Eigenschaften des Algorithmus von Hierholzer
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3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerwege 3 Kreis- und Wegeprobleme Charakterisierung von eulerschen Graphen Bestimmung von eulerschen Wegen und Kreisen Hamiltonsche Graphen Abstände in Graphen Berechnung kürzester Wege Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 3. Kreis- und Wegeprobleme 56 Eulerwege Eulerweg, Eulerkreis ein Graph. genau einmal Ein Weg, der jede Kante von enthält, heißt eulerscher Weg von . Ein Kreis, der jede Kante von genau einmal enthält, heißt eulerscher Kreis von . heißt eulersch gdw. einen eulerschen Kreis Definition 3.1. Es sei enthält. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 57 3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerwege Beispiel 3.1. Der Graph des Königsberger Brückenproblems scheint nicht eulersch zu sein, er scheint auch keinen eulerschen Weg zu enthalten. Das “Haus des Nikolaus” enthält einen eulerschen Weg. c b d a e f g Das “Haus des Nikolaus mit Keller” ist eulersch: Weitere Graphen: ✎. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 58 3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerwege Charakterisierung von eulerschen Graphen Satz 3.1. [Euler 1736] Es sei ein Graph. hat einen eulerschen Weg gdw. bis auf isolierte Knoten zusammenhängend ist und die Zahl der Knoten mit ungeradem Grad oder Die Existenz eines Eulerkreises ist äquivalent mit Beweis. Tafel ✎. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 ist. . 59 3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerwege Berechnung eines Eulerweges ein bis auf isoAlgorithmus 3.1. [Hierholzer 1873] Es sei lierte Knoten zusammenhängender Graph, der nur Knoten mit geradem Grad aufweist. 1. Wähle einen beliebigen Knoten . Wähle solange dies möglich ist Knoten jeweils ein Weg in ist. , so daß ! Unter den gegebenen Voraussetzungen entsteht so automatisch ein Kreis . " " 2. Prüfe, ob ein eulerscher Kreis ist. Wenn ja, dann STOP, ansonsten gehe zu 3. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 3. Setze "$#&% " 60 3. Kreis- und Wegeprobleme . Eulerwege "# Wähle einen in enthaltenen Knoten enthaltenen Kante inzident ist. Konstruiere wie unter 1. einen Kreis enthält. ' "# " #)# " ' , der mit einer nicht in " #(# , der keine Kanten von " # Füge und wie folgt zu zusammen: Durchlaufe , durchlaufe dann und anschließend den Rest von " #(# "# " # von " #. bis Gehe zu 2. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 61 3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerwege Bemerkung 3.1. Übungsaufgabe: Algorithmus von Hierholzer in Pseudo-Code. Beispiel 3.2. Wir demonstrieren den Algorithmus von Hierholzer an dem folgenden Graphen: b c d a e g h f Tafel ✎. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 3. Kreis- und Wegeprobleme 62 Eulerwege Eigenschaften des Algorithmus von Hierholzer Satz 3.2. Algorithmus 3.1 ist korrekt, d.h. bei erfüllten Voraussetzungen wird ein eulerscher Kreis konstruiert. Beweis. Tafel ✎. Satz 3.3. Die Zeitkomplexität von Algorithmus 3.1 beträgt Beweis. Siehe Übungen. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 * ,+-+. . 63 3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerwege Anwendung von Eulerwegen / Dominospiel: Gegeben sind eine Menge von Spielsteinen, die auf jeder Seite mit einem Symbol markiert sind. 021 %4365 kann man sowohl in dieser Form als auch als Einen Spielstein verwenden. 0.37%81$5 Man darf zwei Spielsteine aneinander legen, wenn die sich berührenden Hälften das gleiche Symbol aufweisen. Kann man die Steine der Menge zusammenlegen? / zu einer ununterbrochenen Kette Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 64 3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerwege Beispiel 3.3. Gegeben ist die folgende Menge an Spielsteinen: 20 1 4% 365 20 1 %:9;5 .0 3<%=>5 ?0 =@%:9A5 021 %81B5 0C9 %:;9 5 C0 3D%=E5 0F1 %=E5 .0 37%:9A5 Zugehöriger Graph: B C Jede Kante entspricht einem Spielstein. Eulerweg entspricht einer ununterbrochenen Dominokette. A D Anwendungen in der Praxis: Berechnung von Prozessketten mit möglichst wenigen Unterbrechungen. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 65 3. Kreis- und Wegeprobleme Hamiltonsche Graphen Hamiltonsche Graphen ein Graph. Ein Weg, der jeden Knoten von genau einmal enthält, heißt hamil- Definition 3.2. Es sei tonscher Weg. Ein Kreis, der jeden Knoten von tonscher Kreis. heißt hamiltonsch gdw. genau einmal enthält, heißt hamil- einen hamiltonschen Kreis enthält. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 3. Kreis- und Wegeprobleme 66 Hamiltonsche Graphen Beispiel 3.4. Die Bezeichnung “hamiltonsch” geht auf Sir William Rowan Hamilton (1805 – 1865) zurück, der 1859 das Spiel “around the world” erfand. Die Punkte eines Dodekaeders stellten Städte dar. Die Aufgabe des Spiels bestand darin, entlang der Kanten des Dodekaeders eine Rundreise zu unternehmen, bei der man jede Stadt genau einmal besucht. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 67 3. Kreis- und Wegeprobleme Hamiltonsche Graphen Charakterisierung von hamiltonschen Graphen Satz 3.4. Es sei dann ist ein Graph. Gilt: G H %IKJL NMPORQ hamiltonsch. Beweis. Tafel ✎. Bemerkung 3.2. Das Entscheidungsproblem, ob ein Gaph -vollständig. tonsch ist (HC), ist SUT hamil- Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 68 3. Kreis- und Wegeprobleme Hamiltonsche Graphen Traveling Salesman Problem XY% <Z\[ ]2^ Definition 3.3. Gegeben sei ein vollständiger Graph einer Kostenfunktion auf den Kanten. VW mit Die Enscheidungsvariante des Traveling Salesman Problem (TSP) lauin , für den die Summe der tet: Existiert ein hamiltonscher Kreis ist. Kantengewichte X " N_a` " Bemerkung 3.3. Die Entscheidungsvariante des TSP ist vollständig. Dies kann durch bc=edgf&/ih SaT - bewiesen werden. Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 69 3. Kreis- und Wegeprobleme Hamiltonsche Graphen TSP als Optimierungsproblem Die Optimierungsvariante des TSP lautet: Finde einen hamiltonschen Kreis mit minimalem Gewicht. SUT O Durch die -Vollständigkeit des zugehörigen Entscheidungsproblems kann es optimal nur für “kleine” gelöst werden. O Für “große” müssen Heuristiken zur Berechnung einer möglichst guten Lösung angewendet werden. Theoretisch interessant sind Heuristiken mit Gütegarantie (siehe folgendes Kapitel). Einführung in die Graphentheorie — FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 01/02 70
