Seminar 1

Seminar 1
A1. Ein Herr hat 2 verschiedene Anzüge, 4 verschiedene Hemden, 3
verschiedene Krawatten. Wie viele Möglichkeiten gibt es diese
Kleidungsstücke zu kombinieren?
A2. Wie viele Funktionen gibt es f : M → N, wenn M = {x1 , . . . , xm } und
N = {y1 , . . . , yn } ?
A3. Ein Würfel wird 6 mal geworfen. Welches ist die Wahrscheinlichkeit,
dass
a) alle 6 Zahlen auftauchen?
b) die Zahl 1 sich genau 6-mal wiederholt?
A4. Man wählt zufällig eine sechsstellige Zahl. Welches ist die
Wahrscheinlichkeit, dass alle Ziffern verschieden sind?
Kombinatorik
Wie viele Möglichkeiten gibt es, k Elemente aus n Elementen auszuwählen?
Beispiel: k = 2, n = 3
mit Wiederholung / ohne Wiederholung
geordnet / ungeordnet
geordnet
ungeordnet
(Variation)
(Kombination)
mit
Wiederholung
(1, 1), (1, 2), (1, 3)
{1, 1}, {1, 2}, {1, 3}
(2, 1), (2, 2), (2, 3)
{2, 2}, {2, 3}, {3, 3}
(3, 1), (3, 2), (3, 3)
ohne
Wiederholung
(1, 2), (1, 3), (2, 1)
{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}
(2, 3), (3, 1), (3, 2)
Kombinatorik
• Variationen mit Wiederholung:
k
n
| · n ·{z· · · · n} = n
k−mal
nk Möglichkeiten gibt es k Elemente aus einer n-elementigen Menge
auszuwählen mit Berücksichtigung der Reihenfolge (geordnete Auswahlen,
mit Wiederholung / Ziehen mit Zurücklegen).
Beispiel:
Wie viele Funktionen f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d} gibt es?
• Permutationen: Die Elemente einer n-elementigen Menge lassen sich auf
n! := 1 · 2 · 3 · · · · · n
Arten anordnen (geordnete Auswahl, ohne Wiederholung ). Für n = 0 gilt
die Vereinbarung 0! := 1.
Beispiel:
Wie viele bijektive Funktionen f : {1, 2, 3} → {a, b, c} gibt es?
• Variationen ohne Wiederholung:
Vnk
:= n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) =
k−1
Y
i=0
(n − i) =
n!
(n − k)!
zeigt an wie viele Möglichkeiten es gibt k verschiedene Elemente aus einer
n-elementigen Menge auszuwählen mit Berücksichtigung der Reihenfolge
(geordnete Auswahlen, ohne Wiederholung / Ziehen ohne Zurücklegen).
Beispiele:
1. Wie viele dreistellige Zahlen kann man mit den Ziffern {1, 2, 3, 4, 5}
bilden, so dass alle Ziffern verschieden sind?
2. Wie viele injektive Funktionen f : {1, 2, 3} → {a, b, c, d, e} gibt es?
• Kombinationen (Binomialkoeffizienten): Für n, k ∈ N∗ mit k ≤ n heißt
n
n!
k
Cn =
:=
k
k!(n − k)!
der Binomialkoeffizient von n über k und zeigt an wie viele Möglichkeiten
es gibt k verschiedene Elemente aus n Elementen auszuwählen ohne die
Reihenfolge zu berücksichtigen (ungeordnete Auswahlen, ohne
Wiederholung / Ziehen ohne Zurücklegen).
Beispiele:
1. Beim Lotto werden 6 aus 49 Zahlen gezogen. Wie viele Möglichkeiten
gibt es?
2. An einer Feier nehmen 20 Personen teil. Plötzlich geht das Bier aus.
Um hinreichenden Nachschub zu besorgen, werden 3 Leute ausgewählt,
weil 3 Personen notwendig sind, um das neue Fass zu transportieren. Wie
viele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es, 3 Leute zum Bierholen zu
schicken?
Seminar 1
A5. Wie viele Permutationen der Elemente {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} beginnen
mit:
a) 5;
b) mit 123;
c) mit 8642.
In wie vielen Permutationen der Elemente {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} stehen
{8, 6, 4, 2}:
d1) nebeneinander in wachsender Reihenfolge;
d2) nebeneinander in beliebiger Ordnung?
A6. In wie vielen Permutationen der Elemente {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
stehen 4,5,6 auf der ersten, mittleren und letzten Stelle:
a) in dieser Ordnung 4,5,6;
b) in beliebiger Ordnung?
Seminar 1
A7. Wie viele Kombinationen von 5 Elementen aus den Ziffern
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} enthalten:
a) 3 ungerade;
b) 2 gerade
Ziffern?
A8. Wie viele Verbindungslinien sind zwischen n Punkten möglich, von
denen nicht mehr als zwei auf einer Geraden liegen?
A9. Wie viele Diagonalen hat ein n-Eck?
A10. Man bestimme die Anzahl der 8 stelligen binären Kodes die 5-mal
die 1 und 3-mal die Null enthalten und in denen die Ziffern 1 nicht alle
nebeneinander stehen?
A11. Man bestimme die Anzahl der 6 stelligen Zahlen, welche nur die
Ziffern 1,1,1,2,2,3 enthalten ?