• Summe der ersten n natürlichen Zahlen (Der kleine Gauß )
n
X
i=
i=1
n(n + 1)
2
• Summe der ersten n ungeraden natürlichen Zahlen
n
X
(2i − 1) = n2
i=1
• Summe der ersten n Quadratzahlen
n
X
i2 =
i=1
n(n + 1)(2n + 1)
6
• Summe der ersten n Kubikzahlen
n
X
3
i =
i=1
n(n + 1)
2
2
• Geometrische Reihe
n
X
i=0
qi =
q n+1 − 1
1 − q n+1
=
q−1
1−q
• Geometrische Reihe in leichter Variation (Start bei i = 1)
n
X
qi =
i=1
q n+1 − q
q−1
• Reihe mit Binomialkoeffizienten
n X
n n−k k
a
b = (a + b)n (a, b ∈ IR und n ∈ IN )
k
k=0
• Spezialfall von eben mit a = b = 1
n X
n
= 2n
k
k=0
• Harmonische Zahlen/Reihe. Mit
Hn :=
n
X
1
i=1
i
wird die n-te Harmonische Zahl bezeichnet. Es gilt die Abschätzung ln n <
Hn < (ln n) + 1, also ist Hn ∈ Θ(log n).
1
• Fakultätsfunktion. Bei der Analyse von Algorithmen kommt gelegentlich
die Fakultätsfunktion vor, für die die Stirlingische Formel gilt
n n
√
n! ≈ 2πn
e
1
dieser Wert ist um etwa 12n
zu klein. Nutzt man dies noch, so kann man
n
leicht
n!
∈
O(n
)
sehen.
Eine
bessere Abschätzung erlaubt sogar n! ∈
1
n n+ 2
Θ e
uns genügt aber meist erstere.
Version vom 21. Oktober 2015
2
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• Summe der ersten n natürlichen Zahlen (Der kleine Gauß) ∑ i = n