t(1)
E
⃗ t ist stetig:
a) E
b) Dn hat Sprung:
⃗ t(2) = 0
−E
(1)
(2)
Dn − Dn =
⃗n >
D
ϵ2
σ
⃗t
E
w
(siehe §5 B)
Beispiele:
i) Ladung q vor dielektrischem Halbraum (siehe auch §5 E): Spiegelungsprinzip
ϵ
⃗′
R
•
q ′ −⃗r0
Vakuum
z
*
]
⃗r
⃗
R
-•
⃗r0 q
⃗
E
x

q′
q


 −
1  R R′
φ=
4πϵ0 
′′


 1q
ϵR
für x > 0
für x < 0
6 C Polarisation
25
mit
q′ = q
ϵ−1
2ϵ
, q ′′ = q
<q
ϵ+1
ϵ+1
Beweis: zu zeigen:
1.
1
∆φ = −
ϵ0
2:
{
δ (3) (⃗r − ⃗r0 ) für x > 0
0
für x < 0
⃗ t ist stetig bei x = 0
a) E
b) Dn ist stetig bei x = 0, wegen σ = 0
siehe Übung
ii) Plattenkondensator
⃗ ·D
⃗ = ρ ⇒ Q/A = σ = D = ϵ0 ϵE = ϵ0 ϵU/d
Gauß ∇
−Q A
Q = CU mit C =
6 6 6 6 6
A
ϵ0 ϵ > CVakuum
d
⃗ E
⃗
D
Q
d
d.h. bei Q = gegeben ist E < EVakuum (falls ϵ > 1)
∆q, σpol
6 C Polarisation
∆⃗a{
Erklärung für ϵ > 1 im Dielektrikum:
Sei ein Dielektrikum im Kondensator mit Ladung Q
⃗ ·D
⃗ = ρ ⇒ D = σ = DVakuum
Gauß ∇
Frage: E = EVakuum + ? :
+
−
+
−
+
−
+
−
−σ = −Q/A
∆⃗p
∆V
σ = Q/A
⃗
⃗ (gilt meist für E
⃗
E-Feld
erzeugt Dipole im Material im Volumen ∆V : ∆⃗p = ∆q∆⃗a ∝ E
klein) ⇒ Dipoldichte
∆⃗p
⃗ = Polarisation“
= P⃗ = ϵ0 χE
”
∆V →0 ∆V
lim
mit χ = Suszeptibilität“ > 0 (χ = 0 im Vakuum )
”
Es gilt:
⃗ + P⃗ = ϵ0 (1 + χ) E
⃗
⃗ = ϵ0 E
D
d.h.
ϵ=1+χ>1
Beweis: P⃗ erzeugt Polarisationsladungsdichte“ = σpol (Scheinladung)
”
σpol = lim
−∆q
∆a∆q
= − lim
= −P
∆A
∆V
26
7 STATIONÄRE STRÖME
⃗ · P⃗ = −ρpol ). σpol erzeugt elektrisches Feld antiparallel P⃗ mit
(falls P⃗ (⃗r) ̸= const gilt ∇
⃗ pol = −P⃗ ⇒
ϵ0 E
E-Feld im Dielektrikum
⃗ =E
⃗ Vakuum + E
⃗ pol = E
⃗ Vakuum − P⃗ /ϵ0
E
⇒
⃗ =D
⃗ Vakuum = ϵ0 E
⃗ Vakuum = ϵ0 E
⃗ + P⃗
D
d.h. Abschwächung E/EVakuum = 1/ϵ und Kapazitätserhöhung C/CVakuum = ϵ.
⃗ ̸= const. E
⃗
Bemerkung: es gibt Fälle mit P⃗ (E)
⃗ wenn E
⃗ groß oder P⃗ ∦ E
⃗ oder P⃗ (E)
⃗ nicht eindeutig (Ferroelektrikum)
z.B. χ(E)
6 D Beispiel
⃗ → const. E
⃗ ∞ für r → ∞
Kugel im homogenen Feld: E
⃗
⃗ ∞ · ⃗r + ϵ − 1 R3 E∞ · ⃗r
φaußen = −E
ϵ+2
r3
3 ⃗
φinnen = −
E∞ · ⃗r
ϵ+2
⃗ t , Dn stetig bei r = R (siehe Übung)
zu zeigen: ∆φ = 0 und E
⃗ außen = homogenes Feld + Dipolfeld; b) (ϵ → ∞) ⇒ leitende Kugel
Bemerkungen: a) E
6 E Zusammenfassung
⃗
⃗ · P⃗
Mikroskopische Beschreibung: E-Feld
⇒ Polarisationsladungen ρpol = −∇
⃗ ×E
⃗ =0
∇
⃗ ·E
⃗ = 1 (ρ + ρpol )
∇
ϵ0
⃗ = ϵ0 E
⃗ + P⃗
Makroskopische Beschreibung: Polarisation P⃗ ⇒ D
⃗ ×E
⃗ =0
∇
⃗ ·D
⃗ =ρ
∇
7 Stationäre Ströme
∂
·
∂t
= 0, ⃗j = const
7 A Ohmsches Gesetz
⃗
E-Feld
im Leiter ⇒ Kraft auf Ladungen im Leiter ⇒ Bewegung der Ladungen (wegen
⃗
Reibung keine Beschleunigung sondern stationäre Bewegung) ⇒ Strom proportional E
⃗
⃗j = σ E
σ = Leitfähigkeit (materialabhängig)
7 B Magnetostatik
27
∫
Strom im Draht:
I=
df j = Aσ
⇒
U = RI
U
l
Widerstandsgleichung“
”
mit
R=
l
Widerstand“
Aσ ”
SI-Einheit: 1 Ohm = 1 Ω = 1 V / A
Reibung ⇒ Joulsche Erwärmung
∆ Arbeit
∆t∆V
⃗ · ∆⃗r
∆q E
⃗ · ρ⃗v = E
⃗ · ⃗j
= lim
=E
∆t∆V
∫
⃗ · ⃗j
Leistung = N = d3 x E
Leistungsdichte = lim
SI-Einheit: 1 Watt = 1 W = 1 V A = 1 J / s
Für Draht:
N = Al · Ej = U I = RI 2 = U 2 /R
7 B Magnetostatik
Maxwell
⃗ ×H
⃗ = ⃗j
∇
⃗ ·B
⃗ =0
∇
Materialgleichung
⃗ = µ0 µH
⃗
B
Differentialgleichung:
⃗ ·B
⃗ = 0 ⇒ ∃A
⃗ mit
Vektorpotential: ∇
⃗ =∇
⃗ ×A
⃗
B
⇒
(
)
⃗ × 1 ∇
⃗ ×A
⃗ = ⃗j
∇
µ0 µ
im homogenen Medium ⇒
(
)
(
)
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ = µ0 µ⃗j
∇ × ∇ × A = ∇ ∇ · A − △A
In
⃗ ·A
⃗=0
Coulombeichung“: ∇
”
28
7 STATIONÄRE STRÖME
⃗→A
⃗ + ∇Λ)
⃗
(möglich durch Umeichung A
ergibt sich
⃗ = −µ0 µ⃗j
△A
entspricht der Poissongleichung in der Elektrostatik!
⇒ allgemeine Lösung (siehe §5 Eii)
⃗ r ) = µ0 µ
A(⃗
4π
⇒
⃗ = 1 ∇
⃗ ×A
⃗= 1∇
⃗ ×
H
µ0 µ
4π
∫
∫
d3 x′
⃗j(⃗r ′ )
|⃗r − ⃗r ′ |
∫
⃗j(⃗r ′ )
1
⃗r − ⃗r ′
3 ′⃗
′
=
dx
d
x
j(⃗
r
)
×
|⃗r − ⃗r ′ |
4π
|⃗r − ⃗r ′ |3
3 ′
= Biot-Savartsches Gesetz (siehe §3B)
Randbedingungen:
µ1
⃗ ·B
⃗ =0
∇
⃗ ×H
⃗ = ⃗j
∇
(1)
⇒
(2)
Bn
=0
a) Bn ist stetig: Bn −
(1)
(2)
⃗
b) Ht hat Sprung: Ht − Ht = ξ
⃗n >
B
µ2
⃗t
H
w
ξ = Flächenstromdichte
Beweis: wie in §5 B 3) und §6 B
Beispiel: ∞-lange Spule mit Windungsdichte N/l, Strom I
d.h. Flächenstromdichte ξ = IN/l,
⃗ ×H
⃗ = ⃗j ⇒ Randbedingung (mit H a = 0)
∇
t
N
i
⇒ H = Ht = ξ = I
l
Selbstinduktivität
Magnetischer Fluß durch eine Windung der Spule = ϕ1
⇒ Fluß durch alle Windungen
∫
N2
ϕ = N ϕ1 = N
df B = N Aµ0 µH = Aµ0 µ I
l
A
⇒
ϕ = LI
Spulengleichung“
”
mit
L = Selbstinduktivität“
”
SI-Einheit: 1 Henry = 1 H = 1 V s / A
für ∞-lange Spule
AN 2
L=
µ0 µ
l
A
I
-
N 6 6l
⃗i ⃗
H
Ha = 0
7 C Magnetisierung
29
7 C Magnetisierung
∆A ↘
∆m
⃗→
∆V →
ξmag →
Materie in Spule mit Strom I
Sei Material in der Spule mit Strom I
⃗ ×H
⃗ = ⃗j ⇒ H = ξ = HVakuum
∇
Frage: B = BVakuum +? = µ0 HVakuum +?
B-Feld erzeugt magnetische Dipole im Material:
⃗ in ∆V ⇒ Dipoldichte
∆m
⃗ ∝B
∆m
⃗
⃗ = κH
⃗ = Magnetisierung“
=M
”
∆V →0 ∆V
= lim
mit κ = magnetische Suszeptibilität“ (κ = 0 im Vakuum )
”
Es gilt:
(
)
⃗ = µ0 H
⃗ +M
⃗ = µ0 (1 + κ) H
⃗
B
d.h.
µ=1+κ
Beweis: nach §3B iii): magnetische Dipol ∆m
⃗ ⇔ Ringstrom Imag mit
∆m = Imag ∆A = Imag
∆V
⇒
∆l
Magnetisierungsstromdichte“ (Scheinstrom)
”
ξmag = lim
∆m
Imag
= lim
=M
∆l
∆V
⃗
⇒ ξmag erzeugt magnetisches Feld parallel zu M
⃗ mag = µ0 M
⃗
B
(beachte Vorzeichen anders als im elektrischen Fall!)
⇒ B-Feld in Materie
⃗ =B
⃗ Vakuum + B
⃗ mag = B
⃗ Vakuum + µ0 M
⃗
B
⇒
⃗ =H
⃗ Vakuum = 1 B
⃗ Vakuum = 1 B
⃗ −M
⃗ = 1 B
⃗
H
µ0
µ0
µ0 µ
d.h. Verstärkung B/BVakuum = µ und L/LVakuum = µ falls µ > 1
Es gibt 3 Arten von magnetisierbaren Stoffen:
} ∆l
30
7 STATIONÄRE STRÖME
a) Diamagnetismus
⃗ ⇒B
⃗˙ ⇒ ϕ̇ = AḂ, mit A = πR2
Einschalten von B
⇒ Ringspannung U = −ϕ̇ ⇒ E-Feld E = U/(2πR)
⇒ Kraft auf F = qE auf Elektronen der Atomhülle
q ϕ̇
q ḂπR2
=−
⇒ Beschleunigung a = Rφ̈ = F/m = −
m 2πR
m 2πR
⇒ ∆φ̇ = ∆ω =
∫
dtφ̈ = −
q ∫
q
dtḂ = −
B = ωLarmor
2m
2m
q
ωLarmor
q2 B
⇒ Strom ∆I = = q
=−
T
2π
m 4π 2
q B
q 2 R2 B
⇒ magn. Moment ∆m = A∆I = −πR2
=−
= 12 qR2 ωLarmor
m
4π
4m
2 2
⃗ = −n q R B,
⃗ mit n = Elektrondichte
⇒ Magnetisierung M
4m
⃗ antiparallel B.
⃗ Mit M
⃗ = κH
⃗ = κB/(µ
⃗
d.h. M
0 µ) und q = −e0
κ=−
˙
⃗ 666
66
B
*
φ
R
⃗
M
? ? ? ?
µ0 µne20 R2
≈ −10−9 · · · − 10−5 < 0 , d.h. µ < 1 aber µ ≈ 1.
4m
⇒ Diamagnetismus bei allen Stoffen, wird aber oft überdeckt durch:
b) Paramagnetismus
Wenn im Material (durch Wärme statistisch ausgerichtete) magnetische Momente vorhanden
⃗ parallel B
⃗ ⇒ κpara > 0, µ > 1.
sind, ⇒ durch B-Feld → Ausrichtung ⇒ M
κpara
κpara ≈ 10−8 · · · 10−5
const
ist temperaturabhängig ≈
T
bei manchen Stoffen bei T klein ⇒
c) Ferromagnetismus
Für
T < TCurie
ist
i) M/H ≈ µ = µ(H) ≈ 50 · · · 1000
⃗ (H) nicht notwendig eindeutig
ii) M
⃗ nicht notendig parallel H,
⃗ B
⃗
iii) M
(T > TCurie ⇒ Paramagnetismus)

 1101 K für F e
= 1411 K für Co

649 K für N i
31
M
Ms · · ·
M
Ms · · ·
6
6
-
remanente z
Magnetisierung
o
H
-
H
Koerzitivkraft
a)
b)
Abbildung 1: a) magnetisch weich, b) magnetisch hart mit Hysteresiskurve. Ms = Sättigungsmagnetisierung
8 Quasistationäre Ströme
⃗ ̸= const., D
⃗˙ klein
⃗j, B
Maxwell
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = 0
∇
⃗ ·D
⃗ =ρ
∇
⃗ ·B
⃗ =0
∇
⃗ ×H
⃗ = ⃗j
∇
8 A Induktivität
Gegeben n Stromkreise ∂A1 , . . . , ∂An mit Strömen I1 , . . . , In
Sei µ const. ⇒
⃗ =
B
n
∑
⃗k , B
⃗ k = B-Feld erzeugt durch Ik
B
k=1
⃗k ∝ H
⃗ k ∝ Ik
B
⇒ magnetischer Fluß durch ∂Ai
∫
⃗ = ϕi =
df⃗ · B
Ai
n
∑
Lik Ik
k=1
mit Lik = wechselseitige Induktivität, Lii = Selbst-Induktivität.
Für n = 1
ϕ = LI
speziell für Spule L = µ0 µN 2 A/l (siehe §7 B)
Allgemein: Fluß vom k-ten Strom duch i-ten Kreis
∫
∫
∫
(
)
Stokes
⃗k =
⃗ ×A
⃗k
⃗k
Lik Ik =
df⃗ · B
df⃗ · ∇
=
d⃗ri · A
Ai
Ai
∂Ai
∫
∫
µ0 µ
Ik
=
d⃗ri ·
d⃗rk
4π ∂Ai
|⃗ri − ⃗rk |
∂Ak
32
8 QUASISTATIONÄRE STRÖME
⃗ k nach §7Bii )⇒
(mit d3 xk⃗j(⃗r k ) → d⃗rk Ik in Formel für A
µ0 µ
Lik =
4π
∫
∫
d⃗ri ·
∂Ai
d⃗rk
∂Ak
1
= Lki
|⃗ri − ⃗rk |
8 B Transformator
Mangn. Fluß im Kern
Faradays Induktionsgesetz:
Spannung in 1 Windung
Spannung in Spule 1
Spannung in Spule 2
ϕ=
∫
B-Feld nur im Kern, wenn µ groß
-
df B
U0 = −ϕ̇
U1 = −N1 ϕ̇
U2 = −N2 ϕ̇
U1 N1
N2 U2
N1
U1
=
U2
N2
8 C R,L,C–Stromkreise
Äußere (eingeprägte) Spannung Ue
R
i) R
Ohm:
Ue = RI
Ue
I
L
ii) L
Faraday:
Ue = ϕ̇ = LI˙
Ue
L
iii) R + L
Ue = UR + UL = RI + LI˙
Beispiel: Ue = 0 ⇒ Differentialgleichung für I:
Lösung:
R
I(t) = I0 e
Ue
LI˙ + RI = 0
−R
t
L
I
I0 6
-t
C
iv) C
1
1
Q = CUe ⇒ U̇e = Q̇ = I
C
C
Ue
8 D Leistung im Wechselstromkreis
33
C
R
1
U̇e = RI˙ + I
C
v) R + C
Ue
Beispiel: Ue = 0, d.h. Entladung des Kondensators über R ⇒ Differentialgleichung:
1
RI˙ + I = 0
C
I
I0 6
1
− RC
t
Lösung:
I(t) = I0 e
-t
L
R
C
1
U̇e = LI¨ + RI˙ + I
C
vi) R + C + L
Ue
Entspricht der Schwingungsgleichung in der Mechanik:
1
L ↔ Masse, R ↔ Reibung,
↔ Feder, U̇e ↔ äußere Kraft
C
Beispiele:
a) Schwingkreis: Ue = 0, R = 0 ⇒ LI¨ +
1
I = 0 ⇒ Lösung:
C
I(t) = I0 cos (ω0 t − φ) , mit ω0 = √
1
LC
b) Erzwungene Schwingung: (siehe Übung)
Ue = U0 cos Ωt
⇒ I(t) = I0 cos (Ωt − φ) ist eine Lösung mit
U0
=
I0
tan φ =
√
R2 + (ΩL − 1/(ΩC))2 , Scheinwiderstand, Impedanz
ΩL − 1/(ΩC)
,
R
φ = Phasenverschiebung, −
π
π
<φ<
2
2
8 D Leistung im Wechselstromkreis
Ue = U0 cos ωt
I = I0 cos (ωt − φ)
R, C, L
Ue
Momentane Leistung:
N (t) = Ue I = U0 I0 cos ωt cos (ωt − φ)
)
(
2
= U0 I0 cos ωt cos φ + cos ωt sin ωt sin φ
{z
} |
{z
}
|
≥0
oszilliert
34
9 ENERGIESATZ
Mittlere - = Wirkleistung (mit T = 2π/ω)
∫
1 T
1
dtN (t) = U0 I0 cos φ
⟨N ⟩ =
T 0
2
Falls U und I in Phase, d.h. φ = 0
1
⟨N ⟩ = U0 I0 = Ueff Ieff
2
1
z.B. Ueff = 230 V = √ U0 ↔ U0 = 325 V.
2
9 Energiesatz
9 A Energiedichte des elektrischen Feldes
Maxwell usw
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = 0
∇
⃗ ·D
⃗ =ρ
∇
⃗ = −∇φ
⃗
E
⃗ = ϵ0 ϵE
⃗
D
Sei eine Ladunsverteilung ρ approximiert durch qi /V, (V → 0) :
Elektrisches Potential der Ladung ∆qi bei ⃗ri am Ort ⃗rk :
ρ(⃗r)
1
qi
φi (⃗rk ) =
= Cik qi
4πϵ0 ϵ |⃗ri − ⃗rk |
⃗ri
qi
7Vi
>
qk
⃗rk
Potentielle Energie der Ladung qk im Feld von qi
φi qk = Cik qi qk
Aufbau der Ladungsverteilung ρ ⇒ Gesamtenergie der Ladungsverteilung:
∑
1∑
W =
Cik qi qk =
Cik qi qk
2 i̸=k
i<k
wegen Cik = Cki . Mit V → 0 ⇒
∫
∫
1 1
ρ(⃗r)ρ(⃗r ′ )
3
W =
d x d3 x′
2 4πϵ0 ϵ
|⃗r − ⃗r ′ |
∫
§5E 1
d3 xρ(⃗r)φ(⃗r)
=
2
∫
∫
(
)
(
)
1
Maxwell 1
3
3
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
=
d x ∇·D φ=
d x ∇ · Dφ − D · ∇φ
2
2
∫
∫
Gauß 1
⃗ ·E
⃗
⃗ + 1 d3 xD
=
df⃗ · Dφ
2 ∂V →∞
2
∫
1
⃗ ·E
⃗
d3 xD
=
2
wegen φ . 1/r.
9 B Energiedichte des magnetischen Feldes
Energie des elektrischen Feldes
35
∫
We =
d3 x we (⃗r)
⃗ ·E
⃗ = Energiedichte
we (⃗r) = 21 D
Aufladung eines Plattenkondensators ∞-groß (siehe §6 Bii))
∫
∫
∫
1
1A
1⃗ ⃗
dU U = CU 2 =
ϵ0 ϵd2 E 2 = V ol D
·E
2
2d
2
⃗ ·E
⃗
da Feld homogen folgt mit V ol → 0: Energiedichte we = 12 D
W =
dtU I = C
dtU U̇ = C
9 B Energiedichte des magnetischen Feldes
⃗˙ klein (allgm. siehe C, D)
Für den quasistationären Fall D
Maxwell usw
⃗ ·B
⃗ =0
∇
⃗ ×H
⃗ = ⃗j
∇
⃗ =∇
⃗ ×A
⃗
B
Sei ⃗j approximiert durch Drähte ∂Ai mit Strom Ii ,
(d.h. ⃗jd3 x ↔ Ii d⃗r)
Leistung im i-ten Stomkreis
∂Ai
§8A
Ẇi = Ni = Ui Ii = ϕ̇i Ii =
∑
∑
i
Ni =
∑
i,k
zIk
∂Ak
⃗j(⃗r)
Ẇ = N =
I-i
Lik I˙k Ii
k
⇒ Gesamtleistung
⃗ = µ0 µH
⃗
B
Lik I˙k Ii =
...
1d ∑
Lik Ik Ii
2 dt i,k
wegen Lik = Lki . ⇒ Energieaufnahme beim Einschalten
∫
∫
∑
1∑
1∑
§8A 1
⃗
Lik Ik Ii =
W = dtẆ =
Ii ϕi =
Ii
df⃗ · B
2 i,k
2 i
2 i
Ai
∫
∫
1∑
1∑
⃗ ×A
⃗ Stokes
⃗
=
Ii
df⃗ · ∇
=
Ii
d⃗r · A
2 i
2 i
Ai
∂Ai
Im Limes Ii d⃗r → ⃗jd3 x ⇒
∫
∫
(
)
1
3 ⃗ ⃗ Oersted 1
⃗ ×H
⃗ ·A
⃗
W =
d xj · A =
d3 x ∇
2
2
∫
(
(
) (
)
)
1
3
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
=
d x ∇· H ×A + ∇×A ·H
2
∫
∫
(
) 1∫
1
Gauß 1
3 ⃗
⃗
⃗
⃗ ·H
⃗
⃗
⃗
=
d xB · H =
d 3 xB
df · H × A +
2 ∂V →∞
2
2
⃗ . 1/r.
wegen |A|
36
9 ENERGIESATZ
Energie des magnetischen Feldes
∫
Wm = d3 x wm (⃗r)
1⃗ ⃗
wm (⃗r) = B
· H = Energiedichte
2
Stromeinschalten bei Spule ∞-groß (siehe §7 B) L =
∫
W =
∫
dtU I = L
∫
˙ =L
dtII
A 2
N µ0 µ
l
1
1 µ0 µAN 2 l2 2
1⃗ ⃗
dI I = LI 2 =
H = V ol B
·H
2
2
2
l
N
2
⃗ ·H
⃗
da Feld homogen folgt mit V ol → 0: Energiedichte wm = 12 B
9 C Poyntingscher Satz
Allgemeiner Fall:
⃗ E
Maxwell
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = 0
∇
⃗ ·B
⃗ =0
∇
Materialgleichungen
⃗ ·D
⃗ =ρ
∇
⃗ ×H
⃗ −D
⃗˙ = ⃗j
∇
⃗ = ϵ0 ϵE
⃗
D
⃗ = µ0 µH
⃗
B
V
⃗j
*
1
z
⃗
B
ϵ, µ = const allgm. in D
Leistung der Stromdichte ⃗j im Volumen V (nach §7A)
∫
∫
∫
(
)
(
(
)
)
˙
˙
˙
3 ⃗ ⃗ Maxwell
3 ⃗
3
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
N=
d xE · j =
d xE · ∇ × H − D = −
d x ∇· E×H +H ·B+E·D
V∫
V
V
(
)
3
⃗
⃗
=−
d x ∇ · S + ẇ
V
(
)
(
)
(
)
(
)
Spat- + Produktregel
Faraday
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ B)
⃗˙
(wegen E· ∇ × H
=
∇· H × E +H· ∇ × E
= −∇· E × H −H·
mit der
Energiedichte des elektromagnetischen Felds
)
(
)
(
⃗ ·D
⃗ +H
⃗ ·B
⃗ = 1 ϵ0 ϵE
⃗ 2 + µ0 µH
⃗2
w = we + wm = 21 E
2
⃗ ·D
⃗˙ + H
⃗ · B)
⃗˙ und dem
(d.h. ẇ = E
Poyntingschen Vektor = Energieflußdichte
⃗=E
⃗ ×H
⃗
S
9 D Kräfte im elektromagnetischen Feld
37
Energieerhaltungssatz
∫
(
)
⃗
⃗
⃗
⃗
d x ẇ + ∇ · S + E · j = 0
3
V
Da V beliebig ⇒
⃗ ·S
⃗ +E
⃗ · ⃗j = 0
ẇ + ∇
lokale Form :
oder mit Gauß
Integralform :
d
dt
∫
∫
∫
⃗
⃗
⃗ · ⃗j = 0
df · S +
d 3 xE
d xw +
∂v
V
V
| {z } | {z } | {z }
3
(1)
(2)
(3)
(1) elektromagnetische Energie in V
(2) Abfluß von elektromagnetischer Energie aus V
(3) Umwandlung in andere Energieformen: Wärme usw
9 D Kräfte im elektromagnetischen Feld
Elektrodynamik deformierbarer Medien
Elektromagnetische Energie in V
∫
(
)
⃗ ·D
⃗ +H
⃗ ·B
⃗
W =
d3 x 12 E
V
Virtuelle Verrückung δ⃗r(⃗r) (mit δ⃗r = 0 auf ∂V )
∫
δW = −
d3 x f⃗ · δ⃗r
V
mit
∆F⃗
f⃗ = lim
= Kraftdichte
∆V
⃗ = ϵ0 ϵE,
⃗ we = 1 E
⃗ ·D
⃗ ⇒
a) elektrische Felder H, B = 0, D
2
Satz: Sei ϵ = ϵ(ρm ) mit ρm = Massendichte ⇒
∫
(
)
⃗ · δD
⃗ +D
⃗ · δE
⃗
δWe =
d3 x 21 E
(
(
))
∫V
dϵ
3
2⃗
2
1 ⃗
1
⃗
=
d x −ρE + 2 ϵ0 E ∇ϵ − 2 ϵ0 ∇ E ρm
· δ⃗r
dρm
V
⇒ Kraftdichte
(
f⃗e (⃗r) =
⃗ − 1 ϵ E 2 ∇ϵ
⃗ + 1 ϵ0 ∇
⃗
ρE
2
|{z} 2 0
(1)
| {z }
(2)
|
)
dϵ
E ρm
dρm
{z
}
2
(3)
(1): Coulombkraft
(2): Beitrag von Polarisation
(3): Beitrag von Volumenänderung (z.B. bei Gasen)
38
9 ENERGIESATZ
Beweis: i) δWe =
∫
V
(
d x φδρ −
3
1
⃗ 2 δϵ
ϵE
2 0
)
⃗ · δD
⃗ = ϵ0 ϵE
⃗ · δE
⃗ + ϵ0 E 2 δϵ ⇒
Produktregel E
⃗ · δD
⃗ = −∇φ
⃗ · δD
⃗
E
Produktregel
=
1
2
(
)
⃗ · δD
⃗ +D
⃗ · δE
⃗ =E
⃗ · δD
⃗ − 1 ϵ0 E
⃗ 2 δϵ
E
2
(
)
⃗
⃗
⃗ ·D
⃗ = φδρ + ∇(·
⃗ ··)
−∇ · φδ D + φδ ∇
Gauß
⃗ · (· · · ) → Randterm → 0, wegen δ⃗r = 0 auf ∂V )
(∇
⃗ · ⃗j = −∇
⃗ · (ρ⃗v ) (siehe §1 B) ⇒
ii) δρ: Ladungserhaltung: ρ̇ = −∇
⃗ · (ρδ⃗r) ⇒
δρ = −∇
( )
⃗ · (ρδ⃗r) = ∇φ
⃗
⃗ · (φρδ⃗r) → −ρEδ⃗
⃗ r
φδρ = −φ∇
· (ρδ⃗r) + ∇
iii) δϵ: Sei ϵ = ϵ(ρm ) mit ρm = Massendichte, mit Massenerhaltung ⇒
dϵ
dϵ ⃗
δρm = −
∇ · (ρm δ⃗r)
dρm
dρm
)
dϵ ( ⃗
⃗
⃗ · δ⃗r − dϵ ρm ∇
⃗ · δ⃗r
· ∇ρm δ⃗r + ρm ∇δ⃗r = −∇ϵ
=−
dρm
dρm
δϵ =
⃗ =
(da ∇ϵ
dϵ ⃗
∇ρm )
dρm
(
⇒ E δϵ =
2
(
))
2 dϵ
⃗
⃗ ··)
−E ∇ϵ + ∇ E
ρm
· δ⃗r + ∇(·
dρm
2⃗
⃗ ·H
⃗ analog ⇒ Kraftdichte
⃗ = µ0 µH,
⃗ wm = 1 B
a) magnetische Felder E, D = 0, B
2
(
)
∂µ
2
2
1
1
⃗ − µ0 H ∇µ
⃗ + µ0 ∇
⃗ H ρm
f⃗m (⃗r) = ⃗j × B
2
2
∂ρm
9 E Maxwellscher Spannungstensor
Satz: Die Kraftdichten lassen sich schreiben als
(
)
(
)
˙
1⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
fe (⃗r) = ∇ · D E − D × B − 2 ∇ αD · E
(
)
(
)
⃗ ·B
⃗ H
⃗ −D
⃗˙ × B
⃗ − 1∇
⃗ βB
⃗ ·H
⃗
f⃗m (⃗r) = ∇
2
mit α = 1 −
∂µ
β = 1 − ρµm ∂ρ
(können meist vernachläßgt werden).
m
Die Gesamtkraftdichte f⃗ = f⃗e + f⃗m ist
)
∑ ∂
d (⃗
⃗
Tik −
D×B
fk =
∂xi
dt
k
i
ρm ∂ϵ
,
ϵ ∂ρm
mit dem Maxwellscher Spannungstensor
(
)
⃗ ·E
⃗ + βB
⃗ ·H
⃗
Tik = Di Ek + Bi Hk − 12 δik αD
9 E Maxwellscher Spannungstensor
39
(Tik symmetrisch)
⃗ = −ϵ0 ϵ∇E
⃗ 2 + ϵ0 ∇
⃗ (ϵE 2 )
Beweis: Wegen ϵ0 E 2 ∇ϵ
(
(
))
ρm ∂ϵ
2
2
1
1 ⃗
⃗
⃗
⃗
fe = ρE + 2 ϵ0 ϵ∇E − 2 ϵ0 ∇ ϵE 1 −
ϵ ∂ρm
⃗ D wirkt auf D
⃗ usw)
weiter (mit ∇
( )
(
)
(
) (
)
(
)
(
)
2 Maxwell ⃗
1
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
ρE + 2 ϵ0 ϵ∇ E
=
∇ D · D E + ∇ E D · E = ∇ · D E − ∇ E · D E + ∇E D · E
(
)
(
)
bac−cab ⃗
⃗ E
⃗ +D
⃗ × ∇
⃗ ×E
⃗
=
∇·D
(
)
Maxwell ⃗
⃗
⃗ −D
⃗ ×B
⃗˙
=
∇·D E
entsprechend
(
⃗+
f⃗m = ⃗j × B
und
1
⃗H
⃗2
µ µ∇
2 0
−
1
µ
2 0
(
⃗
µH
2
ρm ∂µ
1−
µ ∂ρm
))
(
)
(
)
(
)
⃗H
⃗ 2 Maxwell
⃗H ×H
⃗ −D
⃗˙ × B
⃗ +∇
⃗H B
⃗ ·H
⃗
⃗ + 1 µ0 µ ∇
⃗j × B
=
∇
2
(
) (
)
(
)
bac−cab
⃗H B
⃗ ·H
⃗ + B
⃗ ·∇
⃗H H
⃗ −D
⃗˙ × B
⃗ +∇
⃗H B
⃗ ·H
⃗
= −∇
(
)
(
)
⃗ ·B
⃗ H
⃗ − ∇
⃗B ·B
⃗ H
⃗ −D
⃗˙ × B
⃗
= ∇
(
)
Maxwell ⃗
⃗ H
⃗ −D
⃗˙ × B
⃗
=
∇·B
Gesamtkraft Sei V ein beliebiges Volumen
)
∑ ∂
d (⃗
⃗
fk =
Tik −
D×B
∂xi
dt
k
i
∫
∫
d3 xfk =
Fk =
V
∫
(
Kraft
elektr.
6 magn.
Welle E-Feld
3 B-Feld
1
)
d
⃗ ×B
⃗
dAi Tik −
d3 x D
dt V
k
∂V
| {z }
|
{z
}
Fkstationär
Pkel.mag.
V
O
∂V
⃗ = Flächenelement.
hier dA
Interpretation:
F⃗ stationär = stationäre Kraft auf die Oberfläche von V
P⃗ el.mag. = Impuls des elektromagnetischen Feldes
Faraday + Maxwell: Für F⃗ gilt das Nahewirkungsprinzip (Lokalität)
˙
Impulserhaltung: Mit dem Impulssatz der Mechanik F⃗ = P⃗ mech ⇒ Impulssatz für den
Gesamtimpuls
˙
˙
F⃗ stationär = P⃗ mech + P⃗ el.mag.
40
10 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
mit der elektromagnetische Impulsdichte
⃗ ×B
⃗ = ϵ0 ϵµ0 µE
⃗ ×H
⃗ = 1S
⃗
P⃗ el.mag. /V ol = D
c2
⃗ = Poyntingvector (Energieflußdichte)
mit c = Lichtgeschwindigkeit (siehe §10 A) und S
(siehe §9 C).
10 Elektromagnetische Wellen
Hier keine Ladungen und Ströme, homogenes Medium (ϵ, µ = const)
10 A Wellengleichung
Maxwell
Materialgleichungen
⃗ ·D
⃗ =0
∇
⃗ ×H
⃗ −D
⃗˙ = 0
∇
⃗ ·B
⃗ =0
∇
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = 0
∇
⃗ = ϵ0 ϵE
⃗
D
⃗ = µ0 µH
⃗
B
⃗
Differentialgleichung für E
(
)
⃗¨ = 1 ∇
⃗ ×H
⃗˙ = − 1 ∇
⃗ × ∇
⃗ ×E
⃗
⃗¨ = 1 D
E
ϵ0 ϵ
ϵ0 ϵ
ϵ ϵµ µ
(
(
)) 0 0
⃗ −∇
⃗ ∇
⃗ ·E
⃗
⃗
= c2 ∆E
= c2 ∆E
mit
c2 =
1
ϵ0 ϵµ0 µ
⃗ Es folgt
(entsprechend für B).
(
(
1 ∂2
∆− 2 2
c ∂t
1 ∂2
∆− 2 2
c ∂t
)
⃗ r, t) = E
⃗ =0
E(⃗
{
Wellengleichung für
)
⃗ r, t) = B
⃗ =0
B(⃗
mit = Wellenoperator.
Diskussion der Wellengleichung ϕ(⃗r, t) = 0
a) ebene Welle in x-Richtung: ϕ(x, t) unabhängig von y, z
( 2
)
∂
1 ∂2
ϕ(⃗r, t) =
−
ϕ(x, t) = 0
∂x2 c2 ∂t2
Lösung
ϕ(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct)
⃗
E
⃗
B
10 A Wellengleichung
41
für beliebige Funktionen f und g, da
ϕ(⃗r, t) = f ′′ −
1 2 ′′
c f =0
c2
entsprechend für g.
f (x)
zur Zeit
t=0
f (x − ct) beschreibt eine Welle,
die sich nach rechts bewegt
mit der Geschwindigkeit c,
entsprechend für g(x + ct) nach links
-
x
f (x − ct)
t>0
-
x
ct
ϕ(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct) = Überlagerung einer nach rechts und einer nach links
laufenden Welle.
Speziell:
b) Harmonische (monochromatische) ebene Welle in x-Richtung
ϕ(x, t) = ϕ0 cos
mit k =
2π
,ω
λ
= 2πν =
2π
c
λ
2π
(x − ct) = ϕ0 cos (kx − ωt)
λ
= kc, c = Wellengeschwindigkeit
6ϕ(0, t)
6ϕ(x, 0)
t
-
x
-
| {z }
λ = Wellenlänge
| {z }
T = 1/ν = c/λ
= 1/Frequenz
c) Allgemeine harmonische (monochromatische) ebene Welle in Richtung ⃗k
(
)
⃗
ϕ(x, t) = ϕ0 cos k · ⃗r − ωt
⃗k = Wellenvektor mit ω = c|⃗k|
Flächen der Wellenberge im Abstand λ = 2π/k
bewegen sich mit Geschwindigkeit c = ω/k
in Richtung ⃗k
⃗k 42
10 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
Mathematik
i) Komplexe Schreibweise Wegen Eulerformel
eiφ = exp iφ = cos φ + sin φ
⇒
ϕ(x, t) = Re ψ0 exp i(⃗k · ⃗r − ωt)
= ϕ0 cos(⃗k · ⃗r − ωt + φ)
mit ψ0 = ϕ0 eiφ komplex (φ = Phasenverschiebung)
ii) Fourierscher Satz Jede ebene Welle (in x-Richtung) ist Überlagerung von harmonischen ebene Wellen
∫ ∞
dk
ϕ̃(k) ei(kx−ωt)
ϕ(x, t) =
mit ω = c|k|
−∞ 2π
= f (x − ct) + g(x + ct)
| {z } | {z }
von k>0
∫
mit
∞
ϕ̃(k) =
von k<0
dx ϕ(x, 0)e−ikx
−∞
gilt wegen Umkehrformel der Fouriertransformation (siehe Übungen).
(ϕ(x, t) reel ⇔ ϕ̃∗ (k) = ϕ̃(−k))
Beliebige Welle:
∫
ϕ(⃗r, t) =
∞
d3 k
⃗
ϕ̃(⃗k) ei(k·⃗r−ωt)
mit ω = c|⃗k|
3
(2π)
−∞
∫ ∞
⃗
⃗
ϕ̃(k) =
d3 x ϕ(⃗r, 0) e−ik·⃗r
−∞
10 B Anwendung auf elektromagnetische Wellen
Jede Lösung von
(
⃗ =
E
1 ∂2
∆− 2 2
c ∂t
)
⃗ r, t) = 0
E(⃗
ist Superposition von
⃗ ⃗ (⃗r, t) = E
⃗ 0 exp i(⃗k · ⃗r − ωt)
E
k
mit ω = c|⃗k|
= ebene harmonischen Welle in Richtung ⃗k mit Wellenlänge λ = 2π/|⃗k|, Frequenz ν = ω/(2π)
⃗ ⃗ → Re E
⃗⃗ )
(physikalische Lösung E
k
k
10 B Anwendung auf elektromagnetische Wellen
43
Geschwindigkeit
c= √
1
ϵ0 ϵµ0 µ
Im Vakuum
c0 = √
1
ϵ0 µ0
ϵ0 , µ0 experimentell bestimmbar aus Kraftgesetz von Coulomb und Ampere zwischen Ladungen und Strömen (s. §3A,B) ⇒
c0 = 3 · 108
m
= Lichtgeschwindigkeit
s
Maxwell: Licht = elektromagnetische Welle .
Wellengeschwindigkeit in Materie
c = c0 /n mit n =
√
ϵµ = Brechungsindex (siehe §11 A)
Transversalität von ebenen harmonischen Wellen
⃗ =E
⃗ 0 exp i(⃗k · ⃗r − ωt)
Satz: Seien E
⃗ =B
⃗ 0 exp i(⃗k · ⃗r − ωt)
B
⇒
⃗ = ⃗k × E
⃗
ωB
⃗ = −c2⃗k × B
⃗
ωE
6
⃗
E
⃗ ⊥ ⃗k, B
⃗ ⊥ ⃗k und E
⃗ ⊥B
⃗
⇒E
⃗ B
⃗ bilden ein Dreibein
d.h. ⃗k, E,
mit B = E k/ω = E/c.
Beweis: Maxwell:
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = i⃗k × E
⃗ − iω B
⃗
0=∇
⃗ ×H
⃗ −D
⃗˙ = 1 i⃗k × B
⃗ + ϵ0 ϵiω E
⃗
0=∇
µ0 µ
Polarisation
⃗ 0 reell ⇒
i) E
⃗ 0 = Re E
⃗ 0 exp i(⃗k · ⃗r − ωt) = E
⃗ 0 cos(⃗k · ⃗r − ωt)
E
⃗ = Richtung von E
⃗ 0 = const,
⇒ Richtung von E
d.h die elktr. magn. Welle ist linear polarisiert
⃗k
⃗
B
44
10 ELEKTROMAGNETISCHE WELLEN
⃗ 0 komplex: (siehe Übung)
ii) E
⃗ 0 in y, z-Ebene, mit a, b, φ, ψ reell
Sei o.B.d.A ⃗k in x-Richtung, d.h. E




0
0
⃗ 0 =  aeiφ  ⇒ E
⃗ = Re E
⃗ 0 exp i(kx − ωt) =  a cos(kx − ωt + φ) 
E
beiψ
b cos(kx − ωt + ψ)
⃗ nicht konstant falls φ ̸= ψ.
⇒ Richtung von E
⃗ ist Superposition von 2 linear polarisierten Wellen
E
⃗ =E
⃗1 + E
⃗ 2 = ⃗ey a cos(kx − ωt + φ) + ⃗ez b cos(kx − ωt + ψ)
E
⃗ eine Ellipse
Bei x = 0 beschreibt E
Ey2 Ez2
Ey Ez
+
−
2
cos(φ − ψ) = sin2 (φ − ψ)
a2
b2
ab
speziell ψ = φ ∓ π/2 bei x = 0


0
⃗ t) =  a cos (ωt − φ) 
E(0,
±b sin (ωt − φ)
z
b6
⃗ *
E
speziell ψ = φ ∓ π/2 und a = b ⇒ Zirkulare Polarisation“
”
Energiedichte einer elektromagnetischen Welle
⃗ , ω = c|⃗k|
⃗ =E
⃗ 0 cos(⃗k · ⃗r − ωt) , B
⃗ = 1 ⃗k × E
E
ω
nach §9A,B ist
)
1 (⃗ ⃗
⃗ ·B
⃗
E·D+H
2(
)
(
)
1
1 2
1
1 k2
2
=
ϵ0 ϵE +
B =
ϵ0 ϵ +
E 2 = ϵ0 ϵE 2
2
2
µ0 µ
2
µ0 µ ω
w=
beachte we = wm .
Zeitlicher Mittelwert
∫
∫ T
1 T
1
21
⟨w⟩ =
dtw = ϵ0 ϵE0
dt cos2 (⃗k · ⃗r − 2πt/T ) = ϵ0 ϵE02
T 0
T 0
2
Poyntingvektor
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗=E
⃗ ×H
⃗ = EH k = E 2 1 1 k = ϵ0 ϵcE 2 k = wc k
S
k
µ0 µ c k
k
k
Mittelwert
⃗k
k
d.h. Energietransport in Richtung ⃗k mit der Geschwindigkeit c.
⃗ = ⟨w⟩c
⟨S⟩
y
a
-
45
11 Wellenoptik
11 A Reflexion und Brechung
i) Senkrechter Einfall in x-Richtung (s. Übung)
z
⃗e
E
6
-
⃗
⃗ke
Be
y
⃗r
E
⃗d
E
6
6 ⃗
* Br
⃗kr
⃗d
B
-
⃗kd
x
√
n = ϵµ = c0 /c
= Brechungsindex
c0
ω = ckd = kd für x > 0
n
n=ϵ=µ=1
ω = c0 ke = c0 kr für x < 0,
mit c0 = cvak .
Einfallende Welle (x < 0)
⃗ e = ⃗ez e cos(ke x − ωt),
E
⃗ e = −⃗ey e cos(ke x − ωt)
B
c0
reflektierte Welle (x < 0)
⃗ r = ⃗ez r cos(−kr x − ωt),
E
⃗ r = ⃗ey r cos(−kr x − ωt)
B
c0
durchgehende Welle (x > 0)
⃗ d = ⃗ez d cos(kd x − ωt),
E
⃗ d = −⃗ey d cos(kd x − ωt)
B
c
Randbedingungen bei x = 0 (mit B = E/c)

⃗e + E
⃗r = E
⃗d
⃗ t stetig: E
⇒ e+r =d
E

√
⃗ t stetig: B
⃗e + B
⃗r = 1 B
⃗ d ⇒ −e + r = − 1 c0 d = − n d = − ϵ d  ⇒
H
µ
µc
µ
µ
√
ϵ
n
1−
√
1−
µ
2
r
ϵ
d
µ
√ < 0 für
=
,
=
=
>1
n
n
ϵ
e
e
µ
1+
1+
1
+
µ
µ
µ
d.h. E-Feld bei Reflexion: Phasensprung um π
√ )2
(√
⃗e |
µ− ϵ
|S
reflektierte Intensität
r2
√
=
Reflexionskoeffizient =
= 2 = √
⃗r |
einfallende Intensität
e
µ+ ϵ
|S
46
11 WELLENOPTIK
ii) Schräger Einfall: (Einfallsebene = xz-Ebene)
n=1
⃗e = E
⃗ 0e cos(⃗ke · ⃗r − ωt)
E
⃗r = E
⃗ 0r cos(⃗kr · ⃗r − ωt)
E
⃗d = E
⃗ 0d cos(⃗kd · ⃗r − ωt)
E
z
n=
√
ϵµ
}
⃗kr
⃗e = E
⃗∥ + E
⃗⊥
E
⃗ ∥ ist ∥ Einfallsebene
E
⃗ ⊥ ist ⊥ Einfallsebene
E
⃗⊥
E
o
⃗∥
E
⃗r
6
•
7
y
:
•
αr
α
β
⃗kd
x
>
•
⃗ke
⃗ t stetig bei x = 0 für alle t ⇒
E
⃗ke · ⃗r = ⃗kr · ⃗r = ⃗kd · ⃗r bei x = 0 ⇒ ke sin α = kr sin αr = kd sin β
mit kr = ke , kd = nke ⇒
α = αr
sin α
=n
sin β
Einfalls- = Refexionswinkel
= Brechungsgesetz von Snell
Reflexionskoeffizienten (Fresnelsche Formeln) (Bew. wie oben)
(
⃗ ⊥ senkrecht zur Einfallsebne : R⊥ =
für E
(
⃗ ∥ parallel zur Einfallsebne : R∥ =
für E
sin(α − β)
sin(α + β)
tan(α − β)
tan(α + β)
)2
)2
sin α
= tan α = n
sin β
⃗ r ist linear polarisiert ⊥ Einfallsebene für tan α = n.
⇒E
Speziell: R∥ = 0 für α + β = π/2, (d.h. ⃗kr ⊥ ⃗kd ) ⇔
11 B Beugung
Maxwells Gleichungen mit ρ = 0, ⃗j = 0 ⇒
{
⃗ =0
Wellengleichungen
E
1 ∂2
mit
=
△
−
⃗ =0
B
c2 ∂t2
⃗ oder B
⃗ sei
Eine Komponente von E
+ Randbedingungen
ϕ(⃗r, t) = Re ψ(⃗r)e−iωt
d.h. monochromatisches Licht.
Wellengleichung für ϕ
⇔ Helmholzgleichung für ψ
ψ(⃗r)e−iωt = 0
(
)
ω2
△ + 2 ψ(⃗r) = 0
c
11 B Beugung
47
Beispiel: Kugelwelle mit ⃗r = 0 als Zentrum
·
eikr
ω
, mit k =
r
c
(
)
ω 2 eikr
Beweis: zu zeigen: △ + 2
= −4πδ (3) (⃗r)
c
r
⃗ · ⃗r = 3, ∇r
⃗ = ⃗r/r, ∇1/r
⃗
mit ∇
= −⃗r/r3 ⇒
ψ(⃗r) =
( )
( )2
(
)
r
⃗r
3
⃗r
2
1
′⃗
′′
′
⃗
△f (r) = ∇ · f
=f
+f
− ⃗r · 3 = f ′′ + f ′ = (rf )′′ ⇒
r
r
r
r
r
r
eikr
1 ( ikr )′′
1
△
=
e
= −k 2 eikr für r ̸= 0
r
r
r
1
eikr
△
≈ △ = −4πδ (3) (⃗r) für r ≈ 0
r
r
Bestimmung von ψ(⃗r) für ⃗r ∈ V aus Randwerten auf ∂V (vergl. §5 F Greensche Funktion)
Kirchhoffsche Formel“
”
Satz: Falls (△ + ω 2 /c2 ) ψ(⃗r) = 0 ⇒
1
ψ(⃗r) =
4π
∫
(
)
⃗ ′ ψ(⃗r ′ ) − ψ(⃗r ′ )∇
⃗ ′ g(⃗r, ⃗r ′ )
df⃗′ g(⃗r, ⃗r ′ )∇
∂V
∂V
mit der Greenschen Funktion
eikR ⃗
ω
g(⃗r, ⃗r ′ ) =
, R = ⃗r − ⃗r ′ , k =
R
c
= Kugelwelle mit ⃗r ′ als Zentrum
(
d.h.
ω2
△+ 2
c
o
)
g(⃗r, ⃗r ′ ) = −4πδ (3) (⃗r − ⃗r ′ )
∫
Beweis: Green 2 (§5 C)
V
z
⃗r ′ ⃗r
0
(
) ∫
⃗
⃗
⃗
df · ϕ∇ψ − ψ ∇ϕ = d3 x (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) mit ϕ → g(⃗r, ⃗r ′ )
∂V
∫
⃗
R
V
∫
(
)
⃗ ′ ψ(⃗r ′ ) − ψ(⃗r ′ )∇
⃗ ′ g(⃗r, ⃗r ′ ) = d3 x (g(⃗r, ⃗r ′ )∆′ ψ(⃗r ′ ) − ψ(⃗r ′ )∆′ g(⃗r, ⃗r ′ ))
df⃗′ · g(⃗r, ⃗r ′ )∇
∂V
V
( 2 ikR
)
)
( ikR 2
∫
ω
e
ω
e
′
′
(3)
′
′
′
3 ′
ψ(⃗r ) − ψ(⃗r )
− 4πδ (⃗r − ⃗r ) ∆ g(⃗r, ⃗r ) = 4πψ(⃗r)
= dx
R c2
c2 R
V
48
11 WELLENOPTIK
Anwendung auf Beugung:
7
Blende bei ⃗r = 0 vor Punktquelle bei ⃗rL
⃗r
⃗L
R
Kirchhoffapproximation:
⃗ ′ ψ(⃗r ′ ) ≈ 0 außer für ⃗r ′ ∈ Blende
ψ(⃗r ′ ), ∇
⋆
L
⃗
R
′
q
1
⃗r
⃗rL
Schirm
0
V
(Approximation gut falls λ ≪ Blende)
∂V
⇒
1
ψ(⃗r) =
4π
∫
(
)
⃗ ′ ψ(⃗r ′ ) − ψ(⃗r ′ )∇
⃗ ′ g(⃗r, ⃗r ′ )
df⃗′ g(⃗r, ⃗r ′ )∇
Blende
mit ψ(⃗r ′ ) = Kugelwelle mit L als Zentrum
eikRL ⃗
, RL = ⃗rL − ⃗r ′
RL
(
) ⃗ ikRL
⃗ L eikRL
R
1 −R
Le
′
′
⃗
∇ ψ(⃗r ) = cL ik −
≈ −cL ik
falls RL ≫ λ
RL
RL RL
RL RL
ψ(⃗r ′ ) = cL
(
)
∫
ikR ⃗
ikRL
ikcL
e
R
e
L
ψ(⃗r) = −
df⃗′
− (R ↔ RL )
4π Blende
R RL RL
(
)
∫
⃗
⃗ L eik(R+RL )
R
R
ikcL
df⃗′
−
=
4π Blende
R RL
RRL
⃗ ≈ ⃗r, R
⃗ L ≈ ⃗rL .
Falls Blende ≪ R, RL : R
Da k groß, sind im Exponenten auch höhere Terme der Taylorreihe wichtig.
(
)
1 ( ′ ⃗ )2
′ ⃗
R = |⃗r − ⃗r | = r −
⃗r · ∇ r
+
⃗r · ∇ r
+ ...
| {z }
|2
{z
}
FraunhoferFresnel-Approximation
für R, RL sehr groß
′
entsprechend für RL .
Fraunhofer-Approximation
ikcL
ψ(⃗r) =
4π
(
⃗r ⃗rL
−
r rL
Beispiel: Rechteckspalt
)
1 ik(r+rL )
e
·
rrL
∫
(
(
))
⃗r ⃗rL
′
′
⃗
df exp −ik ⃗r ·
+
+ ...
r rL
:
11 C Interferenz
49
z
mit ⃗rL = −rL⃗ex
df⃗′ = −⃗ex dy ′ dz ′
1
y
b
⋆
L
⃗rL
a
⃗r
x
0
:
Schirm
(
)
(
(
))
∫
ikcL 1
⃗r ⃗rL ik(r+rL )
⃗r ⃗rL
′
′
⃗
−
+
ψ(⃗r) =
e
· df exp −ik ⃗r ·
4π rrL r rL
r rL
∫ b
∫ a
(
(y
)
ikcL 1 ( x
z ′ ))
′
′
ik(r+rL )
′
dz exp −ik
dy
=−
+1 e
y + z
4π rrL r
r
r
−b
−a
y
z
(
)
sin k r a sin k r b
ikcL 1 x
=−
+ 1 eik(r+rL ) 4
4π rrL r
k yr
k zr
|ψ|2
Intensität ∝ Poyntingvektor
(
)
y )2 (
sin k zr b 2
⃗ ×H
⃗ ∝ |ψ|2 ∝ sin kyr a
E
z
kr
Spaltfunktion
kr
y
rπ
ka
11 C Interferenz
Beispiel: Doppelspalt
z
⋆
L
d6
?}
x
b
2 Spalte der Breite b im Abstand d. Sei b ≪ d ⇒
(∫
∫ d/2+b )
(
−d/2+b
z )
ψ(⃗r) ∝
+
dz ′ exp −ik z ′
r
−d/2
d/2
( zd
)
zd
≈ const.b eik 2r + e−ik 2r
∝ cos
kd
z
2r
d.h. bei (1) z = 2πrn/(kd), (n = Z) haben wir positive Interferenz: |ψ(⃗r)| maximal
bei (2) z = 2πr (n + 1/2) /(kd) haben wir negative Interferenz: |ψ(⃗r)| = 0
12 Retardierte Potentiale
Beliebige Ladungs- und Stromverteilungen
Maxwell
⃗ ·D
⃗ =ρ
∇
⃗ ×H
⃗ −D
⃗˙ = ⃗j
∇
Materialgleichungen
⃗ ·B
⃗ =0
∇
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = 0
∇
⃗ = ϵ0 ϵE
⃗
D
⃗ = µ0 µH
⃗
B
Potentiale (4 A)
⃗ = −∇φ
⃗ −A
⃗˙
E
⃗ =∇
⃗ ×A
⃗
B
50
12 RETARDIERTE POTENTIALE
12 A Inhomogene Wellengleichung
⃗
für φ und A
⃗ ·E
⃗ = −△φ − ∂ ∇
⃗ ·A
⃗= 1 ρ
∇
∂t
ϵ0 ϵ
(
)
(
)
∂ ⃗
1 ∂ ⃗
∂ ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
∇ × B − µ0 µϵ0 ϵ E = ∇ × ∇ × A + 2
∇φ + A
∂t
c ∂t
∂t
)
(
) 1 ∂ (
∂ ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
= −△A + ∇ ∇ · A + 2
∇φ + A = µ0 µ⃗j
c ∂t
∂t
Durch Umeichung (siehe §4 A)
φ → φ′ = φ − Λ̇
⃗→A
⃗′ = A
⃗ + ∇Λ
⃗
A
Lorentzeichung
⃗ ·A
⃗+ 1 ∂φ=0
∇
c2 ∂t
⃗
⇒ inhomogene Wellengleichungen für φ, A
1
ρ
ϵ0 ϵ
⃗ = −µ0 µ⃗j
A
φ = −
mit = △ −
1 ∂2
c2 ∂t2
Eine Lösung:
Retardierte Potentiale
∫
1
1
φ(⃗r, t) =
d3 x′
ρ(⃗r ′ , t − |⃗r − ⃗r ′ |/c)
4πϵ0∫ϵ
|⃗r − ⃗r ′ |
⃗ r, t) = µ0 µ d3 x′ 1 ⃗j(⃗r ′ , t − |⃗r − ⃗r ′ |/c)
A(⃗
4π
|⃗r − ⃗r ′ |
(für ρ, ⃗j unabhängig von t vgl. §5 E, §7 B)
Beweis: Mit △f (R) =
1
R
(Rf )′′ (siehe §11 B) ⇒
2
′
2
ρ(⃗r ′ , t − R/c)
⃗ + 1 ∂ ρ(⃗r ′ , t − R/c) − 1 ∂ ρ(⃗r , t − R/c) = −4πδ (3) (R)
⃗
= −4πδ (3) (R)
R
R ∂R2
c2 ∂t2
R
⃗ r, t).
entsprechend für A(⃗
Raumzeitdiagramm
Das Potential φ
am Ort ⃗r zur Zeit
Ladungsverteilung ρ am Ort ⃗r ′ zur Zeit
t wird bestimmt durch die
t′r = t − |⃗r − ⃗r ′ |/c = retardierte Zeit
12 B Harmonisch schwingende Ladung
51
d.h. durch ρ auf dem Rückwärtslichtkegel“
”
t
y′
x′
tan α = c α
t′ = t − |⃗r − ⃗r ′ |/c
)r
Rückwärtslichtkegel
des Punktes ⃗r = 0
)
(Auch eine Lösung der inhom. Wellengl. ist das nicht kausale avancierte“ Potential mit
”
t′a = t + |⃗r − ⃗r ′ |/c
12 B Harmonisch schwingende Ladung
ρ(⃗r, t) = Re ρ0 (⃗r)e−iωt
⇒
1
φ(⃗r, t) =
4πϵ0 ϵ
∫
d3 x′ Re ρ0 (⃗r ′ )
e−iω(t−R/c)
R }
| {z
ei(kR−ωt)
R
,
(mit k = ω/c)
= Superposition von Kugelwellen mit Zentrum ⃗r ′ (§11 B)
d.h. Abstrahlung von Kugelwellen
12 C Hertzscher Dipol
Ladungsdichte
•q
⃗a (
)
)
(3)
(3)
⃗
ρ(⃗r, t) = lim q δ (⃗r − ⃗a) − δ (⃗r) = − p⃗ · ∇ δ (3) (⃗r)
(
a→0
• −q
mit Dipolmoment p⃗(t) = lim q⃗a.
a→0
Stromdichte
⃗j(⃗r, t) = ρ(⃗r, t)⃗v (⃗r, t) mit ⃗v (⃗r, t) = ⃗a˙ (t)
= p⃗˙(t)δ (3) (⃗r)
⃗ ·A
⃗+
⇒ retardierte Potentiale (in Lorentzeichung ∇
1 ∂
φ
c2 ∂t
= 0)
∫
p⃗˙(t − R/c)δ (3) (⃗r ′ )
µ
µ
0
⃗˙
⃗ r, t) =
d 3 x′
= µ0 µΠ
A(⃗
4π
R
1 ⃗ ⃗
⃗ · A)
⃗
φ(⃗r, t) = − ∇
· Π , (wegen φ̇ = −c2 ∇
ϵ0 ϵ
52
12 RETARDIERTE POTENTIALE
mit dem Hertzschen Vektor“
”
⃗ = 1 p⃗(t − r/c)
Π
4πr
Es gilt für die Elektromagnetische Felder
r→∞
⃗ = −∇φ
⃗ −A
⃗˙ r→0
= O(r−3 ) = O(r−1 )
E
r→∞
⃗ =∇
⃗ ×A
⃗ r→0
B
= O(r−2 ) = O(r−1 )
Beweis: a) Nahzone r → 0
(
)
(
)
1 ⃗
1
1
p⃗
3 (⃗p · ⃗r) ⃗r
⃗
⃗
E≈
∇ p⃗ · ∇
=
− 3+
≡ statisches Dipolfeld (s. §3 A)
4πϵ0 ϵ
r
4πϵ0 ϵ
r
r5
˙
˙
⃗ ≈ µ0 µ ∇
⃗ × p⃗ = − µ0 µ ⃗r × p⃗ ≡ Biot-Savart für Stromstück p⃗˙ (s. §3 B)
B
4π
r
4π r3
b) Fernzone r → ∞
)
(
µ0 µ p⃗¨(t − r/c)
1 ⃗ ⃗ p⃗(t − r/c)
˙
⃗
⃗
⃗
E = −∇φ − A =
∇ ∇·
−
4πϵ0 ϵ
r
4π
r
)

(
p⃗¨ · ⃗r ⃗r p⃗¨
1

=
−  + O(r−2 )
4πϵ0 ϵc2
r3
r
¨
⃗ = − µ0 µ ⃗r × p⃗ + O(r−2 )
B
4πc r2
wegen
(
⃗ · p⃗(t − r/c)
⃗ ∇
∇
r
Es gilt
(
)
⃗
=∇
p⃗˙ ⃗r −1
⃗1
·
+ p⃗ · ∇
r r c
r
⃗r
⃗ = cB
⃗
⃗ = 1 c B
×E
r
ϵ0 ϵc µ0 µ
⃗r
⃗ = −1E
⃗
×B
r
c
⃗ B
⃗ und E,
⃗ B⊥⃗
⃗ r und B⊥
⃗ p⃗¨
d.h. E⊥
⇒ transversale Welle wird abgestrahlt
(
)
=
)
p⃗¨ · ⃗r ⃗r
c2 r 3
+ O(r−2 )
⃗
*q B
⃗r
p⃗¨
U
⃗
E
6
12 D Poyntingvektor
)
(
⃗
B
⃗r
⃗
⃗
⃗
⃗
×B ×
in der Fernzone S = E × H = −c
r(
)2 µ0 µ
¨
µ0 µ ⃗r × p⃗
c 2 ⃗r
B =
⃗r
=
µ0 µ r
16π 2 c
r2
=
µ0 µ ¨ 2
⃗r
p⃗ sin2 θ 3
2
16π c
r
S ∝ p⃗¨ 2 d.h. beschleunigte Ladung erzeugt Strahlung
S ∝ 1/r2 = quadratisches Abstandsgesetz
Y
θ
o6
7
/ ¨w
*
-
j
p⃗
Intensitätsverteilung
53
Gesamtabstrahlung
∫
∫
⃗=
df⃗ · S
Ẇ =
r2 dΩ|S|
große Kugel
∫
µ0 µ ¨2 1
sin2 θd cos θ
= 2π
p⃗
16π 2 c
−1
µ0 µ ¨2 4
µ0 µ ¨2
= 2π
p⃗ =
p⃗
2
16π c 3
6πc
Harmonische Schwingung: p⃗ = p⃗0 cos ωt ⇒ p⃗¨2 = p⃗¨20 ω 4 cos2 ωt ⇒
∫
1 T
µ0 µ ¨2 4
⟨Ẇ ⟩ =
dtẆ =
p⃗ ω
T 0
12πc 0
(⇒ Sonne rot, Himmel blau)
Teil III
Einsteins Relativitätstheorie“
”
13 Vierdimensionale Formulierung der Elektrodynamik
(in den folgenden Paragraphen ist c = c0 =Vakumlichtgeschwindigkeit)
13 A Vierervektoren und Vierertensoren
Definitionen
 
x
(1) Ein Ereignis ist durch eine Zeit t und einen Punkt ⃗r =  y  gegeben:
z
 0  
ct
x
1


x  x

xµ = 
 x2  =  y  = Vierervektor des Ereignises
c = Vakumlichtgeschwindigkeit
x3
z
(2) Sei die Ladungsdichte ρ und Stromdichte ⃗j gegeben
 
cρ

jx 

jµ = 
 jy  = Viererstromdichte
jz
54
13 VIERDIMENSIONALE FORMULIERUNG DER ELEKTRODYNAMIK
⃗ und magnetisches Feld B
⃗ gegeben:
(3) Sei ein Elektrisches Feld E
 00 01 02 03  

F F F F
0 − 1c Ex − 1c Ey − 1c Ez
 F 10 F 11 F 12 .   1 Ex 0
−Bz By 
 =  1c
 = −F νµ
F µν = 
20
F
.
.
.   c Ey Bz
0
−Bx 
1
F 30 .
.
.
E −By Bx
0
c z
= elektromagnetischer Viererfeldtensor
⃗ → B,
⃗ B
⃗ → − 1 E)
⃗
( 1c E
c

F̃ µν

0 −Bx −By −Bz
 . 0 1 Ez − 1 Ey 
c
c
 = −F̃ νµ
=
1

. .
0
E
c x
. .
.
0
(
= 21 ϵµνρσ Fρσ
)
= dualer Feldtensor
(ϵµνρσ antisymmetrisch, ϵ0123 = 1)
Ladungserhaltungssatz (Kontinuitätsgleichung)
∑ ∂
⃗ · ⃗j = ∂ j 0 + ∂ j 1 + ∂ j 2 + ∂ j 3 =
ρ̇ + ∇
jµ = 0
µ
∂x0
∂x1
∂x2
∂x3
∂x
µ=0
3
∂µ j µ = 0
mit ∂µ =
∂
∂xµ
und Einsteins Summenkonvention aµ bµ =
3
∑
aµ b µ .
µ=0
13 B Maxwellsche Gleichungen
⃗ = ε0 E,
⃗ H
⃗ =
(im Vakuum) D
1 ⃗
B,
µ0
3
∑
sei H µν =
1
F µν
µ0
{
∂µ H µν = j ν ⇔
µ=0
3
∑
{
∂µ F̃ µν = 0 ⇔
µ=0
Beweis: 1.

1∑
1 ∑

∂µ F µν =
µ0 µ
µ0 µ 
∂
F µ0
∂xµ
∂
F µ1
∂xµ
.
.

⃗ ·D
⃗ =ρ
∇
⃗ ×H
⃗ −D
⃗˙ = ⃗j
∇
⃗ ·B
⃗ =0
∇
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = 0
∇
 (


= 1 
 µ0 

1
c
⇒
)
∂
∂
∂
E + ∂y
Ey + ∂z
Ez
∂x x
1 ∂
∂
∂
− c2 ∂t Ex + ∂y Bz − ∂z By




.
.

  
 
⃗ ·E
⃗
⃗ ·D
⃗
ε0 c(∇
c∇
cρ
(
)
)

  
  ⃗
1 ⃗
⃗
⃗
 −ε Ė + ∇ × µ0 B   ∇ × H − Ḋx   jx 
= 0 x
 =   = jν
x
x = 
.




.
.
.
.
.
⃗ → B,
⃗ B
⃗ → −1E
⃗ ⇒ F µν → F̃ µν
2. ersetze 1c E
c
13 C Viererpotential
55
13 C Viererpotential
⃗
El. Potential φ, Vektorpotential A
1 
φ
c 


Aµ =  Ax 
 Ay 
Az
Lorentzeichung (siehe §12 A)
3
∑
1 ∂
⃗
⃗
φ + ∇ · A = 0 ⇐⇒
∂µ Aµ = 0
c2 ∂t
µ=0
Darstellung von F µν durch Aµ
F µν =

ct
 −x 
∂
µ

mit xµ = 
 −y  und ∂ = ∂xµ
−z

∂ ν
∂ µ
A −
A = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
∂xµ
∂xν
Beweis:
∂ 1
A −
∂x0
∂ 2
=
A −
∂x1
F 01 =
F 12
∂ 0 1
∂ 1
1
A = Ȧx +
φ = − Ex , usw
∂x1
c
∂x c
c
∂ 1
∂
∂
A = − Ay +
Ax = −Bz , usw
∂x2
∂x
∂y
Eichinvarianz
Aµ → Aµ + ∂ µ Λ ⇒ F µν → F µν
Wellengleichung für Aµ
)
∑ ∂ ( ∂
∑ ∂
∂ µ
µν
ν
F =
A −
A = µ0 j ν
µ
µ
∂x
∂x
∂xµ
∂xν
µ
µ
= Aν −
∑ ∂ ∂
∂ ∑ ∂ µ
1 ∂2
ν
A
=
µ
j
,
mit
=
=
−△
0
µ ∂x
2 ∂t2
∂xν µ ∂xµ
∂x
c
µ
µ
(in §10 A und §12 A: → −). In Lorentzeichung
Aν = µ0 j ν
Andere Formulierung
∂µ F̃ µν = 0 ⇔ ∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 0
µ
Beweis: ∂µ F̃ µν = 0 ⇒ ∃Aµ mit F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν A
( ν⇒λ
)
λ µν
µ νλ
ν λµ
λ
µ ν
ν µ
µ
∂ F + ∂ F + ∂ F = ∂ (∂ A − ∂ A ) + ∂ ∂ A − ∂ λ Aν + ∂ λ (∂ ν Aµ − ∂ µ Aν ) = 0
(
)
⇒ 0 = ϵµνλρ ∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 6∂ λ F̃λρ
56
14 RELATIVITÄTSPRINZIP UND LORENTZTRANSFORMATIONEN
14 Relativitätsprinzip und Lorentztransformationen
√
Hier c = c0 = 1/ ϵ0 µ0 = Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.
14 A Inertialsysteme
Sei Σ ein Bezugssystem in dem Newton’s Bewegungsgleichungen gelten (Inertialsystem) und
Σ′ ein dagegen gleichförmig geradlinig bewegtes (nicht rotierendes).
z′
Koordinatentransformation
3I
z
Σ
⃗r ′ = ⃗r − ⃗r0
⃗r
y
⃗r ′
⃗r0
Σ′
:′
0
y′
x′
x
0

⃗r ′ = ⃗r − ⃗v0 t
 Ort
Geschwindigkeit ⃗v ′ = ⃗v − ⃗v0
Falls ⃗r0 = ⃗v0 t mit ⃗v0 = konstant gilt :

Beschleunigung ⃗¨r ′ = ⃗r¨
∑
⃗ i Vij (|⃗ri − ⃗rj |) gilt
Für N Massenpunkte mit F⃗i = −∇
j
m⃗¨ri = F⃗i ⇐⇒ m⃗¨ri′ = F⃗i ′
d.h. die Newtonschen Bewegungsgleichungen sind forminvariant“.
”
Galileis Relativitätsprinzip Die Physik ist invariant unter ,,Galileitransformationen“
⃗r → ⃗r ′ = ⃗r − ⃗v0 t
t → t′ = t
Die Zeit ist ,,absolut“. Insbesondere gilt
Addition der Geschwindigkeiten
⃗v = ⃗v ′ + ⃗v0
Annahme:
(1) Es gelte Galileis Relativitätsprinzip
(2) Maxwells Gleichungen gelten in allen Inertialsystemen Σ
√
⇒ Lichtgeschwindigkeit in allen Σ ist c = 1/ ϵ0 µ0
Satz: (1) widerspricht (2)
Beweis:
Geschwindigkeit einer Lichtwelle in Σ :
(1)
⇒
⃗c
Geschwindigkeit einer Lichtwelle in Σ′ : ⃗c − ⃗v0
}
⇒ Widerspruch zu (2)
14 B Michelson Versuch
Folgerung:
57
entweder (2) falsch
oder (1) falsch
}
Michelson Versuch
=⇒
(2) richtig
(1) nur richtig für v ≪ c
14 B Michelson Versuch
(siehe Übungen)
S2
⋆
Lichtquelle
l2
I
Spiegel
6 ? Glas
-
S0
U
-
⃗v
l1
S1
?
Beobachter
verschiedene Laufzeiten entlang l1 und l2 ⇒ Interferenzstreifen bei B. Was ändert sich bei
Drehung des Apparates um 900 ?
Annahme: es gelte (1) und die Lichtgeschwindigkeit sei = c in Σ,
der Apparat ruhe in Σ′ gegen Σ mit v bewegt:
⇒ Lichtgeschwindigkeit entlang l1 : c − v bzw. c + v
Laufzeit für S0 → S1 → S0 :
t1 =
l1
l1
2l1 c
2l1 1
v
+
= 2
=
, mit β =
2
2
c−v c+v
c −v
c 1−β
c
Laufzeit für S0 → S2 → S0 :
S2
√
l22 + ( 12 vt2 )2
l2
S0
|{z}
1
vt
2 2
t2 =
√
2 l22 + 14 v 2 t22
c
⇒ t22 =
4l22 + v 2 t22
c2
2l2
⇒ t2 = √
c 1 − β2
S0
Nach Drehung um 900 ⇒
2l1
2l2 1
t′1 = √
, t′2 =
2
c 1 − β2
c 1−β
⇒ Zeitdifferenz
(t′2 − t′1 ) − (t2 − t1 )
) (
))
((
2
l1
l2
l1
l2
=
−√
− √
−
c
1 − β2
1 − β2
1 − β2 1 − β2
(
)
( v )2
2
1
1
1
√
= (l2 + l1 )
−
≈
(l
+
l
)
, für v ≪ c
2
1
c
1 − β2
c
c
1 − β2
⇒ Verschiebung der Interferenzstreifen wurde nicht beobachtet!
58
14 RELATIVITÄTSPRINZIP UND LORENTZTRANSFORMATIONEN
(mit anderen Experimenten) ⇒
Interpretation:
(1) gilt nicht wenn v groß, d.h. v ≈ c
sondern Lichtgeschwindigkeit = c in allen Inertialsystemen Σ.
14 C Gleichzeitigkeit für entfernte Orte
Annahme: ∃ Maßstäbe und Uhren
•⋆
•
Sei Strecke AM = M B = l
Σ •
M
B
A
und seien A, M, B in Σ in Ruhe.
⃗vM′
•
Bei M starten zur Zeit t = 0
Σ′
Lichtwellen nach A und B.
Für einen Beobachter in Σ treffen sie bei A und B gleichzeitig“ (nach Definition) ein zur
”
Zeit t = l/c
Frage: Was gilt für einen Beobachter in Σ′ (mit Geschwindigkeit v bewegt)?
Seien in Σ′ die Strecken AM = M B = l′ und sei M = M ′ zur Zeit t = 0 und t′ = 0.
Die Lichtwellen treffen ein für Beobachter in Σ′ bei
{
A zur Zeit t′A ⇒ Strecke M M ′ ist dann = vt′A ⇒ Lichtweg (M ′ → A) = l′ + vt′A
B zur Zeit t′B ⇒ Strecke M M ′ ist dann = vt′B ⇒ Lichtweg (M ′ → B) = l′ − vt′B
{ ′
}
l + vt′A = ct′A
′
Da in Σ Lichtgeschwindigkeit = c ⇒
⇒ t′A ̸= t′B
l′ − vt′B = ct′B
⇒ für Beobachter in Σ′ trifft das Licht bei A und B nicht gleichzeitig ein!
⇒ Gleichzeitigkeit in Σ und Σ′ verschieden!
14 D Lorentztransformationen
Sei Σ ein Inertialsystem
Σ′ ein Inertialsystem bewegt gegen Σ mit ⃗v = const.
{
Σ durch t, ⃗r → xµ
Ein Ereignis werde beschrieben in
Σ′ durch t′ , ⃗r ′ → x′µ
( )
( ′)
ct
ct
mit xµ =
und x′µ =
⃗r
⃗r ′
Wie hängen xµ und x′µ zusammen?
Für v ≪ c gilt die ,Galileitransformation
⃗r ′ = ⃗r − ⃗v0 t
t′ = t
Annahmen:
i) x′µ = linear (xν ) d.h.
x′µ =
3
∑
ν=0
Λµν xν
14 D Lorentztransformationen
59
mit Λµν (⃗v ) ↔ Matrix
x′0
x′1
x′2
x′3
= Λ00 x0 + Λ01 x1 + Λ02 x2 + Λ03 x3
= Λ10 x0 + Λ11 x1 + Λ12 x2 + Λ13 x3
= ...
= ...
(damit xµ = 0 nicht ausgezeichnet wird)
ii) Σ′ gegen Σ mit ⃗v bewegt ⇔ Σ gegen Σ′ mit −⃗v bewegt, d.h.
′µ
x =
3
∑
Λµν (⃗v )xν
⇔x =
µ
ν=0
3
∑
Λµν (−⃗v )x′ν
ν=0
iii) in Σ und Σ′ Lichtgeschwindigkeit = c (in allen Richtungen)
iv) Σ und Σ′ experimentell ununterscheidbar (Relativitätsprinzip).
z
Seien die x, y, z-Achsen
′ ′ ′
y
parallel x , y , z -Achsen
Σ
′
′
und 0 = 0 zur Zeit t = 0 und t = 0
x
0
und sei ⃗v in Richtung ⃗ex .
′
′
′
d.h. y = 0 ⇔ y = 0 , z = 0 ⇔ z = 0 , x = vt ⇔ x = 0 ∀t
{
i)
l
in Σ
′
⇒ y = κy, d.h. Länge eines Stabs parallel y-Achse =
κl in Σ′
iv)
⇒ y = κy ′ ⇒ κ = 1 ⇒
i),ii)
⇒
{
x′ = γ(x − vt)
x = γ(x′ + vt′ )
}
y ′ = y , entsprechend z ′ = z
⇒ x/γ = γ(x − vt) + vt′ ⇒
t′ = γt + (1/γ − γ) x/v
Bestimmung von γ:
Zur Zeit t = t′ = 0 starte bei 0 ={0′ eine Lichtwelle in x-Richtung
x zur Zeit t
⇒ sie trifft auf einen Schirm bei
x′ zur Zeit t′
{
}
(
)
x′
v2
iii) x
x′ = γ(x − vx/c)
2
⇒1=γ 1− 2 ⇒
⇒ = ′ =c⇒
x = γ(x′ + vx′ /c)
t
t
c
γ=√
1
1 − β2
, β=
v
c
Mit (1/γ − γ) = γ (1/γ 2 − 1) = −γβ 2 = −γv 2 /c2 ⇒
Spezielle Lorentztransformation
(


v )
′
t = γ t − 2x 
γ
−γβ
0
0



c
 −γβ γ 0 0 
x′ = γ(x − vt)

d.h. Λµν = 
 0

′
0
1
0

y =y



0
0 01
z′ = x
z′
Σ′
0′
⃗v -
y′
x′
60
14 RELATIVITÄTSPRINZIP UND LORENTZTRANSFORMATIONEN
Beliebige Lorentztransformation
ΛD ΛSpez Λ′D
mit ΛD = Drehmatrix, z.B. Drehung um z-Achse


1
0
0 0
 0 cos α sin α 0 

(ΛD )µν = 
 0 − sin α cos α 0 
0
0
0 1
y′ y
x′
α
x
sinh θ
Notation β = v/c = tanh θ =
, mit
cosh θ
(
)
(
)
sinh θ = 12 eθ − e−θ , cosh θ = 12 eθ + e−θ ⇒ cosh2 θ − sinh2 θ = 1
(
)−1/2
⇒ γ = 1 − tanh2 θ
= cosh θ

⇒
(ΛSpez )µν
cosh θ − sinh θ
 − sinh θ cosh θ
↔

0
0
0
0
0
0
1
0

0
0

0
1
Einsteins Relativitätsprinzip“ Die Physik ist invariant unter ,,Lorentztransformatio”
nen“
3
∑
Λµν xν
xµ → x′µ =
ν=0
≡ Transformationsgesetz der speziellen Relativitätstheorie“
”
Die Zeit ist nicht absolut, sondern die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen
gleich!
Für Geschwindigkeiten v ≪ c gilt: Einsteins - ≈ Galileis Relativitätsprinzip
14 E Minkowskiraum
Definition: Der Minkowskiraum ist der 4-dimensionale Raum der Ereignise
 
ct
( )

ct
x

xµ =
=
 y .
⃗r
z
t
Sei ein (zeitlich bewegter) Punk ⃗r(t) gegeben,
⃗r(t)
dann heißt
( die)Kurve im Minkowskiraum
ct
xµ (t) =
die Weltlinie des Punkes ⃗r(t).
⃗r(t)
x
Eine Weltlinie ist eine Kurve im Raumzeitdiagramm (siehe auch §12 A). Z. B. die Weltlinie eines Punktes ⃗r(t) = ⃗v t mit konstanter Geschwindigkeit ist eine Gerade.
14 F Längenkontraktion, Zeitdilatation usw
61
Anwendung auf Gleichzeitigkeitsproblem
Sei Σ′ gegen Σ bewegt mit ⃗v = v⃗ex und 0 = 0′ für t = t′ = 0:
Weltlinie von 0′ : x′ = 0, x = vt
t
Weltlinie von 0′ ist die 
Gerade
 x = vt
)
ct
x=0
( )
 vt 
ct

M
d.h. xµ (t) =
=
0
⃗v t
Lichtkegel: x = ct, x′ = ct′
0
I t′ = 0, t = xv/c2
Für t = 0 sind Ereignisse in Σ gleichzeitig,
Für t′ = 0 sind Ereignisse in Σ′ gleichzeitig,
d.h. auf der Geraden t = xv/c2
Ereignisse gleichzeitig in Σ′
0
IEreignisse gleichzeitig in Σ : t = 0
Folgerungen aus den Lorentztransformationen:
14 F Längenkontraktion, Zeitdilatation usw
a) Längenkontraktion: Ein Stab AB ruhe in Σ′ mit A bei 0′ und B bei x′ = l′ :

 
 
0
0








0

 , x′µ =  0 

1. Punkt A xµA = 

A




0
0



Betrachte 2 Ereignisse
0 
0 ′
:
0
ct
zur Zeit t = 0



′ 





µ

 l  , x′µ =  l 
2.
Punkt
B
x
=

B
B

0
 0 



0
0
′
x = γ(x − vt) ⇒
l
l′ = γl = √
>l
1 − v 2 /c2
d.h. bewegte Stäbe erscheinen kürzer (für Beobachter in Σ)!!
b) Zeitdilatation: Eine 
Uhr ruhe in Σ′ bei 0′ :






1. Uhr zeigt t′ = 0





Betrachte 2 Ereignisse :






2. Uhr zeigt t′ = T ′





)
(
v
ii)
⇒ t = γ t′ + 2 x′ ⇒
c
T = γT ′ = √
 
 
0
0




0
′µ
0
xµ0 = 
,
x
=
0
0
0
0 
0 ′
cT
cT




x
′µ
 0 

xµT = 
 0  , xT =  0 
0
0
T′
1 − v 2 /c2
> T′
d.h. bewegte Uhren gehen langsamer (für Beobachter in Σ)!!.
x
62
14 RELATIVITÄTSPRINZIP UND LORENTZTRANSFORMATIONEN
Beispiel: µ-Teilchen entstehen in h ≈ 10 km Höhe, sie leben τ ≈ 2 · 10−6 s, ihre Geschwindigkeit v ≈ c = 3 · 108 m / s ⇒ für mitbewegten Beobachter legen sie ≈ 2 · 10−6 s ·3 ·
108 m / s = 600 m zurück. Aber
√ sie erreichen die Erdoberfläche, weil für mitbewegten Beobachter
die Länge h um 1 − v 2 /c2 verkürzt und für Beobachter auf der Erde τ um
√
1/ 1 − v 2 /c2 verlängert erscheint.
c) Addition von Geschwindigkeiten: Bewegung mit Geschwindigkeit in x-Richtung
}
}
x
γ(x′ + vt′ )
ii) v =
v1 in Σ
v1 = x/t
(
=
v ) ⇒
d.h. ′
⇒ 1
t
v1′ in Σ′
v1 = x′ /t′
γ t′ + 2 x′
c
v1 =
v1′ + v
< v1′ + v
vv1′
1+ 2
c
Es gilt v, v1′ < c ⇒ v1 < c und speziell v1′ = c ⇒ v1 = c.
d) Maximale Signalgeschwindigkeit:
{
x(t) = v1 t
Ein Signal breite sich gemäß
x′ (t) = v1′ t′
in Σ
in Σ′ aus
t
Signal
Lichtkegel
x
verboten
Kausalität: Signale gehen immer
von der Vegangenheit in die Zukunft,
d.h. t > 0 ⇔ t′ > 0 ∀Σ′
Es folgt Signalgeschwindigkeit
R
v1 ≤ c
d.h. die Weltlinie eines Signals liegt innerhalb des Vorwärtslichtkegels.
(
)
v
Beweis: sei v1 > c ⇒ ∃Σ′ mit v < c und v1 v > c2 ⇒ t′ = γ t − 2 v1 t < 0 für t > 0 :
c
Widerspruch!
14 G Lorentz-Invarianz und -Kovarianz
Definition:
Aµνρ...
|{z}
n
ist eine Tensor n-ter Stufe, falls beim Übergang von Inertialsystemen Σ → Σ′ das Transformationsgesetz gilt:
′ ′ ′
Aµνρ... → A′µνρ... = Λµµ′ Λνν ′ Λρρ′ . . . Aµ ν ρ ...
(mit Einsteins Summenkonvention
3
∑
usw.), d.h. Aµνρ... transformiert wie xµ xν xρ . . . .
µ′ =0
Speziell:
Tensor 0. Stufe = 4-Skalar (invariant), z.B. c
Tensor 1. Stufe = 4-Vektor (kovariant), z.B. xµ , j µ , Aµ
Tensor 2. Stufe = 4-Tensor (kovariant), z.B. F µν
(Bew siehe §14 H)
(Bew siehe §14 H)
14 G Lorentz-Invarianz und -Kovarianz
63
(
)
( 0)
0
x
y
Definition: Seien xµ =
, yµ =
4-Vektoren
⃗x
⃗y
Das Skalarprodukt im Minkowskiraum ist
xy = x0 y 0 − ⃗x · ⃗y = xµ gµν y ν
mit dem metrischer Tensor

gµν
1
0
=
0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
0

0
0 

0 
−1
Speziell
x2 = c2 t2 − ⃗r 2 = xµ gµν xν
definiert eine Norm.
(Man sollte Pseudo-Skalarprodukt und Pseudo-Norm sagen, weil x2 nicht positiv ist.)
Man sagt (relativ zu t = 0, ⃗r = 0) ist xµ
t
x2 > 0
x2 = 0
zeitartig falls x2 > 0
raumartig falls x2 < 0
lichtartig falls x2 = 0
x2 = 0 ↔ x = ±ct
x2 < 0
x
Satz: Unter Lorentztransformationen ist das Skalarprodukt xy = x0 y 0 − ⃗x · ⃗y invariant
x′ y ′ = xy
d.h. für die Pseudometrik gµν gilt
Λµρ gµν Λνσ = gρσ
Beweis: x2 = c2 t2 − ⃗r 2 ist invariant da bei
1.Drehungen: t und ⃗r 2 invariant:
⃗r ′2 = (x cos α + y sin α)2 + (−x sin α + cos yα)2 + z 2 = ⃗r 2
2. spezielle Lorentztransformationen:
( )2
x′2 = x′0 − x′2 − y ′2 − z ′2
)2
(
)2 (
= x0 cosh θ − x1 sinh θ − x0 sinh θ − x1 cosh θ − y 2 − z 2 = x2
⇒ xy = 12 ((x + y)2 − x2 − y 2 ) invariant.
64
14 RELATIVITÄTSPRINZIP UND LORENTZTRANSFORMATIONEN
Die Invarianz der Metrik gµν ist in Matrixform ΛT gΛ = g :
(
)(
)(
) (
)
cos α − sin α
−1 0
cos α sin α
−1 0
=
sin α cos α
0 −1
− sin α cos α
0 −1
(
)(
)(
) (
)
cosh θ − sinh θ
1 0
cosh θ − sinh θ
1 0
=
− sinh θ cosh θ
0 −1
− sinh θ cosh θ
0 −1
für Drehungen und spezielle Lorentztansformationen.
Definition:
Die linearen Transformationen, die gµν invariant lassen bilden die Lorentzgruppe.
Rauf und runterziehen von Indizes“
”
′
′
Aµνρ... = gµµ′ Aµ νρ... = g νν Aµν ′ρ...
∑
↖
µ′
mit g µν = gµν = diag (1, −1, −1, −1).
Beispiele:
µ′
xµ = gµµ′ x =
(
ct
−⃗r
′
)
, (siehe §13 C)
′
gµν = gµµ′ g µ ν = g νν gµν ′ = δµν
Beim
Verjüngen“
”
Tensoren, z.B.
durch Summation über gleiche obere und untere Indizes entstehen neue
xy = xµ yµ
Aµµρ... = Aµµρ... = B ρ...
(Beweis wie oben)
14 H Beispiele für 4-Tensoren
xµ und ∂ µ
(
µ
x =
ct
⃗r
)
∂
sind 4-Vektoren
∂xµ
∂ µ ∂µ = = Skalar
und ∂ µ =
Beweis: für xµ nach Definition und für ∂ µ da
∂ µ xν = g µρ ∂ρ xν = g µρ
∂xν
= g µν = 4-Tensor
∂xρ
14 H Beispiele für 4-Tensoren
65
Eigenzeit
(
Ein Punkt bewege sich entlang der Weltlinie xµ (t) =
mit der Geschwindigkeit
⃗v (t) =
ct
⃗r (t)
)
d⃗r (t)
dt
t
⃗r(t)
}
dτ
x
Definition: Die Eigenzeit“ ist die Zeit im mitbewegten System. Sei Σ′ bewegt gegen Σ
”
mit der Geschwindigkeit ⃗v (t) (nicht notwendig konstant) ⇒
(
)
1 µ
1 2
⃗v 2
2
2
dτ = 2 dx dxµ = dt − 2 d⃗r = 1 − 2 dt2
c
c
c
√
v
dτ = 1 − β 2 dt = dt/γ = dt′ mit β =
c
′
(siehe auch §14 F: T = γT )
Nach Definition ist
dτ invariant
unter Lorentztransformationen.
Zwillingsparadox
∫
Eigenzeit =
Die Bogenlänge
∫
∫ √
∫
dτ =
1 − β 2 dt ≤ dt
dτ in der Pseudo-Metrik im Vorwärtslichtkegel ist maximal für die Gerade.
Vierergeschwindigkeit
d µ
u =
x =γ
dτ
µ
( )
c
= 4-Vektor
⃗v
2
transformiert sich wie xµ , d.h. ist ein 4-Vektor mit u2 = (u0 ) − ⃗u 2 = γ 2 (c2 − v 2 ) = c2 =
invariant!
Viererimpuls
µ
p = mu
µ
( )
c
= mγ
= 4-Vektor
⃗v
2
mit m = Masse, p2 = (p0 ) − p⃗ 2 = m2 c2 = invariant!
Viererstromdichte
(§13 A)
(
µ
j =
cρ
⃗j
)
= 4-Vektor = Tensor 1.Stufe, d.h. j ′µ = Λµµ′ j µ
Beweis: Für ein Punktteilchen bei ⃗r0 (siehe §1 B)
ρ = qδ (3) (⃗r − ⃗r0 )
⃗j = ρ⃗v (⃗r)
66
14 RELATIVITÄTSPRINZIP UND LORENTZTRANSFORMATIONEN
⇒
( )
1
c
j =q
δ (3) (⃗r − ⃗r0 ) = quµ δ (3) (⃗r − ⃗r0 ) = 4-Vektor
⃗v
γ
µ
da
γd3 x , und δ (3) (⃗r)/γ invariant
wegen Längenkontraktion (§14 D) und uµ = 4-Vektor.
Viererpotential


1
φ
Aµ =  c  4-Vektor
⃗
A
da Aµ = µ0 j µ (siehe §13 C) und = Skalar, j µ = 4-Vektor.
Viererfeldtensor
§13 A §13 C ⇒
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ = 4-Tensor
Viererkraft
auf ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld .
Definition:
F µ = qF µν uν = 4-Vektor
da F µν = 4-Tensor, uν = 4-Vektor.
Explizit (§13 A)


0 − 1c Ex − 1c Ey − 1c Ez
)
( 1
)
(1
)
(
⃗ · ⃗v
⃗ · ⃗v
 1 Ex 0

−B
B
c
E
F
z
y
µ
c
c
γ
F = q
= qγ ⃗ c
 1 Ey B z
⃗ =γ
0
−Bx 
−⃗v
E + ⃗v × B
F⃗
c
1
E −By Bx
0
c z
(
)
⃗ + ⃗v × B
⃗ = Coulomb- +Lorentzkraft.
mit F⃗ = q E
Kraftdichte
(
µ
µν
f = F jν = F
cρ
−⃗j
)
(
=
· ⃗j
⃗ + ⃗j × B
⃗
ρE
1⃗
E
c
)
(
=
Leistungsdichte
Kraftdichte
)
∫
mit
µ
F =γ
d3 xf µ
läßt sich schreiben als (Beweis wie in &9 E mit Maxwell: ∂µ H µν = j ν , ∂µ F̃ µν = 0)
f ν = −∂µ T µν
(
)
1 µν
w 1c Sk
ρσ
µρ ν
µν
T = g Hρσ F − H F ρ = 1
S −Tik
4
c i
67
(
⃗ ·D
⃗ +H
⃗ ·B
⃗
Energiedichte (§9 C) w =
E
⃗=E
⃗ ×H
⃗
Poyntingscher Vektor (§9 C) S
1
2
mit
)
(
)
⃗ ·E
⃗ +B
⃗ ·H
⃗
Maxwellscher Spannungstensor (§9 E) Tik = Di Ek + Bi Hk − 12 δik D
T µν heißt Energie-Impuls-Tensor (siehe §19 C).
Bewegungsgleichung
eines geladenen Teilchens im elektromagnetischen Feld
d µ
p = F µ = qF µν uν = q (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) uν
dτ
d
(pµ + qAµ ) = q∂ µ Aν uν
dτ
da
d
Aµ
dτ
= (∂ ν Aµ ) dτd xν = ∂ ν Aµ uν
15 Relativistische Mechanik
15 A Bewegungsgleichung eines Massenpunktes
d µ
p = Fµ
dτ
mit
(1
( )
)
c
F⃗ · ⃗v
µ
c
, F =γ
p = mu = γm
, und dτ = dt/γ = Eigenzeit
⃗v
F⃗
µ
µ
m = Ruhemasse des Teilchens.
Beispiel: konstante Kraft (siehe Übung): F⃗ = F⃗ex , ⃗v (t = 0) mit dτ = dt/γ ⇒
( )
) F 2 2
(
d
F
d
2
2 2
t ⇒
m γv = mγ γv = γF ⇒ γv = t ⇒ v = 1 − v /c
dτ
dt
m
m
{
F
1
t für t → 0
v(t) = √
ctF → m
2
2
2
2
c m +F t
c für t → ∞
{
∫ t
(√
)
1F 2
√
t für t → 0
x(t) =
v(t′ )dt′ = c
c2 m2 /F 2 + t2 − c2 m2 /F 2 → 2 m
0
ct
für t → ∞
{
√
c2 F
mc2 + 12 mv 2 für t → 0
t = c c2 m2 + F 2 t2 →
cp0 = γmc2 =
Fx
für t → ∞
v
d.h. cp0 ↔ Energie
68
15 RELATIVISTISCHE MECHANIK
15 B Energie
Interpretation von p0 = mu0 = γmc :
Energiesatz ⇒ F⃗ · ⃗v = dtd E = Leistung ⇒
d 0
1
1d
1 d
p = F 0 = γ F⃗ · ⃗v = γ
E=
Energie
dτ
c
c dt
c dτ
also
(1
µ
p =
E
p⃗
)
c
2
mit p =
1
E2
c2
( )
c
− p⃗ = m c , da p = mu und u = γ
⃗v
2
2 2
µ
µ
µ
Es folgt Energie
m
E = cp0 = cmu0 = γmc2 = √
c2 = m(v)c2
2
1−β
1
= mc2 + m⃗v 2 + O(v 4 /c4 )
2
= Ruheenergie + kinetische Energie
Trägheit der Energie
d µ
p
dτ
= Fµ ⇒
d
m(v)
dt
( ) (1
)
c
F⃗ · ⃗v
c
=
⃗v
F⃗
15 C Viererimpulserhaltung
beim Stoß oder Zerfall: n-Teilchen → m-Teilchen
′µ
pµ1 + · · · + pµn = p′µ
1 + · · · + pm ⇔
{
]
Energieerhaltung
Impulserhaltung
... p′m
p′1
o
p1
Beispiel: Zerfall eines Teilchens •m
(
M
•
...
pn
m im Schwerpunktsystem
-•
′µ
pµ = p′µ
1 + p2
)
((
) (
))
cM
cm
cm
=γ
+
p⃗ = 0
m⃗v
−m⃗v
)
(
)
c2 (
M = 2mγ ⇒ 1 − v 2 /c2 M 2 = 4m2 ⇒ v 2 = 2 M 2 − 4m2
M
d.h. Zerfall möglich falls M 2 > 4m2 ⇒ Umwandlung von Ruheenergie in kinetische Energie
(→ z.B. Kernenergie).
69
16 Relativistische Elektrodynamik
16 A Kovarianz der Maxwellgleichungen
Nach §13 B: im Vakuum H µν =
1
F µν
µ0
⇒
∂µ H µν = j ν
∂µ F̃ µν = 0 ⇔ ∂ λ F µν + ∂ µ F νλ + ∂ ν F λµ = 0
sind Gleichungen für 4-Tensoren (1., 2. und 3. Stufe)
16 B Transformationsformeln
1) der Viererstromdichte
nach §14 H ist j µ 4-Vektor, d.h. transformiert nach §14 G wie
′
j µ → j ′µ = Λµµ′ j µ , d.h. j ′ = Λj
Sei ⃗v = v⃗ex ⇒ für j 0 = cρ, j 1 = jx (nach §14 D)
(
′
cρ
jx′
)
(
=
γ −γβ
−γβ γ
)(
(
)
cρ
jx
=γ
v )
cρ − jx
c
jx − vρ
2) der Felder
nach §14 H ist F µν ein 4-Tensor, d.h. transformiert nach §14 G wie
′ ′
F µν → F ′µν = Λµµ′ Λνν ′ F µ ν , d.h. F ′ = ΛF ΛT
nach §13 A⇒


0 − 1c Ex′ − 1c Ey′ − 1c Ez′
 1 Ex′
0
−Bz′ By′ 
 1c ′

′ 
 Ey Bz′
0
−B
x
c
1 ′
′
′
E
−B
B
0
z
y
x
c




γ −γβ 0 0
γ −γβ 0 0
0 − 1c Ex − 1c Ey − 1c Ez


 −γβ γ 0 0   1 Ex 0
−Bz By 
  −γβ γ 0 0 
  1c
=
 0
0 1 0
0
−Bx   0
0 1 0   c Ey B z
1
0
0 01
E −By Bx
0
0
0 01
c z


1
1
0
− c Ex
−γ (c (Ey − βBz )) −γ(1c (Ez + βBy))
1

E
0
−γ Bz − β 1c Ey γ By + β 1c Ez 
c x

)
(
=
 γ 1 (Ey − βBz ) γ Bz − β 1 Ey

0
−B
x
c
c
(
)
1
1
γ c (Ez + βBy ) −γ By + β c Ez
Bx
0
⇒
Ex′ = Ex
(
)
⃗ + ⃗v × B
⃗
Ey′ = γ (Ey − vBz ) = γ E
(
)y
′
⃗
⃗
Ez = γ (Ez + vBy ) = γ E + ⃗v × B
z
Bx′ = B(
x
)
′
⃗ − ⃗v × E/c
⃗ 2
By = γ B
)y
(
2
′
⃗
⃗
Bz = γ B − ⃗v × E/c
z
70
16 RELATIVISTISCHE ELEKTRODYNAMIK
oder
⃗′ = E
⃗∥
⃗′ = B
⃗∥
E
B
∥
∥
(
)
(
)
⃗′ = γ E
⃗ ⊥ + ⃗v × B
⃗
⃗′ = γ B
⃗ ⊥ − ⃗v × E/c
⃗ 2
E
B
⊥
⊥
⃗ ∥ , Ey,z → E
⃗ ⊥ d.h.∥, ⊥ zu ⃗v
mit Ex → E
⃗ ↔ B.
⃗
d.h.durch Lorentztransformationen gibt es Übergänge E
Dieses Ergebnis ist nicht neu, sondern ist enthalten in §1 bis §3
Beispiele:
i) Plattenkondensator
in Σ′
in Σ
z
− − − − − −
Σ
y
6
6
6
6
Σ′
⃗
E
x
⃗ =ρ ⇒
ϵ0 div E
⃗
E
⃗
B
Stimmt überein mit Ez′
y′
*
*
*
*⃗′
B
x′
+ + + + + +

⃗j ′
z′
⃗v -
⃗j ′
Längenkontr. ⇒

ρ′ = γρ

0
⃗′ = γ  0 
⇒ E
E
′
⃗
Strom j durch bewegte Ladung
 ⇒
0
v  
1
′
′
′
⃗
⃗
⃗
rot B = j ⇒ B = 2 γ E
µ0
c
0
(
)
(
)
⃗ + ⃗v × B
⃗ und B ′ = γ B
⃗ − ⃗v × E/c
⃗ 2 .
=γ E
y
0

= 0
E
=0
z
y
16 C Ebene Wellen
71
ii) Induktion
in Σ′
in Σ
⃗′
E
6 6 6 6⃗
B
Σ
Σ′
•
1
l
• 2
⃗v -

0
⃗ = µ0⃗j
rot B
⃗′ = γ  0 
⇒ B
′
j = γj
B
Faraday ⇒
′
′
′
⃗ =0
lE ′ = U12
= −ϕ̇
= −lvB
E


0
0
⃗ ′ = −v  B ′  = −γv  B 
⇒ E
0
0
(
)
(
)
⃗ − ⃗v × E/c
⃗ 2 und E ′ = γ E
⃗ + ⃗v × B
⃗ .
Stimmt überein mit Bz′ = γ B
y


0
⃗ =0
B
B

}
z
y
16 C Ebene Wellen
4-Wellenvektor
(1 )
{ ′
ω
ω = γ (ω
x ))
( − βck
k = c⃗
= 4-Vektor, d.h.
1
′
βω
k
=
γ
k
−
k
x
x
c
µ
für ⃗v = v⃗ex
⃗ oder B
⃗ :
Beweis: Sei ψ(x) = ψ(t, ⃗r) eine Komponente von E
{
Σ : ψ(x) = Re eiϕ = Re e−ikx , mit Phase ϕ = −kx = −k µ xµ = ⃗k · ⃗r − ωt
Ebene Welle in
′
′ ′
Σ′ : ψ ′ (x′ ) = Re eiϕ = Re e−ik x , mit Phase ϕ′ = −k ′ x′ = ⃗k ′ · ⃗r′ − ω ′ t′
Interferenzen sind unabhängig von Σ ⇒ ϕ = ϕ′ ⇒ k µ = 4-Vektor, da ΛT gΛ = g (§14 G)
⇒ k ′T gx′ = k T gx = k T ΛT gΛx = (Λk)T gx′ ⇒ k ′ = Λk.
Folgerungen:
Dopplereffekt (siehe Übung)
Strahlungsquelle mit ω ′ ruhe in Σ′ gegen Σ mit v bewegt in x-Richtung ⇒
(
)
v
ω ′ = γ (ω − vkx ) = γω 1 − cos ϑ , mit kx = k cos ϑ, k = ω/c
c
speziell ⃗k in ±x-Richtung ⇒ kx = ±ω/c ⇒
ω=
(
v)
1 ω′
′
1
±
≈
ω
γ 1 ∓ vc
c
Wenn Quelle sich entfernt: kx < 0 ⇒ ω < ω ′ ⇒ Rotverschiebung“.
”
72
16 RELATIVISTISCHE ELEKTRODYNAMIK
Aberration (siehe Übung)
senkrechter Einfall von Licht


0
Sei in Σ : ⃗k =  0  , k = ω/c
−k
⇒
kx′
kz′
=
=
−γ 1c βω
kz = − 1c ω
Σ
}
⇒
kx′
kz′
z′
z
= γβ = √
?
⃗
Σ′
k
β
y
1 − β2
x
⃗k ′ ⃗v y′
x′
d.h. die Wellenfront ist gekippt
Allgemein: sei kx = k cos ϑ, kx′ = k ′ cos ϑ′ , mit k ′ /ω ′ = k/ω = c ⇒
cos ϑ′ =
kx′
γ (ckx − βω)
cos ϑ − β
=
=
′
′
k
ω
1 − β cos ϑ
16 D Bewegte Materie mit ϵ, µ ̸= 1

0 −cDx −cDy −cDz
 cDx 0
−Hz Hy 
 und c = 1/√ϵ0 µ0 = Vakuumlichtgeschwindigkeit ⇒
Mit H µν = 
 cDy Hz
0 −Hx 
cDz −Hy Hx
0
Maxwellgleichung (wie in §13 B)

∂µ H µν = j ν
Da ∂µ und j ν = 4-Vektoren ⇒ H µν = 4-Tensor. Wie in §16 B gilt
⃗′ = D
⃗∥
D
∥
(
)
⃗′ = γ D
⃗ ⊥ + ⃗v × H/c
⃗ 2
D
⊥
⃗′ =H
⃗∥
H
∥
(
)
⃗′ =γ H
⃗ ⊥ − ⃗v × D
⃗
H
⊥
Es gibt ein ausgezeichnetet Bezugssystem Σ′ in dem die Materie ruht:
In diesem Σ′ gilt
⃗ ′ = ϵ0 ϵE
⃗′ ,
D
⃗ ′ = µ0 µH
⃗ ′ = Materialgleichungen
B
Die entspechenden Gleichungen in Σ sind
(
)
⃗ = ϵ0 ϵE
⃗ + γ 2 ϵ0 (ϵ − 1/µ) ⃗v × B
⃗ − ⃗v × E/c
⃗ 2
D
(
)
⃗ = 1 B
⃗ + γ 2 ϵ0 (ϵ − 1/µ) ⃗v × E
⃗ + ⃗v × B
⃗
H
µ0 µ
Beweis: Für die Komponenten ∥ zu ⃗v ok., für ⊥ gilt
(
)
⃗ ′ = ϵ0 ϵE
⃗′ ⇒ D
⃗ ⊥ + ⃗v × H/c
⃗ 2 = ϵ0 ϵ E
⃗ ⊥ + ⃗v × B
⃗
D
(
)
⃗ ′ = µ0 µH
⃗′ ⇒B
⃗ ⊥ − ⃗v × E/c
⃗ 2 = µ0 µ H
⃗ ⊥ − ⃗v × D
⃗
B
16 D Bewegte Materie mit ϵ, µ ̸= 1
⇒
73
(
)
⃗ − ⃗v × E
⃗ ⊥ /c2
ϵ0 (ϵ − 1/µ) ⃗v × B
(
)
(
)
⃗ − ⃗v × E
⃗ ⊥ /c2 − ϵ0 1 µ0 µ⃗v × H
⃗ ⊥ − ⃗v × D
⃗
= ϵ0 ϵ⃗v × B
µ
)
(
)(
⃗ ⊥ − ϵ0 ϵE
⃗⊥
⃗ ⊥ − ϵ0 ϵE
⃗ ⊥ + β 2 ϵ0 ϵE
⃗ ⊥ − β 2D
⃗ ⊥ = 1 − β2 D
=D
(
)
⃗ ⊥ usw., entsprechend
⃗ = −v 2 E
wegen ⃗v × ⃗v × E
(
)
⃗
⃗
ϵ0 (ϵ − 1/µ) ⃗v × E⊥ + ⃗v × B⊥
(
)
(
)
⃗ ⊥ + ⃗v × H/c
⃗ 2 − ϵ0 1 ⃗v × E
⃗ ⊥ + ⃗v × B
⃗⊥
= ⃗v × D
µ
)
(
(
)
1
1
1
2
2
2
⃗⊥ −
⃗⊥ − β H
⃗⊥ +
⃗⊥ = 1 − β
⃗⊥ −
⃗⊥
=H
B
β B
B
H
µ0 µ
µ0 µ
µ0 µ
⃗
Polarisation P⃗ und Magnetisierung M

mit M µν
0
 cPx
=
 cPy
cPz
(siehe §6 C und §7 C)
⃗ = ϵ0 E
⃗ + P⃗ , B
⃗ = µ0 H
⃗ +M
⃗
D

−cPx −cPy −cPz
0 −Mz My 
⇒
Mz
0 −Mx 
−My Mx
0
Im Vakuum ist F µν = µ0 H µν
in Materie
F µν = µ0 (H µν + M µν )
wegen Lorentz-Kovarianz ⇒
P⃗∥′ = P⃗∥
(
)
⃗ /c2
P⃗⊥′ = γ P⃗⊥ − ⃗v × M
⃗′ =M
⃗∥
M
∥
(
)
⃗′ =γ M
⃗ ⊥ + ⃗v × P⃗
M
⊥
Beispiel: (siehe Übung)
Ein (∞-langer) dielektrischer Zylinder mit dem Radius R0 rotiert mit einer Winkelgeschwin⃗
digkeit ω um seine Achse im B-Feld
(homogen)
z
⃗r ω
⃗
6
-
z
6 6 6 6⃗
B
ϵ
x
φ
R
•
y
⃗eR
s
Zylinderkoordinaten R, φ, z
74
17 EINSTEINS ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE“
”
Sei µ = 1 und v = ωR ≪ c ⇒
⃗ = ϵ0 ϵE
⃗ + ϵ0 (ϵ − 1) ⃗v × B
⃗
D
⃗ = 0 wegen Symmetrie ⇒ D
⃗ =0⇒
Da ρ = 0 ⇒ div D
⃗ = − (ϵ − 1) ⃗v × B
⃗ ⇒
E
ϵ
⃗ − ϵ0 E
⃗ = ϵ0 (ϵ − 1) ⃗v × B
⃗ = ϵ0 (ϵ − 1) BωR⃗eR
P⃗ = D
ϵ
ϵ
⃗ · P⃗ = −ρpol ⇒ auf dem Zylindermantel
Polarisationsladungdichte: nach §6 C gilt ∇
R = R0 (wie in §6 B) Paußen − Pinnen = −σpol
σpol = ϵ0
(ϵ − 1)
QP
(ϵ − 1)
ωBR0 ,
= 2πR02
ωB
ϵ
l
ϵ
17 Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie“
”
17 A Allgemeine Relativität - Äquivalenzprinzip
Galilei, Newton
1. ∃ absolute Zeit, d.h. Gleichzeitigkeit ist überall wohldefiniert
2. ∃ absoluter Raum, in dem kräftefreie Bewegungen sind;
bei Beschleunigung gegen den absoluten Raum ⇒ Trägheitskräfte.
⇒ ∃ ausgezeichnete Bezugssysteme Σ (Inertialsysteme), die gegen den absoluten Raum
geradlinig gleichförmig bewegt sind, in denen die Bewegungsgleichungen gleich sind.
Einsteins spezielle Relativität
1. falsch
2. richtig
Einsteins allgemeine Relativität
2. auch falsch: alle Σ sind gleichwertig, auch beschleunigte
Begründung: Träge Masse = schwere Masse ⇐⇒ Äquivalenzprinzip
{
⇐⇒
Trägheitskräfte ∝ Masse
Gravitation
∝ Masse
}
{
⇒
experimentell nicht unterscheidbar
z.B.Schwigungsdauer von Pendeln
d.h. im Gravitationsfeld frei fallende Bezugssysteme sind Inertialsysteme
17 B Nichteuklidischer Raum
75
17 B Nichteuklidischer Raum
Beispiel: Σ′ rotiere gegen Inertialsystem Σ
ω
i
Umfang
=
Radius
′
Σ
Σ v = Rω
-
{
2π in Σ
2πγ in Σ′ wegen Längenkontraktion
R
(entsprechendes gilt in 2 Dimensionen für gekrümmte Flächen)
Metrik
3 Dimensionen: Abstand
in Σ :
in Σ′ :
z
d⃗r 2 = dρ2 + ρ2 dϕ + dz 2
⃗r
z
d⃗r ′2 = dρ2 + γ 2 ρ2 dϕ + dz 2
⇒
Umfang
= 2πγ,
Radius
v
ωρ
=
c
c
x
y
ϕ ρ
4 Dimensionen: invarianter Abstand“
”
ds2 = c2 dt2 − d⃗r 2 = xµ gµν xν
Im Inertialsystem ist die Metrik flach“
”

gµν
1
0
=
0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
0

0
0 

0 
−1
17 C Dynamik
a) Feldgleichung für Gravitationsfeld
(i) Newton: Poissongleichung
△VNewton = −4πGρMasse (⃗r)
(ii) Einstein: Gravitation ↔ metrischer Tensor gµν
Einsteintensor Gµν (∂λ , gρσ ) ↔ Krümmung des R4
Einsteinsche Feldgleichung
8πG
Gµν (x) = − 2 T µν (x)
c
(T µν (x) = Energie-Impuls-Tensor, speziell T 00 = Enegiedichte ∼ Massendichte)
⇒ Massen krümmen den Raum
b) Bahnen von Massen im Gravitationsfeld (sonst kräftefrei)
(i) Newton → Kepler
(ii) Einstein → Bahnen sind Geodäten“ (d.h. geradeste Linien) im Raum der Er”
eignisse
{( )}
ct
4
R =
⃗r
76
17 EINSTEINS ALLGEMEINE RELATIVITÄTSTHEORIE“
”
17 D Folgerungen
a) Rotverschiebung
GM
Potential V (r) = −
⇒
r
∆ν
∆E
m (V (∞) − V (R))
GM
r0
=
=
= 2 =
2
ν
E
mc
cR
2R
Photon: E = hν
1•
r→∞
GM
mit Schwarzschildradius“ r0 = 2 2
”
c
z.B.
 −38
Proton

 10
r0  10−9 Erde
=
10−6 Sonne
R 


≈ 1 Neutronenstern
R Stern
Experimente sind schwierig wegen Dopplereffekt,
im Erdschwerefeld ∆ν/ν ≈ 10−15 gemessen.
b) Lichtablenkung

r0


nach Newton
R
δ=
r

 2 0 nach Einstein = 2′′
R
≈ gemessen (bei Sonnenfinsternis)
Lichtstrahl
δ
R
q
Sonne
c) Perihelverschiebung (Abweichung von Kepler)
ψ = 6π
r0
2r

 theor.
in 100 Jahren: ψ = 43.03′′
 ′′
3.8
experimentell
43.11′′ ± 0.45′′ Mekur
5.0′′ ± 1.2′′
Erde
ψ
(Messungen schwierig wegen anderer Störungen)
d) Uhren im Schwerefeld
r0
TA
=1−
TB
2R
Uhr A
M R
d.h. Uhr A geht langsamer
e) Maßstäbe im Schwerefeld
r0
LA
=1−
LB
2R
d.h. Stab LA ist kürzer
f) Schwarze Löcher
Kugelsymmetrische Lösung der Einsteinsche Feldgleichung:
Uhr B → ∞
77
Schwarzschild-Metrik gµν
(
r0 ) 2 (
r0 )−1 2
ds2 = xµ gµν xν = ds2 = c2 1 −
dt − 1 −
dr − r2 dΩ
r
r
(r0 = 2GM/c2 = Schwarzschildradius, Ω = Raumwinkel).
Für r → ∞ ⇒ Gravitationspotential
VNewton (r) = −
GM
r
Was passiert wenn r → r0 (Schwarzschildsingularität)?
Freier Fall ins schwarze Loch: t
y
Licht kommt nicht mehr heraus!
Lichtstrahl rückwärts
?
Keine Information
kann aus dem
schwarzen Loch r < r0
heraus kommen!
6
Vorwärtslichtkegel r=0
r0
Teil IV
Feldtheorie
18 Lagrangesche Formulierung
18 A Mechanik
(endlich viele Freiheitsgrade)
Generalisierte Koordinaten: q1 , . . . , qn (bestimmen die Konfiguration des Systems)
Generalisierte Geschwindigkeiten: q̇i = dtd qi
Lagrange-Funktion
L(qi , q̇i , t) (oft = T − V = kin. − pot. Energie)
r
78
18 LAGRANGESCHE FORMULIERUNG
Wirkung
∫
t2
S=
dtL(qi (t), q̇i (t), t)
t1 ,C
C = Weg im Konfigurationsraum.
Hamiltonsches Prinzip
C physikalisch ⇔ δS = 0
(Endpunkte von C fest)
Bewegungsgleichungen
n (
∑
∂L
)
∂L
0 = δS =
dt
δqi +
δ q̇i
∂qi
∂ q̇i
t1 ,C
i=1
2
)
∫ t2 ∑ (
∑ ∂L d ∂L
∂L
−
δqi +
δqi =
dt
∂q
dt
∂
q̇
∂
q̇
i
i
i
t1 ,C
i
i
∫
t2
1
⇒
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ q̇i ∂qi
Kanonischer Impuls
pi =
Legendretransformation
H(pi , qi , t) =
∑
∂L
∂ q̇i
pi q̇i − L(qi , q̇i , t) (oft H = Energie)
i
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
ṗi = −
∂H
,
∂qi
q̇i =
∂H
∂pi
18 B Freies relativistisches Teilchen
Wirkung relativistisch invariant:
∫
∫ √
S0 = const dτ = const
1 − β 2 dt ,
β=
Lagrangefunktion
L0 = −mc2
√
1 − β2
(Normierung wegen:)
∂
⃗ v)
=∇
∂⃗v
m
∂L0
=√
⃗v = m(v)⃗v = p⃗
∂⃗v
1 − β2
(1 )
( )
E
c
µ
c
nach §15 A: p =
= m(v)
mit p2 = m2 c2 .
p⃗
⃗v
Beachte: L ̸= T da p⃗ ̸= const ∗ ⃗v
Kanonischer Impuls (mit
v
c
18 C Geladenes Teilchen im elektomagnetischen Feld
79
Hamiltonsches Prinzip
δS = 0 ⇒
Bewegungsgleichung
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂⃗v
∂⃗r
hier mit L = L0 ⇒
d
p⃗ = 0 ⇒ ⃗v = const
dt
d.h. kräftefreies Teilchen bewegt sich geradlinig gleichförmig,
d.h Lagrangefunktion ⇒ freie Bewegungsgleichung
Andere Interpretation
∫
S0 = const
dτ = −const Eigenzeit
⇒ δS0 = 0 ⇒ Eigenzeit ist maximal für geradlinige Weltlinie
siehe §14 H.
Hamiltonfunktion
√
m
mc2
H0 = p⃗ · ⃗r˙ − L = √
⃗v 2 + mc2 1 − β 2 = √
= m(v)c2 = E
1 − β2
1 − β2
√
H0 (⃗p, ⃗r) = c m2 c2 + p⃗ 2
es wurde benutzt: E = m(v)c2 und p2 =
1
E2
c2
− p⃗ 2 = m2 c2 siehe §15 B
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
∂H
=0
p⃗˙ = −
∂⃗r
∂H
c2
c
1
⃗r˙ =
p⃗ = p⃗ =
=√
p⃗ = ⃗v
∂⃗p
E
m(v)
m2 c2 + p⃗ 2
18 C Geladenes Teilchen im elektomagnetischen Feld
Sei elektromagnetischer(Feldtensor )F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ gegeben:
⃗ + ⃗v × B
⃗ von der Geschwindigkeit abhängt, ist zu erwarten, dass
Da die Kraft F⃗ = q E
kanonischer Impuls ̸= p⃗ und Lagrangefunktion L ̸= T − V
Satz: Die Bewegungsgleichung in §14 H folgt aus der Wirkung
∫
∫
µ
S = S0 − q dx Aµ = dtL
µ
µ
µ
wegen dx = u dτ mit u =
Lagrangefunktion
√1 2
1−β
( )
c
⇒
⃗v
√
(
)
1 − β 2 −mc2 − quµ Aµ
(
)
⃗
= L0 − q φ − ⃗v · A
L=
80
18 LAGRANGESCHE FORMULIERUNG
(1 )
φ
wegen Aµ = c⃗
A
Kanonischer Impuls
∂
⃗
P⃗ =
L = p⃗ + q A
∂⃗v
man beachte P⃗ =
̸ p⃗ = Impuls.
Beweis: Bewegungsgleichung
(
)
d ∂L ∂L
d
⃗ φ − ⃗v · A
⃗ =0
−
= P⃗ + q ∇
dt ∂⃗v
∂⃗r
dt
(stimmt überein mit
d
dτ
(pµ + qAµ ) = q∂ µ Aν uν , siehe §14 H) ⇒
(
(
(
))
(
) )
d
∂
⃗ φ − ⃗v · A
⃗ −q A
⃗ = −q ∇φ
⃗ −∇
⃗ ⃗v · A
⃗ −q
⃗ + ⃗v · ∇
⃗ A
⃗
p⃗˙ = −q ∇
A
dt
∂t
(
)
⃗
⃗
= q E + ⃗v × B = Lorentzkraft
(
)
Hamiltonfunktion
H = P⃗ · ⃗v − L
(
)
(
)
⃗
⃗
= p⃗ + q A · ⃗v − L0 + q φ − ⃗v · A
= H0 + qφ
§18 B ⇒
√
H(P⃗ , ⃗r) = c
m2 c2
(
⃗
+ P⃗ − q A
)2
+ qφ = Energie
Für kleine Geschwindigkeiten v ≪ c d.h. p⃗ = m⃗v
⃗
L(⃗r, ⃗v ) = 12 m⃗v 2 − qφ + q⃗v · A
(
)
2
1 ⃗
⃗ + qφ
P − qA
H(P⃗ , ⃗r) =
2m
Hamiltonsche Bewegungsgleichungen
)
1 (⃗
∂H
⃗ = 1 p⃗˙
=
⃗r˙ = ⃗v =
P − qA
m
m
∂ P⃗
(
(
))
1⃗
∂H
˙
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
= ∇ q A · P − q A − q ∇φ
P =−
∂⃗r
m
(
)
⃗ + ⃗v × B
⃗
⇒ wie oben p⃗˙ = q E
18 D ∞-viele Freiheitsgrade
81
18 D ∞-viele Freiheitsgrade
i) Die Saite
Kette elastisch verbundener Massenunkte
• φ(x2 )
•
x0
l
•
x1
•
•
xn
l
l = Na
xi = ia, i = 0, . . . , N
Kanonische Variable
φ(xi ) = φi
∂L
π(xi ) =
= mφ̇i
∂ φ̇i
Lagrangefunktion
N
∑
1
L=T −V =
i=1
2
)
(
m φ̇2i − Ω2 (φi − φi−1 )2
Bewegungsgleichungen
φ̈i + Ω2 (2φ̇i − φi−1 − φi+1 ) = 0
Kontinuierlicher Limes: N → ∞, a → 0 mit l, µ = m/a, u = aΩ fest,
Ersetze
∫ l
N
∑
1
a
→
dx und (φi − φi−1 ) → φ′ (x) ⇒
a
0
i=1
Lagrangefunktion
1
L(φ, φ̇) = µ
2
∫
l
(
′
2
dx (φ̇(t, x)) − u (φ (t, x))
2
2
)
0
Ersetze
1 ∂
δ
→
= Funktionalableitung
a ∂φi
δφ(x)
1
δφ(y)
1 ∂φj
= δji →
= δ(y − x)
a ∂φi
a
δφ(x)
man sagt L(φ, φ̇) ist ein Funtional (d.h. eine Funktion der Funktionen φ, φ̇).
Bewegungsgleichung
∫
d
δφ′ (y)
= δ(y − x) = δ ′ (y − x) mit dyδ ′ (y − x)f (y) = −f ′ (x) ⇒
es gilt
δφ(x)
dy
∫ l
(
)
d δL
δL
−
=µ
dy δ(y − x)φ̇(y) + u2 δ ′ (y − x)φ′ (y) = 0
dt δ φ̇(x) δφ(x)
0
φ̈(t, x) − u2 φ′′ (t, x) = 0 Wellengleichung für die Saite
man definiert auch die
82
18 LAGRANGESCHE FORMULIERUNG
Lagrangedichte L durch
∫
l
dxL (φ(x), φ′ (x), φ̇(x))
0
)
1 (
2
2
2
′
L = µ (φ̇(t, x)) − u (φ (t, x))
2
L(φ, φ̇) =
mit der Bewegungsgleichung oder Feldgleichung
∂ ∂L
∂ ∂L
∂L
+
−
=0
∂t ∂ φ̇(x) ∂x ∂φ′ (x) ∂φ(x)
L(φ, φ̇) ist ein Funtional aber L (φ(x), φ′ (x), φ̇(x)) ist eine Funktion von φ(x), φ′ (x), φ̇(x).
ii) Feldtheorie
Nahewirkungsprinzip: Wechselwirkung von Teilchen durch Felder“:
”
ϕα (t, ⃗r) = ϕα (x) , α = 1, . . . , n
Wirkung (zunächst ohne Teilchen)
∫ t2
∫ t2 ∫
S=
dt L(t) =
dt
d3 xL(t, ⃗r)
3
t1
V ⊂R
∫t1
→
d4 xL(t, ⃗r)
Σ⊂R4
mit Lagrangefunktion L und Lagrangedichte
(
)
⃗
L ϕ(t, ⃗r), ϕ̇(t, ⃗r), ∇ϕ(t, ⃗r), t, ⃗r
Hamiltonsches Prinzip
ϕ(x) ist physikalisch ⇔ δS = 0 (mit δϕ = 0 auf ∂Σ)
⇒
)
(
∫
∂L
∂L
∂L
⃗
δϕ(x) +
δ ϕ̇(x) +
δ ∇ϕ(x)
⃗
∂ϕ(x)
∂ ϕ̇(x)
∂ ∇ϕ(x)
Σ
)
(
∫
∂ ∂L
∂L
⃗ ∂L
−
δϕ(x) + Randterme
=
−∇
d4 x
⃗
∂ϕ(x) ∂t ∂ ϕ̇(x)
∂ ∇ϕ(x)
Σ
0 = δS =
d4 x
⇒ Bewegungsgleichung = Feldgleichung
∂ ∂L
⃗ ∂L − ∂L = 0
+∇
⃗
∂t ∂ ϕ̇(x)
∂ϕ(x)
∂ ∇ϕ(x)
oder (siehe i))
d δL
δL
−
=0
dt δ ϕ̇(x) δϕ(x)
18 D ∞-viele Freiheitsgrade
83
(
)
ct
Für relativistisch invariante Systeme mit x =
:
⃗r
Lagrangedichte L (ϕ(x), ∂ µ ϕ(x)) ⇒ Feldgleichung
∂L
∂L
∂µ µ
−
=0
∂∂ ϕ(x) ∂ϕ(x)
µ
Beispiel: Klein - Gordon Feld
)
1( µ
L(x) =
∂ ϕ(x)∂µ ϕ(x) − m2 ϕ2 (x)
2
⇒ Feldgleichung
∂L
∂L
∂µ µ
−
= ∂ µ ∂µ ϕ(x) + m2 ϕ(x) = 0
∂∂ ϕ(x) ∂ϕ(x)
(
)
+ m2 ϕ(x) = 0
Kanonischer Impuls
Π(x) =
Hamiltonfunktion
H=
∫
∂L
δL
=
δ ϕ̇(x)
∂ ϕ̇(x)
d3 x H mit Hamiltondichte
H(x) = Π(x)ϕ̇(x) − L(x)
z.B. für Klein - Gordon Feld
1
ϕ̇(x)
c2(
)
(
)2
1 2 2
2
2
⃗
H (Π(x), ϕ(x)) =
c Π (x) + ∇ϕ(x)
+ m ϕ (x)
2
Π(x) =
Poisson - Klammer
(
∫
{f, g} =
3
dx
δf
δg
δg
δf
−
δΠ(x) δϕ(x) δϕ(x) δΠ(x)
)
für kanonisch konjugierte Variable
{Π(x), ϕ(y)} = δ (3) (x − y)
Bewegungsgleichung
∂
f˙ = {H, f } + f
∂t
z.B. Klein - Gordon Feld:
{∫
(
)
}
(
)2
1
3
2 2
2 2
⃗
ϕ̇(x) =
d y c Π (y) + ∇ϕ(y) + m ϕ (y) , ϕ(x)
2
∫
= d3 y c2 Π(y)δ (3) (x − y) = c2 Π(x)
{∫
(
)
}
(
)2
1
3
2 2
2
2
⃗
Π̇(x) =
d y c Π (y) + ∇ϕ(y)
+ m ϕ (y) , Π(x)
2
∫
(
)
⃗
⃗ (3) (x − y) − m2 ϕ(y)δ (3) (x − y)
= d3 y −∇ϕ(y)
· ∇δ
(
)
= △ − m2 ϕ(x)
84
18 LAGRANGESCHE FORMULIERUNG
18 E Elektromagnetisches Feld
Wirkung
1) Materie Wirkung für ein Teilchen (siehe §18 B)
∫
2
SM = −mc
dτ
2) Wechselwirkung: Materie (gegeben durch Strom j µ (x)∫mit elektromagnetischem
Feld (gegeben durch Potential Aµ (x)) Punktteilchen SM −F = −q dxµ Aµ (siehe §18 C), für
j µ beliebig
∫
SM −F = −
d4 x j µ Aµ
( )
c
da qdx = qu dτ = ρd x γ
dt/γ = d4 x j µ .
⃗v
Lagrangedichte
∫
SM −F = d4 x LM −F , mit LM −F = −j µ Aµ
µ
µ
3
3) Elektromagnetische Felder (im Vakuum: ϵ = µ = 1)
Invarianten der elektromagnetischen Felder
(
F = F Fµν = −2
2
µν
1 ⃗2 ⃗2
E −B
c2
)
1⃗ ⃗
F F̃ = F µν F̃µν = −2 E
·B
c
F 2 is ein Skalar und F F̃ ist ein Pseudoskalar, d.h. F F̃ → −F F̃ bei Spiegelung ⃗r → −⃗r.
Satz: Die Maxwellgleichungen aus §13 B folgen aus der Wirkung SM −F + SF mit der
Wirkung für elektromagnetische Felder
∫
1
SF = d4 x LF , mit Lagrangedichte = LF = − F µν Hµν
4
mit
H µν = µ0 F µν
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
Aµ = kanonische Variable
Beweis:
1
L = LF + LM −F = − F µν Hµν − jν Aν
4
{
⃗ ·D
⃗ =ρ
∇
∂L
∂L
µ
siehe §13 B
−
=
−∂
H
+
j
=
0
⇔
∂µ
µν
ν
⃗ ×H
⃗ −D
⃗˙ = ⃗j
∂ (∂ µ Aν ) ∂Aν
∇
18 E Elektromagnetisches Feld
85
⃗ und B
⃗
Maxwellgleichungen für E
∃A mit F
µ
µν
{
= ∂ A − ∂ A ⇔ ∂µ F̃
µ
ν
ν
µ
µν
=0⇔
⃗ ·B
⃗ =0
∇
⃗ ×E
⃗ +B
⃗˙ = 0
∇
mit F̃ µν = 12 ϵµνρσ Fρσ .
Kanonischer Impuls
Π
(µ)
∂L
1
1
=
= − H 0µ = 2
c
c µ0
∂ Ȧµ
(
0
⃗
E
)
kein 4-Vektor!
Problem: Π(0) = 0, d.h. die Legendre-Transformation L → H ist nicht möglich, da die
Abbildung Π(µ) → Ȧµ nicht invertiert werden kann.
⃗ = −A
⃗˙ ⇒
Ausweg: Eichfestlegung: z.B. (falls j µ = 0) Strahlungseichung“ A0 = 0 ⇒ E
”
(
(
)2 )
1
˙⃗ 2
⃗
⃗
L=
ϵ0 A − µ0 ∇ × A
2
⃗˙ = −D
⃗
⃗ = ∂L = ϵ0 A
Π
˙⃗
∂A
Hamiltondichte (falls j µ = 0)
⃗ ·A
⃗˙ − L
H=Π
(
(
)2 )
1 ⃗2 1 1 ⃗2
⃗
⃗
⃗
⃗
H(Π, A) = Π −
Π − µ0 ∇ × A
ϵ0
2 ϵ0
(
(
)2 )
1 1 ⃗2
⃗
⃗
Π + µ0 ∇ × A
=
2 ϵ0
)
1 (⃗ ⃗
⃗ ·H
⃗ = Energiedichte (siehe §9 C)
·D+B
= E
2
Poisson Klammer für die kanonisch konjugierten Variablen
{Πi (x), ϕj (y)} = {−Di (x), Aj (y)} = δij δ (3) (x − y)
Bewegungsgleichungen
⃗˙
⃗
A(x)
= {H, A(x)}
}
{∫
(
(
)2 )
1 ⃗2
3 1
⃗ × A(y)
⃗
⃗
, A(x)
=
dy
Π (y) + µ0 ∇
2 ϵ0
1⃗
= Π
ϵ0
⃗˙
⃗
Π(x)
= {H, A(x)}
{∫
}
(
(
)2 )
1 ⃗2
3 1
⃗
⃗
⃗
=
dy
Π + µ0 ∇ × A
, Π(x)
2 ϵ0
(
)
(
(
))
⃗ × ∇
⃗ ×A
⃗ = µ 0 △A
⃗−∇
⃗ ∇
⃗ ·A
⃗
= −µ0 ∇
(
(
))
∂ ∂ ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
A = ϵ0 µ0 △A − ∇ ∇ · A
∂t ∂t
siehe §12 A
86
19 SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSSÄTZE
19 Symmetrien und Erhaltungssätze
19 A Mechanik
Koordinaten: q1 (t), . . . , qN (t)
Lagrangefunktion: L(qi , q̇i , t)
Definition:
q(t) → q ′ (t′ )
t → t′
}
heißt Symmetrietransformation falls
dt′
dF
L(q ′ (t′ ), t′ ) = L(q(t), t) +
dt
dt
d.h. die Bewegungsgleichungen sind invariant, da
′
∫
δS = δ
∫
(
dF
dt L(q (t ), t ) = δ dt L(q(t), t) +
dt
′
d.h. δS = 0 ⇔ δS = 0
′
′
′
′
)
= δS
Beispiel: 2 Teilchen mit Potential V (⃗r1 , ⃗r2 ) = V (⃗r1 − ⃗r2 ) ⇒
Translationsinvarianz“, d.h. bei Translation ⃗r → ⃗r + ⃗a ist die Lagrangefunktion
”
invariant
L=T −V →L
Noethers Theorem: Zu jeder Symmetrietransformation mit n kontinuierlichen Parametern gibt es n Erhaltungssätze
Beweis: Sei dt′ /dt = 1 und q ′ (t′ ) = q(t) + δq, δq = infinitesimal
dt′
∂L
∂L
L(q ′ (t′ ), q̇ ′ (t′ )) = L(q(t), q̇(t)) +
δq +
δ q̇
dt
∂q
∂ q̇
) (
(
)
d ∂L
d ∂L ∂L
= L(q(t), q̇(t)) +
δq −
−
δq
dt ∂ q̇
dt ∂ q̇
∂q
dF
= L(q(t), q̇(t)) +
dt
Also
d
Bewegungsgleichung ⇒
dt
(
∂L
δq − F
∂ q̇
)
=0⇒
Erhaltungssatz J = pδq − F ist zeitlich konstant
mit p =
∂L
= kanonischer Impuls
∂ q̇
19 A Mechanik
87
Beispiele:
N Massenpunkte
L(t) =
∑1
i
∂L
mi⃗r˙i 2 − V (⃗ri − ⃗rj ) , p⃗i =
= mi⃗r˙i
2
∂⃗r˙i
Symmetrien:
i) Raum-Translations-Invarianz
⃗ri → ⃗ri + ⃗a ⇒ L → L′ = L
Noether:
∑
p⃗i · ⃗a = P⃗ · ⃗a = konstant
i
d.h. Raum-Translationsinvarianz ⇒ Erhaltung des Gesamtimpulses
˙
P⃗ = 0
ii) Zeit-Translation-Invarianz
t → t + a, a = infinitesimal
⃗ri (t + a) = ⃗ri (t) + a⃗r˙i , d.h. δ⃗ri = a⃗r˙i
⇒ L(t) → L′ (t′ ) = L(t + a) = L(t) + a
∑
i
p⃗i · δ⃗ri − F =
∑
d
L(t) , d.h. F = aL
dt
p⃗i · a⃗r˙i − aL = aH
i
H = E = konstant
d.h. Zeit-Translationsinvarianz ⇒ Erhaltung der Energie
Ė = 0
iii) Raum-Drehung (ein Massenpunkt): Zylinderkoordinaten: R, φ, z




R cos φ
−R
sin
φ
∂⃗r˙
⃗r =  R sin φ  ,
=  R cos φ 
∂ φ̇
z
0
Kanonischer Impuls zu φ ist die z-Komponente des Drehimpulses
∂L
∂⃗r˙ ∂L
=
·
= xpy − ypx = Lz
∂ φ̇
∂ φ̇ ∂⃗r˙
Sei L invariant bei Drehung φ → φ + a ⇒ Erhaltungssatz für Lz
L̇z = 0
88
19 SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSSÄTZE
19 B Feldtheorie
Symmetrietransformation:
ϕ(x) → ϕ′ (x′ ) = ϕ(x) + δϕ
xµ → x′µ = xµ + δxµ
}
mit L → L′ = L + ∂µ F µ
∂x′
∂x
= 1, L(ϕ, ∂ µ ϕ))
Sei δϕ ∝ a = infinitesimaler Parameter ⇒ wie oben
Noethers Theorem: (für
∂L
∂L
δϕ(x) +
δ (∂ µ ϕ(x))
∂ϕ(x)
∂ (∂ µ ϕ(x))
) (
)
(
∂L
∂L
∂L
= L + ∂µ
δϕ − ∂µ
−
δϕ
∂ (∂µ ϕ)
∂ (∂µ ϕ) ∂ϕ
= L + ∂µ F µ
L′ = L +
Feldgleichung ∂µ ∂(∂∂Lµ ϕ) −
∂L
∂ϕ
= 0 ⇒ Kontinuitätsgleichung
∂µ J µ = 0
für den Noetherstrom“
”
1
J (x) =
a
µ
(
∂L
δϕ − F µ
∂ (∂µ ϕ)
)
⇒ Erhaltungsatz
∫
∫
∫
d
3
0
3 ⃗
⃗
⃗
d xJ (x) = c
d x∇ · J(x) = c
df⃗ · J(x)
→ 0 für V → R3
dt V
V
∂V
Beispiel: 4-Translation
xµ → xµ + aµ , aµ = infinitesimal
ϕ(x) → ϕ(x + a) = ϕ(x) + aµ ∂µ ϕ(x)
}
d.h. δϕ = aµ ∂µ ϕ(x)
Lagrangedichte
L(x) → L(x + a) = L(x) + aµ ∂µ L(x) d.h. F µ = aµ L(x)
⇒ Noetherstrom
J µ (x) =
∂L
aµ ∂µ ϕ(x) − aµ L(x) = T µν aν
∂ (∂µ ϕ(x))
mit Energie-Impuls-Tensor
T µν =
∂µ J µ = 0 für aµ beliebig ⇒
∂L
∂ ν ϕ(x) − g µν L
∂ (∂µ ϕ(x))
∂µ T µν = 0
Speziell
T 00 = Πϕ̇ − L = Hamiltondichte (Energiedichte)
19 C Elektrodynamik
89
Energie-Impuls-Erhaltung ∂µ T µν = 0 ⇒
ṗν = 0
(1 )
∫
1
E
ν
3
0ν
mit p =
d xT ≡ c
p
⃗
c R3
19 C Elektrodynamik
Im Vakuum j µ = 0
Lagrangedichte (siehe §18 E)
1
L = LF = − F µν Hµν , µ0 H µν = F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
4
Translationsinvarianz: xµ → xµ + aµ ⇒
Energie-Impuls-Tensor
T̃ µν =
∂L
∂ ν Aρ (x) − g µν L = −H µρ ∂ ν Aρ − g µν L
∂ (∂µ Aρ (x))
mit ∂µ T̃ µν = 0
T µν ist nicht symmetrisch, daher (siehe auch §14 H)
T̃ µν → T µν = T̃ µν + H µρ ∂ρ Aν = −H µρ F νρ − g µν L
Es gilt
∂µ T̃ µν = 0 ⇔ ∂µ T µν = 0
∫
∫
3
0ν
d xT̃ =
d3 xT 0ν
R3
Beweis:
R3
(
)
∂µ T̃ µν − T µν = ∂µ H µρ ∂ρ Aν = ∂µ ∂ρ H µρ Aν − ∂µ (∂ρ H µρ ) Aν = 0
da H µρ antisymmetrisch und ∂ρ H µρ = −j µ = 0.
∫
∫
(
) ∫
3
0ν
0ν
3
0ρ
ν
d x T̃ − T
=
d xH ∂ρ A =
d3 x∂ρ H 0ρ Aν
3
3
R3
R∫
R
∫
=−
d3 x∂i H 0i Aν =
dfi H 0i Aν = 0
∑3
R3
∂R3
Summenkonvention i=1
⃗ D,
⃗ B,
⃗ H
⃗ (siehe auch §14 H)
T µν ausgedrückt durch die Felder E,
(
)
⃗
w 1c S
µν
T = 1⃗
S −Tik
c
(
)
⃗ ·D
⃗ +H
⃗ ·B
⃗
mit w = 12 E
Energiedichte (§9 C)
⃗=E
⃗ ×H
⃗
S
(
) Poyntingscher Vektor (§9 C)
1
⃗ ·E
⃗ +B
⃗ ·H
⃗ Maxwellscher Spannungstensor (§9 E)
Tik = Di Ek + Bi Hk − 2 δik D
90
19 SYMMETRIEN UND ERHALTUNGSSÄTZE
Interpretation: 4-Impuls des elektromagnetischen Feldes (siehe §9 E)
(
) ( 1
)
∫
∫
E
w
ν
3 1 0ν
3 1
c
Pel.mag. =
dx T =
dx
⃗ = P⃗el.mag.
c
c 1c S
R3
R3
Energie-Impulserhaltung ∂µ T µν = 0 ⇒
ν
Ṗel.mag.
d
=
dt
Teilsystem V ⊂ R3
∫
(
1
E
c
P⃗el.mag.
)
=0
∫
3
d x∂0 T
V
0ν
=−
∫
3
d x∂i T
V
iν
=−
dfi T iν
∂V
ν = 0 ⇒ Poyntingscher Satz (siehe §9 C)
∫
∫
d
3
⃗=0
d xw +
df⃗ · S
dt V
∂V
ν = j = 1, 2, 3 (siehe §9 E)
∫
j
ṖV = −
∂V
dfi T ij = FVj = Kraft auf das Teilsystem in V